phương trình bậc hai toán 9

— Khi giải phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng biểu thức A hoặc A'.. Trong một số trường hợp đặc biệt, ta có thể sử dụng mối liên hệ giữa các hệ số để tính ' nghiệm mà không phải t

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A KIEN THU’C CAN NHO’

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng:

ax”+bx+c0(az 0)

1 Giải phương trình bậc hai ax? + bx +c =0

Dat A= b’—4ac, \'=b”— ac voi b= 2b"

¬ Nếu A <0 hoặc A'<0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu A=0 hoặc A'=0 thì phương trình có nghiệm kép “ n

` 2a a Nếu A >0 hoặc A'>0 thì phương trình có hai nghiệm là:

-b> VA —bi JA —p- Ja" —b*+ Ja!

2a

Chú ý:

— Điều kiện phương trình có hai nghiệm là A >0 hoặc A'>0

~ Điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt là A >0 hoặc A'>0

— Điều kiện phương trình có nghiệm kép là A=0 hoặc A'=z0

— Khi giải phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng biểu thức A hoặc A' Trong

một số trường hợp đặc biệt, ta có thể sử dụng mối liên hệ giữa các hệ số để tính

' nghiệm mà không phải tính A hoặc A':

+ Nếu a+b+c=0 thì phương trình luôn có hai nghiệm là 1 và <,

a

+ Nếu a—b+c=0 thì phương trình luôn có hai nghiệm là —1 và ^~

a

2 Định lí Vi-ét và ứng dụng

a) Định lí thuận

Nếu phương trình bậc hai ax” + bx + c -:0 có hai nghiệm x¡, x2 thi:

A>0

Điều kiện phương trình có hai nghiệm cùng dấu là ° 0°

Điều kiện phương trình có hai nghiệm dương là

A>0

Điều kiện phương trình có hai nghiệm âm lài + P >0

S<0

Điều kiện phương trình có hai nghiệm trái dấu lài ac < 0.)

Nhận xét : Khi ac <0 thì A = bỀ - 4ac >0 nên phương trình có hai nghiệm phân

biệt x;, xạ và X,.X, =— <0, Suy ra xy, x; trái dâu

b) Định lí đảo

Nếu hai số u, v có u+v::S và uv::P thì chúng là nghiệm của phương

trình bậc hai X”— SX + P=0

Nhận xét: Ta có thế tính được hai số khi biết tổng và tích của chúng

E MỘT SÓ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng trong kì thi tuyển sinh vào

} lớp 10 Trong phân này, học sinh cân chú ý kĩ năng giải các phương trình bậc

hai, kĩ năng giải các điêu kiện về nghiệm của phương trình bậc hai, kĩ năng sử

dụng định lí Vi-ét đễ giải các bài toán vê biểu thức nghiệm của phương trình bậc

hai, tính chất nghiệm của phương trình bậc hai, liên hệ giữa các nghiệm của

phương trình bậc hai

Ví dụ 1 Giải các phương trinhsau _

h) 3x? + 18x + 28 - 0

Lời giải

a) 2x? +5x-1=0 có A =8ˆ -4.2.(-1) = 33,VA = v33

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x, =—S a 33 St v33

b) -4x? + 2x +1=0 có a =(v2) -4(-4).1=18, VA - V18: 37.2 3V2

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

X4 TEL we eters EE rey Xo > —— —————,

c) x2+8x+12=0 có A'<4? -1.12=4>vA' =2

Phương trình có 2 nghiệm phan biét: x, = ca 2 = By Xy = 442 s2,

d) 2x? 46x 11-0 66 A'= 3? —(-2) 1= 11-9 Va" = V11

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

xX, = —————— 1Œ mm ee ee

e) 7x? - 2010x + 2003 - 0

a+b+c=7 2010 + 2003 - 0 phương trình có 2 nghiệm x, - 1,x; = 20) 7

g) a-b+c-:5 2009 + 2004 - 0 phương trình có 2 nghiệm:

-2004

xX, = —, Xo = ean ee

h) 3x? +18x +28 =0; A' = 9 - 3,28 =~3 <0 phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2 Cho phương trình 2xŸ - 10x +1=0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x,,x; phân biệt

b) Không sử dụng công thức nghiệm, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

_ v2 2

B= xy +X>

_ v3 3

D=x; +X

G=|x,~x,]

b) Sử dụng định lí Vi-ét, bién đỗi biéu thức theo xị + X5,X;X> Lời giải a) Sử dụng biểu thức A'

a) A= (5) ~.2.1=23>0-> phuong trinh co hai nghiém x,, x phân biệt

b) Áp dụng định lí Vi-ét, ta có:

B=xj + X? =(X; +X) - 2X,x, = B2 -2.5= 24

€=(x;-2)(x; - 2) = x,x, - 2(x, +X) $4= 3-264 454

D=x} +x3 =(x, + x,)(X7 = X4Xq + x2) = (X, + x;)|(x +X) 3X:

=5,| B2 - 3.3 _ 235 2) 2

c- X71, ¿>1 6-04 +2) +02 — 1x; + 2)

Xy+2° x,+2 (x,+2)(x; + 2)

CXỈ+Xy S21 X3 3X; c2 XỈ t X tt X;) 4

— xX,+2(XitX,)+4 — XX;+2(XitX;¿)+4

_ tre] ~ 2X; +(Xi+xa) 4 5 2216 _ X,X_ +2(X,+X,)+4 7 15544 6 so ~ 29°

Ví dụ 3 Cho phương trình x” - x~1=0 có hai nghiệm phân biệt X4, X> Tinh gia

trị của biểu thức xỷ + xš

Hướng dẫn: Sử dụng định lí Vi-ét

Lời giải

Áp dụng định lí Vi-ét x, + xạ =1,x;x; =—T

Ta cô

x? 4x2 =(x, +X) - 2x,x, =P -2.(-1)= 3,

Xp + Xp = (X, + x;)(xi + X5 xix, )

= (X, + X;) (x +X, Ỷ — Bx Xp | ¬ |? — 3.(-9)] =4

- 5 5 2 2 3 3 2,3 2,3

=> XP + X35 =(Xx; + x3 (x + x3) - x} Xã —X2X)

= (9 + x3 )(9 +x2)- Xi X2 (X: +X) = -3.4—(-1) 1211

Chi y: Ta co thé tinh téng các lũy thừa bậc cao của một phương trình bậc hai

thông qua tỗng các lũy thừa bậc nhỏ hơn

*⁄ 5 m+n m m n n mvn nvụm

Với m>n ta có xị”" +X¿ =(x + xf" )(x} +xz]—Xi X2 —XiX¿

m m n n a mn m-n

=(x? + x;')(x: +x;)=(xx;) ("+ x; ).

Ví dụ 4 Cho phương trình x?—6x + 2m+1z0

a) Tìm m để phương trình có một nghiệm là -3

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x„,x; Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A=(x, =1)” +(x; - TỶ

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

d) Tim m để phương trình có nghiệm kép

e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

g) Tìm m dé phương trình có hai nghiệm trái dấu

h) Tìm m để phương trình có hai nghiệm X,,x; thoả mãn:

xf (x, +1)+ x2 (x, + 1) - 68

¡) Tìm m để phương trình có hai nghiệm X;,x; thoả mãn 2x, —x; =15

k) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x,,x„ thoả mãn x? =x, —4

I) Tìm m để phương trình có hai nghiệm X,,X; khác 0 thoả mãn: 1 - + = =

XX,

m) Tìm m để phương trinh co hai nghiém x,,x, thod man x? + x? <72

n) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x„,x„ khác 0 thỏa mãn: + + + = 8

Xt X5

Loi giai

a) Phương trình có mét nghiém la -3 <> (-3Ÿ —6(-3)+ 2m +1=:0

©>2m+29=0c m= ~”

b) A'=9- (2m +1) - 8- 2m Phương trình có hai nghiệm x;,x; ‹ › A'>0

©S8 2m>0<›»m<4

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có x, + x,: 6,xx;- 2m+1

A= (x, 4ý 4 (x, 4% se x? + xs - 2X; +xX;)}+ 2

=(X, 4X) - 2x,x, ~2(x, +x,)+2=6? -2(2m+1) 2612-24 4m 4 2 142 4 2

Vi m<4 nén 24 4m>24-44=8>A28

Dau '=' xay ra <> m= 4

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 khi m = 4

Ví dụ 5 Cho phương trình: x? + 2(m + 1)x + mỶ 1=0

a) Tim rm dé phương trình có hai nghiệm dương

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm X,x; Tìm hệ thức liên hệ giữa hai

nghiệm không phụ thuộc vào m

¡Hướng dẫn: Sử dụng định lí Vi-ét

Lòi giải

A'=(m+ 1)” (mÊ - 1)~2m +2,S= 2(m+ 1), P.= m? - 1

a) Phương trình có hai nghiệm dương

A'>0 2m+2>0 m> -†1 Ím > -1

<>4P>0 <»‹4m 1>0 <>4mˆ >1<>»> Im 1° m>1 <>»m>t

>

S>è0 2(m+1)>0 m>-†

m<-†1

b) Phương trình có hai nghiệm âm

A'>0 2m+2>0 m> -1

<>4P+>0 <>4m” -1>0 — <>4m2 >1 không có m thỏa mãn

S<0 2(m+1)<0 m<-†

c) Phương trình có hai nghiệm trái dấu

© ae <0<› m ~1<0<» mỄ <1<»|m|<1<› -1<m<1

d) Phương trình có hai nghiệm x,,x; <> A'>0 <> 2(m +1) >0 <> m> ~1

Ap dụng định lí Vi-ét ta có

‘ +Xa= -2(m + 1) m= Xt Xo ¬

X;X; = m ~ 1 XX © m° -1

Ví dụ 6 Tìm m để phương trình x” — 5x + m + 3= 0 có hai nghiệm dương x‹, X;

thoả mãn: ,

| Hướng dẫn: |Sử dụng định Ii Vi-ét

Lời giải

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương là:

A>0 13-.4m>0

<1

P>O<>4m+3>0 on ,e -3<m<~Š

S»0_ |5>0 mà

Xị+ X; =9; X;X;¿ =m+3

c Ines - 1«»m+3-:1<»m =-2 (thỏa mãn)

b) Ta có (jx; + Vx) =Xị+X;+2jX;X; =5+ 2m3 3

sử" cá = 5+ 2jm+ 3 3

‹>/m+3::2‹>m+3=4<»m =1 (thoả mãn)

c) (Vx, +2 + (x +2) =X, + 24x, +24+2)x, +2 [x, +2

=X,+X,+4+4+ 2((x, + 2)( )(xạ: + +2) = -X,+X_ + 4+ 2)x4x, + 2(x, 4 x;)+ 4

=5+442/m+3+254+4=-942/m+17 - > x, 4 2+ x, +2 = - J9 2V m \ 17

= x4 2+ Jx,+2=VI7T © J9+2Jm+17 - J17

«9+ 2VWm+ 17 - 17 <»2/m+ 17 =8

e Jm+ 17 ::4 <» m 1-17 = 16 <» m = -1 (thỏa mãn).

Ví dụ 7 Cho phương trình (m + 1) xŸ 2(m 1)x + m+3::0 Tìm m để phương

trình có hai nghiệm x;,x; Tìm hệ thức liên hệ giữa x¡ và xạ không phụ thuộc vào m

Sử dụng định li V-ét

Lời giải

Điều kiện dé phương trình có hai nghiệm x,,x, là:

ME met

m? ~2m41-(m? + 4m+3)>0 ~ [m2 2m41- m? 4m-3>0

3

Áp dụng định li Vi-ét, ta có:

2m.2 2(m+1) 4 4 m+1 m+1 m+ì

X‡X; s: " vn oe "

Xyt Xo

D> X,+Xy + 2XX, 2 ‘ i rat 2 ] “

m 1) x? - 2mx + 3

Ví dụ 8 Cho phương trình ( n )x 2mm _— 0

X —

a) Giải phương trình với m = 2

b) Tìm m dé phương trình có hai nghiệm phân biệt x¡, x; thoả man:

X;(x, 2)+x;(x;- 2) 0

Loi giai

(m- 1)x7 2mx : 3 ¬

a) Xét m = 2, ta có phương trình:

xo 4x eS oe! \ dex 3: 0<>x::3

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

(m-1)xŸ - 2mx + 3 x-1#0

b) eereireeieeemii OES 2

x #1

= (m~1)xŸ - 2mx + 3 =0

(m -1)x? - 2mx +3

Phương trình ©- “` -——— =0có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi X—

phương trình (m — 1) x?~2mx +3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ

khi m thoả mãn hệ điều kiện:

A'=m’ -3(m-1)>0 <>4A'=m?-3m+3>0

(m-1).? -2m1+340 |m-1~-2m:3z0

2

¬

> [m cam + 1]+3>0© [m-3] +3»0< me

Khi đó, áp dụng định lí Vi-ét x; + x; = 2m X;.X; =~ 3

m-†1 m-†1

X;(Xị =2) + Xạ(X; - 2) = X? + Xổ = 2(Xị + X;})

=(X,+x;¿}” - 2x,X; - 2(x, + Xp)

(2Ì -a 3 ;.2m _4m°~6(m-1)-4m(m-1) -2m+6

2m +6

X,(X,— 2) + x, (X%) 2) = O<> mm Ti =0<>-2m+6::0<»m: 3 (thoả mãn)

Ví dụ 9 Cho phương trình x” v/2011x+1=0 có hai nghiệm x,, x„; phương

trinh x? ~ /2012.x +1=0 có hai nghiệm xạ, xụ

Chứng minh rằng (x, x;)(x; - xạ)(x; + x¿}(x; + xạ) =1

Hướng dẫn: Sử dụng định li Vị-ét

Lời giải

Ap dụng định lí Vi-ét, ta có

Xi + Xa 42011, X‡X; = T1 Xs + X; = 42012, XaX„ ::

(Xi X;)(X; - X;)(Xị £ X;)(X; + X;): (x; ~X3)(% + X4) | (x; -x;)(x; + x,)|

(x, X:)(X; tX¿)?: XYX_ X QM qt XX qo XQXq ET XyX_ t XYXq 1 XX, X2X:

(XX) (Xt Xq) XK Xq_ KX qt XpXqoo XyXq ST AYXg + X_Xq (1< XaX; = XI:

(x,- X;)(x;- X;)(X;ị t X¿)(X; X ag) (GXq XX q)(XXq XX)

(XX) XE X2(XaX¿) XP (Xa) + (XQ) XZ KAZ L Xã

-|(Wa012} 2] '(/201} 2

Chú ý: Trong biêu thức về trái, ta nhóm các nhân tử để xuất hiện nhiêu tích có giá trị bằng 1, khi đó việc biến đỗi trở nên đơn giản

-2012 -2011-1 Ì

Ví dụ 10 Cho phương trình x? 8x +5m +2 <0 Tim m dé phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia

Hướng dẫn: | Sử dụng định li Vi-ét

Lời giải

A'=( 4Ÿ -(Em+2)-:14- 5m

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x,,x; là A'>0<>14- 5m>0<>»m< “

Theo định lí Vi-et ta có x; + x; : 8 (1),x;x; :: 5m + 2(2)

Gid swe x, = 3x, (1) > 3x, + xX, = 8 > xX, = 2-9 x, 6

(2) => 5m +2= 6.2 -> 5m =10 => m= 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m=2

` Chú ý Bằng cách giải sử dụng định lí Vi-ét, học sinh có thể chứng minh được kết

quả tổng quát sau: Cho các số a,b,c, k (az0).Điêu kiện đễ phương trình

ax?+bx+c :0 có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là

kb? :(k 41) ac

Ví dụ 11 Cho phương trình xÏ-.mx+8=0 Tìm m để phương trình có hai

nghiệm mà nghiệm này bằng bình phương của nghiệm kia

Lời giải

A - m”-.32 Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là:

A>0<»m”.32>0<› m? >32<>|m| > 4A2

Giả sử phương trình có hai nghiệm x,,x, thỏa mãn x, = Xã

Theo định lí Vi-ét, ta có

| cw => J a c> 2 <>

Giá trị m = 6 thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghiệm Vậy m = 6

Ví dụ 12 Cho hai phương trình xŸ+ 2x m:.0(1, x?t2mx 1 :0(2)

a) Tìm điều kiện để hai phương trình có nghiệm

b) Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung _

Lời giải

a) Phương trình (1) có A, =T4m (1) cé nghiém <> A, >O<>m>-1

Phương trình (2) có A, =m? 41>0 => (2) ludn co nghiém

Kết luận m>- 1

b) Gia sử hai phương trình có nghiệm chung là xạ Ta có

X1 2x, -m:0, xã +2mxạ -1- 0 ->( x6 + 2X, ~ 1) (6 + 2Xp ~ m) :0

c>2mxạ -2xạ+m- 1-0<›(m- 1)(2xạ +1)=0<»m-:1 hoặc xạ - `

Xét m - 1, hai phương trình đã cho trở thành phương trình x7 + 2x 1-0

hai phương trình đã cho có hai nghiệm chung là -1+ 4/2, 1 V2

Xét xạ: i Hai phương trình có nghiệm chung x, - 2

2

(1Ï sam[ 3) tố [min9 2 2 |

Kêt luận m - - - hoặc m:-1 4

Ví dụ 13 Tìm điều kiện của a, b để hai phương trình sau tương đương

x?+2ax -b+ 40 (1), x? +2bx + a=0 (2)

Lời giải

Phương trình (1) có A; = a” + b 4 Phương trình (2) có A,- bˆ- a

Hai phương trình tương đương khi và chỉ khi các số a, b thỏa mãn một trong hai

trường hợp sau:

A, <0 a+b-4<0

Trường hợp 1: Hai phương trình vô nghiệm <> ' <> * X

Trường hợp 2: Hai phương trình có cùng tập nghiệm khác rỗng

A,>0 <> Man

Điều kiện dé hai phương trình có nghiệm là: +:

A,>0_ |b°-a>0

Gọi x¿,x; là hai nghiệm của (1), S$, -x,+ xạ =-2a,Ð :x;x; b4

Gọi x;, x„ là hai nghiệm của (2), S; = X; + x¿ = -2Bb,f, = X;X; = 8

A,>0 A,>0

S,=S,

P, = P,

Hai phương trình có cùng tập nghiệm khác rỗng <>

a

bˆ-a>0 <> b-a>0

-2a = -2b a=b

a’ +b-4>0

<> 4b? -a>0 <>a=b-2

a=b=2

x Kết luận ‘3 2 hoac 12 +P 4 <0 p=2 = ly aco ?+b 4

Ví dụ 14 Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt a) x? + (2m +6)x + m+2=0 b) x? -2m°x + m” + 4m - 5 =0