www.facebook.com/toihoctoan
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2012 - 2013 Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3,0 điểm):
Cho M x x 1 x x 1
x x x x
a) Tìm điều kiện để M có nghĩa
b) Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa)
Bài 2 : (4,5 điểm)
a) Tính : A= 4+ 5 3 5 48 10 7 4 3+ − +
b) Giải phương trình : 2
x− + − = −x x x+
Bài 3 (4,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên x y; thỏa mãn: y2+2xy− − =3x 2 0
b) Tìm số tự nhiên n để: A n= 2012+n2002 1+ là số nguyên tố
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn Từ một điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A Vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (O;R), trong đó B, C là các tiếp điểm Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H
và K
a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm
cố định
b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định
Bài 5: (5,0 điểm )
Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N Tia AM cắt đường thẳng CD tại K Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I
1 Chứng minh : 1 2 12 12
AB AK
2 Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm Tính diện tích tam giác AMN
3 Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK,
AK, AI (P ∈IK, Q∈AK, R ∈AI) Xác định vị trí điểm O để OP2 +OQ2 +OR2 nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
_
Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh : Phßng thi
Chó ý: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2012 - 2013 MÔN: Toán
Bài 1: (3,0 điểm): Cho M x x 1 x x 1
x x x x
a Tìm điều kiện để M có nghĩa (1,0 đ)
Để M có nghĩa, ta có:
x 0
x x 0
x x 0
≥
− ≠
+ ≠
⇔
x 0
x ( x 1) 0
x ( x 1) 0
≥
− ≠
⇔ x 0
x 1
>
≠
b Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) (2,0 đ)
Với x > 0, ≠1 ta có:
2
(x x 1)(x x ) (x x 1)(x x )
M
x x
=
− = x2 x x2 x x x2 2 x x2 x x
x x
+ − − − + − +
− = 2x22 2x
x x
−
−
2(x22 x)
x x
−
=
− = 2 Vậy M = 2
0,5
0,5
0,5
0,5 0,5 0,5
Bài 2 : (4,5 điểm)
a) (2 điểm) Tính : A= 4+ 5 3 5 48 10 7 4 3+ − +
4 5 3 5 48 10 2 3
4 5 3 5 48 10 2 3
4 5 3 5 28 10 3
( )2
4 5 3 5 5 3
4 5 3 5 5 3
A= + + − = 4+ 5 3 25 5 3+ − = 4 5 3+ =
0.5
0.5 0.5 0.5 0.5 b) (2 điểm) Giải phương trình : x− +2 10− = −x x2 12x+40
Điều kiện : 2 ≤ ≤x 10
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm
Trang 3Ta có : 1( ( ) ( ) ) 1 2 4 10 4
4
x
x − x+ = x − x+ + = x− + ≥
Dấu “=” xảy ra ⇔ − = ⇔ =x 6 0 x 6 (2)
Kết hợp (1) và (2)
Phương trình có nghiệm duy nhất là : x=6
0,5 0,5
0,5 0.5
Bài 3 (4,0 điểm)
a) (2 điểm) Tìm các số nguyên x y; thỏa mãn: y2+2xy− − =3x 2 0
y + xy− − = ⇔x x + xy y+ =x + x+ ⇔ +x y = +x x+ (*)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên
phải có 1 số bằng 0.⇔x x+ =1 02 0⇔x x= − ⇒ =12 y y 12
+ = = − ⇒ =
Vậy có 2 cặp số nguyên ( ; ) ( 1;1)x y = − hoặc ( ; ) ( 2;2)x y = −
0,5
1,0 0,5
b) (2 điểm) Tìm số tự nhiên n để: A n= 2012+n2002 1 + là số nguyên
tố
Xét n=0 thì A = 1 không phải nguyên tố; n=1 thì A = 3 nguyên tố
Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + 1
= n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1)
Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy ra (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + 1
Tương tự: (n3)667 – 1 chia hết cho n2 + n + 1
Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A là hợp số Số tự nhiên cần tìm n = 1
0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn Từ một điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A Vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (O;R), trong đó B, C là các tiếp điểm Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H
và K
a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm
cố định
b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định.
d
A M
K H
C O
B
A
Chỉ ra ΔHOK ~ ΔAOM (g-g) => OH = OK => OA.OK = OH.OM (1)
Xét tam giác BOM vuông tại B 2 ( )
2
OB OH OM
Trang 4Từ (1) và (2) OA OK R2 OK R2
OA
Ta có góc OHK = 90O;
OK cố định nên H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định
0,5 0,5
Bài 5: (5,0 điểm )
Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N Tia AM cắt đường thẳng CD tại K Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I
1 Chứng minh : 1 2 12 12
AB AK
2 Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm Tính diện tích tam giác AMN
3 Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK,
AK, AI ( P ∈IK, Q∈AK, R ∈AI) Xác định vị trí điểm O để OP2 +OQ2 +OR2 nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
1
2,0đ
Ta có: ∆ABM =∆ADI ⇒ AM = AI(1) (vì … )
Trong tam giác AIK vuông tại A ta có: 12 1 2 12 (2)
AD AK
và AB = AD (3) (….)
Từ (1), (2), (3) 1 2 1 2 12
AB AK
⇒
0,5
0,5 0,25 0,75
2
2,0đ
Kẻ AH vuông góc với MN (H∈MN)
Do CM + CN = 7 và CM - CN = 1 ⇒CM = 4; CN = 3 ⇒MN = 5
Ta có ∆AMN = ∆AIN ⇒AH = AD⇒IN =MN
MH ID AID
Ta lại có : DN +BM =MN = 5và
1
=
−
=
−
⇒ +
= +BM CN DN DN BM CM CN CM
⇒ DN = 3; BM = 2; BC = AD = AH = 6
⇒ 6.5 15( )
2
1
2
cm MN
AH
0,5 0,5
0,5 0,5
3
1,0đ
Từ giả thiết ta có AQOR là hình chữ nhật
2 2
2
)
2 2
2 2
OP OA OR
OQ
2 2
OP + + nhỏ nhất khi O là trung điểm của AD
0,5 0,5
C
I
M H
N