Có 5 người khách đến mua quần áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó.. Tính xác suất để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào.. Có 5 người khách đế
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: Toán - THPT
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
Câu 1 (2,5 điểm) Cho hàm số 3
2
x y x
+
=
− + có đồ thị (C), đường thẳng (d) có phương trình
1
y x m= − − Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB
vuông tại O, (O là gốc tọa độ).
Câu 2 (2,5 điểm) Giải phương trình
3 cos 2 (2sinx x− +1) 2cos (2sinx 2x+ =1) 3sin 2 x
Câu 3 (2,5 điểm) Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo Có 5 người khách đến mua
quần áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó Tính xác suất để
có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào
Câu 4 (2,5 điểm) Tính tích phân
4
0
cos 2 ln(sin cos )
π
Câu 5 (2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , AC a=
Tam giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng
cách từ điểm D tới mặt phẳng (SBC), biết góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng đáy
bằng 60o
Câu 6 (2,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có ( 5;2) A −
( 1; 2)
M − − là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho ·MDC MBC= · và MB⊥MC
2
DAM =
Câu 7 (2,5 điểm) Giải hệ phương trình
2
Câu 8 (2,5 điểm) Cho các số , , x y z thỏa mãn 0 x y z< ≤ ≤ Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
6
-Hết -• Họ và tên thí sinh:……….Số báo danh:……….
• Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN-THPT
Hướng dẫn chấm có 06 trang
I Một số chú ý khi chấm bài
- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm
- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của đáp án
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số
II Đáp án – thang điểm
Câu 1 Cho hàm số 3
2
x y x
+
=
− + có đồ thị (C), đường thẳng (d) có phương trình:
1
y x m= − − Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác
OAB vuông tại O.
2,5
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
2
3
1 2
x
x m x
+ = − −
− +
0,5
Điều kiện:
2 2
Với điều kiện (*) phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x x và khác 21; 2
và khác 0, hay (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A x x( ;1 1− −m 1); ( ;B x x2 2− −m 1),
không trùng điểm O.
0,5
Ta có OAuuur=( ;x x1 1− −m 1);OBuuur=( ;x x2 2− −m 1) Vì tam giác OAB vuông tại O nên
2
uuuruuur
0,5
Theo định lí Viet ta có: 1 2
1 2
2
2(2m+ −5) (m+1)(m+ +2) (m+1)2 = ⇔ = −0 m 3
0,5
Câu 2 Giải phương trình sau
Trang 3x
− =
2
5 2
6
x
= +
0,5
2
k
π
0,5
Vậy phương trình đã cho có các họ nghiệm:
k
Câu 3 Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo Có 5 người khách đến mua quần
áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó Tính xác suất để
có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào
2,5
Người khách thứ nhất có 5 cách chọn một cửa hàng để vào
Người khách thứ hai có 5 cách chọn một cửa hàng để vào
Người khách thứ ba có 5 cách chọn một cửa hàng để vào
Người khách thứ tư có 5 cách chọn một cửa hàng để vào
Người khách thứ năm có 5 cách chọn một cửa hàng để vào
Theo quy tắc nhân có 5.5.5.5.5 = 3125 khả năng khác nhau xảy ra cho 5 người
vào 5 cửa hàng Suy ra số phần tử của không gian mẫu là: Ω =3125.
0,5
Để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 khách vào thì có các trường hợp (TH)
sau:
TH1: Một cửa hàng có 3 khách, một cửa hàng có 2 khách, ba cửa hàng còn lại
không có khách nào TH này có 1 3 1 2
5 .5 4 2 200
C C C C = khả năng xảy ra
0,25
TH2: Một cửa hàng có 3 khách, hai cửa hàng có 1 khách, hai cửa hàng còn lại
không có khách nào TH này có 1 3 2
5 .5 4 2 600
TH3: Một cửa hàng có 4 khách, một cửa hàng có 1 khách, ba cửa hàng còn lại
không có khách nào TH này có 1 4 1
5 .5 4 100
TH4: Một cửa hàng có 5 khách, các cửa hàng khác không có khách nào TH này
Suy ra có tất cả 200 600 100 5 905+ + + = khả năng thuận lợi cho biến cố “có ít 0,5
Trang 4nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào”
Câu 4 Tính tích phân
4
0
cos 2 ln(sin cos )
π
4 0 4
2 0
cos 2 ln(sin cos )
1 ln(sin cos ) cos 2 2
π
π
∫
∫
0,5
4
0
1 ln(1 sin 2 )cos 2
π
Đặt ( )
2cos 2
1
2
x
0,5
0 0
1 1
2 2
π π
4 0
π
Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , AC a= Tam
giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng
cách từ điểm D tới mặt phẳng (SBC), biết góc giữa đường thẳng SD và mặt đáy
bằng 60 o
2,5
K
I H
D
C B
A S
Gọi H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân nên SH ⊥ AB Vì tam giác SAB
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH ⊥(ABCD) Suy ra góc giữa SD
0,5
Trang 5và mp(ABCD) là · SDH =60o ⇒SH =HDtan 60o =HD 3.
Dễ thấy tam giác ABC đều cạnh a nên · ABC=60o⇒ HAD· =120o
Theo định lí Cô sin:
HD =AH + AD − AH AD = +a − a− =
2
a
2
a
0,5
Ta có AD BC/ / ⇒ AD/ /(SBC)⇒d D SBC( ,( ))=d A SBC( ,( )).
Đường thẳng AH cắt (SBC) tại B nên
d A SBC d H SBC
Kẻ HI ⊥BC HK, ⊥SI Vì BC ⊥HI BC, ⊥SH ⇒BC ⊥(SHI)⇒ BC⊥ HK
Vì HK ⊥BC HK, ⊥SI ⇒ HK ⊥(SBC)⇒ HK =d H SBC( ,( )) 0,5
Vì thấy tam giác ABC đều cạnh a nên CH ⊥ AB hay tam giác HBC vuông tại H.
Ta có
58
a
29
a
d A SBC = d H SBC = HI =
0,5
Câu 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có ( 5;2) A −
( 1; 2)
M − − là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho ·MDC MBC=· và
2
DAM =
2,5
E M
Gọi E là điểm thứ tư của hình bình hành MABE, dễ thấy MECD cũng là hình bình
Mà ·MDC MBC=· suy ra ·MEC MBC=· hay tứ giác BECM nội tiếp
Trang 6Ta có ∆AMD= ∆BEC c c c( )⇒ ·AMB BEC=· =90o hay AMD∆ vuông tại M 0,5
DM
MA
0,5
Giả sử ( ; )D x y ta có
Giải hệ phương trình trên được hai nghiệm: ( 3; 4), (1;0).− −
Vậy có hai điểm D thỏa mãn đề bài là: ( 3; 4), (1;0) D − − D
0,5
Câu 7: Giải hệ phương trình
2
2,5
x y x
+ ≥
+ ≥
Đặt t = +x y t( ≥0) PT (1) trở thành
2
1
2
t t
t
− −
⇔ =
0,5
Với t =2 suy ra x y+ = ⇒ = −2 y 2 x.
Thay y= −2 x vào (2) ta có:
(x2−x) 2x+ =1 x3−2x−1 0,5
2
2
2
0
x
x
≥
+ =
Suy ra y= −1 2 Vậy hệ đã cho có một nghiệm: (1+ 2;1− 2)
0,5
Câu 8: Cho các số , ,x y z thỏa mãn 0 x y z< ≤ ≤ Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
2,5
Trang 7( 2 2 2)2
6
Vì 0 x< ≤ ≤y z nên
2
0
x y x z xy xyz x y xyz x z xy
0,5
xy yz zx xyz x z xy yz xyz
x y xyz yz xyz y x z
Theo bất đẳng thức Cô si ta có:
1
2
2
2
0,5
Do đó
2
0,25
Đặt
2 2 2
3
t = + + t >
3 3 4
( ) 2
2
P≤ f t = t − t
0,5
2
P= khi x= = =y z 1. Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là 1
2
Max P= khi 1