Tuyển tập đề thi HSG toán lớp 9 cấp thành phố

a Chứng minh các tam giác IMB và IMC là các tam giác cân.. ĐỀ CHÍNH THỨC.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ - LỚP 9

NĂM HỌC 2013 - 2014

Môn: Toán

Ngày thi: 31/03/2014 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 ( 0,5 điểm)

1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: a b c  2014 và 1 1 1 1

2014

abc 

Tìm giá trị của biểu thức M 20131 20131 20131

2) Tìm số từ nhiên n để 52n26n212 là số nguyên tố

Bài 2 ( 5,0 điểm)

1) Giải phương trình x22x2 2x   1 2 0

2) Giải hệ phương trình

4 5 2

9 5 4 2





Bài 3( 2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: 0a4; 0b4; 0 c 4; và a b c  6. Tìm giá

trị lớn nhất của biểu thức Pa2 b2c2ab bc ca

Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, tia AI cắt đường tròn (O) tại M ( điểm M khác điểm A)

a) Chứng minh các tam giác IMB và IMC là các tam giác cân

b) Đường thẳng MO cắt đường tròn tại điểm N ( N khác điểm điểm M) và cắt cạnh BC tại P Chứng

minh



2

BAC IP

IN

 , chứng minh các điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn

Bài 5 (2,0 điểm)

1) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn 5x2y 1

2) Cho các lục giác đều ABCDEF cạnh có độ dài bằng 1 và P là điểm nằm trong lục giác đó Các tia

AP, BP, CP, DP, EP, FP cắt các cạnh của lục giác này lần lượt các điểm M M M M M M 1, 2, 3, 4, 5, 6

( các điểm này lần lượt khác các điểm A, B, C, D, E, F) Chứng minh lục giác M M M M M M có ít 1 2 3 4 5 6

nhất một cạnh có độ dài lớn hơn hoặc bằng 1

ĐỀ CHÍNH THỨC