12 đề ôn vào 10

bằng bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC  bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆AHB bằng R Chứng minh tơng tự có bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆BHC; ∆AHC bằng R Vậy các tam giác AHB, BHC, AHC c

12 ĐỀ THI VÀO LỚP 10 GV: Nguyễn Văn Huy

a, Gọi A, B là hai điểm trên đồ thị (P) có hoành độ lần lợt là -2; 4 Viết

ph-ơng trình đờng thẳng đi qua A, B

b, Chứng minh rằng đờng thẳng (d): y = mx - 2m + 3 cắt (P) tại hai điểm phân biệt Gọi x1, x2 là hoành độ hai giao điểm ấy

Tìm m thoả mãn x1 + x2 = 24

Câu 3 ( 1,5 điểm )

Một phòng họp có 90 ngời họp đợc sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế Nếu

ta bớt đi 5 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 3 ngời mới đủ chỗ Hỏi lúc

đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế đợc xếp bao nhiêu ngời?

3 2 11

1

1 F

M

Câu 3.

Gọi số dãy ghế có lúc đầu là x (dãy) ĐK: x nguyên dơng và x > 5

Thì mỗi dãy phải xếp 90

x ngời

Sau khi bớt 5 dãy thì số dãy ghế là x - 5 dãy

Mỗi dãy phải xếp 90

Hai tỉnh A, B cách nhau 60 km Có một xe đạp đi từ A đến B Khi xe đạp bắt

đầu khởi hành thì có một xe máy cách A 40 km đi đến A rồi trở về B ngay Tìm vận tốccủa mỗi xe biết xe gắn máy về B trớc xe đạp 40 phút và vận tốc xe gắn máy hơn vậntốc xe đạp là 15km/h

3 2 11

1 1

F H

Gọi vận tốc của ngời đi xe đạp là x(km/h) ĐK: x>0

Vận tốc ngời đi xe gắn máy là: x + 15km/h

Thời gan ngời đi xe đạp đã đi là: 60

 chúng có cùng bán kính đờng tròn ngoại tiếp

 bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆AQB bằng R

(bằng bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC )

 bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆AHB bằng R

Chứng minh tơng tự có bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆BHC; ∆AHC bằng R

Vậy các tam giác AHB, BHC, AHC có bán kính đờng tròn ngoại tiếp bằng nhau

Chứng minh rằng n nguyờn dương, đều cú:

chia hết cho 91

Bài 3: ( 2 điểm )

a) Cho x, y là hai số dương thỏa món: Tớnh giỏ trị lớn nhất của:

b) Chứng minh rằng với mọi a, b, c là cỏc số nguyờn khụng õm:

Bài 4: ( 2 điểm )

a) Giải phương trỡnh khi a=1

b) Tỡm a để phương trỡnh cú 4 nghiệm Khi đú tồn tại hay khụng giỏ

trị lớn nhất của:

Bài 5: ( 3 điểm )

Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự ấy, (O) là đường tròn đi qua B,C Kẻ từ A cáctiếp tuyến AE và AF đến (O) (E, F là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của BC, N làtrung điểm của EF

a) Chứng minh E, F nằm trên 1 đường tròn cố định khi (O) thay đổi

b) Đường thẳng FI cắt (O) tại E’ Chứng minh EE’ // AB

c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOI nằm trên đường thẳng cốđịnh khi (O) thay đổi

Phương trình đã cho có thể biến đổi thành:

a) Với a=1 phương trình đã cho trở thành:

nghiệm Để phương trình đã cho có 4 nghiệm thì mỗi phương trình như trên phải có đúng

2 nghiệm và các nghiệm đó khác 0 Như vậy, để phương trình ban đầu có 4 nghiệm, điều kiện cần và đủ là:

*Với phương trình đã cho có 4 nghiệm là:

Như thế:

Suy ra E, F là các điểm nằm trên đường tròn (A, )

b) Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có:

(1)

Mặt khác:

(2)

Và:

(4 điểm A, E, I, F cùng nằm trên đường tròn đường kính AO) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra được: Suy ra EE’ // AB (Theo dấu hiệu góc đồng

vị của hai đường thẳng song song)

ĐỀ SỐ 4.

Bài 1: ( 2,5 điểm )

b)Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Xác định vị trí của M, Nsao cho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất.

Với và Thay Ta đuợc và ta có:

Như kết quả ở trường hợp ban đầu, ta được A=0, không phụ thuộc vào x, y ĐPCM.b) Ta có

Vì là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho

2 và chia hết cho 6 Hay nói cách khác chia hết cho 6 Từ đó dễ dàng

suy ra chia hết cho 6 ĐPCM

Bây giờ, không mất tính tổng quát, ta giả sử:

Ta cố định giá trị hai biến a, c và tìm giá trị của b: sao cho A đạt giá trị lớn nhất

Hay là :

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a; b; c) là một hoán vị của

b) Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với:

Điều này hiển nhiên đúng Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Trở lại bài toán, ta có:

Ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi

Bài 3

Giải phương trình căn thức:

Lời giải:

Ta có:

Vậy phương trình có nghiêm là hoặc

b)Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Xác định vị trí của M, Nsao cho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất

Lời giải:

a) Xét tam giác AMN có NB và AO là hai đường cao, giao nhau tại B Do đó MB cũng

là đường cao của tam giác Từ đó suy ra AN vuông góc với BM ĐPCM

Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của BN với AM, AM với BN

Dễ dàng nhận thấy:

(góc, góc)Suy ra:

(góc, góc)Suy ra:

(góc, góc)Suy ra:

Từ đó, ta có:

Hay nói cách khác OM.ON không đổi

Gọi I, J là giao điểm của đường tròn đường kính MN với trục Ox

Xét đường tròn đường kính MN có MN là đường kính, IJ là dây cung, MN vuông góc với IJ nên MN đi qua trung điểm của IJ Hay nói cách khác OI=OJ

Ta có:

(góc, góc)Suy ra:

Hay nói cách khác:

Suy ra: I( , J(

I, J là các điểm cố định mà đường tròn

đường kính MN đi qua ĐPCM

b) Gọi K là giao điểm còn lại của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN với trục Ox

Gọi G’ là một điểm trên (d) , kẻ đường tròn (G’, G’A).Đường tròn này cắt trục tung tại

hai điểm M’ và N’.Gọi P’, Q’ lần lượt là giao điểm của M’B với N’A, M’A với N’B Ta cần phải chứng minh M’A vuông góc với BN’, hay là M’Q’ vuông góc với BN’.Thật vậy:

Vì K là điểm đối xứng của B qua O nên

Suy ra: N’Q’ vuông góc AM’ Suy ra ĐPCM

Vậy quỹ tích tâm G của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN là đường thẳng (d)

Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố, a là số dương sao cho không phải là sốnguyên tố thì phương trình: không có nghiệm hữu tỉ.

Bài 4: ( 3,5 điểm )

Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên AB sao cho , Đường thẳng qua

C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn đường kính AB tại D Dựng đường tròn tâm

J bán kính tiếp xúc với CA, CD và tiếp xúc với nửa đường tròn đường kính AB Dựngđường tròn tâm K bán kính tiếp xúc với CB, CD và tiếp xúc với nửa đường trònđường kính AB, Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABD

a)Tính , theo a,b

Điều này hiển nhiên đúng Suy ra các căn thức đều có nghĩa

Trở lại bài toán đã cho, ta có:

Bài 2: a) Giải phương trình:

b) Cho a, b thỏa mãn: và Tính giá trị lớn nhất và nhỏnhất của biểu thức: A=

Lời giải:

Ta có:

Vậy x=0 hoặc x=1

b)Ta có:

Do đó:A=

Với Dễ dàng nhận thấy a, b thỏa mãn các điều kiện ban đầu và

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

Với M là một số dương lớn tùy ý Ta sẽ chứng minh tồn tại a và b sao cho A=M, thật vậy, chọn ta có:

Giả sử ngược lại phương trình có nghiệm hữu tỉ

Ta có

Suy ra a là số chính phương và do đó là số nguyên

Từ đó suy ra phương trình là phương trình có các hệ số nguyên và cónghiệm hữu tỉ, nên các nghiệm đó đều phải là nghiệm nguyên

Ta có:

Điều này vô lý vì theo đề bài không phải là số nguyên tố

Từ đó suy ra giả thiết phương trình có nghiệm hữu tỉ là sai Suy raĐPCM

Bài 4: Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên AB sao cho , Đườngthẳng qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn đường kính AB tại D Dựng đườngtròn tâm J bán kính tiếp xúc với CA, CD và tiếp xúc với nửa đường tròn đường kính

AB Dựng đường tròn tâm K bán kính tiếp xúc với CB, CD và tiếp xúc với nửađường tròn đường kính AB, Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABD

a)Tính , theo a,b

Vậy ,

b) Xét tam giác vuông DAB, ta có:

Gọi X, Y, Z lần lượt là tiếp điểm của (I) với DA, DB, AB

Cho x,y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình

a) Chứng minh rằng trong hai số x,y có ít nhất một số chia hết cho 3

b) Chứng minh rằng tích xy chia hết cho 12

Bài 5: ( 3 điểm )

Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng (d) ở ngoài đường tròn M là mộtđiểm di động trên (d) Từ M kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn ( P và Q là cáctiếp điểm) N là giao điểm của PQ với OM

a)Chứng minh rằng: OM.ON không đổi

b)Chứng minh rằng: Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ thuộc mộtđường thẳng cố định

c)Tìm quỹ tích điểm N

Do đó, điều kiện cần để phương trình đã cho có nghiệm là:

Với ta chứng minh phương trình đã cho có nghiệm, hơn nữa đó là nghiệm duy nhất

Thật vậy, với , xét phương trình (2)

Ta có:

Ta chứng minh cũng là nghiệm của phương trình (1)

Thật vậy, vì là nghiệm của phương trình (2), cho nên

Suy ra:

Hay là là nghiệm của phương trình (1)

Bây giờ ta chứng minh là nghiệm duy nhất của phương trình (1)

Giả sử ngoài phương trình (1) còn có 1 nghiệm Xét các trường hợp:

-Với , phương trình đã cho vô nghiệm

-Với phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

b) Tìm thỏa mãn phương trình:

(1)

Lời giải:

Bổ đề:

Với 4 số a, b, c, d bất kỳ, đẳng thức (2) xảy ra khi và chỉ khi a, b, c, d cùng dấu.

Đẳng thức (3) xảy ra khi và chỉ khi a, b, c, d cùng dấu

Suy ra (2) xảy ra khi và chỉ khi a, b, c, d cùng dấu

Trở lại bài toán ban đầu:

(III)

Từ (10) và (11) suy ra (14)

Từ (10) và (12) suy ra (15)

Từ (14) và (15) và điều kiện ban đầu suy ra hoặc

Với , thay vào (III) ta được

Với , thay vào (III) ta được

Thử các trường hợp , , , ta tìm được thỏa mãn bài toán

Với p>5 Vì p là số nguyên tố nên p sẽ là số lẻ, và có chữ số tận cùng là 1, hoặc 3, hoặc

7, hoặc 9 Như thế có chữ số tận cùng là 1 hoặc 9

Nếu có chữ số tận cùng là 1 thì sẽ tận cùng bằng 5 và như thế sẽ chia hết cho 5 cho nên không thể là số nguyên tố

Nếu có chữ số tận cùng là 9 thì sẽ tận cùng bằng 5 và như thế sẽ chia hết cho 5 cho nên không thể là số nguyên tố

Kết luận, chỉ có thỏa mãn yêu cầu bài toán!

Bài 4:

Cho x,y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình

a) Chứng minh rằng trong hai số x,y có ít nhất một số chia hết cho 3

b)Chứng minh rằng tích xy chia hết cho 12

Lời giải:

a) Giả sử x và y đều không chia hết cho 3 Khi đó và chia 3 dư 1 Và nhưvậy, tổng chia 3 dư 2 Hay nói cách khác sẽ chia 3 dư 2 Điều này vô lý!

b) Trong x, y phải có ít nhất 1 số chia hết cho 2 Thật vậy, giả sử x, y đều là số lẻ,khi đó , sẽ có dạng 4k+1, suy ra tổng sẽ có dạng 4k+2 Hay nói cách khác chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 Điều này vô lý!

Vậy trong x, y có 1 số chia hết cho 2 Ta giả sử số đó là x

Nếu y cũng chia hết cho 2 Suy ra tích xy chia hết cho 4 Kết hợp với kết quả câua) ta suy ra xy chia hết cho 12 ĐPCM

Nếu y không chia hết cho 2, nghĩa là y lẻ Khi đó x phải chia hết cho 4 Thật vậy.Giả sử ngược lại x chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 Khi đó x có dạng4k+2 Suy ra sẽ có dạng 8t+4

Mặt khác y lẻ, y =2r+1 Khi đó Suy ra có dạng 8t+1 Lýluận tương tự cũng có dạng 8t+1 Và như vậy vế phải của biểu thức đã cho chia 8 dư 1còn vế trái chia 8 dư 5 Điều này vô lý!

Vậy x chia hết cho 4, suy ra xy chia hết cho 4 Kết hợp với kết quả câu a) ta cũngsuy ra được xy chia hết cho 12 Và ta có ĐPCM

Bài 5:

Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng (d) ở ngoài đường tròn M là mộtđiểm di động trên (d) Từ M kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn ( P và Q là cáctiếp điểm) N là giao điểm của PQ với OM

a)Chứng minh rằng: OM.ON không đổi

b)Chứng minh rằng: Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ thuộc mộtđường thẳng cố định

(góc, góc)Suy ra:

Suy ra L là điểm cố định và nên N nằm trên đường tròn đường kính ON

Kẻ đường thẳng (d’) qua O song song với (d) Vì nên điểm n nằm ở nửa

mặt phẳng chứa K bờ là (d’).

Ta chứng minh quỹ tích của điểm N là nửa đường tròn đường kính OL có bờ là (d’)

(Không tính 2 giao điểm) Thật vậy:

Gọi N’ là điểm nằm trên nửa đường tròn đường kính OL đã cho, gọi M’ là giao điểm của

ON’ với (d) Kẻ các tiếp tuyến M’P’, M’Q’ Ta chứng minh 3 điểm P’, N’, Q’ thẳng

hàng Thật vậy, gọi N’’ là giao điểm của OM’ với P’Q’ Theo kết quả đã biết, ta suy rađược N’’ nằm trên đường tròn đường kính OL Nghĩa là N’’ là giao điểm của OM’ vớiđường tròn đường kính OL Suy ra N’’ trùng với N’ Suy ra P’,N’, Q’ thẳng hàng Suy raĐPCM

Vậy quỹ tích điểm N là nửa đường tròn đường kính OL có bờ là (d’), nửa mặt phẳng này chứa (d)

a)Với mỗi số nguyên duơng n, đặt ,

Chứng minh rằng với mọi n, chia hết cho 5 và không chia hết cho 5

b)Tìm bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúng bằngtổng của chúng

Bài 5: ( 1,5 điểm )

Cho tam giác ABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với các cạnh

AC, AB Gọi H là giao điểm của BI với DE Chứng minh rằng tam giác BHC là tam giácvuông

Mặt khác 2n + 1 chia hết cho m nên xảy ra các trường hợp:

*) 2n + 1 = 3m Vì m n nên chỉ xảy ra trường hợp m = n = 1

*) 2n + 1 = 2m Loại vì chẳn lẻ

*) 2n + 1 = m Khi đó 2m + 1 = 4n + 3 và do đó 2m + 1 chia hết cho n khi và chỉ khi n =

1 hoặc n = 3 Và ta được các cặp nghiệm (m; n) = (3; 1), (7; 3)

Mặt khác A chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của A chia hết cho 9

Hay nói cách khác 2x + 3y + 5z chia hết cho 9

Như vậy, ta có :

Hệ (1) có các nghiệm là: (x; y; z) = (0; 6; 0), (2; 3;1), (4;0;2)

Hệ (2) có nghiệm (1;0;5)

Với (x; y; z) = (0; 6; 0) có 1 số A thỏa mãn bài toán

Với (x; y; z) = (2; 3; 1) có số A thỏa mãn bài toán

Với (x; y; z) = (4; 0; 2) có số A thỏa mãn bài toán

Với (x; y; z) = (1; 0; 5) có số A thỏa mãn bài toán

Vậy có tất cả 1 + 60 + 15 + 6 = 82 số thỏa mãn bài toán

c) Ta giả sử tồn tại cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình

Vì p, q là số nguyên tố nên p>0, q>0

Suy ra và đều có chữ số tận cùng là 5.

Suy ra vế trái (1) chia hết cho 10 (2)

Mặt khác vì q2 là số chính phương nên q2 không thể tận cùng bằng 7, và do đó vế phải của (1) không thể chia hết cho 10 (3)

(2) và (3) suy ra điều vô lý

Vậy không tồn tại cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn bài toán

Điều này đúng theo áp dụng của bất đẳng thức Bunhiacopski

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay nói cách khác:

Trở về bài toán đã cho,áp dụng bổ đề, ta có:

ĐPCMDấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Bài 3:

Lời giải:

Dễ thấy (x; y; z)=(0; 0; 0) là nghiệm của phương trình đã cho

Ta sẽ chứng minh (x; y; z)=(0; 0; 0) là nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Thật vậy:

Giả sử tồn tại nghiệm thỏa mãn phương trình (*), ta có:

(1)Gọi k lớn nhất, sao cho: và và (2)

a)Với mỗi số nguyên duơng n, đặt ,

Chứng minh rằng với mọi n, chia hết cho 5 và không chia hết cho 5

b)Tìm bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúngbằng tổng của chúng

Theo giả thiết, ta có

Mặt khác nên Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Khi đó Vậy bộ 3 số nguyên dương thỏa mãn bài toán là (1; 2; 3)

Bài 5:

Cho tam giác ABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với các cạnh AC,

AB Gọi H là giao điểm của BI với DE Chứng minh rằng tam giác BHC là tam giácvuông

Từ đó, ta có:

Suy ra E, D, H’ là 3 điểm thẳng hàng Vậy H’ trùng với H

Suy ra hay tam giác BHC là tam giác vuông ĐPCM

a) Cho x>0, y>0 thỏa mãn x + y 6, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b) Cho a>0, b>0, c>0, d>0.Chứng minh rằng:

Bài 3: ( 1 điểm )

Cho phương trình Gọi hai nghiệm của phương trình là Tính giátrị của biểu thức:

Bài 4: ( 2 điểm )

a) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 5 điểm bất kỳ Chứng minh rằng, trong các điểm

đã cho có thể tìm được 2 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng không lớn hơn

b) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ Chứng minh rằng trong cácđiểm đã cho có thể tìm được 3 điểm lập thành tam giác có diện tích không lớn hơn

b) Kéo dài AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D (khác A) Chứngminh rằng 2r ( r là bán kính đường tròn (I) )

Và:

(2)

Ta giải phương trình:

Vậy miền xác định của P là:

Với x thuộc miền xác định, từ (1) và (2) ta rút gọn được:

b) Với x thuộc miền xác định, ta tìm x sao cho P = 1

Ta có: P = 1

Hệ vô nghiệm