Nếu chảy riêng cho đầy bể thì vòi I chảy chậm hơn vòi II là 27 giờ.. AF b Chứng minh BD tiếp xúc với đường tròn đường kính AF.. c Điểm C chạy trên nữa đường tròn đường kính AB không chứ
Trang 1ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10
-0O0 -Bài 1 :
a) Tính :
2 1
6 2 3 2 3 1
8 3
2
3 3 8
+
+ +
−
+
−
−
b) Giải phương trình : x2 −(2 3−3 2).x−6 6 =0
Bài 2 :
Rút gọn : B = 1
2
Bài 3 :
a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Parabol (P) : y = - x2 và đường thẳng (D) : y = - x – 2
b) Tìm tọa độ các giao điểm A và B của (P) và (D) ( A có xA < 0 )
c) Viết phương trình đường thẳng (D’ ) tiếp xúc với (P) tại A
Bài 4 :
Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể cạn , sau 18 giờ thì đầy bể Nếu chảy riêng cho đầy bể thì vòi I chảy chậm hơn vòi II là 27 giờ Hỏi khi chảy riêng , mỗi vòi phải mất bao nhiêu thời gian mới chảy đầy bể ?
Bài 5 :
Cho đường tròn ( O ) , đường kính AB = a , C và D là hai điểm trên đường tròn sao cho
AC = AD Tiếp tuyến của đường tròn vẽ từø B cắt AC ở F
a) Chứng minh AB2 = AC AF
b) Chứng minh BD tiếp xúc với đường tròn đường kính AF
c) Điểm C chạy trên nữa đường tròn đường kính AB ( không chứa điểm D ) Tìm quỹ tích trung điểm I của AF
- HẾT –
1 Cho biểu thức A = x2 +2. x2 −1− x2 −2. x2 −1
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa
b) Tính giá trị của A khi x ≥ 2
2 Cho a, b, c là các số hữu tỷ Chứng minh rằng :
) (
1 )
(
1 )
(
1
a c c b b
a− + − + − làd một số hữu tỷ.
Trang 2BÀI GIẢI
BÀI 1 :
a) Tính :
2 1
) 2 1 ( 3 2 3 1
) 3 1 ( 8 3
2
) 3 3 2 4 )(
3 2 ( 2 1
6 2 3 2 3 1
8 3
2
3 3 8
+
+ +
−
+ +
−
+ +
−
= +
+ +
−
+
−
−
=4+2 3+3−4−4 3+2 3=3
b) Giải phương trình : x2 −(2 3−3 2).x−6 6 =0
∆=(2 3−3 2)2 −4.(−6 6)=12+18−12 6+24 6 =30+12 6 =(2 3+3 2)2
∆ = (2 3+3 2)2 =2 3+3 2
2 3 2
2 6 2
) 2 3 3 2 ( ) 2 3
3
2
(
x
3 2 2
3 4 2
) 2 3 3 2 ( ) 2 3
3
2
(
x
Bài 2 : Rút gọn :
2
ĐK : a>0;b>0; a≠b
− + +
− +
) (
) (
2 ) (
1
b a a
b b
a a
b ab
b a b a
a
b
a
) )(
(
2
2 ) (
1 )
)(
(
) (
) (
2 )
(
1
b a b a a
ab ab
b a b a a
b a b
a b a a
b a b b a b ab
b a b
a
a
b
a
+
−
− + +
+ +
= +
−
− +
+
− + +
−
+
=
=
a
a a b
a a
b a b
a a
b a b
a a b a
a
b
+
+
= +
+
− +
= +
+ +
−
) (
) (
1 1 )
(
1 )
(
1
Bài 3 :
a) Vẽ đồ thị của (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ :
* Đồ thị hàm số y = - x2 là một Parabol , đỉnh O , trục đối xứng Oy và nằm phía dưới trục hồnh
- Bảng giá trị tương ứng của x và y :
* Đồ thị hàm số y = - x -2 là đường thẳng đi qua 2 điểm : ( 0 ; - 2 ) và ( - 2 ; 0 )
4
2
-2
-4
-6
-8
1
2
O 1 -1
-2 -1
-3 -4 -2
Trang 3b)Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là :
-x2 = - x – 2 <=> x2 – x – 2 = 0 ( * )
Có : a – b + c = 1 + 1 – 2 = 0
Nên : x1 = -1 ; x2 = 2
Vì xA < 0 => xA = -1 ; xB = 2
Với xA = - 1 => yA = - 1 => A( -1 ; - 1 )
Với xB = 2 => yB = - 4 => B( 2 ; - 4 )
c) Phương trình đường thẳng (D’ ) có dạng y = ax + b Vì (D’ ) đí qua A ( - 1 ; - 1 ) nên ta có :
- 1 = - a + b => b = a -1 Suy ra (D’) có dạng : y = ax + a – 1
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D’ ) là :
- x2 = ax + a -1 <=> x2 + ax + a -1 = 0
∆=a2 −4.(a−1)=a2 −4a+4=(a−2)2
(P) và (D’) tiếp xúc nhau khi : ∆=0⇔(a−2)2 =0⇔a−2=0⇔a=2
Vậy phương trình đường thẳng (D’) đí qua A và tiếp xúc với (P) là : y = 2x + 1
Bài 4 :
Gọi x (h) là thời gian vòi II chảy riêng đầy bể ( x > 18 )
- Thời gian vòi I chảy riêng đầy bể là : x + 27 ( h )
- Trong 1 giờ :
Vòi I chảy được 1 / x + 27 ( bể )
Vòi II chảy được 1 / x ( bể )
- Vì hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 18 giờ, nên trong 1 giờ hai vòi chảy được 1 / 18 ( bể )
Ta có phương trình :
18
1 1 27
1 + =
x
0 486 9
27 486
18 18 ) 27 ( ) 27 (
18
∆=(−9)2 −4.(−486)=81+1944=2025
∆ = 2025 =45
18 2
36 2
45
9
27 2
54 2
45
9
Vậy vòi II chảy riêng đầy bể mất 27 ( giờ ), vòi I chảy riêng thì đầy bể mất 54 ( giờ )
Bài 5 :
I
A
C
D
F
a) Chứng minh AB2 = AC AF :
Có A CˆB=900( góc nội tiếp chắn nữa đ tròn )
ABF∆ có A BˆF =900; BC⊥ AF
Nên ta có :
AF AC
AB2 = c) c/m BD tiếp xúc với đường tròn đ.kính AF : Gọi I là trung điểm của AF thì I là tâm đường tròn đường kính AF
Có BI = IA = IF = 1/ 2 AF Nên B thuộc đường trong đường kính AF
ABD ABC =∆
∆ cho ta : A BˆC= A BˆD ( 1 )
ABF
∆ ~ ∆ACB cho ta : A FˆB= A BˆC ( 2 ) ( 1 ) và ( 2 ) => A BˆD= A FˆB
=> BD là tiếp tuyến của đ Tròn đ kính AF x
Trang 4d) Tìm quỹ tích trung điểm I của AF :
Có IA = IB nên điểm I luôn cách đều hai điểm
cố định A và B suy ra : I nằm trên đường trung trực của đoạn AB
* Vì C chỉ di chuyển trên nữa đường tròn đường kính AB ( khôg chứa điểm D ) nên I chỉ di chuyển trên tia Ox thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB
Trang 5ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10
-0O0 -Bài 1:
Rút gọn : A = 2 1 : 1 2
; ( Với x > 0,x ≠1 ) Bài 2 :
Cho biểu thức : A = 11
2 3
x x
−
− − a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tính giá trị của A nếu x = 23 - 12 3
Bài 3 :
Cho phương trình bậc hai : x2 + ( m – 1) x - m = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm kép rồi tính nghiệm kép đó
b) Định m để phương trình có hai nghiệm dương
Bài 4:
Một rạp hát có 300 chỗ ngồi Nếu mỗi dãy ghế thêm 2 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy ghế thì rạp hát sẽ giảm đi 11 chỗ ngồi Hãy tính xem trước khi có dự kiến sắp xếp trong rạp hát có mấy dãy ghế ?
Bài 5 :
Cho đường tròn (O ; R) , A là một điểm cố định và M là một điểm lưu động trên đường tròn Kẻ MH vuông góc với tiếp tuyến xx’ tại A
a) Chứng tỏ rằng MA là phân giác của góc OMH
b) Chứng tỏ rằng phân giác thứ hai của của góc OMH đi qua một điểm cố định
c) Vẽ hình bình hành OAEM Xét tương quan giữa OE với góc AOM ? Tìm quỹ tích của điểm E ?
-HẾT –
1 Cho hệ phương trình
= +
=
− 5 3
2
my x
y mx
a) Giải và biện luận hệ đã cho
b) Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ;y) thỏa mãn hệ thức :
3
1 2
2
+
−
=
+
m
m y
x
Trang 6ÀI GIẢI : BÀI 1 :
Rút gọn : A = 2 1 : 1 2
; ( Với x >0,x ≠1 )
=
1
1 :
) 1 )(
1 (
1 2
1
2 1
: 1
1 ) 1 )(
1
(
2
+ +
− +
+
−
−
−
− +
=
+ +
−
− + +
−
− + +
−
+
x x
x x
x x
x x x x x
x
x x
x x
x x
x
x x
=
1
1 1
1
) 1 )(
1
(
1
−
=
−
+ + + +
−
−
x x
x x x x
x
x
B
ài 2 : A =
3 2
11
−
−
−
x x
a) ĐK :
≠
≥
⇔
≠
−
−
≥
−
11
2 0
3 2
0 2
x
x x
x
11
) 3 2 )(
11 ( ) 3 2 )(
3 2 (
) 3 2 )(
11 ( 3 2
11
+
−
=
−
+
−
−
= +
−
−
−
+
−
−
=
−
−
−
x x
x x
x x
x x
x
x
c) Với x = 23−12 3 ta cĩ :
A = 23−12 3−2+3= 21−12 3 +3= (2 3−3)2 +3=(2 3−3)+3=2 3 Bài 3 :
a) Phương trình : x2 + ( m - 1)x – m = 0
Phương trính cĩ nghiệm kép khi :
∆=0⇔(m−1)2 −4.(−m)=0⇔m2 −2m+1+4m=0⇔(m+1)2 =0⇔m=−1
* Nghiệm kép của phương trình là : x1 = x2 = 1
2
2 2
1 1 2
1
2 = − = + = =
a b
b) Phương trình cĩ hai nghiệm dương khi :
1 0
0 ) 1 (
0 1
0
0 ) 1 (
0
0
2
1
2
<
<
≥ +
⇔
>
−
>
−
≥ +
⇔
>
+
>
≥
∆
m m
m m m
m m x
x
x
x
Bài 4 :
Gọi x là số dãy ghế ban đầu trong rạp hát ( x : nguyên , x > 3 )
- Số người ngồi trên một dãy ghế theo dự kiến ban đầu là 300 / x ( người )
- Số dãy ghế trong rạp khi sắp xếp lại là : x – 3 ( dãy )
- Số người ngồi trên một dãy trong thực tế là : 289 / x -3 ( người )
Theo đề cho ta cĩ phương trình :
x
300
3
−
0 900 5
2 2 + − =
7225 7200
25 ) 900 ( 2
4
52 − × × − = + =
=
∆
85
7225 =
=
∆
2
45 4
90 4
85
5
1
−
=
−
=
−
−
=
4
80 4
85
5
Vậy số dãy ghế ban đầu trong rạp hát là : 20 ( dãy )
Trang 7B ài 5 :
a) Ch ứng minh MA là phân giác của góc OMH :
Có : MH // AB ( cùng vuông góc với Ax )
M A
O
A
M
H ˆ = ˆ
⇒ ( so le trong )
Mà O MˆA=O AˆM ( tam giác AOM cân tại O )
A M
O
A
M
H ˆ = ˆ
⇒
⇒ MA là phân giác của O ˆ M H .
b) Chứng minh phân giác thứ hai của góc OMH đi
qua một điểm cố định :
Kẻ đường kính AB , ta có :
A MˆB=900 ( góc nội tiếp chắn nữa đường tròn )
⇒ MB MA⊥
⇒MB là phân giác thứ hai của O ˆ M H
Vì A cố định nên ta có B cố định
Vậy phân giác thứ hai của O ˆ đi qua điểm cố M H
định B
c) V ẽ hình bình hành OAEM Xét mối quan hệ giữa
OE với A ˆ O M ? Tìm quỹ tích của điểm E ?
- Hình bình hành OAEM có OA = OM = R
nên OAEM là hình thoi Suy ra :
OE là phân giác của A ˆ O M
O A
x
M H
B
E
- Vì OAEM là hình thoi nên ta có :
AE = AO = R : không đổi
Vậy quỹ tích của điểm E là đườg tròn (A ; R )