Các tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng các phân thức + Kỹ năng: HS biết cách trình bày lời giải của phép tính cộng các phân thức theo trình tự: + Viết kết quả phân tích các mẫu[r]
Trang 1TUẦN 1:
Ngày soạn: 16/08/2015
Ngày giảng:
CHƯƠNG I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Tiết 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
A.MỤC TIÊU:
+ Kiến thức: - HS nắm được các qui tắc về nhân đơn thức với đa thức theo
công thức:
A(B C) = AB AC Trong đó A, B, C là đơn thức
+ Kỹ năng: - HS thực hành đúng các phép tính nhân đơn thức với đa thức có
không quá 3 hạng tử & không quá 2 biến
+ Thái độ:- Rèn luyện tư duy sáng tạo, tính cẩn thận.
B CHUẨN BỊ:
+ Giáo viên: Bảng phụ Bài tập in sẵn
+ Học sinh: Ôn phép nhân một số với một tổng Nhân hai luỹ thừa có cùng cơ
số
Bảng phụ của nhóm Đồ dùng học tập
C TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
I Tổ chức: 8A: 8B: 8C:
II Kiểm tra:
- GV: 1/ Hãy nêu qui tắc nhân 1 số với một tổng? Viết dạng tổng quát?
2/ Hãy nêu qui tắc nhân hai luỹ thừa có cùng cơ số? Viết dạng tổng quát?
III Các ho t ạt động dạy học động dạy họcng d y h cạt động dạy học ọc :
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
* HĐ1: Hình thành qui tắc
- GV: Mỗi em đã có 1 đơn thức & 1 đa
thức hãy:
+ Đặt phép nhân đơn thức với đa thức
+ Nhân đơn thức đó với từng hạng tử
của đa thức
+ Cộng các tích tìm được
GV: cho HS kiểm tra chéo kết quả của
nhau & kết luận: 15x3 - 6x2 + 24x là tích
của đơn thức 3x với đa thức 5x2 - 2x + 4
GV: Em hãy phát biểu qui tắc nhân 1
đơn thức với 1 đa thức?
GV: cho HS nhắc lại & ta có tổng quát
như thế nào?
GV: cho HS nêu lại qui tắc & ghi bảng
HS khác phát biểu
* HĐ2: Áp dụng qui tắc
Giáo viên yêu cầu học sinh tự nghiên
cứu ví dụ trong SGK trang 4
2 Áp dụng:
Ví dụ: Làm tính nhân (- 2x3) ( x2 + 5x -
Trang 2Giáo viên yêu cầu học sinh làm ?2
* HĐ3: HS làm việc theo nhóm
?3 GV: Gợi ý cho HS công thức tính S
hình thang
GV: Cho HS báo cáo kết quả
- Đại diện các nhóm báo cáo kết quả
Trang 3+ Kiến thức: - HS nắm vững qui tắc nhân đa thức với đa thức
- Biết cách nhân 2 đa thức một biến đã sắp xếp cùng chiều
+ Kỹ năng: - HS thực hiện đúng phép nhân đa thức (chỉ thực hiện nhân 2 đa
II Kiểm tra:
- HS1: Phát biểu qui tắc nhân đơn thức với đa thức? Chữa bài tập 1c trang 5
(4x3 - 5xy + 2x) (-
1
2)
- HS2: Rút gọn biểu thức: xn-1(x+y) - y(xn-1+ yn-1)
III Các ho t ạt động dạy học động dạy họcng d y h c:ạt động dạy học ọc
Hoạt đông của GV Hoạt đông của HS
Hoạt động 1: Xây dựng qui tắc
GV: cho HS làm ví dụ
Làm phép nhân
(x - 3) (5x2 - 3x + 2)
- GV: theo em muốn nhân 2 đa thức này
với nhau ta phải làm như thế nào?
- GV: Gợi ý cho HS & chốt lại:Lấy mỗi
hạng tử của đa thức thứ nhất ( coi là 1
đơn thức) nhân với đa thức rồi cộng kết
quả lại
Đa thức 5x3 - 18x2 + 11x - 6 gọi là tích
của 2 đa thức (x - 3) & (5x2 - 3x + 2)
- HS so sánh với kết quả của mình
GV: Qua ví dụ trên em hãy phát biểu
qui tắc nhân đa thức với đa thức?
- HS: Phát biểu qui tắc
GV: chốt lại & nêu qui tắc trong (sgk)
GV: em hãy nhận xét tích của 2 đa thức
Hoạt động 2: Củng cố qui tắc bằng
bài tập
GV: Cho HS làm bài tập
GV: cho HS nhắc lại qui tắc
* Hoạt động 3: Nhân 2 đa thức đã sắp
Trang 4+ Đa thức này viết dưới đa thức kia
+ Kết quả của phép nhân mỗi hạng tử
của đa thức thứ 2 với đa thức thứ nhất
được viết riêng trong 1 dòng
( Nhân kết quả với -1)
* Hoạt động 5: Làm việc theo nhóm?3
GV: Khi cần tính giá trị của biểu thức ta
phải lựa chọn cách viết sao cho cách
?3 Gọi S là diện tích hình chữ nhật với 2
kích thước đã cho+ C1: S = (2x +y) (2x - y) = 4x2 - y2 Với x = 2,5 ; y = 1 ta tính được :
S = 4.(2,5)2 - 12 = 25 - 1 = 24 (m2) + C2: S = (2.2,5 + 1) (2.2,5 - 1) = (5+1) (5 -1) = 6.4 = 24 (m2)
Trang 5Ngày soạn: 22/08/2015
Ngày giảng: 24/08/2015
TIẾT 3: LUYỆN TẬP
A MỤC TIÊU:
+ Kiến thức: - HS nắm vững, củng cố các qui tắc nhân đơn thức với đa thức.
Qui tắc nhân đa thức với đa thức
- Biết cách nhân 2 đa thức một biến dã sắp xếp cùng chiều
+ Kỹ năng: - HS thực hiện đúng phép nhân đa thức, rèn kỹ năng tính toán,
trình bày, tránh nhầm dấu, tìm ngay kết quả
+ Thái độ : - Rèn tư duy sáng tạo, ham học & tính cẩn thận.
II Kiểm tra:
- HS1: Phát biểu qui tắc nhân đơn thức với đa thức ?Phát biểu qui tắc nhân đa thứcvới đa thức ? Viết dạng tổng quát ?
III Các hoạt động dạy học:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
- GV: chốt lại: Ta có thể nhân nhẩm &
cho kết quả trực tiếp vào tổng khi nhân
mỗi hạng tử của đa thức thứ nhất với
từng số hạng của đa thức thứ 2 ( không
cần các phép tính trung gian)
+ Ta có thể đổi chỗ (giao hoán ) 2 đa
thức trong tích & thực hiện phép nhân
- GV: Em hãy nhận xét về dấu của 2
đơn thức ?
GV: kết quả tích của 2 đa thức
được viết dưới dạng như thế nào ?
2) Chữa bài 12 (sgk)
- HS làm bài tập 12 theo nhóm
Trang 6-GV: Cho HS lên bảng chữa bài tập
+ Tính giá trị biểu thức ứng với mỗi
giá trị đã cho của x
-GV: Qua bài 12 &13 ta thấy:
+ Đ + Đối với BTĐS 1 biến nếu cho trước
giá trị biến ta có thể tính được giá trị
biểu thức đó
+ Nếu cho trước giá trị biểu thức ta có
thể tính được giá trị biến số
- GV: Cho các nhóm giải bài 14
ta có:
a) Khi x = 0 thì A = -0 - 15 = - 15b) Khi x = 15 thì A = -15-15 = -30c) Khi x = - 15 thì A = 15 -15 = 0d) Khi x = 0,15 thì A = - 0,15-15 = - 15,15
3) Chữa bài 13 (sgk)
Tìm x biết:
(12x-5)(4x-1)+(3x-7)(1-16x) = 81
(48x2 - 12x - 20x +5) ( 3x + 48x2 - 7+ 112x = 81
83x - 2 = 81
83x = 83 x = 1
4) Chữa bài 14
+ Gọi số nhỏ nhất là: 2n+ Thì số tiếp theo là: 2n + 2 + Thì số thứ 3 là : 2n + 4Khi đó ta có:
2n (2n +2) =(2n +2) (2n +4) - 192
n = 23 2n = 46 2n +2 = 48 2n +4 = 50
HS theo dõi
IV Củng cố:
- GV: Muốn chứng minh giá trị của một biểu thức nào đó không phụ thuộcgiá trị của biến ta phải làm như thế nào ?
Trang 7+ Qua luyện tập ta đã áp dụng kiến thức nhân đơn thức & đa thức với đathức đã có các dạng biểu thức nào ?
+ Kiến thức: học sinh hiểu và nhớ thuộc lòng tất cả bằng công thừc và phát
biểu thành lời về bình phương của tổng bìng phương của 1 hiệu và hiệu 2 bìnhphương
+ Kỹ năng: học sinh biết áp dụng công thức để tính nhẩm tính nhanh một cách
hợp lý giá trị của biểu thức đại số
+ Thái độ: rèn luyện tính nhanh nhẹn, thông minh và cẩn thận
- GV: Công thức đó đúng với bất ký giá trị
nào của a &b Trong trường hợp a,b>o
Công thức trên được minh hoạ bởi diện
-GV: Chốt lại và ghi bảng bài tập áp dụng
-GV giải thích sau khi học sinh đã làm
* a,b > 0: CT được minh hoạ
a b
a2 ab
ab b2
* Với A, B là các biểu thức :(A +B)2 = A2 +2AB+ B2
* Áp dụng:
a) Tính: ( a+1)2 = a2 + 2a + 1 b) Viết biểu thức dưới dạng bình
Trang 8xong bài tập của mình
* Hoạt động 2: Xây dựng hằng đẳng
thức thứ 2
GV: Cho HS nhận xét các thừa số của
phần kiểm tra bài cũ (b) Hiệu của 2 số
nhân với hiệu của 2 số có KQ như thế nào?
Đó chính là bình phương của 1 hiệu
GV: chốt lại : Bình phương của 1 hiệu
- GV: đó chính là hiệu của 2 bình phương
- GV: Em hãy diễn tả công thức bằng lời ?
- GV: chốt lại
Hiệu 2 bình phương của mỗi số bằng tích
của tổng 2 số với hiệu 2 số
Hiệu 2 bình phương của mỗi biểu thức
bằng tích của tổng 2 biểu thức với hiệu 2
= 502 + 2.50.1 + 1 = 2500 + 100 + 1 = 2601+ 3012 = (300 + 1 )2
= 3002 + 2.300 + 1= 90601
2 –Bình phương của một hiệu
Thực hiện phép tính
a ( )b 2 = a2 - 2ab + b2Với A, B là các biểu thức ta có: ( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
b) ( 2x - 3y)2 = 4x2 - 12xy + 9 y2c) 992 = (100 - 1)2 = 10000 - 200 +
1 = 9801
3- Hiệu của 2 bình phương
+ Với a, b là 2 số tuỳ ý:
(a + b) (a - b) = a2 - b2+ Với A, B là các biểu thức tuỳ ý
A2 - B2 = (A + B) (A - B)
?3.Hiệu 2 bình phương của mỗi sốbằng tích của tổng 2 số với hiệu 2 sốHiệu 2 bình phương của mỗi biểuthức bằng tích của tổng 2 biểu thứcvới hiệu 2 hai biểu thức
* Áp dụng: Tính
a) (x + 1) (x - 1) = x2 - 1b) (x - 2y) (x + 2y) = x2 - 4y2c) Tính nhanh
56 64 = (60 - 4) (60 + 4)
= 602 - 42 = 3600 -16 = 3584+ Đức viết, Thọ viết:đều đúng vì 2
số đối nhau bình phương bằng nhau
Trang 9V Hướng dẫn về nhà:
Làm các bài tập: 16, 17, 18 sgk Từ các HĐT hãy diễn tả bằng lời Viết các HĐTtheo chiều xuôi & chiều ngược, có thể thay các chữ a,b bằng các chữ A.B, X, Y…
- Gi sau h c luy n t p.ờ sau học luyện tập ọc ện tập ập
Duyệt của tổ CM, ngày 24/08/2015
+ Kiến thức: Học sinh củng cố & mở rộng các HĐT bình phương của tổng
bìng phương của 1 hiệu và hiệu 2 bình phương
+ Kỹ năng: học sinh biết áp dụng công thức để tính nhẩm tính nhanh một cách
hợp lý giá trị của biểu thức đại số
+ Thái độ: rèn luyện tính nhanh nhẹn, thông minh và cẩn thận
+ 25a2 + 4b2 - 20ab =
Đáp án (x + 1)2; (5a - 2b)2 = (2b - 5a)
III Các hoạt động dạy học:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Trang 10+ Muốn tính bình phương của 1 số có tận
cùng bằng 5 ta thực hiện như sau:
Viết các đa thức sau dưới dạng bình
phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) 9x2 - 6x + 1
b) (2x + 3y)2 + 2 (2x + 3y) + 1
* GV chốt lại: Muốn biết 1 đa thức nào
đó có viết được dưới dạng (a + b)2, (a
-b)2 hay không trước hết ta phải làm xuất
hiện trong tổng đó có số hạng 2.ab
rồi chỉ ra a là số nào, b là số nào ?
Giáo viên treo bảng phụ:
Viết các đa thức sau dưới dạng bình
phương của một tổng hoặc một hiệu:
Biến đổi vế phải ta có:
(a + b)2 - 4ab = a2 + 2ab + b2 - 4ab
= a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Vậy vế trái bằng vế phải
= 100a2 + 100a + 25 = 100a (a + 1) + 25
2- Chữa bài 21/12 (sgk)
Ta có:
a) 9x2 - 6x + 1
= (3x -1)2b) (2x + 3y)2 + 2 (2x + 3y) + 1
= (2x + 3y + 1)2
3- Bài tập áp dụng
a) = (2y + 1)2b) = (2y - 1)2c) = (2x - 3y + 1)2d) = (2x - 3y - 1)2
4- Chữa bài tập 22/12 (sgk)
Tính nhanh:
a) 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2.100+1 = 10201
b) 1992 = (200 - 1)2 = 2002 - 2.200 + 1
= 39601c) 47.53 = (50 - 3) (50 + 3) = 502 - 32
= 2491
5- Chữa bài 23/12 sgk
a) Biến đổi vế phải ta có:
(a - b)2 + 4ab = a2-2ab + b2 + 4ab = a2+ 2ab + b2 = (a + b)2
Vậy vế trái bằng vế phảib) Biến đổi vế phải ta có:
(a + b)2 - 4ab = a2+2ab + b2 - 4ab = a2
- 2ab + b2 = (a - b)2 Vậy vế trái bằng vế phải
6- Chữa bài tập 25/12 (sgk)
(a + b + c)2 = (a + b )+ c 2 (a + b
- c)2 = (a + b )- c 2
Trang 11- GV chốt lại các dạng biến đổi chính áp dụng HĐT:
+ Tính nhanh; CM đẳng thức; thực hiện các phép tính; tính giá trị của biểu thức
+ Kiến thức: học sinh hiểu và nhớ thuộc lòng tất cả bằng công thức và phát
biểu thành lời về lập phương của tổng lập phương của 1 hiệu
+ Kỹ năng: học sinh biết áp dụng công thức để tính nhẩm tính nhanh một cách
hợp lý giá trị của biểu thức đại số
+ Thái độ: rèn luyện tính nhanh nhẹn, thông minh và cẩn thận
II Kiểm tra: - GV: Dùng bảng phụ
+ HS1: Hãy phát biểu thành lời & viết công thức bình phương của một tổng 2 biểuthức, bình phương của một hiệu 2 biểu thức, hiệu 2 bình phương ?
+ HS2: Nêu cách tính nhanh để có thể tính được các phép tính sau: a) 312; b) 492;c) 49.31
+ HS3: Viết kết quả của phép tính sau: (a + b + 5 )2
Giáo viên yêu cầu HS làm ?1
- HS: thực hiện theo yêu cầu của GV
- GV: Em nào hãy phát biểu thành lời ?
- GV chốt lại: Lập phương của 1 tổng
2 số bằng lập phương số thứ nhất, cộng
3 lần tích của bình phương số thứ nhất
với số thứ 2, cộng 3 lần tích của số thứ
Hoạt động của HS 4)Lập phương của một tổng
?1 Hãy thực hiện phép tính sau & chobiết kết quả
(a+ b)(a+ b)2= (a+ b)(a2+ b2 + 2ab)(a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Với A, B là các biểu thức
Trang 12- GV: Nêu tính 2 chiều của kết quả
+ Khi gặp bài toán yêu cầu viết các đa
GV yêu cầu HS làm bàI tập áp dụng:
Yêu cầu học sinh lên bảng làm?
GV yêu cầu HS hoạt động nhóm câu c)
(A+B)3= A3+3A2B+3AB2+B3
? 2 Lập phương của 1 tổng 2 biểu thứcbằng …
Áp dụng
a) (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1b)(2x+y)3=(2x)3+3(2x)2y+3.2xy2+y3 = 8x3 + 12 x2y + 6xy2 + y3
5) Lập phương của 1 hiệu
(a + (- b ))3 ( a, b tuỳ ý ) (a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3Lập phương của 1 hiệu 2 số bằng lậpphương số thứ nhất, trừ 3 lần tích củabình phương số thứ nhất với số thứ 2,cộng 3 lần tích của số thứ nhất với bìnhphương số thứ 2, trừ lập phương số thứ2
1
3) - (
1
3)3b)(x-2y)3 =x3-3x2.2y+3x.(2y)2-(2y)3 = x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 c) 1-
Đ ; 2-S ; 3-Đ ; 4-S ; 5- S
HS nhận xét:
+ (A - B)2 = (B - A)2 + (A - B)3 = - (B - A)3
Trang 13+ Kỹ năng: HS biết vận dụng các HĐT " Tổng 2 lập phương, hiệu 2 lập
phương" vào giải BT
Trang 14Đáp án và biểu điểma, (5đ) HS1 (3x - 2y) = 27x3 - 54x2y + 36xy2 - 8y3
+ HS2: 8m3 + 12m2 + 6m +1= (2m3) + 3(2m)2 .1 + 3.2m.12 = (2m + 1)3
+ GV chốt lại: 2 CT chỉ khác nhau về dấu
( Nếu trong hạng thức có 1 hạng tử duy nhất bằng số thì:
+ Viết số đó dưới dạng lập phương để tìm ra một hạng tử
+ Tách ra thừa số 3 từ hệ số của 2 hạng tử thích hợp để từ đó phân tích tìm ra hạng
tử thứ 2
III Các hoạt động dạy học:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Hoạt động 1 XD hằng đẳng thức thứ
6:
+ HS1: Lên bảng tính
-GV: Em nào phát biểu thành lời?
*GV: Người ta gọi (a2 +ab + b2) & A2
-AB + B2 là các bình phương thiếu của a-b
+ Tổng 2 lập phương của biểu thức bằng
tích của tổng 2 biểu thức với bình
phương thiếu của hiệu 2 biểu thức
Hoạt động 2 XD hằng đẳng thức thứ
7:
- Ta gọi (a2 +ab + b2) & A2 - AB + B2 là
bình phương thiếu của tổng a+b& (A+B)
- GV: Em hãy phát biểu thành lời
A3 + B3 = (A + B) ( A2 - AB + B2)
a) Viết x3 + 8 dưới dạng tíchCó: x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2) (x2 -2x+ 4)
b).Viết (x+1)(x2 -x + 1) = x3 + 13= x3+ 1
7) Hiệu của 2 lập phương:
Tính: (a - b) (a2 + ab) + b2) với a,b tuỳý
Có: a3 + b3 = (a-b) (a2 + ab) + b2)Với A,B là các biểu thức ta cũng có
A3 - B3 = (A - B) ( A2 + AB + B2)+ Hiệu 2 lập phương của 2 số thìbằng tích của 2 số đó với bìnhphương thiếu của 2 số đó
+ Hiệu 2 lập phương của 2 biểu thứcthì bằng tích của hiệu 2 biểu thức đóvới bình phương thiếu của tổng 2biểu thức đó
Áp dụng
a) Tính:
(x - 1) ) (x2 + x + 1) = x3 -1b) Viết 8x3 - y3 dưới dạng tích8x3-y3=(2x)3-y3=(2x - y)(4x2 + 2xy +
y2)
A3 + B3 = (A + B) ( A2 - AB + B2)
Trang 15(x - 2)3
- GV: đưa hệ số 7 HĐT bằng bảng phụ
- GV cho HS ghi nhớ 7 HĐTĐN
-Khi A = x & B = 1 thì các công thức
trên được viết ntn?
A3 - B3 = (A - B) ( A2 + AB + B2)+ Cùng dấu (A + B) Hoặc (A - B)+ Tổng 2 lập phương ứng với bìnhphương thiếu của hiệu
+ Hiệu 2 lập phương ứng với bìnhphương thiếu của tổng
Khi A = x & B = 1( x + 1) = x2 + 2x + 1( x - 1) = x2 - 2x + 1( x3 + 13 ) = (x + 1)(x2 - x + 1)( x3 - 13 ) = (x - 1)(x2 + x + 1)(x2 - 12) = (x - 1) ( x + 1)(x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1(x - 1)3 = x3 - 3x2 + 3x - 1
Tìm cặp số nguyên x,y thoả mãn đẳng thức sau:
(2x - y)(4x2 + 2xy + y2) + (2x + y)(4x2 - 2xy + y2) - 16x(x2 - y) = 32
HDBT 20 Biến đổi tách, thêm bớt đưa về dạng HĐT
Ngày soạn: 12/9/2015
Ngày dạy: /9/2015
Tiết 8: LUYỆN TẬP
A MỤC TIÊU:
+ Kiến thức: HS củng cố và ghi nhớ một cách có hệ thống các HĐT đã học + Kỹ năng: Kỹ năng vận dụng các HĐT vào chữa bài tập
+ Thái độ: Rèn luyện tính cẩn thận, yêu môn học
Trang 16III Các hoạt động dạy học:
GV gọi 1 HS lên bảng làm phần b ? Tương
tự bài KT miệng ( khác dấu)
- GV cho HS làm việc theo nhóm và HS
lên bảng điền kết quả đã làm
y3 = 8x3 - y3d) (5x - 1)3 = 125x3 - 75x2 + 15x - 1e) ( 5 - x2) (5 + x2)) = 52 - (x2)2= 25 -
x4g)(x +3)(x2-3x + 9) = x3 + 33 = x3 +27
c) (x + y + z)2 - 2(x + y + z)(x + y)+ (x + y)2 = z2
5 Chữa bài 35/17: Tính nhanh
a)342+662+ 68.66 = 342+ 662 +2.34.66
= (34 + 66)2 = 1002 = 10.000b)742 +242 - 48.74 = 742 + 242 -2.24.74
= (74 - 24)2 = 502 = 2.500
6 Chữa bài 36/17
a) (x + 2)2 = (98 + 2)2 = 1002 =10.000
Trang 17b) x3 + 3x2 + 3x + 1 Tại x =99
- GV: Em nào hãy nêu cách tính nhanh các
giá trị của các biểu thức trên?
- GV: Chốt lại cách tính nhanh đưa
HĐT
( HS phải nhận xét được biểu thức có dạng
ntn? Có thể tính nhanh giá trị của biểu
thức này được không? Tính bằng cách
nào?
b) (x + 1)3 = (99 + 1)3 = 1003 =1000.000
IV Củng cố : - Gv: Nêu các dạng bài tập áp dụng để tính nhanh áp dụng HĐT
để tính nhanh - Củng cố KT - các HĐTĐN bằng bài tập 37/17 như sau:
- GV: Chia HS làm 2 nhóm mỗi nhóm 7 em ( GV dùng bảng phụ để cho HS dán)+ Nhóm 1 từ số 1 đến số 7 (của bảng 1); + Nhóm 2 chữ A đến chữ G (của bảng 2)( Nhóm 1, 2 hội ý xem ai là người giơ tay sau chữ đầu tiên) chữ tiếp theo lại củanhóm 2 dán nhóm 1 điền Nhóm 1 dán, nhóm 2 điền cứ như vậy đến hết
Trang 182 Kỹ năng: Vận dụng được cỏc phương phỏp cơ bản phõn tớch đa thức thành
nhõn tử: PP đặt nhõn tử chung, PP dựng hằng đẳng thức, PP nhúm hạng tử và phối nhiều phương phỏp
3 Thỏi độ: Học sinh tớch cực, chủ động, sỏng tạo tỡm tũi kiến thức
II Năng lực cần hướng tới:
1 Năng lực chung:
- NL tớnh toỏn, NL hợp tỏc
2 Năng lực chuyờn biệt:
- Học sinh cú kĩ năng tớnh phõn tớch đa thức thành nhõn tử
III B ng mụ t m c ản biểu thức & thay giỏ trị ản biểu thức & thay giỏ trị ức & thay giỏ trị động dạy học ần đạt: đạt động dạy học c n t:
Nội dung
lực hướng tới Nhận biết Thụng hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao
-Hiểu đợc Phõn tớch đathức thành nhõn tử (haythừa số) là biến đổi đa thức đú thành 1 tớch của những
đa thức
- Biết cỏch đặt nhõn tử chung
- Võn dụng thành thạo
PP này để phõn tớch
đa thức thành nhõn tử
- Đổi dấu
để làm xuấthiện NTC
Phõn tớch được đa thức cụ thể thành nhõn
tử bằng PP đặt nhõn tử chung
Trang 19cụ thể.
phương pháp dùng HĐT để phân tích
đa thức thành NT
được PP này làm một số bài tập tính nhanh, chia
- HS biếtnhóm cáchạng tửthích hợp -Phân tíchthành nhân
tử trongmỗi nhóm
để làm xuấthiện cácnhận tửchung củacác nhóm
Vận dụngtrong bàitập tínhnhanh
Vận dụngtrong bàitìm x
Quan sát toán, phán đoán, tư duy lô gíc
đa thứcthành nhântử
HS vậndụng đượccác PP đãhọc đểphân tích
đa thứcthành nhântử
Áp dụngvào làmcác bài tậptính nhanh,tìm x
Áp dụngvào làmcác bài tậpchứngminh tínhchia hết
Quan sát toán, phán đoán, tư duy lô gíc
CH4.1 CH4.2 CH4.3 CH4.4.1CH4.4.2
IV Câu hỏi bài tập kiểm tra đánh giá theo bảng mô tả;
1 Nội dung 1: Phân tích đa thức thành nt bằng PP đạt nhân tử chung.
Trang 20CH1.1: Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng hãy viết
biểu thức sau thành một tích: AB+AC+AD
CH1.2 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
b) (x+y)2-9x2 = (x+y)2-(3x)2 = x+y+3x)(x+y-3x)
d) 25x2 - 10xy + y2 e) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3
f) 81x2 – 64y2 g) (xy + 4)2 – (2x + 2y)2
Trang 21c) x2y + xy2 – x – y d) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15ze) x3 + y(1 – 3x2) + x(3y2 – 1) – y3 f) x3 + 3x2y+ x + 3xy2 + y + y3g) x2 –xy + x – y h) x2 + 4x – y2 + 4
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
5x3+10x2y+5xy2 = 5x(x2+2xy+y2) = 5x(x+y)2
b)Ví dụ 2:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x2-2xy+y2-9 = (x-y)2-32 = (x-y-3)(x-y+3)
c) b)Khi phân tích đa thức x2+ 4x- 2xy- 4y + y2 thành nhân tử, bạn Việt làm nhưsau:
4.2 : Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 2x3y-2xy3-4xy2-2xy
4.3 : a) Tính nhanh các giá trị của biểu thức.
x2+2x+1-y2 tại x = 94,5 & y= 4,5
Trang 228A8B8C4
8A8B8C5
8A8B8C6
8A8B8C
- Hãy viết 2x2 - 4x thànhtích của những đa thức
+ GV chốt lại và ghi bảng
- Ta thấy: 2x2= 2x.x 4x = 2x.2
tử chung
Vậy 2x2 - 4x = 2x.x-2x.2 =2x(x-2)
Trang 23hạng thành tich sao cho
xuất hiện thừa số chung,
biết đổi y-x = -(x-y)
từ đó làm xuất hiện nhân
x2 - x = x(x-1) 5x2(x-2y)-15x(x-2y)
Theo dõi hướng dẫn của
GV và tìm thêm thong tin
Hiểu thế nào là phân tích
đa thức thành NT
Bước đầu biết phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tửchung
HS biết tìm NTC
và phân tích đa thức thành nhân tử
Trang 24CH1 4.2: CMR:
55n+1-55n 54 (nN) trong SBT để giải toán
Thấy đượclợi ích của việc phân tích đa thức thành NT
a, x2- y2
b, x2-2xy + y2
GV gợi ý về sử dụng HĐT và hướng dẫn HS
là bài tập, từ đó đưa ra PP
CH
2 2 : Phân tích các
đa thức thành nhân tử.
a) x3+3x2+3x+1 b) (x+y)2-9x2
d) 25x2 - 10xy + y2 e) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3
f) 81x2 – 64y2 g) (xy + 4)2 – (2x + 2y)2
Cho hoạt động cộng tác giả 2 bài tập áp dụng
CH
2 3 : Tính nhanh :
a, 1052-25 = 1052-52 =(105-5)(105+5)
HS suy nghĩ liên hệ vớibài học trước
- chưa thể giải quyết, traođổi
a, = (x+1)3
b, = (x+y)2-(3x)2 =x+y+3x)(x+y-3x)
c,
1 2
x
d, (2x – 1-x-3)( 2x – 1+x+3)
Vận dụng được các HĐT để phân tích
đa thức thành nhân
tử ở nhữngbài tập cụ thể
Biết áp dụng tính toán hợp lý
Trang 25A.B =0 thì A = 0 hoặc B = 0
= (x-4)(3x+2) =0
Suy ra
4 2 3
x x
a, x2- 3x + xy - 3y
x2-3x+xy-3y= (x2- 3x)+ (xy - y) = x(x-3)+y(x -3)= (x- 3)(x + y)
b, 2xy + 3z + 6y + xz =(2xy + 6y) +(3z +xz)= 2y(x + 3) + x(x +3)=(x + 3)(2y + z)
để cho học sinh quan sáttừng bước và hiểu phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử bằng PP nhóm hạng tử
Cho HS hoạt động cá nhân kết hợp cặp nhóm tùy ý để giải bài tập
e) x2 + 4x – y2 + 4
Hướng dẫn HS làm bài tập áp dụng
CH
3 3 : Tính nhanh:
a) 37,5.6,5 - 7,5.3,4 - 6,6.7,5 + 3,5.37,5b) 452 + 402 - 152 + 80.45
c, = x(x-y) + (x-y) = (x-y)(x+1)
đa thức thành nhântử
Biết áp dụng tính toán hợp
lý và tìm x
Trang 26b) 5x( x – 3) – x + 3c) x2 - 6x + 8 d) x2 - 8x + 12 e) x3 - 7x - 6
tử bằng cách phối hợpnhiều phương pháp
x2+ 4x-2xy- 4y+ y2
=(x2-2xy+ y2)+(4x- 4y)
=(x- y)2+4(x- y)
=(x- y) (x- y+4)Việt đã sử dụng nhữngphương pháp nào đểphân tích đa thức thànhnhân tử?
Em hãy chỉ rõ cách làmtrên?
Cho học sinh thực hành cộng tác làm bài tập a) 2x3y-2xy3-4xy2-2xy b) x3 – 2x2 + x
c) 2x2 + 4x + 2 – 2y2d) 2xy – x2 – y2 + 16 =
a, Ta có : 2x3y-2xy3-4xy2-2xy
= 2xy(x2-y2-2y-1
=2xy[x2-(y2+2y+1)]
=2xy(x2-(y+1)2]
Biết phối hợp các phương pháp để giải BT phân tích
đa thức thành nhântử
Trang 27Hướng dẫn HS làm cácbài tập vận dụng:
CH 4.1.2 : Tìm x biết
a) x3
-1
4x=0 b) (2x-1)2-(x+3)2=0 c) x2(x-3)3+12- 4x
=2xy(x-y+1)(x+y+1)
b, ) x3 – 2x2 + x
=x( x2 – 2x + 1)
=x(x-1)2c) 2x2 + 4x + 2 – 2y2d) 2xy – x2 – y2 + 16 = 42– ( x-y)2
HS chú ý theo dõi và thực hiện bài tập ở nhà
Ta có x2+2x+1-y2 = (x+1)2-y2 =(x+y+1)(x-y+1)Thay số ta có với x= 94,5
và y = 4,5(94,5+4,5+1)(94,5 -4,5+1) =100.91 = 9100
Ta có: (5n + 2)2 – 4=
(5n+2 -2)(5n+2 +2) =5n(5n+4) chia hết cho 5
Biết áp dụng tính toán hợp
lý, chứng minh hay tìm x ở một số trường hợp
Trang 28=x(x-1)2 2đ
Suy ra
0 1
x x
Trang 29Phân tích h(x) thành tích của nhị thức x-2 với tam thức bậc 2.
III Các ho t ạt động dạy học động dạy họcng d y h c:ạt động dạy học ọc
- GV ở lớp 6 và lớp 7 ta đã định nghĩa về
phép chia hết của 1 số nguyên a cho một
số nguyên b
- Em nào có thể nhắc lại định nghĩa 1 số
nguyên a chia hết cho 1 số nguyên b?
- GV: Chốt lại: + Cho 2 số nguyên a và b
trong đó b0 Nếu có 1 số
nguyên q sao cho a = b.q Thì ta nói rằng a
chia hết cho b
( a là số bị chia, b là số chia, q là thương)
- GV: Tiết này ta xét trường hợp đơn giản
nhất là chia đơn thức cho đơn thức
* HĐ1: Hình thành qui tắc chia đơn thức
GV: Khi chia đơn thức 1 biến cho đơn thức
1 biến ta thực hiện chia phần hệ số cho
phần hệ số, chia phần biến số cho phần biến
số rồi nhân các kq lại với nhau
đa thức B A được gọi là đa thức bịchia, B được gọi là đa thức chia Qđược gọi là đa thức thương ( Haythương)
5 3
Trang 30mũ của các biến trong đơn thức bị chia và
đơn thức chia?
- GV: Trong các phép chia ở trên ta thấy
rằng
+ Các biến trong đơn thức chia đều
Có mặt trong đơn thức bị chia
+ Số mũ của mỗi biến trong đơn thức chia
không lớn hơn số mũ của biến đó trong đơn
thức bị chia
Đó cũng là hai điều kiện để đơn thức A
chia hết cho đơn thức B
HS phát biểu qui tắc
* HĐ2: Vận dụng qui tắc
a) Tìm thương trong phép chia biết đơn
thức bị chia là : 15x3y5z, đơn thức chia là:
- Khi phải tính giá trị của 1 biểu thức nào
đó trước hết ta thực hiện các phép tính trong
biểu thức đó và rút gọn, sau đó mới thay giá
trị của biến để tính ra kết quả bằng số
- Khi thực hiện một phép chia luỹ thừa nào
đó cho 1 luỹ thừa nào đó ta có thể viết
dưới dạng dùng dấu gạch ngang cho dễ
nhìn và dễ tìm ra kết quả
xn : xn = 1 (x)
xn : xn = xn-n = x0 =1Với x0
?2: Thực hiện các phép tính sau:
a) 15x2y2 : 5xy2 =
15
5 x = 3x b) 12x3y : 9x2 =
* Quy tắc: SGK ( Hãy phát biểu quy
x y
z
x y =3.x.y2.z = 3xy2z
=
4 (27) 4.9 36
IV Củng cố :
- Hãy nhắc lại qui tắc chia đơn thức cho đơn thức
- Với điều kiện nào để đơn thức A chia hết cho đơn thức B
V Hướng dẫn về nhà:
- Học bài
- Làm các bài tập: 59, 60,61, 62 SGK (26 - 27)
Ngày soạn: 09/10/2015
Ngày giảng:… /10/2015
Tiết 16: CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC
A MỤC TIÊU:
+ Kiến thức: HS biết được 1 đa thức A chia hết cho đơn thức B khi tất cả các
hạng tử của đa thức A đều chia hết cho B
HS nắm vững quy tắc chia đa thức cho đơn thức
Trang 31+ Kỹ năng: Thực hiện đúng phép chia đa thức cho đơn thức (chủ yếu trong
trường hợp chia hết).Biết trình bày lời giải ngắn gọn (chia nhẩm từng đơn thức rồicộng KQ lại với nhau)
+ Thái độ: Rèn tính cẩn thận, tư duy lô gíc.
B CHUẨN BỊ:
- GV: Bảng phụ - HS: Bảng nhóm
C TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
I Tổ chức: 8A: 8B: 8C:
II Kiểm tra :GV đưa ra đề KT cho HS:
- Phát biểu QT chia 1 đơn thức A cho 1 đơn thức B ( Trong trường hợp A chia hếtcho B)
- Thực hiện phép tính bằng cách nhẩm nhanh kết quả
III Các hoạt động dạy học:
- GV: Đưa ra vấn đề
Cho đơn thức : 3xy2
- Hãy viết 1 đa thức có hạng tử đều chia
hết cho 3xy2 Chia các hạng tử của đa
12x3y2 - 10xy3 cho đơn thức 3xy2
GV: Qua VD trên em nào hãy phát biểu
quy tắc:
- GV: Ta có thể bỏ qua bước trung gian
và thực hiện ngay phép chia
* Ví dụ: Thực hiện phép tính:
(30x4y3 - 25x2y3 - 3x4y4) : 5x2y3
= (30x4y3 : 5x2y3)-(25x2y3 : 5x2y3)- (3x4y4: 5x2y3) = 6x2 - 5 -
2
3
5x y
* Chú ý: Trong thực hành ta có thể tínhnhẩm và bỏ bớt 1 số phép tính trunggian
2 Áp dụng
a, Bạn Hoa làm đúng vì ta luôn biết
Trang 32B
b, Ta có:( 20x4y - 25x2y2 - 3x2y) = 5x2y(4x2 -5y -
3 ) 5
Do đó:
[( 20x4y - 25x2y2 - 3x2y) : 5x2y =(4x2 -5y -
3 )
- GV dùng bảng phụ: Khi giải bài tập xét đa thức
A = 5x4 - 4x3 + 6x2y có chia hết cho đơn thức
B = 2x2 hay không?
+ Hà trả lời: "A không chia hết cho B vì 5 không chia hết cho 2"
+ Quang trả lời:"A chia hết cho B vì mọi hạng tử của A đều chia hết cho B"
- GV: Chốt lại: Quang trả lời đúng vì khi xét tính chia hết của đơn thức A cho đơnthức B ta chỉ quan tâm đến phần biến mà không cần xét đến sự chia hết của các hệ
Trang 33+ Kiến thức: HS hiểu được khái niệm chia hết và chia có dư Nắm được các
bước trong thuật toán phép chia đa thức A cho đa thức B
+ Kỹ năng: Thực hiện đúng phép chia đa thức A cho đa thức B (Trong đó B
chủ yếu là nhị thức, trong trường hợp B là đơn thức HS có thể nhận ra phép chia Acho B là phép chia hết hay không chia hết)
+ Thái độ: Rèn tính cẩn thận, tư duy lô gíc.
- Các biến trong đơn thức B đều có mặt trong mỗi hạng tử của đa thức A
- Số mũ của mỗi biến trong đơn thức B không lớn hơn số mũ của biến đó trongmỗi hạng tử của đa thức A
III Các ho t ạt động dạy học động dạy họcng d y h c:ạt động dạy học ọc
* HĐ1: Tìm hiểu phép chia hết của đa
- GV chốt lại : Là 2 đa thức 1 biến đã
sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần
- Thực hiện phép chia đa thức A cho đa
thức B
+ Đa thức A gọi là đa thức bị chia
+ Đa thức B gọi là đa thức chia
1) Phép chia hết.
Cho đa thức
A = 2x4 - 13x3 + 15x2 + 11x - 3
B = x2 - 4x - 3B1: 2x4 : x2 = 2x2Nhân 2x2 với đa thức chia x2- 4x- 3 2x4- 12x3+ 15x2 +11x -3 x2- 4x- 3
- 2x4 - 8x3- 6x2 2x2
0 - 5x3 + 21x2 + 11x - 3
Trang 34Ta đặt phép chia
2x4 - 13x3 + 15x2 + 11x - 3 x2 - 4x -3
GV gợi ý như SGK
- GV: Trình bày lại cách thực hiện phép
chia trên đây
- GV: Nếu ta gọi đa thức bị chia là A,
đa thức chia là B, đa thức thương là Q
+ Đa thức dư có bậc nhỏ hơn đa thức
chia nên phép chia không thể tiếp tục
được Phép chia có dư Đa thức
-5x + 10 là đa thức dư (Gọi tắt là dư)
* Nếu gọi đa thức bị chia là A, đa thức
chia là B,đa thức thương là Q và đa
thức dư là R Ta có:
A = B.Q + R( Bậc của R nhỏ hơn bậc
của B)
B2: -5x3 : x2 = -5xB3: x2 : x2 = 12x4- 12x3+15x2+ 11x-3 x2 - 4x - 3 2x4 - 8x3 - 6x2 2x2 - 5x + 1
- 5x3 + 21x2 + 11x- 3 -5x3 + 20x2 + 15x- 3
0 - x2 - 4x - 3
x2 - 4x - 3 0
Phép chia có số dư cuối cùng = 0
( 5x3 - 3x2 + 7): (x2 + 1)
=(x2+1)(5x-3)-5x +10
* Chú ý: Ta đã CM được với 2 đa thức
tuỳ ý A&B có cùng 1 biến (B0) tồn tạiduy nhất 1 cặp đa thức Q&R sao cho:
A = B.Q + R Trong đó R = 0 hoặc bậccủa R nhỏ hơn bậc của B ( R được gọi
là dư trong phép chia A cho B
Trang 35+ Thái độ: Rèn tính cẩn thận, làm việc khoa học, tư duy lô gíc.
III Các hoạt động dạy học:
- GV: Khi thực hiện phép chia, đến dư
cuối cùng có bậc < bậc của đa thức chia
+ GV: Không thực hiện phép chia hãy xét
xem đa thức A có chia hết cho đa thức B
- -3x2 - 3 5x - 2Vậy ta có: 3x4 + x3 + 6x - 5
= (3x2 + x - 3)( x2 + 1) +5x - 2
2) Chữa bài 70/32 SGK
Làm phép chiaa) (25x5 - 5x4 + 10x2) : 5x2 = 5x2 (5x3- x2 + 2) : 5x2 = 5x3 - x2 + 2b) (15x3y2 - 6x2y - 3x2y2) : 6x2y =6x2y(
b)A = x2 - 2x + 1 = (1 -x)2 (1 - x)
4 Chữa bài 73/32
* Tính nhanha) (4x2 - 9y2 ) : (2x-3y)
Trang 36b) (8x3 + 1) : (4x2 - 2x + 1)
c)(27x3 - 1) : (3x - 1)
d) (x2 - 3x + xy - 3y) : (x + y)
- HS lên bảng trình bày câu a
- HS lên bảng trình bày câu b
- Ta tiến hành chia đa thức (1) cho đa thức
(2) và tìm số dư R & cho R = 0 Ta tìm
C3: Gọi đa thức thương là ax + b ( Vì đa
thức chia bậc 2, đa thức bị chia bậc 3 nên
thương bậc 1) f(x) = (x2 - 9)(a + b)
= [(2x)2 - (3y)2] :(2x-3y)
= (2x - 3y)(2x + 3y):(2x-3y) =2x + 3yc) (8x3 + 1) : (4x2 - 2x + 1)
= [(2x)3 + 1] :(4x2 - 2x + 1) = 2x + 1b)(27x3-1): (3x-1)= [(3x)3-1]: (3x - 1)
=9x2 + 3x + 1d) (x2 - 3x + xy - 3y) : (x + y) = x(x - 3) + y (x - 3) : (x + y) = (x + y) (x - 3) : ( x + y) = x - 3
- 15x + 30
a - 30 Gán cho R = 0 a - 30 = 0 a = 30
6)Bài tập nâng cao (BT3/39 KTNC)
- Ôn lại toàn bộ chương Trả lời 5 câu hỏi mục A
- L m các b i t p 75a, 76a, 77a, 78ab, 79abc, 80a, 81a, 82a.ào tính ào tính ập
Duyệt của tổ chuyên môn
Trang 37
+ Kiến thức: Hệ thống toàn bộ kiến thức của chương.
+ Kỹ năng: Hệ thống lại 1 số kỹ năng giải các bài tập cơ bản của chương I + Thái độ: Rèn tính cẩn thận, làm việc khoa học, tư duy lô gíc.
II Kiểm tra:Trong quá trình ôn tập
III Các ho t ạt động dạy học động dạy họcng d y h c:ạt động dạy học ọc
HĐ1: Ôn tập phần lý thuyết
* GV: Chốt lại
- Muốn nhân 1 đơn thức với 1 đa thức ta
lấy đơn thức đó nhân với từng hạng tử
của đa thức rồi cộng các tích lại
- Muốn nhân 1 đa thức với 1 đa
thức ta nhân mỗi hạng tử của đa
thức này với từng hạng tử của đa
thức kia rồi cộng các tích lại với
- GV: Hãy lấy VD về đơn thức, đa
thức chia hết cho 1 đơn thức
- GV: Chốt lại: Khi xét tính chia
hết của đa thức A cho đơn thức B
số mũ của mỗi biến trong B không lớn hơn
số mũ của biến đó trong A
- Đa thức A chia hết cho 1 đơn thức B:Khi tất cả các hạng tử của A chia hết chođơn thức B thì đa thức A chia hết cho BKhi: f(x) = g(x) q(x) + r(x) thì: Đa thức bịchia f(x), đa thức chia g(x) 0, đa thứcthương q(x), đa thức dư r(x)
+ R(x) = 0 f(x) : g(x) = q(x) Hay f(x) = g(x) q(x)
+ R(x) 0 f(x) : g(x) = q(x) + r(x) Hay f(x) = g(x) q(x) + r(x)
Bậc của r(x) < bậc của g(x)
Trang 38HS theo dõi GVHD rồi làm
II) Giải bài tập
1 Bài 81:
2
2 ( 4) 0
3x x
x = 0 hoặc x = 2 b) (x + 2)2 - (x - 2)(x + 2) = 0
(x + 2)(x + 2 - x + 2) = 0
4(x + 2 ) = 0
x + 2 = 0
x = -2c) x + 2 2x2 + 2x3 = 0
= x(x - 2x + 1 - y2)
= x[(x - 1)2 - y2]
= x(x - y - 1 )(x + y - 1) c) x3 - 4x2 - 12x + 27
= x3 + 33 - (4x2 + 12x)
= (x + 3)(x2 - 3x + 9) - 4x (x + 3)
= (x + 3 ) (x2 - 7x + 9)+z ) ( z + x )
=(x4 2x33 ) (x2 x3 2x23 ) : (x x2 2x3)
Trang 39vì (x – y)2 0 mọi x, yVậy ( x - y)2 + 1 > 0 mọi x, y Ra) x - x2 -1
+ Kiến thức: Kiểm tra kiến thức cơ bản của chương I như: PTĐTTNT,nhân
chia đa thức, các hằng đẳng thức, tìm giá trị biểu thức, CM đẳng thức
+ Kỹ năng: Vận dụng KT đã học để tính toán và trình bày lời giải.
+ Thái độ: GD cho HS ý thức củ động , tích cực, tự giác, trung thực trong học
Nhân đơn, đa - Thực hiện phép nhân đơn
Trang 40thức thức với đa thức, nhân đa
thức thành
nhân tử
Phân tích các đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp đã học
- NL: phân tích đa thức thành nhân tử
Vận dụngvào bài toán tìm x
thức
Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức, chia đathức cho đa thức
Chọn câu trả lời đúng trong mỗi câu sau đây:
Câu 1(0,5đ): Kết quả của phép nhân: 2xy (3x2 + 2xy – 2) là:
A 6x3y + 4xy – 2xy2 ; B 6x3y + 4x2y2 – 2xy