BAI TAP ON HKI HINH 9

Chứng minh được Tứ giác ABOE là hình chữ nhật => OE  AI Chứng minh được tam giác AOI cân ở I Sử dụng tính chất 3 đường cao của tam giác chỉ ra được IG là đường cao đồng thời là trung tr[r]

Bài 1

Cho đường tròn (O;15cm) , dây AB=24cm(AB khác đường kính) Kẽ OH vuông góc với AB( H

AB) , OH kéo dài cắt tiếp tuyến tại B của (O) tại điểm C

a) Tính độ dài đoạn OC và CB ?

b) Chứng minh rằng AC = CB suy ra AC là tiếp tuyến của đường tròn ?

c) Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường tròn tại K Chứng minh 3 điểm B, O,K thẳng hàng

?

d) Khi cho dây AB chạy trên đường trên đường tròn (O) Hỏi điểm H chạy trên đường nào? Vì sao?

a)Tính độ dài đoạn OC và CB ?

j

B

K

A H

HB=12 (cm); OH = 9 (cm) ⇒ OC = 25 (cm)

b)Chứng minh rằng AC = CB suy ra AC là tiếp tuyến của đường tròn ?

Chứng minh Δ OBC = Δ OAC ( c-g-c) vì:

OB = OA = 15 (cm)

BOC = AOC( OH là đường cao của Δ OAB cân tại O nên OH cũng là phân

giác)

OC: chung

Suy ra: AC = CB ( hai canh tương ứng)

Nên ta có OBC = OAC = 900 Vậy AC là tiếp tuyến của (O) 0,5

c)Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường tròn tại K Chứng minh các điểm B, O,K

thẳng hàng ?

KA AB nên KAB = 900 ,

0,5

d)Khi cho dây AB chạy trên đường trên đường tròn (O) Hỏi điểm H chạy trên đường nào? Vì sao?

Khi dây AB = 24cm chạy trên đường tròn tâm (O) bán kính 15cm thì OH = 9cm Do

đó H cách O một khoảng 9 cm nên H chạy trên đường tròn (O;9cm)

0,5

Bài 2:

Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm Từ một điểm A cách O là 5cm vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm)

a) Chứng minh AO vuông góc với BC;

b) Kẻ đường kính BD Chứng minh rằng DC song song với OA;

c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BD, đường thẳng này cắt tia DC tại E Đường thẳng AE và

OC cắt nhau ở I; đường thẳng OE và AC cắt nhau ở G

Chứng minh IG là trung trực của đoạn thẳng OA

Ta có OB = OC = R = 2(cm)

AB = AC ( Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

=> AO là đường trung trực của BC hay OA  BC

Xét tam giác BDC có OB = OD = OD = 1

2 BD (= R)

=> Tam giác BDC vuông tại C => DC  BC tại C

Vậy DC // OA ( Vì cùng vuông góc với BC)

- Xét tam giác ABO vuông có BO  AB ( theo tính chất tiếp tuyến)

=> AB = OA2 OB2  52 32 4cm

Gọi H là giao điểm của AO và BC

Vì AO là trung trực của BC nên HB = HC = 2

BC

Tam giác ABO vuông tại B có đường cao BH

=> HB.OA = OB.AB ( Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Tính được HB = 2,4 cm; BC = 4,8 cm

Lại có AB2 = OA.AH => AH = 3,2cm

Vậy chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC =

= 4 + 4 + 4,8 =12,8 (cm)

B

I E G

A

Diện tích tam giác ABC là:

2

BC OA

cm

Chứng minh được hai tam giác ABO và tam giác EOD bằng nhau (g.c.g)

Chứng minh được Tứ giác ABOE là hình chữ nhật => OE  AI

Chứng minh được tam giác AOI cân ở I

Sử dụng tính chất 3 đường cao của tam giác chỉ ra được IG là đường cao đồng thời là trung trực của

đoạn thẳng OA

Bài 3:

Cho ( O,R ), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K

a) Chứng minh: Tam giác OAK cân tại K

b) Đường thẳng KI cắt AB tại M Chứng minh: KM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Tính chu vi tam giác AMK theo R

a) Ta có: AB OB ( T/c tiếp tuyến )

OK OB ( gt )

 

1 2

Mà A1A2 (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

 

1 1

 

Vậy OKA cân tại K

b) Ta có : OI = R , OA = 2R => IA = R

=> KI là trung tuyến OKA

Mà OKA cân tại K ( Cmt)

=> KI OA Hay KM OA

Vậy KM là tiếp tuyến (O)

c) Xét AOB (B   900), có: OA = 2R , OB = R => AB =R 3

AKM

P = AM + MK + AK = AM + MI + IK + KA

Mà MB = MI

KI = KC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

AB = AC

=>PAKM= AM+MB+KC+KA = AB+AC = 2AB = 2R 3

Bài 4:

Cho đường tròn tâm (O; R) và một điểm A có AO = 2R Kẻ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đường tròn Gọi I là trung điểm của MN BC cắt OA và MN tại H và K

1 Chứng minh : AO  BC

2 Tính độ dài OH theo R

3 Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều

4 Chứng minh AI AK = AO AH

Bài 5:

Cho nửa đường tròn tâm 0 đường kính AB =2R Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn này dựng các tia Ax, By cùng vuông góc với AB Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax,

By lần lượt tại C và D

O

K

H

I N

M

C

B

A

Hình vẽ

AB = AC ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau )

OB= OC =R

Suy ra AO là đường trung trực của đoạn BC

suy ra AOBC

Chỉ ra OAB vuông tại B, AOBC tại H

OB2 = OA.OH ==> OH =

2

OB

R

Sin BAO =

0 1

30 2

OB

Suyra BAO

BAC =2 BAO = 600 (1)

ABC có AB = AC suy ra ABC cân tại A (2)

Từ (1) và(2) Suy ra ABC là tam giác đều

IN = IM (GT) Suy ra OI MN hay OIA = 900

AIO và AHK có

OIA = 900 và AHK= 900

IAO chung

Suy ra  AIO AHK(g.g)

Suy ra :

AH AK => AI.AK = AO.AH

a) Chứng minh COD  900.

b) Chứng minh tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn

c) AD cắt BC tại I, MI cắt AB tại H Chứng minh MH  AB

d) Biết AM = R Tính diện tích tam giác BMD theo R

y

x

O H

I

M

D

C

B A

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:



0 0 0

180

90 2 90

AOC COM MOD DOB COM MOD hay COD







b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = CM; BD = DM

=> AC.BD = CM.DM = R2 (không đổi)

c) Ta có AIC  DIB =>

=>

ID DM => IM // AC

Mà AC  AB nên IM  AB

Hay HM  AB

d) MB R 3 (áp dụng Pytago và AMB)

- Chứng minh BMD đều

 3 32 3 2 3

BMD

(đvdt)

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là trung điểm CB.

a) Chứng minh M thuộc đường tròn tâm O đường kính AB

b) Kẻ OH vuông góc MB tại H, OH cắt tiếp tuyến (O) tại B ở I Chứng minh: IM là tiếp tuyến (O) c) Cho AB = 20cm, AM = 12cm Tính OI và BI

d) Gọi K là giao điểm OI và (O) Chứng minh BK là phân giác của góc MBI

2 1

I K

H M C

B A

O

Ta có: ABC cân tại A, mà M là trung điểm BC => AMB1v => M thuộc đường tròn tâm (O) đường kính AB

b Xét OBI và OMI có:

OM = OB, OI là cạnh chung,MOH BOH ( OH là đường cao của tam giác MOB cân tại O nên cũng là phân giác )

Suy ra: OBI = OMI (c-g-c)

Do đó OMI OBI  1v Vậy IM là tiếp tuyến (O) tại M

c Xét OBI vuông tại B, BH OI

Suy ra: OB2 = OH.OI

=> OI= OB2 : OH = 102: 6 =

50

3 (cm), ( OH = ½ AM)

=> BI2 = OI2 – OB2 =

2 2 50

10 3

 



 

  =>BI =

40

3 (cm)

d

Ta có BHK vuông tại H => HKB B1900

OBI vuông tại B => OBK B 2900

Mà HKB OBK (OKB cân tại O)

Do đó: B1B2

Bài 7:Cho tam giác ABC cân tại A (A ˆ 900) có các đường cao AD, BE cắt nhau tại H Gọi O là trung

điểm của AH

a) Chứng minh 3 điểm A, H, E cùng thuộc đường tròn ( O)

b) Chứng minh DE là tiếp tuyến của (O)

c) Biết DH = 2cm, AH = 6cm Hãy tính số đo góc ADE.(Làm tròn độ)

a Vì O là trung điểm của AH OA = OH =

1

2AH

Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến  OE =

1

2AH

 OA = OH = OE  3 điểm A, H, E cùng thuộc (O)

b.Vì OA = OE  Tam giác ABC cân tại A  Eˆ1Aˆ1

(1) Tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đương trung tuyến  D là trung điểm của BC.

DB = DC =

1

2BC

Tam giác BEC vuông tại E có ED là đường trung tuyến DE =

1

2BC

 DB = DE  DBE cân tại D Eˆ3

= ˆB1 (2)

Ta lại có: Aˆ1 Bˆ1

(cùng phụ Cˆ) (3)

Từ (1), (2), (3)  Eˆ1 Eˆ3

Mà Eˆ1Eˆ2 AEBˆ 900

 Eˆ2Eˆ3 OEDˆ 900

 OE ED tại E

Vậy DE là tiếp tuyến của (O) tại E

c Ta có AH = 6cm  OH = OE = 3cm; DH = 2cm. OD = 5cm

Trong tam giác vuông OED có: SinODE =

3 5

OE

OD = 0,6

 ODE ˆ 370 hay ADEˆ 370

Bài 8:

Cho ABC vuông tại A, có AB = 3cm, BC = 6cm

a) Tính độ dài cạnh AC, số đo góc B và góc C

b) Vẽ (O) ngoại tiếp ABC Đường cao AH của ABC cắt (O) tại D Chứng minh BC là đường trung trực của AD

c) Tiếp tuyến tại D của (O) cắt đường thẳng BC tại E Chứng minh EA là tiếp tuyến của (O)

d) Chứng minh EA2 = EB EC

a) Tính độ dài cạnh AC, số đo góc B và góc C.

 vuông ABC, có:

*) AC = BC2  AB2  62 32 3 3cm

*) cos B = AB : BC = 0,5  B= 60o

 C= 90o - 60o = 30o

b) Chứng minh BC là đường trung trực của AD

Tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là trung điểm BC

Xét (O), ta có:

BC  AD tại H ( gt) (1)

 H là trung điểm của dây AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BC là đường trung trực của AD

c) Chứng minh EA là tiếp tuyến của (O).

cân ABO ( OA = OB), có:

OH là đường trung trực ( cmt)

 OH là đường phân giác  Ô1 = Ô2

Xét AEO và DEO, ta có:

OA = OD = R; Ô1 = Ô2 ( cmt) ; EO: chung

Suy ra :AEO = DEO ( c.g.c)

  90o

 EA là tiếp tuyến của (O)

d) Chứng minh EA2 = EB EC

Ta có : OA = OB = AB = 3cm

Nên OAB là tam giác đều

BAO  60o

 Â1 = EÂO – BÂO = 90o – 60o = 30o

Xét  EAB và  ECA, ta có :

Ê1 : chung; Â1 = C 1= 30o

Suy ra :  EAB  ECA(g.g)

Bài 9: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) sao cho

OA = 2R Từ A vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn (O) (B là tiếp điểm)

1) Chứng minh tam giác ABO vuông tại B và tính độ dài AB theo R

A

D

2

2) Từ B vẽ dây cung BC của (O) vuông góc với cạnh OA tại H Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

3) Chứng minh tam giác ABC đều

4) Từ H vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại D Đường tròn đường kính AC cắt cạnh DC tại E Gọi F

là trung điểm của cạnh OB Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng

1) Ta có: ABO 900 (AB là tiếp tuyến của(O) tại B)

 ABO vuông tại B

 AB2 OB2 OA2 (Đ/L Pytago)



AB OA  OB  R  R  R  R  R

 AB R 3

2) Ta có BOC cân tại O (OB = OC = R)

Mà OH là đường cao ( BC  OA tại H)

 OH là đường phân giác của BOC

 BOA COA 

Chứng minh AOC = AOB (c-g-c)

 ACOABO

Mà ABO  900 (AB là tiếp tuyến của(O) tại B)

 ACO 900  AC  OC mà C thuộc (O)

 AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

3) Chứng minh ABC cân tại A (1)

Xét ABO vuông tại 0, có

OB R Sin ABO

OA R

 BAO  300

Ta có: AO là tia phân giác của góc BAC (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) 

 2 2.300 600

BAC  BAO  (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABC đều

4) Gọi I là giao điểm của AF và HD

Áp dụng hệ quả Talet để I là trung điểm HD

Gọi K là trung điểm BD

Chứng minh KI là đường trung bình của BHD

 KI // HB Mà HB  OA tại H (gt)

 KI  AH

Chứng minh I là trực tâm của AHK

 AI là đường cao của AHK  AF  HK (3)

Chứng minh HK là đường trung bình của BDC HK // CD (4)

Từ (3) và (4)  AF  CD

Ta có: AEC nội tiếp đường tròn đường kính AC

 AEC vuông tại E  AE  CD mà AF  CD (cmt)

Vậy Ba điểm A, E, F thẳng hàng

Bài 10:

Cho góc xOy bằng 1200, đường tròn (O) cắt tia Ox, tia Oy lần lượt tại B và C Tiếp tuyến của (O) tại B và

C cắt nhau tại A Gọi H là giao điểm của OA và BC

a/ Chứng minh : Tam giác ABC là tam giác đều

b/ Chứng minh : BH2 = OH.HA

c/ Vẽ đường kính CD của (O) Tính diện tích tam giác BCD theo bán kính R của (O)

d/ Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại F, đường thẳng qua O và vuông góc với OC cắt AB tại E Chứng minh : EF là tiếp tuyến của (O)

C

B

H

x

D E

F y

Chứng minh : Tam giác ABC là tam giác đều

Ta có AB là tiếp tuyến của (O,R)=> ABO ˆ 900

AC là tiếp tuyến của (O,R)=> ACO ˆ 900

0

ˆ 360 ( ˆO+ABO+xOy)ˆ ˆ

= 360 (90 90 120 ) 60 (1)

Ta có : AB= AC (Vì AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại A) => ABC cân tại

A (2)

Từ (1) và (2) suy ra : ABC là tam giác đều

4b/

b/ Chứng minh : BC2 = 4OH.HA:

OBC cân tại O ( OB=OC do là bán kính của (O) )

Mà BOA COAˆ  ˆ ( Do AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) )

Nên : OABH

OBA vuông tại B, OABH=> BH2 = OH.HA

4c/

Tính diện tích tam giác BCD theo bán kính R của (O)

OBC cân tại O =>

0 ˆ

180 180 120

xOy

CD = 2R ( đvđd)

Ta có DBC nội tiếp đường tròn (O) có CD là đường kính => DBC vuông tại B

=> BC = CD cosC = 2R cos300= 2R

3

2 = R 3( đvđd)

BD = CD sinC = 2R sin300= 2R.1/2 = R ( đvđd)

SBCD = BC.BD/2= R 3.R/2 = R2 3( dvdt)

4d

Chứng minh : EF là tiếp tuyến của (O)

Ta có

, / /

   OEAF là hình bình hành

Lại có BAO CAOˆ  ˆ ( Do AB, AC là 2 tiếp tuyến của (O) )

 OEAF là hình thoi

=> EFOI tại I (I là giao điểm của OA và EF) (3)

Mặt khác, ta có :

0 0

ˆ 120

BOC

OBA vuông tại B=> OA=OB/cosO =R/cos600 =2R

Mà OEAF là hình thoi=> OI = OA/2 = 2R/2 = R

=> OI là bán kính của (O) ) (4)

Từ (3) và (4) => EF là tiếp tuyến của (O)