Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm K 2; 2 và tâm đường tròn nội tiếp là điểm I 0;1.. Ta chứng minh được: DB DI DC.[r]
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN: TOÁN BẢNG B NGÀY 22.01.2016 Câu 1 Cho hàm số y x 1
x 1 (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2 Tìm điểm M thuộc đồ thi (C) sao cho tiếp tuyến d của (C) tại điểm M thỏa điều kiện
OM vuông góc với đường thẳng d
Câu 2 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm
K 2; 2 và tâm đường tròn nội tiếp là điểm I 0;1 Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết A 2; 5
Câu 3 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi 1 vuông góc với nhau
1 Kí hiệu SXYZ là diện tích tam giác XYZ
Chứng minh rằng: SOAB 2 SOBC 2 SOCA 2 SABC 2
2 Giả sử SABC k là số dương cố định Tìm thể tích lớn nhất của tứ diện OABC
Câu 4 Giải hệ phương trình
x
2
Câu 5
1 Cho a, b, c là 3 số thực không âm có tổng bằng 3 Tìm GTLN của biểu thức
2 Phương trình x y z 22 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương trong đó có bao nhiêu nghiệm thỏa đồng thời các điều kiện x 15, y 16 và z 17
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 Cho hàm số y x 1
x 1 (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2 Tìm điểm M thuộc đồ thi (C) sao cho tiếp tuyến d của (C) tại điểm M thỏa điều kiện
OM vuông góc với đường thẳng d
Lời giải
1 Đơn giản
2 M thuộc (C) nên giả sử 0
0 0
M x ;
x 1 với x0 1 Ta có hệ số góc của d là:
0
2 k
, hệ số góc của OM là 0
2
0 0
x 1 k
x x 1 Theo đề ta có: k k1 2 1 x x0 0 13 2 x0 1 x02 2x0 1 x02 x0 2 0
0
x 1 2 Vậy ta có 2 điểm M
Trang 2Câu 2 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm
K 2; 2 và tâm đường tròn nội tiếp là điểm I 0;1 Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết A 2; 5
Lời giải
Ta có phương trình đường tròn C K,R KA : x 2 2 y 2 2 25 (1)
Đường thẳng d đi qua 2 điểm AI có phương trình:2x y 1 0
Gọi D AI C D 2; 3 Ta chứng minh được: DB DI DC *
Suy ra: B, C nằm trên đường tròn C' D, DI 2 5
Do đó: B, C là giao điểm của (C) và (C’)
Phương trình (C’): x 2 2 y 3 2 20 (2)
Từ (1), (2) suy ra: B 6; 1 ,C 2; 1 hoặc C 6; 1 , B 2; 1
Chứng minh: DB DI DC *
Ta có: A1 A2 ,A2 B3 , B1 B2
I1 A1 B1 B2 B3 Suy ra tam giác BDI cân tại D Suy ra DB DI (3)
Do A2 B3,C1 A1 , A1 A2 nên C1 B3 suy ra tam giác BCD cân tại D hay
Từ (3),(4) ta có (*)
Câu 3 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi 1 vuông góc với nhau
1 Kí hiệu SXYZ là diện tích tam giác XYZ
Chứng minh rằng: SOAB 2 SOBC 2 SOCA 2 SABC 2 (1)
2 Giả sử SABC k là số dương cố định Tìm thể tích lớn nhất của tứ diện OABC
Lời giải
1 Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC Ta có:
Trang 3OAB OBC OCA ABC
S OA.OB; S OB.OC; S OC.OA; S AH.BC
Đẳng thức (1) thành: OA.OB 2 OB.OC 2 OC.OA 2 AH.BC 2
2 2
OBC OB.OC BC OH 2S (đpcm)
Vì tam giác OAH vuông tại O nên AH 2 OA 2 OH 2
2 Với S ABC k ta có:
4k OA.OB OB.OC OC.OA OA OB.OC OA.OB OC OA.OB.OC
4k OA.OB.OC OA OB OC OA.OB.OC.3 OA.OB.OC
Mà ta có: V VOABC 1OA.OB.OC OA.OB.OC 6V
2187
2 4
k 4k V
3 27 Vậy
2 4
k 4k max V
3 27
Câu 4 Giải hệ phương trình
x
2
Lời giải
Từ (2) ta được: x t
2 x 2 t với t log 2 y , y2 2
Với hàm t
y 2 t luôn đồng biến, suy ra x 2 y thay vào (1) ta được:
2y y 2y 9y 14y 5 0 y 1, y 17 1
Câu 5
1 Cho a, b, c là 3 số thực không âm có tổng bằng 3 Tìm GTLN của biểu thức
Lời giải
Giả sử a max a, b,c Ta có:
3
b
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi c 0, b 1,a 2
Vậy maxP 4 khi c 0, b 1,a 2