Nếu tam giác vuông BEF có một hình vuông BMKN nội tiếp K EF; M BE và N BF sao cho cạnh của hình vuông tỉ lệ với bán kính của đường tròn nội 2 2 thì các góc của tam giác là bao nh[r]
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề ) Câu 1 (6,0 điểm)
1 Cho biểu thức: x x 26 x 19 2 x x 3
P
a Rút gọn P
b Tính P khi x = 3 3
3 12 5 3 12
c Tìm GTNN của P
2 Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì: (7.52n 12.6 ) 19n
Câu 2 (4,0 điểm)
a Giải phương trình sau: 4x 1
3x 1 2 x
3
b Giải hệ phương trình:
2
x xy y 19 x y
(*)
x xy y 7 x y
Câu 3.(3,0 điểm)
a Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau
19x5 + 5y +1995z = x2 –x +3
b Cho a, b, c 0 và 1 1 1
2
a 1 b 1 c 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P xyz
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính bất kì AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E
và F Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn EA và AF
a Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng
OA
b Hai đường kính AB và CD có vị trí tương đối như thế nào thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất
c Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và
3
3
BF DF
d Nếu tam giác vuông BEF có một hình vuông BMKN nội tiếp ( K EF; M
BE và N BF ) sao cho cạnh của hình vuông tỉ lệ với bán kính của đường tròn nội
tiếp tam giác BEF theo tỉ số2 2
2
thì các góc của tam giác là bao nhiêu?
Câu 5 (1,0 điểm)
Tìm cặp số (x; y) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn: x2 + 5y2 + 2y – 3xy – 3 = 0
- Hết -
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2Bài 1: (6,0 điểm)
1 a ) Rút gọn
3 x
16 x P
2đ
b) Tính x=1 đkxđ Suy ra p=
4
17 1đ c) Pmin=4 khi x=4 1đ
2 =7.25n + 19.6n – 7.6n 1đ =7.19.( ) + 19.6n 19 1đ
Bài 3:(3,0 điểm)
1 20x5 –(x5-x)+5y+1995z=x2+3 0,5đ
20x5-(x-2)(x-1).x.(x+1)(x+2)-5(x-1)x(x+1)+1995z=x2+3 0,5đ
Ta thấy VT5 con VP không chia hết cho 5 nên pt vô nghiệm 0,5đ