ON TAP THI HKI TOAN 9

Ñònh lí veà hai tieáp tuyeán caét nhau : Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì : Điểm đó cách đều hai tiếp điểm OA=OB Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân g[r]

Đề cương Ôn thi học kì 1

1 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông :

a2=b2+c2

b2=a.b’c2=a.c’

h2=b’.c’

bc=ah

1

h2=

1

b2+

1

c2

Bài tập :

a 32=x.5 ⇒ x=9

5

b y=5 − x=5−9

5=

16 5

c z2=5 y =5.16

5 =16⇒ z=4

d t2=9

5.

16

5 =

144

25 ⇒t=12

5

t2=32− x2=9 −(59)2=144

25 ⇒t=12

5

t2=z2− y2=42−(165 )2=144

25 ⇒t=12

5

5 t=3 z ⇒5 t=3 4 ⇒ t=12

5 1

t2=1

32+1

z2=1

32+ 1

42=25

144⇒ t2

=144

25 ⇒t=12

5

2 Tỉ số lượng giác :

sin α=cạnh đối

cạnh huyền cos α=

cạnh kề cạnh huyền

tg α=cạnh đối

cạnh kề cot gα=

cạnh kề cạnh đối

Bài tập :

a B=90o-C=90o-30o=60o

⇒c=b tgC=10 tg 30 o ≈ 5 ,7735

cosC= b

a ⇒ a= b

cos C=

10 cos30o ≈ 11, 5470

b b2=a2-c2=102-82=36

⇒

b=6

cos B= c

a=

8

10 ⇒ B ≈ 36 o52'12 ''

⇒C=90 o − B ≈ 53 o7'48 ''

3 Đường tròn :

Đường tròn tâm O bán kính R (R>0) là hình gồm các điểm

cách điểm O một khoảng bằng R Kí hiệu (O;R) hoặc (O)

Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC Khi đó tam giác ABC gọi là tam giác nội tiếp đường tròn Tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác

Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là

giao điểm của ba đường phân giác của tam giác

4 Đường kính và dây cung :

Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì

vuông góc với dây ấy

5 Dây và khoảng cách đến tâm :

Trong một đường tròn : Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Trong hai dây của một đường tròn :

Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

6 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn :

Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn

Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn

7 Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau :

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì :

Điểm đó cách đều hai tiếp điểm (OA=OB)

Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến (AO là tpg của BAC) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia pg của góc tạo bởi hai bk đi qua các tiếp điểm(OAlàtpgcủaBOC)

8 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn :

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R

Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

2 1 0

d<R d=R d>R

9 Vị trí tương đối của hai đường tròn :

Vị trí tương đối của 2 đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d, R, r

Cắt nhau

Tiếp xúc ngoài

Tiếp xúc trong

Ngoài nhau

Đựng nhau

2 1 1 0 0

R-r<d< R+r d=R+r d=R-r d>R+r d<R-r

VD : Xác định vị trí tương đối của (O;20) và (O’;15) biết

a d=10 : R-r<d<R+r : Cắt nhau

b d=35 : d=R+r : Tiếp xúc ngoài

c d=5 : d=R-r : Tiếp xúc trong

d d=37 : d>R+r : Ngoài nhau

e d=3 : d<R-r : Đựng nhau

* Đường nối tâm là đường trung trực của dây chung (OO’ là đường trung trực của AB)

Bài tập

Bài 10 trang 104 : Cho Δ ABC, các đường cao BD và CE Cmr :

a) Bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn

b) DE < BC

GT BD AC, CE AB

KL a B, E, D, C (O)

b DE<BC

Cm :

a Gọi O là trung điểm của BC Khi đó EO là đường trung tuyến của Δ vEBC và DO là đường trung tuyến của Δ vDBC ⇒ OE=OB=OC và OD=OB=OC ⇒ OE=OD=OB=OC

Vậy bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

b Vì BC là đường kính nên DE<BC

Bài 11 trang 104 : Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB.

Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD Cmr : CH=DK

GT (O):đk AB, AH CD, BK CD

KL CH=DK

Cm :

Kẻ OM CD ⇒ MC=MD (1) và OM//AH//BK Mà O là trung điểm của AB nên M là trung điểm của

HK hay MH=MK (2) Từ (1)(2) suy ra : CH=DK

Bài 24 trang 111 : Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính Qua O kẻ đường vuông góc

với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C

a) Cmr CB là tiếp tuyến của đường tròn

b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15 cm, AB=24 cm Tính OC

GT(O), dây AB, OC AB, CA là tiếp tuyến

R=15cm, AB=24cm

KL a CB là tiếp tuyến ?

b Tính OC ?

Cm :

a Ta có OC AB tại I nên OI là đc của tam giác cân OAB nên cũng là đường phân giác ⇒

AOC=BOC

Xét Δ AOC và Δ BOC có :

OA=OB (bán kính)

AOC=BOC (cmt)

OC chung

⇒ Δ AOC = Δ BOC (c.g.c)

⇒ OAC=OBC=90o ⇒ BC làtiếp tuyến

b Theo định lí Pitago ta có : OI2=OA2-IA2=152-122=81 ⇒ OI=9cm

Δ AOC vuông tại A có đường cao AI, ta có : OA2=OI.OC ⇒OC=OA 2 Ø

OI =

152

9 =25 cm

Bài 25 trang 112 : Cho đường tròn (O), bk OA=R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm

M của OA

a) Tứ giác OCAB là hình gì ? Vì sao ?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B cắt đường thẳng OA tại E Tính BE theo R

GT (O), OA=R, BC OA tại trung điểm M của OA

Tiếp tuyến BE cắt OA tại E

KL a OCAB là hình gì ?Vs?

b Tính BE theo R ?

Cm :

a Ta có BC OA tại M nên M là trung điểm của BC Mặc khác M là trung điểm của OA nên OCAB là hình bình hành Mà BC OA nên OCAB là hình thoi

b Ta có : OB=OA=OC (bán kính)

Mà AB=OB (OCAB là hình thoi) nên AB=OB=OA hay Δ OAB đều ⇒ AOB=60o

⇒ BE=OB.tg60o=R √3

Bài 26 trang 115 : Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với

đường tròn (B, C là các tiếp điểm)

a) Cmr OA vuông góc với BC

b) Vẽ đường kính CD Cmr BD song song với AO

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC ; biết OB=2cm, OA=4cm

GT (O) ; AB, AC là tiếp tuyến

CD là đường kính

OB=2 cm, OA=4 cm

KL a OA BC

b BD//AO

c Tính AB, BC, CA

Cm :

a Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : AB=AC và AO là tia phân giác của góc A hay AO là đường phân giác của tam giác cân ABC nên cũng là đường cao hay OA BC

b Vì CD là đường kính nên OB= 12 CD ⇒ Δ BCD vuông tại B hay BD BC

Mặc khác : OA BC (cmt) nên BD//AO

c Theo định lí Pitago ta có : OA2=AB2+OB2 ⇒ 42=AB2+22 ⇒ AB2=42-22=12 ⇒ AB=AC=

√12=2√3

Xét Δ vuông ABO có đường cao BI : AB.OB=OA.BI ⇒ 2√3 2=4.BI ⇒ BI= √3 ⇒

BC= 2√3

Bài 27 trang 115 : Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB,

AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến AB, AC theo thứ tự ở D và E Cmr chu vi tam giác ADE bằng 2AB

GT (O) ; AB, AC là tiếp tuyến

MD, ME là tiếp tuyến

KL CADE=2AB

Cm :

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : AB=AC, DM=DB, EM=EC

⇒ CADE=AD+AE+DE=AD+AE+DM+EM=AD+AE+DB+EC=(AD+DB)+(AE+EC)=AB+AC=2AB

Bài 30 trang 116 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB(Ax,

By, nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mp bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D Cmr :

a) COD=90o

b) CD=AC+BD

c) Tích AC.BD không đổi

GT (O) ; AB là đường kính ; Ax, By AB ; MC, MD là tiếp tuyến

KL a COD=90o

b CD=AC+BD

c AC.BD không đổi

Cm :

a Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : O1=O2, O3=O4

Ta có : O1+O2+O3+O4=180o ⇒ 2O2+2O3=180o ⇒ O2+O3=90o ⇒ COD=90o

b Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : MC=AC, MD=BD

⇒ CD=MC+MD=AC+BD

c Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : MC=AC, MD=BD

⇒ AC.BD=MC.MD=MO2=R2

Bài 31 trang 116 : Cho

Δ

ABC ngoại tiếp đường tròn (O) Cmr : 2AD=AB+AC-BC

GT Δ ABC ngoại tiếp (O)

KL 2AD=AB+AC-BC

Cm :

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : AD=AF, BD=BE, CE=CF

⇒ AB+AC-BC=AD+BD+AF+ CF-BE-CE=(AD+AF)+(BD-BE )+(CF-CE)=2AD

Bài 36 trang 123 : Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O) đường kính OA

a) Xác định vị trí tương đối cuả hai đường tròn

b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C Cmr : AC=CD

GT (O) bán kính OA ; (O’) đường kính OA Dây AD của (O) cắt (O’) tại C

KL a Xác định vị trí tương đối của (O) và (O’)

b AC=CD

Cm :

a Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong

b Vì OA là đường kính nên O’C= 12 OA ⇒ Δ COA vuông tại C hay OC là đường cao của Δ

cân OAD nên cũng là đường trung tuyến hay AC=CD

Bài 37 trang 123 : Cho hai đường tròn đồng tâm (O) Dây AB của đường tròn lớn cắt bán kính

OA đường tròn nhỏ ở C và D Cmr : AC=BD

GT Hai đường tròn tâm (O)

Dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại C và D

KL AC=BD

Cm :

Kẻ OI AB ⇒ IA=IB, IC=ID ⇒ AC=BD

Bài 39 trang 123 : Cho đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC (B

(O), C (O’)) Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuến chung ngoài BC ở I

a) Chứng minh rằng BAC=90o

b) Tính số đo góc OIO’

c) Tính BC, biết OA=9cm, O’A=4cm

GT (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Các tiếp tuyến chung BC, AI

OA=9, O’A=4

KL a.BAC=90o

b Tính OIO’

c Tính BC

Cm :

a Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : AI=BI=CI ⇒ Δ BAC vuông tại A ⇒ BAC=90o

b Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : IO là tia phân giác của góc AIB, IO’ là tia phân giác của góc AIC Mà AIB kề bù với AIC nên IO IO’ hay OIO’=90o

c Xét Δ vOIO’ có AI là đường cao nên : IA2=OA.O’A=9.4=36 ⇒ IA=6

Xét Δ vBAC có AI là đường trung tuyến nên : BC=2IA=2.6 =12