Thể tích của thể lồi trong rn

Trong lĩnh vực lý thuyết định lượng các tập lồi có một vấn đề có ý nghĩa quan trọng về phương diện độ đo, đó là vấn đề thể tích của thể lồi.. Cách thức xây dựng khái niệm và các tính chấ

Chương 1 Hàm đánh giá trên một họ các tập hợp 5

2.1 Thể tích sơ cấp và độ đo Jordan của hộp, đa hộp 16 2.2 Thể tích và độ đo Jordan của thể lồi 17

2.3 Một số tính chất đặc trƣng của thể tích 21 2.4 Bất đẳng thức Brunn- Minkowski 29 2.5 Một số ứng dụng của bất đẳng thức Brunn- Minkowski

35

2

LỜI MỞ ĐẦU

1 “Hình học lồi” là một hướng quan trọng trong hình học, được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu Tập lồi là khái niệm toán học có nhiều ứng dụng trong hình học, giải tích và nhiều ngành khoa học khác Các kết quả tổng quan về tập lồi đã được các nhà toán học như Frederick A Valentine, L Klee, C.Caratheodory, H Minkowski trình bày ([1], [2], [3], [7]) Các vấn đề định tính như: cấu trúc các tập lồi, các quan hệ giữa chúng, giao của các tập lồi, tính hội tụ của dãy tập lồi đã được nhiều tài liệu và giáo trình cơ sở đề cập đến

Song song với lý thuyết định tính các tập lồi, vấn đề định lượng các tập lồi cũng được quan tâm Trong lĩnh vực lý thuyết định lượng các tập lồi có một vấn

đề có ý nghĩa quan trọng về phương diện độ đo, đó là vấn đề thể tích của thể lồi Cách thức xây dựng khái niệm và các tính chất của thể tích các thể lồi được xuất phát từ khái niệm và các tính chất của thể tích hộp và đa diện lồi

2 Trên cơ sở tham khảo các tài liệu tham khảo có thể có được trong điều kiện hiện nay, trong đó tài liệu tham khảo chính là [6], luận văn trình bày một số vấn đề về hàm đánh giá trên họ các thể lồi trong không gian Euclide Ed, trình bày cách xây dựng khái niệmthể tích của thể lồi, các tính chất cơ bản của thể tích của thể lồi và một số bất đẳng thức cổ điển về thể tích các thể lồi Các kết quả này đã

có trong tài liệu tham khảo theo các mức độ khác nhau, trong đó có nhiều tính chất, định lý, hệ quả không được chứng minh hoặc chỉ được chứng minh sơ lược

3 Nội dung luận văn gồm 2 chương

Chương 1 Trình bày các vấn đề về hàm đánh giá, như là các ý tưởng chung nhất về độ đo Nội dung chính của Chương 1, phần thứ nhất, trình bày các khái niệm, một số tính chất cơ bản của hàm đánh giá trên không gian các hộp và không gian các đa diện lồi

Chương 2 Trình bày vấn đề thể tích của thể lồi Đầu tiên, luận văn trình bày vấn đề thể tích của đa hộp, thể tích của đa diện lồi Cuối cùng luận văn trình bày bất đẳng thức cổ điển Brunn- Minkowski về thể tích của các thể lồi, sự mở rộng bất đẳng thức này cho tập không lồi và một số ứng dụng của nó

3

Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học, tận tình, chu đáo của thầy giáo PGS.TS Phạm Ngọc Bội Nhân dịp hoàn thành luận văn, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn tận tình trong quá trình học tập và nghiên cứu Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Vinh, các bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã có cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng năm 2012

Tác giả

E int A: phần trong của tập hợp A

lin {a, b, ,c}: không gian tuyến tính sinh bởi a, b, ,c convA: bao lồi của tập A

Sd-1: mặt cầu đơn vị trong Ed

Bd-1: hình cầu trong Ed

[a, b]d: = [a, b]  [a, b]: hộp trong Ed

V(C): Thể tích của C

S(C): Diện tích bề mặt của C

5

II NỘI DUNG LUẬN VĂN

CHƯƠNG I HÀM ĐÁNH GIÁ TRÊN MỘT HỌ CÁC TẬP HỢP

1.1 Một số khái niệm cơ bản

1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp L Giả sử trên L có quan hệ thứ tự ≤

Với A, B thuộc L, ký hiệu AB = inf{A, B}, AB = sup{A, B} Nếu tập L có

tính chất với hai phần tử bất kỳ A, B thuộc L, AB và AB thuộc L thì ta nói L

là dàn và ký hiệu dàn này là (L, , )

Xét một họ các tập hợp L với quan hệ thứ tự trên L là quan hệ bao hàm,

ta xây dựng được dàn các tập hợp mà các phép toán của dàn là giao và hợp Có thể định nghĩa trực tiếp như sau: Nếu với hai phần tử bất kỳ A, B mà AB và

AB cũng thuộc L khi đó L được gọi là một dàn, ký hiệu là (L, , )

Giả sử S là một họ các tập hợp Nếu tồn tại họ L(S) chứa S sao cho (L(S),

, ) lập thành một dàn, ta gọi L(S) là dàn sinh bởi S

1.1.2 Định nghĩa Cho không gian Euclide d chiều Ed Một tập hợp C

Ed được gọi là tập lồi nếu cùng với hai điểm bất kỳ x, y  C, x ≠ y, đoạn thẳng [

x, y ] = {x + (1 -  )y | 0 ≤  ≤ 1} chứa trong C

Cho tập S  Ed Tập lồi nhỏ nhất trong Ed chứa S được gọi là bao lồi của S

Tập C  E d được gọi là tập affine nếu cùng với hai điểm bất kỳ x, y  C,

x ≠ y, kéo theo x + (1-)y  C ,  ℝ Cho tập S  E d, tập affine bé nhất chứa

S được gọi là bao affine của S, ký hiệu là aff(S) Số chiều của aff(A) được định nghĩa là số chiều của A, ký hiệu là dim(A)

1.1.3 Định nghĩa Một tập lồi, compact trong Ed được gọi là thể lồi

(convex body) Ta ký hiệu C(Ed), hoặc C là tập hợp tất cả các thể lồi trong Ed

Một tập trong Ed được gọi là chân chính (proper) nếu phần trong của nó

khác rỗng Ta ký hiệu Cp(Ed), hoặc Cp là tập hợp tất cả các thể lồi chân chính trong Ed.

1.1.4 Định nghĩa Giả sử S là một họ các tập hợp, S được gọi là có tính

chất giao nếu C D,  S thì C  D  S

6

1.1.5 Ví dụ Không gian C gồm tập hợp tất cả các tập lồi của E có tính giao

1.1.6 Định nghĩa

Trong Ed, với hệ toạ độ đã cho Tập hợp H gồm các điểm x trong E d được gọi

là siêu phẳng nếu toạ độ (x1, , xd) của x thoả mãn phương trình b1x1 + + bdxd

= , trong đó  ℝ và b1, , bd không đồng thời bằng 0, thuộc ℝ Tập hợp các

Siêu phẳng H được gọi là siêu phẳng tựa của tập lồi C nếu HC  và C 

H+ hoặc C  H- Nếu C  H+ (tương ứng C  H-) thì H+

(tương ứng C  H-)

được gọi là không gian tựa của C

Cho C là thể lồi trong Ed, hàm số xác định như sau: hC(u) = sup{ <u,y> | y

C}, với mỗi u Ed\0 được gọi là hàm tựa

1.1.8 Định nghĩa

a) Giao của một số hữu hạn nửa không gian đóng được gọi là tập lồi đa

diện Một tập lồi đa diện vừa là nón được gọi là nón lồi đa diện

b) Bao lồi của hữu hạn điểm được gọi là đa diện lồi

c) Bao lồi của k+1 điểm độc lập affine a0, ,ak trong Ed được gọi là k-đơn

hình (k-simplex) hoặc đơn hình; các điểm a0, ,ak được gọi là đỉnh (vertex) của

đơn hình

1.1.9 Định nghĩa d) Với hệ toạ độ trực chuẩn đã cho trong Ed, tập hợp B

gồm các điểm x trong E d được gọi là hộp nếu (x1, , xd) của nó thoả mãn: ai ≤ xi

≤ bi, với ai ≤ bi, i = 1, , d Độ dài cạnh là  i- i, i  1, ,d Ký hiệu

a) B(Ed), hoặc vắn tắt hơn: B là không gian tất cả các hộp trong Ed

Dàn sinh bởi B đƣợc gọi là dàn đa hộp và ký hiệu L(B), ta còn gọi là không

gian L(B) Mỗi phần tử của L(B) đƣợc gọi là đa hộp Dàn sinh bởi P đƣợc gọi là

dàn đa diện lồi và ký hiệu L(P) hay không gian L(P)

1.1.10 Định nghĩa

Đường kính của thể lồi C trong Ed

đƣợc ký hiệu là diam(C), định nghĩa nhƣ sau: diam(C) = sup {|| x – y || | x, y C}, trong đó || || là hàm chuẩn trong Ed

Metric Hausdorff dH trên Ed đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

1.1.12 Định nghĩa Một phép biến đổi của d

E , bảo tồn khoảng cách giữa

hai điểm bất kỳ đƣợc gọi là một phép đẳng cự Một phép phép đẳng cự mà ma trận biểu diễn của nó có định thức bằng 1 đƣợc gọi là một phép dời

1.1.13 Định nghĩa Họ các tập hợp A1, Ak ®-îc gäi lµ một phân hoạch

của tập hợp A nếu A là hợp của các tập A1, Ak và hai tập bất kỳ trong số các tập A1, Ak không có chung điểm trong

1.1.14 Định nghĩa Cho tập lồi C  En, hàm số f :C đƣợc gọi là

1.2.1 Định nghĩa Giả sử S là một họ các tập hợp Một hàm thực  trên S

đƣợc gọi là hàm đánh giá trên S nếu:

1.2.2 Công thức bao hàm - loại trừ

Giả sử (L, , ) là một dàn các phép toán của dàn là giao và hợp Ta gọi ánh

xạ  : L  là hàm đánh giá nếu  thỏa mãn:

Công thức (1) hoặc (2) đƣợc gọi là công thức bao hàm - loại trừ (Inclusion -

Exclusion fomula), viết tắt là công thức (Inc-Exc) Hàm  có tính chất (1) hoặc

(2) đƣợc gọi là thỏa mãn công thức bao hàm loại trừ trên ℝ

1.2.3 Sự thác triển hàm đánh giá

1.2.3.1 Điều kiện cần để thác triển hàm đánh giá

Giả sử L là họ các tập có tính chất giao và  : S  là 1 hàm đánh giá

Vấn đặt ra là có thể mở rộng trên dàn L(S) sinh ra bởi S Vì S có tính chất giao nên L(S) bao gồm mọi giao có đƣợc của hữu hạn tập của S

9

Nếu  có thể mở rộng thành hàm đánh giá trên L(S) thì sự mở rộng này thỏa mãn công thức bao hàm - loại trừ (Inc –Exc) trên L Suy ra hàm đánh giá trên S phải thỏa mãn công thúc này trên một họ có tính chất giao trên S

:S→ ℝ là một hàm đánh giá Khi đó các khẳng định sau tương đương:

(i)  thỏa mãn công thức bao hàm- loại trừ (Inc – Exc) trên S

(ii)  có mở rộng duy nhất thành hàm đánh giá trên L(S)

Để chứng minh (6) trước hết chứng minh mệnh đề sau:

(7) Giả sử L là tập hợp hữu hạn không rỗng khi đó

Do định nghĩa của  trên L(S) và I={1} nên (8) đúng với m=1.

Giả sử m >1 và (8) đúng với m-1 Khi đó

12

{ 2 , , } {1 , , }

1 1 {1 , , }

1 1 {1 , , } { 2 , , } {1 , , }

{1 , , }

{ 2 , , } {1 , , }

13

1

{1} { 2 , , } {1 , , }

{ 2 , , } {1 , , } {1 , , }

1

{1} { 2 , , } {1 , , }

1.2.3.3 Định lý (về sự thác triển hàm đánh giá trên dàn đa hộp và dàn

đa diện lồi) Nếu  là hàm đánh giá trên B (tương ứng P) thì  thỏa mãn công

thức bao hàm - loại trừ trên B (tương ứng P) Vì vậy có mở rộng duy nhất  trên

dàn đa hộp L(B), (tương ứng trên dàn đa diện lồi L(P))

Chứng minh

14

Dễ thấy chỉ cần chứng minh cho L(P) Theo Định lý 1.2.2.3 ta chỉ cần chứng

minh  thoả mãn công thức (Inc-Exc) trên P:

(10) Giả sử P P, 1, ,P m  P E( d) sao cho P  P1   P m. Khi đó:

Ta chứng minh (10) bằng phương pháp quy nạp theo d và m

(10) thỏa mãn tầm thường khi d = 0,1,… , và m =1 và với d = 0 và m = 1,2… Giả sử d > 0 và m > 1, (10) thoả mãn với số chiều không gian thuộc tập { 0,1,…., d-1} và thỏa mãn với số đa diện lồi thuộc tập {1,2,….,m-1}

Các bước chứng minh (10) thỏa mãn trong các trường hợp sau:

(i) Một trong các đa diện P1, ,P m có số chiều nhỏ hơn d, chẳng hạn P m (ii) Một trong các đa diện P1, ,P m trùng P, chẳng hạn P1

Trong trường hợp i Nếu P có số chiều nhỏ hơn d , (10) thỏa mãn giả thiết quy nạp

Vì vậy ta giả sử P có số chiếu bằng d Khi đó trong mỗi trường hợp (i), (ii) ta

có Q  P1   Pm -1P và P = Q (chú ý rằng P lồi) Vì vậy P = Q  Pm vì  là hàm đánh gía nên:

(11)  (P)   (Q)   (P m)   (Q  P m)

Vì Q = P1   Pm -1 và Q  Pm = ( P1 P )m   ( Pm  Pm -1) Và (10) thỏa mãn với d và m-1 theo giả thiết quy nạp (11) kéo theo (10)

Trong trường hợp ii Nếu P1có số chiều nhỏ hơn d hoặc trùng với P thì (10) thỏa mãn Do đó chúng ta giả sử rằng P1có số chiều d và là đa diện con thực sự của P Bây giờ ta làm như sau: Rõ rằng P1 có các mặt cắt int P Giả sử H là siêu phẳng chứa P1, H  và H- là hai nửa không gian xác định bởi H Nếu H-  P1 thì

P  H   P P  H   P P  P  P P Vì  là một hàm đánh giá nên chúng ta có:

(12)  (P)  (P )  (P )  (P P ).

d im P d và d im (P  P)  d Như vậy trong trường hợp (i), từ giả thuyết

phép quy nạp chứng tỏ rằng (7) thỏa mãn cho  (P )

và  (P  P ) Thì (12) và (13) kéo theo:

Bởi sự xây dựng, P1  P1  P Nếu P1  P , thì (13) và trường hợp (ii) cho

thấy vế phải của (14) là 0 và (10) thỏa mãn Ngược lại, nếu P1  P, có số chiều d,

là hình đa diện con thực sự của P, khi đó chúng ta tiếp tục lặp lại quá trình trước

đó Sau hữu hạn bước, ta đưa đến tình huống sau:

Áp dụng trường hợp (ii), ta thấy vế phải của (15) là 0

Những lập luận trên khẳng định (10) là đúng Định lý được chứng minh

16

CHƯƠNG II THỂ TÍCH CỦA THỂ LỒI

2.1 Thể tích sơ cấp và độ đo Jordan của hộp, đa hộp Thể tích là một trong những khái niệm trung tâm trong hình học lồi, đóng một

vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học Lý thuyết về thể

tích là một phần riêng của hàm đánh giá Trong phần này, ta định nghĩa khái niệm

thể tích sơ cấp của hộp, còn gọi là độ đo Jordan và thiết lập một số tính chất của

chúng

2.1.1 Thể tích sơ cấp của hộp

Tất cả các đối tượng hình học nói trong luận văn này xét trong không gian

Euclide d – chiều Ed

2.1.1.1 Định nghĩa Thể tích sơ cấp, còn gọi là d-thể tích, hay gọi tắt

là thể tích V trên không gian các hộp B được định nghĩa bởi:

( ) ( i i)

i

V B      với B  {x : i  x i  i}  B

Dễ dàng đưa tới các công thức sau đây để tính toán thể tích của các hộp Ký

hiệu ℤd là tất cả các điểm trong d

E , có tọa độ nguyên và  là hàm đếm (hay hàm lực lượng của tập hợp) Khi đó:

(1) ( ) lim 1 # ( 1 d) lim 1 # (in t 1 d)

17

e) V(B) ≤ V(C), với B B, C  B, B  C (tính chất không giảm)

f) Liên tục theo tôpô sinh bởi mêtric Hausdoff

2.1.2 Thể tích sơ cấp của đa hộp

2.1.2.1 Xây dựng khái niệm thể tích sơ cấp của đa hộp

Thể tích sơ cấp V trên không gian B của các hộp là một hàm đánh giá Định

lý 1.2.3.3 chỉ ra rằng nó có thác triển duy nhất thành hàm đánh giá V trên không gian đa hộp L(B); hàm đánh giá được thác triển như vậy được gọi là thể tích sơ

cấp, gọi tắt là thể tích trên L(B) Thật vậy, mỗi đa hộp A có thể được biểu diễn dưới dạng:A  B1  B m

Trong đó B i là các hộp mà từng đôi không có chung điểm trong Sử dụng công thức bao hàm – loại trừ cho B trong L(B) và tính đơn của V trên L(B), ta có:

Dễ dàng chứng minh được kết quả sau:

2.1.2.2 Mệnh đề Thể tích trên L (B) có tính đơn, cộng tính, thuần nhất cấp d, bất biến phép tịnh tiến, không giảm

2.2 Thể tích và độ đo Jordan của thể lồi

2.2.1 Định nghiã Một tập d

J  E được gọi là đo được Jordan, đo được

Riemann hoặc đo được Peano nếu

s u p {V (A) : A L B( ) ,A  J}  i n f {V (B) : B  L B( ) ,J  B}

Khi tập J đo được Jordan thì giá trị chung của sup, inf được xác định như trên

được gọi là thể tích hoặc độ đo Jordan của J, ký hiệu là V(J)

Từ nay về sau ta luôn luôn sử dụng ký hiệu V cho thể tích Trong không gian 2-chiều, thể tích thường được gọi là diện tích, đôi khi ta viết A(J) cho V(J)

Trong phần tiếp theo chúng tôi chứng minh rằng thể lồi đo được Jordan

2.2.2 Định lý Một thể lồi đo được Jordan

Nhắc lại ký hiệu C là tập hợp tất cả các thể lồi trong Ed, ký hiệu J là tập hợp tất cả các tập đo được Jordan trong Ed, khi đó Định lý trên được viết gọn ở dạng:

Điều này kéo theo C là độ đo Jordan

Trường hợp thứ 2, C không có điểm trong Rõ ràng C chứa trong siêu phẳng

Do C compact, nó có thể phủ được bởi đa hộp với thể tính nhỏ tùy ý Như vậy C

là đo được Jordan với V(C)=0

2.2.3 Định lý Thể tích trên C có tính đơn, thuần nhất cấp d, không giảm, liên tục theo tôpô sinh bởi mêtric Hausdoff, bất biến đối với phép đẳng cự

Chứng minh Đầu tiên chúng ta chứng tỏ:

(4) V là hàm đánh giá trên C

Giả sử C D,  C sao cho C  D  C để chứng minh (4) ta chứng minh công thức:

(8) V là thuần nhất cấp d và không giảm,

suy ra từ tính chất tương ứng của V trên L(B)và định nghĩa của độ đo Jordan trên