Khóa luận tốt nghiệp toán Tập lồi trong Rn và một số bài toán hình học

Có thể nói nghiên cứu về tập lồi là một đề tàithú vị, nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học.Với mongmuốn nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu phương pháp giải cácbài toá

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

Để hoàn thành được bài khóa luận với đề tài: “ T ậ p l ồ i t r o n g i?"

ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong tổ Hình học, các thầy cô giáo khoaToán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trongsuốt thời gian qua

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo: T H S GVC P HAN

kiến quý báu để em có thể hoàn thành bài khóa luận này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiếnthức của bản thân nên chắc chắn đề tài này không ừánh khỏi những thiếusót Vì vậy em rất mong nhận được sự cảm thong và những ý kiến đóng gópcủa thầy cô, các bạn sinh viên để bài khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên thực hiện

Liêu Thị Phưomg

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của em trong quá trình họctập và nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán, đặcbiệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo - Th.s, GVC P HAN H ỒNG

MỤC LỤC

I

II

III I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

IV Lý thuyết về tập hợp lồi ừong toán học là một phần khôngthể thiếu của hình học Nó có rất nhiều ứng dụng và có vị trí quan trọngtrong hình học, có liên quan hầu hết các ngành toán học như: Giải tíchlồi, toán kinh tế, hình học Có thể nói nghiên cứu về tập lồi là một đề tàithú vị, nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học.Với mongmuốn nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu phương pháp giải cácbài toán hình học hay hơn, thú vi hơn, nhằm bổ xung kiến thức cho bản

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu И hơn các kiến thức về tập lồi

- Làm rõ ứng dụng một số tính chất của tập lồi trong không giantrong giải một số bài toán hình học

3 Đối tượng, phạm vỉ nghiên cứu

- Đối tương nghiên cứu: Kiến thức về tập lồi

- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán của hình học giải bằng cách

sử dụng một số tính chất của tập họp lồi

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày cơ sở lý thuyết về tập hợp lồi và một số tính chất

- Nêu một số phương pháp giải bài toán của hình học bằng sử dụng

tính chất của tập hợp lồi

5 Các phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu sử dụng các công cụ toán học

- Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu có liên quan

5

II NÔI DUNG CHƯƠNG 1 TẬP HỢP LỒI

1.1 Môt sổ kiến thức bổ trơ

x2(khi À^O) và những điểm ứng với À-( A, e (0 , 1 ))

VIII Hai điểm Xi, x2 gọi là 2 mút của doạn thẳng Xi, x2, những điểm khác cả đoạn thẳng X1 X2 gọi là ở giữa Xi và x2

• Cho m + 1 điểm độc lập P0, Ta biết rằng m phẳng a đi

IX qua m + 1 điểm đó gồm những điểm M sao cho( với điểm o nào đó)

X

XI

XII Tập họp đó gọi là rn đơn hình với các đính P0, P!, ,Pm và kí hiệu:

XIII S(Po, Pi, ,?!!!).

• Cho m+1 điểm độc lập P0, Pi, ,Pm Tập họp những điểm M sao cho:

XVI i=0XVII được gọi là m_hộp

XVIII 3

6

XXIII A, B là tập lồi Còn c, D không phải là tập lồi.

• [xi,x2 ], m_hộp, m_đơn hình là tập lồi

• Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi

• Mỗi m_phẳng a trong không gian afin thực A là tập lồi vì nếu 2 điểmP,Q là 2 điểm phân biệt thuộc A thì tất cả đường thẳng PQ thuộc a, do

XXV.

1.3.2 Đinh lí: Giả sử tập A lồi, Xi, х2, ,хщ e A Khi đó A chứa tất cả các

1.4 Bao lồi và bao lồi đóng

1.4.1 Bao lồi:

gọi là bao lồi của tập A Kí hiệu: coA

• Ví dụ: Trong R2 cho B(0, R) = { X : D (о, X ) < } Khi đó:

XXVI coB(0, 1) = B(0, 1)

• Nhận xét: - coA là tập lồi nhỏ nhất chứa A

- A lồi А = coA

• Hệ quả: Tập A lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ họp lồi của A

1.4.2 Bao lồi đỏng:

được gọi là bao lồi đóng cả tập A Ki hiệu CO A

• Nhận xét: CO A là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A

i) Phần trong intA và bao đóng A của A là các tập lồi

ii) Nếu Xi G intA, x2 £ A thì :

XXVII [xb x2) ={ ẰXi + (1 - Ằ)x2 : 0< Ả < 1} Œ intA.XXVIII.Nếu intA Ф 0 thì: A = int Л

XXIX int А = int A

lồi của A, tức là:

XXX со А = со А.

• Giả sử tập A D Rn đóng và bị chặn Khi đó coA đóng

XXXI Nghĩa là: coA = CO A

XXXVII Giả sử к„ (а e I ) là các nón lồi có đính tại x0 với tập

I là tập chỉ số bất kì Khi đó PỊẩ' „ là nón lồi có đỉnh tại x0

1.5.3 Nón lồi sinh bỏi môt tâp

XLI Giao tất cả các nón lồi (có đính tại 0) chứa tập A và điểm 0 là một nón lồi và được gọi là nón lồi sinh bởi tập A Kí hiệu: KA

• Đ ị n h lí: Giả s ử A c R", А Ф0, KA là nón lồi sinh bởi tập A Khi đómỗi điểm X G KA, X Ф 0 có thể biểu diễn dưới dạng:

XLII X = A4 X1 + +A,mxm với Ai> 0,

Xi G A (i = 1 ra), хьх2, -Дт độc lập tuyến tính( m < n)

1.5.4 Đinh nghĩa bao tuyến tính:

XLIII Giao tất cả các không gian con tuyến tính chứa tập A được gọi

là bao tuyến tính của tập A Kí hiệu: linA

• Đ ỊNH NGHĨA '. Tập А с R" được gọi là tập affine nếu:

XLVII (1- X,)x + Х У eА ( Vx,y GA, VA, G R )

• Nhận xét: Nếu A là tập affine thì với a G R",

XLVIII A + a ={ X + a: X G A} là tập affine

• M ỆNH ĐỀ : Tập м с R“ là không gian con khi và chỉ khi M là tậpaffine chứa 0

• Hai tập affine song song’.

XLIX Tập affine A được gọi là song song với tập affine M nếu 3

LII L = A - A ={ X - у: X G A, y G A}.

* Giả sử / ? G R , 0 Фb ERn Khi đó, tập H = {x e Rn: ( X , B ) = SS }

LIII là một siêu phẳng ừong Rn Hơn nữa, mọi siêu phẳng đều có thể biểudiễn duy nhất bằng cách này

* Giả sử В là m X n_ma trận, b £ Rn Khi đó tập hợp:

LIV M ={x ỄR" : Bx = b } là affine trong Rn và mọi tập affine đều

có thể biểu diễn dưới dạng trên

• Hệ quả: Mọi tập affine A trong R" là tương giao của một số hữu hạncác siêu phẳng

• Chiều của tập affine:

LV Chiều của một tập affine không rỗng được định nghĩa là chiều của không gian con song song với nó

• Quy ước: dim 0 = -1

• Đ ỊNH NGHĨA : Tập affine ( n - 1) chiều trong Rn được gọi là một siêuphẳng

1.6.2 Bao affine và tồ hot) affine:

• Các định nghĩa:

LVI Đinh nghĩa 1: Giao của tất cả các tập affine chứa tập A c= Rn được gọi

là bao affine của A, kí hiệu: AFF A.

LVII Đinh nghĩa 2: Điểm X e Rn được gọi là tổ họp affine của các điểm

A FF { bo, bi, ,bm } là m chiều

* bo, bb ,bm độc lập affine <=> br b0 bm-b0 độc lập tuyến tính Khi đó:

■ b0, bi, ,bm độc lập affine nếu

LXIV

LXV

LXVI Các số X o , A , i Ằ m như thế được gọi là tọa độ trọng tâm của

X Đinh nghĩa 4: Bao lồi k+1 điểm độc lập affine b0, bb ,bm được gọi là đơn hình k chiều

LXVII Các điểm bo, bi, ,bm được gọi là đỉnh của đơn hình

LXVIII ■ Định lí: Giả sử s là đơn hình n_chiều ừong R" với các đỉnh

bo, bi, ,bm Khi đó ints Ф 0

LXIX.Định nghĩa 5: Chiều của tập lồi A là chiều của AFF A.

LXX Định nghĩa 6 : Giả sử A cR" là tập lồi Khi đó dimA là cực đại củachiều các đơn hình trong A

1.7 Phần trong tương đối

• Định nghĩa: Phần trong tương đổi của tập A cR" là phần trong

của A trong af fA, kí hiệu là riA.

LXXI Các điểm thuộc riA được gọi là điểm trong tương đối của tậpA

• Nhận xét: Ai D А2 Ф riAi A riA2

LXXII intA = {x GR n : 3í> о, X + íB cA}.

LXXIII riA = {x € a f f A : 3 £ > 0, (x + £B) r ^ a f f Œ A } (Trong đó

В là hình cầu đơn vị đóng trong R" )

• Các đỉnh lí:

• Giả sử A là tập lồi trong R", X €= ri A, y G Ã. Khi đó:

LXXV (1- X )x + X y G riA , Vx É [0,1]

LXXVI Hệ quả: Giả sử A là tập lồi trong R" Khi đó riA lồi

• Giả sử A là tập lồi trong Rn Khi đó:

LXXVII aff(Ã) = affA.

• Giả sử A là tập lồi trong R" Khi đó, riA Ф 0 và:

LXXVIII aff{ riA) = affA

LXXIX Hệ quả: Giả sử A là tập lồi trong R"

Khi đó: a//(riA)=a//(Ã) dim à = dim( riA ) = dimA

LXXX ( nếu А Ф 0 ^ riA Ф 0)

• Giả sử A là tập lồi trong R" Khi đó: RỈ A= A

LXXXI ri à = riA

LXXXII Hệ quả: Giả sử Al, A2 là tập lồi ừong Rn Khi đó:

LXXXIII = Ã 2 <^riAi = riA 2

kì Khi đó: A = (J chưa chắc đã là tập lồi

LXXXVII ( Hình ảnh minh họa cho hai tập loi A, B)

VII

* V í d ụ : Cho А, в là các tập lồi Với А = {а}, в là hình tròn tâm 0 bán kính R.

LXXXIX Khi đó: A LJ В không phải tập lồi vì nếu lấy E e a, E e в

thi EF Ể A ^JB

XC

• T ÍNH CHẤT 3: Giả sử Ai czR” là những tập lồi, Ai e R (i = l.m) Khi đó:

XCI AiAị là tập lồi.

• Định lý Kelly trong không gian 1 chiều R 1 :

cho n hình lồi ( n > 3) Biết rằng giaocủa hai

XCVIII khác rỗng

C Ta thấy hình lồi trên đường thẳng chỉ có thể là đoạn thẳng [ A , B ],

VIII

CI khoảng (a, b), hay [a; b), (a; b].(ở đây a có thể là -QO, b có thể là+00 ).

CII Ta chỉ xét với các hình lồi là các đoạn thẳng, các trường họp còn lại chứng minh tương tự

CIII Giả sử có n đoạn thẳng [ai; bị], i = ŨI có tính chất sau: Bất kì giao của hai đoạn thẳng nào trong chúng cũng khác rỗng, tức là:

CIV [ai; bi] n [aj; bj] *0, Vi ^j

CV Ta sẽ chứng minh: Pl

CVI Ta chứng minh bổ đề sau:

CVII [ai; bi] n [aj; bj] *00 min{bi, bj} > min{ai,aj}

CVIII Thật vậy: Giả sử [ai; bi] n [aj; bj] *0 , Khi đó 3c £ [ai; bi] n [aj; bj]CIX ^{atVc% hay

CX.Đảo lại, Giả sử m a x ỊAẺ; <2 ; Ị < m i n ỊBỊ ; BJ Ị Khi đó ta có thể

chọn c sao cho NAAXỊA ^ A ^^ C ^ N À NỊB ^ B ^. (1 )CXI Từ (1) suy ra DỊ < C < BỊ => c e [ai; bi]

CXII.a j < c < b j =>c e[aj;bj]

CXIII.=> [aiỉ bi] n [Ọj; bj] *0 Bổ đề được chứng m i n h

CXIV Từ bổ đề trên suy ra nrin^ > maXA T

CXV , suy ra tồn tại c sao cho:

CXVI Ì < I < N 1 <ị<7 íCXVII miĩibị >c>maxa,

CXVIII 1 < I < N 1 </<«

CXIX =>c G [ai; bị], V i = ŨI hay Pl

CXX Định lí kelly trong không gian 1 chiều được chứng minh.CXXI *Định lí Kelly trong không gian 2 chiều R 2 :

CXXII Trong mặt phẳng cho n hình lồi (n >4) Biết rằng giao của bahình lồi bất kì trong chúng khác rỗng Khi đó giao của n hình lồi cũng khácrỗng.

CXXVIII CÓ hai trường hợp xảy ra:

không giảm tính tổng quát, giả sử Ai= A2

CXXIX Từ đó suy ra: \ &F l r\F 2 r\F 3 r\F^ nên F ỉ r\F 2 r\F z r\F^ ^0

CXXX Vậy định lí kelly đúng khi n =4

ii) Ai, A2, A3, A4 là 4 điểm phân biệt Khi đó có 2 khả năng sảy

CXXXV Lập luận tương tự suy ra o ễF2, o e F4

CXXXVI Nghĩa là o efl Dođố n í0

-• Bao lồi của chúng là tam giác chứa một

điểm còn lại bên trong

CXXXVII Không giảm tính tổng quát ta có thể

giả sử AA1A2A3 thuộc F4 Vì Ai, A2, A3

đều thuộc F4, mà F4 lồi

CXXXVIII Mặt khác: A Ị E F L nf2 nF3

CXXXIX.=>A4 ep|5 ^0 .Từđó suy ra Pl 5^0

CXL Vậy định lí kelly đúng khi n = 4

Aì

Ai

- Giả sử kết luận của định lí Kelly đúng đến n > 4.

- Ta xét trường họp có n+1 hình lồi, tức có Fl, F2 , ,Fn hình lồi sao cho với bất kì ba hình lồi nào trong chúng đều có giao khác rỗng

CXLVII F N cũng là lồi vì nó là giao của hai hình lồi F N

và F 1 Xét3 hình lồi bất kì F Ị ,F' J , ,P K trong N hình lồi FÌ,F 2 , ,F N

Nếu trong chúng không có Fn' ứiì theo giả thiét:

CL Vậy với hình lồi F[,F 2 , ,Fn ứiỏa mãn điều kiện giao của ba

hình lồi bất kì trong chúng khác rỗng nên theo giả thiết quy nạp suy ra F Ỉ

N F 2 N F N Nghĩa là: F L N F 2 П ПF„nFn+1 Ф 0 Vậy định lí Kelly đúng trong trường hợp N+1 hình lồi

CLI Do đó định lí Kelly đúng với mọi N > 4

* Tổng quát:(Định lí Kelly trong không gian chiều):

CLII Giả SỬ A Ị C I R" , i = 1 M , M > N+1 là các tập lồi Biết rằng giaocủa N+1 tập Ai trong chúng đều khác rỗng Khi đó:

CLIII n

CLIV.□ Một số bài tập ứng dụng:

CLV Trong hình học tổ họp thì định lý Kelly là một trong các định

lý rất quan trọng Định lý này cho ta một điều kiện đủ để nhận biết khi nàomột họ các hình lồi có giao khác rỗng

CLVI Dưới đây là một số bài toán hình học tổ họp liên quan đến tính

giao khác rỗng của các hình lồi

CLVII B à i 1 : Xét không gian R2 Biết rằng có bốn nửa mặt phẳnglấp đầy không gian Chứng minh rằng: Tồn tại ba trong bốn mặt phẳng ấysao cho ba nửa mặt phẳng này cũng lấp đầy không gian

CLXV Vì P Ị lồi nên P Ị cũng lồi với mọi ỉ =1.4

CLXVI Giả sử phản chứng rằng không tồn tại ba nửa mặt phẳngnào trong cácP Ị (ỉ =1.4) mà 3 nửa mặt phẳng này lấp đầy không gian

CLXVII Nghĩa là với mọi i, j, к phân biệt mà i, j, к G {1, 2, 3, 4}thì:

CLXXII Điều giả sử phản chứng là sai Vậy ta có điều phải chứng

CLXXXVIII.Xét hình tròn (A*, R) Do A* epỊ

CLXXXIX Vì vậy hình ừòn (A*, R) cắt hình tròn (Oi, Ri) =>đpcm

rằng cứ với bất kì ba đoạn thẳng nào cũng có một đường thẳng cắt cả bađoạn thẳng ấy Chứng minh tồn tại một đường thẳng cắt cả n đoạn thẳng

đã cho

CXCII.Giả sử có n đoạn thẳng Li (i = Ln) song song trên mặt phẳng.CXCIII Vẽ hệ trục tọa độ Oxy bất kì sao cho trục tung song song với Li(i= En) ( Hình 1)

CXCIV u

CXCV (Hình 1)

'i,ỉ = l.n

CXCVI Với mỗi Li xét tất cả các đường thẳng cắt Li.

CXCVII Các đường thẳng đó có dạng y = aịX + bị ( a 0 ) , ( a i5 b ị s

CCI Cho a thay đổi sao cho a G (-00 , +00 ) thì ta được một dải songsong vô hạn Gọi dải này là Hi, ta thấy Hi là hình lồi ( Hình 3 )

XI.Môi đường thăng như vậy được đặc trưng bởi hai sô (aÌ5 bi)

(Hình2)

XII

CCIII ( Hình 3 )CCIV Như vậy ứng với các đoạn thẳng Li, trong mặt phang Ouv ta

có một hình lồi Hi, V I = ĨJ I

CCV Mỗi điểm (aÌ5 bi) e Hi đại diện cho đường thẳng y = ajX + bi cắt đoạn Lj

CCVI Theo giả thiết bất kì ba đoạn Lị, Lj, Lk, nào cũng có một

đường thẳng cắt ba đoạn ấy

CCVII => Các hình Hi, Hj, Hk, có điểm chung với mỗi bộ ba i j, k.CCVIII.Theo định lý Kelly thì cả n hình Hi, H2 , H n , có điểm chung(a*, b*) Tức, ta có đường thẳng Y = CKX + H là đường thẳng cắt cả N

đoạn

CCIX.Lb L2, , Ln=>đpcm

CCX Bài 4: Cho Ci, i G là một họ tùy ý các tập compac lồi trong M

n.Giả sử với mỗi n+1 tập Ci đều có giao khác rỗng.CMR: Pl

(1 )XIII

CCXIII ĐặtC Ị =R N \C Ị (C Ị là phần bù của Ci ) Theo quy tắcDemorgan thì từ (1 ) ta được:

CCXIV Vì (Jnênvới tậpcompacbất kì C U Vỉ* eZ

(2)

CCXVI Vì không gian là hữu hạn chiều nên do Ci compac ta có Ci

đóng Do đóCCXVII c* mở

CCXVIII Từ (2), suy ra có một phủ hữu hạn phủ C Ị , tức là 3 J = Ì N saocho

CCXXVI B à i 5: Trong mặt phẳng cho n điểm và

CCXXVII kì trong chúng không vượt quá 1

.CCXXIX Giải

CCXXX Vì theo bài ra khoảng cách giữa hai

điểm bât kì trong chúng không vượt quá 1 nên không

có ba điểm nào thẳng hàng

CCXXXI Giả sử các điểm đã cho là M Ị , I — Ì N

CCXXXII Khi đó: ^(A/pA/j) <1 , Vỉ' * Ì

CCXXXIII Xét các hình tròn F Ị - (M Ị,-^), I = L N

V 3CCXXXIV Lấy tùy ý ba điểm, giả sử là Mi, M2, M3

(3)

CCXXXV Chỉ có thể có các trường hợp sau sảy ra:i) M!M2 M3 lập thành tam giác không tù.

CCXXXVI Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác

M1M2M3 có tâm o bán kính R (o nằm ừong tam giác, do tam giác không tù)

CCXXXVII Lại có thể cho là:

nF3 =>F 1 N F 2 RI F 3 ^0ii) Nếu M1M2M3 lập thành tam giác tù

Ì 9^0 Vậy ta có với i, j, k, tùy ý thì F Ị R \F J R \F K 0

Theo định lý Kelly suy ra:

CCLVIII => Hình tròn tâm O bán kính R = chứa M Ị

CCLIX Vậy hình tròn tâm O * phủ N điểm M Ị , Ví=r« (đpcm).CCLX B à i 6 : Trên mặt phẳng có một họ hữu hạn các cạnh tươngứng song song với hai trục tọa độ Chứng minh rằng nếu hai hình bất kìừong chúng có giao khác rỗng thì cả họ có giao khác rỗng

XXII

Gọi I là trung điêm M2 M3 (cạnh lớn nhât)

CCLXI Giải

CCLXII Lấy hệ tọa độ có các trục song song với các cạnh của hình

chữ nhật.CCLXIII bi

CCLXIV Chiếu các hình này lên Ox và Oy Ta có sự tương ứng

CCLXXI Từ đó theo định lý Kelly thipi

CCLXXII Vì thế tồn tại A eQ , tương tự ta cũng chứng minh được tồn tại

CCLXXIV Chứng tỏ: [ A , B*) ePl (đpcm)

a

CCLXXV CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG MỘT SỐ TÍNH CHẤTTẬP LỒI

CCLXXVI • • • TRONG Rn TRONG GIẢI MÔT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HOC

• •

CCLXXVII Hình học là môn học không những đa dang về nội dung

mà cũng rất phong phú về phương pháp giải Để giải một bài toán hình học

có rât nhiều cách,đối với lớp bài toán cho một tập hợp mà tập hợp đã cho làmột tập lồi ta cũng có thể sử dụng định lý Kelly như phần ừên, đó là công cụhữu hiệu để giải các bài toán hình học liên quan đến tính giao khác rỗng củacác hình lồi Ngoài ra ta cũng có thể sử dụng ngay tính chất của tập hợp lồi

để giải chúng Vì tập họp lồi có tính chất cơ bản là khi nó chứa hai điểm thì

nó chứa toàn bộ đoạn thẳng nối hai điểm ấy Đó là tính chất quan trọng củatập họp lồi có thể tận dụng triệt để để giải các bài toán hình học tổ họp.CCLXXVIII Tuy nhiên có những bài toán cho một tập họp nhung tậphọp đó không phải là tập họp lồi, vì vậy ta không thể áp dụng các định lýhay vận dụng ngay các tính chất của tập hợp lồi để giải các bài toán đó Do

đó trong trường hợp này ta có thể dùng phương pháp khác, đó là ta sẽ lấybao lồi của tập hợp đã cho sau đó lại sử dụng các ưu thế của tập lồi để giảiquyết các vấn đề mà bài toán đặt ra

CCLXXIX Việc lấy bao lồi của một tập hợp là có thể được và hợp

lý vì hai lý do sau:

• Thứ nhất, khi cho trước một tập họp A thì bao giờ cũng tồn tại bao lồi

CO A của nó

• Thứ hai, bao lồi CO A là một tập lồi nhỏ nhất chứa A

CCLXXX Như vậy việc lấy bao lồi cho một tập hợp vừa sử dụngtriệt để được tính chất của tập hợp lồi vừa giúp cho bài toán dễ giải hơn.CCLXXXI Dưới đây là một số bài tập: