Ứng dụng của tích phân trong các bài toán về diện tích, thể tích, độ dài đường cong và hệ số tổ hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC LÊ THANH QUANG ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH, ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CONG VÀ HỆ SỐ TỔ HỢP

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

LÊ THANH QUANG

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC BÀI TOÁN

VỀ DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH, ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CONG VÀ

HỆ SỐ TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THANH HÓA, NĂM 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

LÊ THANH QUANG

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC BÀI TOÁN

VỀ DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH, ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CONG VÀ

HỆ SỐ TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn

THANH HÓA, NĂM 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố

Người cam đoan

Lê Thanh Quang

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy giáo, cô giáo đã giảng dạy trong chương trình học của lớp cao học Phương pháp toán sơ cấp – K8 tại trường đại học Hồng Đức, khóa 2015-2017, những người đã giảng dạy và cung cấp những kiến thức khoa học quý báu trong suốt những năm học vừa qua để tôi có nền tảng kiến thức thực hiện luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn người thầy

đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện giúp đỡ tác giả về nhiều mặt trong suốt quá trình thực hiện luận văn để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn của mình

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy giáo, cô giáo làm công tác phản biện đã đọc kỹ luận văn và cho những ý kiến quý giá để luận văn được hoàn thiện hơn Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong khoa Khoa học Tự nhiên trường đại học Hồng Đức đã tạo điều kiện giúp đỡ tận tình trong suốt quá trình tôi học tập tại khoa, tại trường

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã luôn cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Học viên

Lê Thanh Quang

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TÍNH MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN 3

1.1 Bảng nguyên hàm của một số hàm số 3

1.2 Các phương pháp tính tích phân 4

1.2.1 Phương pháp đổi biến số 4

1.2.2 Phương pháp tích phân từng phần 14

1.2.3 Tích phân các hàm phân thức hữu tỉ 19

1.2.4 Tích phân một số dạng hàm có chứa căn thức 27

1.2.5 Tích phân các hàm lượng giác 38

1.2.6 Tích phân liên kết 46

1.2.7 Tích phân truy hồi 49

1.3 Một số bài tập áp dụng 54

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 56

2.1 Tính diện tích hình phẳng 56

2.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y f x  56

2.1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường có phương trình tham số 63

2.2 Tính thể tích khối tròn xoay 66

2.2.1 Phương pháp 66

2.2.2 Một số ví dụ minh họa 69

2.3 Tính độ dài đường cong phẳng 71

2.3.1 Các công thức tính độ dài đường cong phẳng 71

2.3.2 Một số ví dụ minh họa 72

2.4 Các bài toán tổ hợp 74

2.4.1 Một số kiến thức về nhị thức Newton 74

2.4.2 Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân 74

2.4.3 Một số dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân 75

2.5 Một số bài tập áp dụng 86

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 88

TÀI LIỆU THAM KHẢO 89

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học, nó là một trong những đối tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Tích phân được ứng dụng rộng rãi như tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, độ dài đường cong, trong Xác suất, hình học vi phân, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học

Học sinh được bắt đầu làm quen với tích phân từ lớp 12 và được phổ biến trong tất cả các trường Đại học cho khối sinh viên năm thứ nhất và năm thứ hai trong chương trình học Đại cương Hơn nữa các bài toán tính tích phân hầu như luôn có trong các đề thi môn Toán kỳ thi trung học phổ thông quốc gia hiện nay cũng như các kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và thi đại học trước đây

Với tầm quan trọng đó của phép tính tích phân và với mong muốn có thêm một tài liệu tham khảo bổ ích cho các em học sinh và các đồng nghiệp,

tôi chọn đề tài “Ứng dụng của tích phân trong các bài toán về diện tích, thể

tích, độ dài đường cong và hệ số tổ hợp” để làm luận văn tốt nghiệp cho

mình

2 Mục đích của đề tài

Đề tài nhằm mục đích: phân loại chi tiết các dạng tích phân thường gặp

và phương pháp tính các dạng tích phân đó; đưa ra một số ứng dụng của tích phân vào các bài toán về diện tích, thể tích, độ dài đường cong và hệ số tổ hợp, đồng thời phân loại chi tiết từng dạng bài toán thường gặp và phương pháp giải từng dạng

3 Nội dung nghiên cứu

Các phương pháp tính tích phân và ứng dụng của tích phân trong các bài toán về diện tích, thể tích, độ dài đường cong và hệ số tổ hợp

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận; nghiên cứu tài liệu

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, luận

văn gồm 2 chương:

Chương 1 Phương pháp tính một số dạng tích phân

Chương này nhắc lại bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

và trình bày phương pháp tính một số dạng tích phân thường gặp

Chương 2 Ứng dụng của tích phân

Chương này trình bày phương pháp giải các bài toán ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích, thể tích, độ dài đường cong và hệ số tổ hợp

Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TÍNH MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN 1.1 Bảng nguyên hàm của một số hàm số

1.2.1 Phương pháp đổi biến số

1) Phương pháp đổi biến số dạng 1

a) Phương pháp

Cho tích phân b  

a

f x dx

 , phương pháp đổi biến số dạng 1 thực hiện như sau:

 Đổi biến x t với  t là một hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn

 ;  , f  t  được xác định trên đoạn  ;  và   a,  b

* Một số dấu hiệu nhận biết có thể áp dụng

2 0

.2

dx x

I 





Phân tích Biểu thức trong dấu tích phân có chứa căn bậc hai, ta không khử

căn bằng phép biến đổi bình phương hai vế được, ta thử tìm cách biến đổi đưa căn bậc hai về dạng 2

A , khi đó ta sẽ liên tưởng ngay đến công thức:

Khi đó ta có

6 0

.6

2 2

2 2

.2

dx I

dx I

Phân tích Để tính tích phân này ta cần thực hiện phép đổi biến sao cho có

thể làm mất căn bậc hai, ta nhận thấy nếu đặt xacos 2t thì a x

a x



 sẽ trở thành

2 2

Đặt xacos 2t thì dx 2a sin 2tdt với 0;

x a

t  Khi đó ta có

2 2 2

Lời giải Ta khéo léo đổi biến sao cho có thể làm mất căn bậc hai Ta cần

nghĩ đến đổi biến sao cho 2a x trở thành tích của một số với sin t hoặc 2

2

4a tan sin cos dt t t t 2a sin dt t

 , phương pháp đổi biến số dạng 2 thực hiện như sau:

 Đổi biến uu x  với u x là một hàm số có đạo hàm liên tục  

 Biểu thị f x d theo   x t và dt Giả sử f x d  xg t dt 

I  f x d G t

* Dấu hiệu nhận biết

Chúng ta thường áp dụng phương pháp đổi biến số dạng hai khi chúng

ta đổi biến uu x  thì trong biểu thức f x d có chứa   x u x d , khi đó '  x

9 9

2 2

2 2

2 2

xdx du

x





Đổi cận x0 thì u2, x1 thì u 1 2, khi đó ta có

1 2

1 2 2 2

Nhận xét : Có nhiều bài toán tính tích phân khi mới nhìn vào chúng ta thấy rất

khó, song nếu làm đúng hướng thì chúng đơn giản, như trong ví dụ 11 và ví

dụ 12 chúng ta thấy lời giải rất ngắn gọn nhưng mới nhìn vào chúng ta tưởng tượng nó rất là khó

Ví dụ 1.2.1.12 Tính tích phân

 2

ln ln ln

dx I

21

1cos 22

2 2 1

x x

Ta tính tiếp tích phân I1  3x2sinxdx bằng phương pháp tích phân từng phần

Đặt

2sin

Lưu ý Chúng ta có thể làm nhanh như sau :

Biến đổi tích phân đã cho về dạng P x L x dx    udv ta có

degP x degQ x thì ta luôn biến đổi được nó thành tổng của một đa thức

và một phân thức có bậc của tử bé hơn bậc của mẫu

Tùy vào tam thức 2

ax bxc vô nghiệm hay có nghiệm mà ta biến đổi tích phân theo một trong hai dạng sau:



1arctan2

22

 2 2m

dt J

.2

Phân tích Ta nhận thấy hàm số dưới dấu tích phân là một phân thức hữu tỷ

có mẫu số phân tích được thành tích các nhị thức bậc nhất và có bậc của tử bé hơn bậc của mẫu nên ta có thể biến đổi được về dạng

gán cho x một số giá trị đặc biệt để tìm , , A B C Ta nhận thấy, nếu gán lần

lượt x 2;x0;x1 thì một trong các số hạng của tổng

Lần lượt cho x các giá trị x1;x2;x 1;x 2 ta tìm được:

Đặt x 3 2tant thì 2 2

cos

dt dx

 Nếu p thì gọi k là bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số của các phân

số tối giản biểu thị bởi m, n Khi đó ta đổi biến k

a bx

t x

Dạng 7

1 1

, , ,

j j

r r

q q

 với r q1, , , ,1 r q là nguyên dương j j

Gọi k là bội chung nhỏ nhất của các mẫu số q1, ,q , khi đó ta có j

p p

m m

2

p p

m m

n n





Lời giải Ta biến đổi

2 2

dx I





Lời giải Ta đổi biến x 1 1

2

0 0

1 1

2 2

2

12

.1

3

11

3

11

3

1

t t x

t x





 2 2  4 2 

3 t 1 dt 3 t 2t 1 dt

5 33

1

, , ,

j j

r r

q q

Thay lại biến cũ ta được

dt dx

441

dt

t t

C t

Thay lại biến cũ ta được

2 3

a tdt a

Vậy I a tan arccosa arccosa C.

1

     

2 4

1.2.5 Tích phân các hàm lượng giác

a) Các dạng nguyên hàm cơ bản của hàm lượng giác

       

2

sin 1 sin sin

p m

Ta nêu phương pháp tính I , phương pháp tính J tương tự

 Nếu n chẵn n2kthì biến đổi

m k

k h

2 2

Lời giải Ta biến đổi   2 4 1   2 2

1sin 3 2sin 3 sin 3 sin 3

tan 3

.cos 3

7 15

tan 4

.cos 4

tan 4cos 4

I   u  u d u

14 6 4 21

Vậy 1 cos13 cos7 cos15 cos11 cos9 cos5

Xét tích phân dạng I R sin ,cos x x dx

Ta đổi biến số tan 2arctant; 2 2;

t





Lời giải Ta biến đổi 3 sin 2 2 2sin cos 3 2

.sin

b) Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1.2.6.1 ([7]) Tính tích phân

.sin cos

xdx I





lấy tổng và hiệu của I và J thì ta sẽ được các tích phân dễ dàng tính toán

Lời giải Xét tích phân sin

sin cos

xdx J

x dx I

sin 2cos 2

1

1 sin 22

x dx

x x

99 99 0

99 99 0

99 2

99 2

99 99 0

1.2.7 Tích phân truy hồi

Ví dụ 1.2.7.1 ([7]) Cho I n lnn xdx,n Tìm hệ thức liên hệ giữa I và n I n1.

Lời giải Sử dụng phương pháp tích phân từng phần với ulnn x và dvdx

ta có I n xlnn xxdlnn x

11

I  I

12

I  I

2 0 0

I  I

3 1

23

I  I

2 1 0

11 0

n n

213

dx I

Bài 8 Tính tích phân

3

2 1

3 ln

.1

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

2.1 Tính diện tích hình phẳng

2.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y f x 

a) Phương pháp

Dạng 1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong

Bài toán Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đường cong

 C :y f x , trục hoành, các đường thẳng x a và xb

S f(x)>0

b a

y

x 0

S f(x)<0

b a

y

x 0

Dạng 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong

Bài toán Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường

 C y1  f x , C2 :yg x , xa và xb

g(x)

S f(x)

b a

y

x 0

g(x) S f(x)

b a

y

x 0

Bước 1 Giải phương trình f x g x  để tìm các hoành độ giao điểm của

Bài toán 2 Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường

h(x) g(x) f(x)

Bước 1 Giải các phương trình tương giao

để tìm các hoành độ giao điểm

Bước 2 Chia hình S thành các hình không giao nhau mà mỗi hình giới hạn bởi hai trong ba đường      C1 , C2 , C và các đường thẳng đi qua giao điểm 3

và song song với trục tung

Lời giải Ta nhận thấy hình phẳng S được giới hạn bởi một đường cong, trục

Ox và hai đường thẳng x 2 và x4 nên ta có

y

x 0

nên trước tiên ta tìm hoành độ giao điểm của các

đường

Dễ thấy trục Ox cắt hai đường cong tại các điểm có

hoảnh độ x0, ta tìm hoành độ giao điểm của hai

đường cong bằng cách giải phương trình

P yx  x và hai đường tiếp tuyến của  P tại A 1;2 và B 4;5

Phân tích Ta nhận thấy hình phẳng S được giởi hạn bởi ba đường là

P yx  x và hai đường tiếp tuyến của  P tại A 1;2 và B 4;5nên trước tiên ta phải tìm phương trình của hai đường tiếp tuyến sau đó tìm các giao điểm của  P với hai đường tiếp tuyến và của hai đường tiếp tuyến,

từ đó dựa vào hình vẽ để tính S

Lời giải Ta viết phương trình tiếp tuyến của  P tại A 1;2 và B 4;5

S 1 5 2

4 1

Dựa vào hình vẽ ta có

5

4 2

1 2

5 1

Ví dụ 2.1.1.4 (Đề thi tuyển sinh Đại học, năm 2002, Khối A)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

y x 4x3 và 3

Ví dụ 2.1.1.5 (Đề thi tuyển sinh Đại học, năm 2007, Khối A)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y e 1x và

2 0

3

Ví dụ 2.1.1.8 ([8]) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

yx ,

08

Xét phần diện tích S của 1  E nằm trong

góc phần tư thứ nhất trên mặt phẳng tọa

độ

S1b

a0

0 2

1 cos 24

y

x0

Ví dụ 2.1.2.3 ([7]) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

Astroide có phương trình tham số

3 3

cos

2sin

2 2

0

1 cos 2 sin 212

Kí hiệu V là thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng S quay xung quanh x

trục Ox , V là thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng y S quay xung

quanh trục Oy Cách tính V , x V phụ thuộc vào hình dạng của hình phẳng S y

nên ta xét các dạng sau:

Dạng 1 Hình phẳng S giới hạn bởi các đường y f x , trục hoành, các

đường thẳng x a và xb quay quanh trục Ox

y

x b a

0

S

b x a

V  f x dx

Dạng 2 Hình phẳng S giới hạn bởi các đường y f x , yg x , các

đường thẳng x a và xb quay quanh trục Ox Trong đó 0g x  f x 

(C 2 )

(C 1 )

y

x b a

V f x g x dx

Dạng 3 Hình phẳng S giới hạn bởi các đường y f x  và yg x  quay

S

Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Giải phương trình f x  g x  x a

V f x g x dx

Dạng 4 Hình phẳng S giới hạn bởi đường cong bậc hai f x y , 0 quay quanh trục Ox

0 y

x S

Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Tách đường cong bậc hai f x y , 0 thành:  C1 :y f x1  và

Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Biến đổi y f x  thành 2  

f a

V   g y dy

Dạng 6 Hình phẳng S giới hạn bởi các đường y f x , yg x , các đường thẳng y f a g m  và y f b g n  quay quanh trục Oy

Ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1 Từ y f x  và yg x  ta biến đổi thành 2  

f a

V   f y g y dy

Dạng 7 Hình phẳng S giới hạn bởi đường cong bậc 2 f x y , 0 quay

quanh trục Oy .

0 y

x

Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Tách đường cong bậc hai f x y , 0 thành  C1 :x f y1  và

V  f y  f y  dy

2.2.2 Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 2.2.2.1 ([7]) Cho hình phẳng S giới hạn bởi các đường  C :yxe x,

trục hoành và đường thẳng x1 Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình

 

1

2 0

x

V  e  (đvtt)

Ví dụ 2.2.2.2 ([7]) Cho hình phẳng S giới hạn bởi các đường  C :ysin ,x

trục hoành và các đường thẳng x0, x Tính thể tích khối tròn xoay sinh

bởi hình phẳng S quay quanh trục Ox

1 cos 2sin

21

Ví dụ 2.2.2.3 ([7]) Cho hình phẳng S giới hạn bởi các đường

trình 2  2 2

x  yb a  a b

1) Tính V khi S quay quanh x Ox

2) Tính V khi S quay quanh Oy y

2.3 Tính độ dài đường cong phẳng

2.3.1 Các công thức tính độ dài đường cong phẳng

Độ dài của đường cong có phương trình y f x  trong hệ tọa độ Đềcác

Độ dài L của đường cong trơn (khả vi liên tục) y f x a ,  x b là   2