Mêtric của trường phân thức và nhóm galois của các mở rộng bậc hữu hạn trên q

Mêtric giá trị tuyệt đối trên trờng phân thức của vành đa thức hệ số hữu tỉ ……….………... Nhóm galois của một số mở rộng hữu hạn của trờng các số hữu tỉ ………... Đặc biệt đã diễn đạt đợc mộtp

mục lục Nội dung Trang

lời mở đầu ……… 2

chơng 1: trờng định chuẩn phân thức ……… 4

Đ1.1 Các kiến thức cơ sở về trờng định chuẩn ……… 4

Đ1.2 Mêtric của trờng phân thức ……… 9

Đ1.3 Mêtric giá trị tuyệt đối trên trờng phân thức của vành đa thức hệ số hữu tỉ ……….……… 12

chơng 2: nhóm galois của các mở rộng hữu hạn của trờng các số hữu tỉ ……….……… 17

Đ2.1 Các kiến thức cơ sở ……… 17

Đ2.2 Nhóm galois của một số mở rộng hữu hạn của trờng các số hữu tỉ ……… 19

Đ2.3 Biểu đồ bao hàm của tập hợp các trờng con của các trờng số đại số ……… 23

Đ2.4 Trờng các hàm elliptic ……… 27

kết luận ……… 30

tài liệu tham khảo ……… 31

Lời nói đầu

Đại số học cổ điển đã tìm cách giải các phơng trình đại số:

anxn + an-1xn-1 + … a1x + a0 = 0

có hệ số thực hoặc hệ số phức, bằng những công thức tờng minh Trờng hợp

ph-ơng trình bậc n = 2; 3; 4, đã có công thức nghiệm bằng căn thức Nhờ sử dụngnhóm “Các phép đối xứng”, E Galois đã xác nhận những cố gắng khi thử giảiphơng trình bậc 5 tổng quát bằng căn thức là không có kết quả Cách tốt nhất đểkhảo sát nhóm này là xem nó nh là nhóm các tự đẳng cấu của trờng sinh bởimột nghiệm của phơng trình Vì vậy, chơng 1 của luận văn có mục đích nghiêncứu các trờng (Mở rộng trờng, trờng Mêtric, trờng nghiệm) Nội dung chủ yếu ở

đây là xây dựng các Mêtric trên trờng phân thức Đặc biệt đã diễn đạt đợc mộtphần ý tởng của định lý Ostrwski trên trờng số hữu tỉ Θ lên trờng phân thứck0(t) ( Xem định lý 1.2.3)

Trong trờng hợp, trờng phân thức Θ(x), luận văn đã xây dựng đợc chuẩn tơng

tự với chuẩn giá trị tuyệt đối và chứng minh đợc chuẩn này không tơng đơng vớichuẩn x-adic của nó Cũng trong chơng 1, chúng tôi cũng đã xây dựng đợc một

số quan hệ thứ tự trên trờng phân thức Θ(x) Nội dung đó góp phần làm phongphú thêm lý thuyết trờng sắp thứ tự và trờng định chuẩn

Chơng 2 luận văn, tiếp tục nghiên cứu các nhóm Galois của một số mở rộngbậc hữu hạn cuả trờng các số hữu tỉ ở đây, luận văn đã mô tả đợc các mở rộngbậc hai của trờng số hữu tỉ Θ, và nhóm Galois của nó trên Θ (Xem các mệnh đề(2.2.2) và (2.2.3)) Cũng trong chơng này, chúng tôi cũng đã mô tả đợc nhómGalois của các mở rộng Θ (i, d) và trờng nghiệm của đa thức x4 – p (Xemmệnh đề (2.2.3) và (2.2.4)) Tiếp theo, luận văn lập các biểu đồ bao hàm của tập

hợp các trờng con là của các mở rộng bậc hữu hạn cuả Θ Các kết quả chủ yếu

ở chơng này, nhằm minh họa cho định lí cơ bản của lí thuyết Galois, xác lậpmột song ánh 1-1 giữa các nhóm con của nhóm Galois G = AutK (E) với tập hợpcác trờng con cố định (bất biến) của E bởi G Cuối cùng luận văn đã đề cập đếntrờng các hàm Elliptic là trờng phân thức cuả vàng đa thức ∀[x] ghép thêm mộtnghiệm u của đa thức bất khả quy,

q (t) = t2 – (x2 – 1 ) (x2- 4) ở phần này, luận văn đã chỉ ra đợc một số tínhchất đặc thù của trờng các số phức ∀ Đó là, mọi mở rộng bậc hữu hạn của ∀ là

∀, mọi mở rộng bậc hữu hạn của 3 là 3 hoặc ∀ (Xem 2.4.2 và 2.4.3)

Luận văn này đợc thực hiện tại Khoa Toán - Đại học Vinh dới sự hớng dẫncủa thầy giáo TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này tôi xin đợc bày tỏ lòngbiết ơn đến TS Ngô Sĩ Tùng, TS Lê Quốc Hán, PGS Nguyễn Quý Dy, TH.SNguyễn Văn Giám và các Thầy Cô giáo trong Bộ môn Đại số Khoa Toán, đãtrực tiếp giảng dạy và giúp đỡ tôi trong học tập và làm luận văn Đặc biệt, tôixin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thành Quang đã nhiệt tình hớng dẫn, vàgiúp đỡ hoàn thành bản luận văn này

Mặc dù tác giả đã rất cố gắng cùng với sự chỉ bảo tận tình của thầy NguyễnThành Quang, nhng do năng lực bản thân còn hạn chế nên luận văn không tránhkhỏi những thiếu sót Mong đợc sự thông cảm và đóng góp ý kiến thẳng thắncủa các thầy cô và các bạn để luận văn đợc hoàn thiện hơn

Ngời thực hiện:

Lu Thuý Hồng

ơng 1 : trờng định chuẩn phân thức

Đ 1.1 Các kiến thức cơ sở về trờng định chuẩn

1.1.1 Định nghĩa Trờng là một tập hợp K có nhiều hơn một phần tử, đợc

trang bị hai phép toán cộng và nhân thỏa mãn các qui tắc sau :

1- Tính chất giao hoán của phép cộng: a+ b = b + a

2- Tính chất kết hợp của phép cộng: (a+ b) +c = a+ (b +c)

3- Tồn tại phần tử đơn vị của phép cộng: ∃ 0 ∈K sao cho a+ 0 = a.4- Với mỗi a ∈ K ∃ -a ∈K sao cho a+(-a) = 0

5- Tính chất kết hợp của phép nhân: (ab)c = a(bc)

6- Tính chất giao hoán của phép nhân: ab=ba

7- Tồn tại phần tử đơn vị của phép nhân: ∃ 1 ∈K sao cho a.1=a

1.1.2 Định nghĩa Cho K là một trờng, ta gọi đặc số của K là cấp của phần tử

đơn vị 1K trong nhóm cộng của trờng K, nghĩa là số nguyên dơng bé nhất p saocho : p.1K = 0 Trờng K đợc gọi là có đặc số 0 nếu s.1K ≠ 0, ∀ s ∈N Kiểm tra đ-

ợc rằng, một trờng K tuỳ ý hoặc có đặc số 0 hoặc đặc số nguyên tố p Chẳng

hạn Θ, 3, ∀ là các trờng có đặc số 0 còn trờng 9p với p là số nguyên tố có đặc sốp.

1.1.3 Tr ờng định chuẩn

1.1.3.1 Định nghĩa Một trờng K cùng với ánh xạ ϕ : K → 3 đợc gọi là trờng

định chuẩn nếu các điều kiện sau đợc thỏa mãn :

(1) ϕ(a) là các số thực, ∀a∈ K

(2) ϕ(0) = 0 ; ϕ(a) >0, với 0 ≠ a∈ K

(3) ϕ(ab) = ϕ(a) ϕ(b), ∀a,b∈ K

(4) ϕ(a+b) ≤ϕ(a) + ϕ(b), ∀a,b ∈ K

1.1.3.2 Ví dụ về tr ờng định chuẩn :

1) Mỗi một trờng K có một chuẩn tầm thờng: ϕ(0) = 0 ; ϕ(a)=1 với 0 ≠ a

4) Giả sử Θ là trờng các số hữu tỷ, p là một số nguyên tố cố định Khi

đó, với mỗi 0 ≠ a ∈Θ ta có thể viết đợc một cách duy nhất: a = (s/t).pn

( n ∈9), trong đó các số nguyên s và t không chia hết cho p Ta đặt ϕp(0)= 0;

ϕp(a) = p -n, thế thì hàm ϕp sẽ xác định cho ta một định chuẩn Thật vậy, với

0 ≠ a,b ta có: a = (s/t).pn, b = (u/v).pm ( m,n ∈ 9) trong đó s, t, u, v là các sốnguyên không chia hết cho p Ta có : a.b = (su/tv).pn+m trong đó su,tv là các sốnguyên không chia hết cho p

Vì vậy: ϕp(ab) = p -(n+m) = p-n p-m = ϕp(a) ϕp(b).

Để chứng minh hàm ϕp trên Θ thỏa mãn điều kịên (4) trong định nghĩa(1.1.3.1) nói trên, ta chứng minh ϕp thỏa mãn một bất đẳng thức mạnh hơn sau

đây :

ϕp(a+b) ≤ max(ϕp(a) ϕp(b)).

Thật vậy, giả sử ϕp(b) ≥ϕp(a) hay n ≥ m, ta có:

ϕp(a+b) = ϕp((s/t).p n +(u/v).pm) = ϕp((sv.p n-m +ut)/tv).pm

Chú ý rằng tv không chia hết cho p cho nên ϕp(a+b) = p -k, với k ≥ m, hay

ϕp(a+b) ≤ p-m = max(ϕp(a), ϕp(b) ).

1.1.4 Tr ờng định chuẩn không Acsimet

Một định chuẩn ϕ trên trờng K gọi là định chuẩn không Acsimet nếu

thay điều kiện (4), chuẩn ϕ thỏa mãn một điều kiện mạnh hơn là (4’):

ϕ(a+b) ≤ max(ϕp(a), ϕp(b) ) ∀a,b ∈ K

Ví dụ: Định chuẩn ϕp trên Θ là định chuẩn không Acsimet, ta gọi ϕp là chuẩn

p - adic trên Θ

1.1.5 Các tính chất của tr ờng định chuẩn

Giả sử ϕ là một định chuẩn trên trờng K ta có :

(1) ϕ(1K) = ϕ(-1k) = 1, với 1k là phần tử đơn vị của trờng K

(2) ϕ(a) = ϕ(-a), ∀a ∈ K

(3) ϕ(a) - ϕ(b)≤ϕ(a-b), ∀a,b ∈ K

(4) ϕ(∑ai) ≤∑ϕ(ai), ∀ai∈ K, i= 1,2,….,n

(5) ϕ(a-1) = ϕ(a)-1, 0 ≠ a∈ K

(6) ϕ(ab-1) = ϕ(a)/ ϕ(b), ∀a,b ∈ K, b ≠ 0

1.1.6 Sự hội tụ trong tr ờng định chuẩn .

Giả sử (K, ϕ) là một trờng định chuẩn.

1.1.6.1 Định nghĩa: Một dãy (αn)n∈∠, các phần tử thuộc trờng K đợc gọi là hội

tụ về phần tử α∈K nếu ϕ(αn - α) → 0 khi n →∞ Khi đó, ta gọi α là giới hạncủa dãy (αn)n∈∠ và ký hiệu αn→α, hoặc lim αn = α

1.1.6.2 Định nghĩa Một dãy (αn)n∈∠ các phần tử thuộc K đợc gọi là dãy cơ bản (Cauchy) nếu: ϕ(αn - αm) → 0 khi n,m →∞

1.1.7 Định lý Trong trờng định chuẩn(K, ϕ), mọi dãy hội tụ đều là dãy cơ bản Điều ngợc lại không đúng.

1

+

! 2

1

+ +

! n

1 2

p

1 1

p 1 p

1 1

+ + +

+ + )! ( )! ( ) ( )! ( )

+

1 1

p

1 1 1 p

1

) (

) (

)!

< ( )!. p p !.

1

1 p

1 1

1 1

Ta có: 0 < aq - ap < (p.1p ), (q>p), (1)

Từ bất đẳng thức (1) suy ra (an)n∈∠ là một dãy cơ bản trên Θ Bây giờ ta giả

sử dãy (an)n∈∠ hội tụ trong Θ, nghĩa là tồn tại limn→∞ an = l ∈ Θ Khi đó từ (1)cho q→∞, ta có: 0 < l - ap ≤ (p.1p ) (2)

ở (2), chọn p =2 có: 0 < l - a2 <14 , hay 2,5 < l < 2,75, hay l = mn vớim,n ∈∠, m không chia hết cho n (n >1)

ở (2), chọn p = n có: 0 < l - an ≤ n1.n! ta có:

0 < − + !+ n ! 

1 1

1 1 n

m

≤ n n1 !

Nhân hai vế bất đẳng thức kép này với n! ta có một số nguyên x thỏa mãn :

0 < x ≤ n1 <1

Ta gặp phải một mâu thuẫn

1.1.8 Định lý Mêtric ϕ trên trờng K là mêtric phi Acsimet trên trờng K khi

và chỉ khi ϕ (n) ≤ 1, với ∀ n ∈ N.

Chứng minh (Xem [6]).

Đ1.2 Metric của trờng phân thức

1.2.1 Mệnh đề Ký hiệu K = k 0 (t) là trờng các hàm phân thức trên trờng k 0 Với mỗi hàm phân thức u ∈ K, u ≠ 0, ta có thể viết duy nhất dới dạng:

u = t m (f(t)/g(t)) (f(t) ≠ 0 , g(t) ≠ 0),

trong đó f(t) và g(t) là các đa thức trên k 0

Khi đó hàm : ϕ(u) = ρm ( 0< ρ <1)

ϕ(0) = 0

là một metric (chuẩn) phi Acsimet trên K.

Chứng minh Với 0 ≠ u,v ∈ K, ta có:

u = tm (f(t)/g(t)); v = tn (q(t)/h(t)),

trong đó f(0) ≠ 0, g(t) ≠ 0, q(t) ≠ 0, h(t) ≠ 0 Do đó :

uv = tm+n f(t).q(t)/g(t)h(t), với f(t).q(t) ≠ 0, g(t)h(t) ≠ 0

Vì vậy ϕ(uv) = ρm+n = ρm.ρn = ϕ(u) ϕ(v)

Bây giờ giả sử ϕ(u) ≥ ϕ(v) hay ρm≥ρn , nghĩa là n ≥ m ta có :

Chứng minh Với 0 ≠ u , v ∈ k0(t), ta viết:

u = pm (f(t)/g(t), v = pn.(q(t)/h(t)),trong đó f(t), g(t), q(t), h(t) ∈ k0[t] không chia hết cho đa thức p(t) trong vành

đa thức k0(t)

Do đó: uv = pm+n f(t).q(t)/g(t)h(t) với f(t).q(t), g(t)h(t) không chia hết cho đathức p(x) (do p(x) bất khả qui)

Vì vậy : ϕp(uv) = ρm+n = ρ m ρn = ϕp(u) ϕp(v)

Bây giờ giả sử : ϕp(u) ≥ϕp(v) hay ρm ≥ρn nghĩa là n ≥ m Ta có :

u+v = pm.f(t)/g(t) + pn q(t)/h(t) = pm.[f(t) h(t) + pn-m.q(t) g(t)] /g(t)h(t)

Do đó: ϕ(u+v) = ρm’, m’ ≥ m

hay ϕp(u+v) ≤ ρm = ϕp(u) = max(ϕp(u), ϕp(v)).

Sau đây, chúng ta phát biểu và chứng minh một định lý là mở rộng một phầncủa Định lý Ostrowski trên trờng số hữu tỉ Θ, lên trờng phân thức K=k0(t)

1.2.3 Định lý Giả sử ϕ là metric không tầm thờng trên trờng phân thức

K = k 0 (t) sao cho ϕ(f) < 1, ∀ f∈ k 0[t].

Khi đó tồn tại duy nhất một đa thức bất khả quy p ∈ k 0[t] sao cho ϕ = ϕp hay

ϕ chính là một metric p-adic trên trờng phân thức K = k 0 (t)

Chứng minh Theo giả thiết định lý ϕ(f) < 1, ∀f∈ k0[t], do đó

ϕ(n1k) = ϕ(n) < 1, ∀n ∈ N (trong đó 1k là phần tử đơn vị của k0) Theo một kết quả cơ sở của lý thuyết trờng metric (Định lý 1.1.8) ta suy ra ϕ

là mêtric phi acsimet trên K

Nếu với mọi đa thức bất khả quy q(t) của vành đa thức k0[t] ta có ϕ(q) = 1 thìkhi đó từ dạng phân tích của mỗi đa thức:

f(t) = q1 q2 … qk ∈ K[t], với bậc > 1 ,

thành tích các đa thức bất khả quy, ta có ϕ (f) = 1 Do đó, ϕ là metric tầm ờng trên K= k0[t] Điều này trái với giả thiết về metric ϕ

Vì vậy tồn tại một đa thức bất khả quy p ∈ k0[t] sao cho ϕ(p) < 1 Ta chứngminh rằng đa thức p nh vậy là duy nhất

Thật vậy, giả sử tồn tại một đa thức bất khả quy q ≠ p thuộc k0(t) sao cho

ϕ(q) < 1 Khi đó ta có thể chọn đợc các số tự nhiên k và l sao cho :

ϕ(p)k = ϕ(pk) < 1/2

ϕ(q)l = ϕ(ql) < 1/2 Vì p, q là hai đa thức bất khả quy phân biệt cho nên p và

q nguyên tố cùng nhau Do đó tồn tại các đa thức u,v ∈ k0[t] saocho: upk + vql = 1

Từ giả thiết ϕ(f) ≤ 1, ∀ f∈ k0(t) ta có: ϕ(u) ≤ 1, ϕ(v) ≤ 1 Vì vậy ta gặp phảimột mâu thuẫn sau đây:

1 = ϕ(1) = ϕ (upk + vql ) ≤ ϕ(upk ) + ϕ(vql ) =

= ϕ(u)ϕ(p)k + ϕ(v)ϕ(q)l≤ ϕ(p)k + ϕ(q)l< 1/2 + 1/2 =1

Nh vậy ta luôn luôn có ϕ(q) = 1, với mọi đa thức bất khả quy q nguyên tố với

p Bây giờ với mọi phân thức 0 ≠ u∈ K ta viết u = pn.f(t)/g(t) trong đó f(t), g(t)

là các đa thức không chia hết cho p hay trong sự phân tích của f(t), g(t) thànhtích các đa thức bất khả quy trong vành K0(t) không có mặt của ớc p Do đó ta

có ϕ(f) = ϕ(g) = 1

Vì vậy ϕ(u) = ϕ(pn) = ϕ(p)n = ρn, với 0 <ρ = ϕ(p) < 1, hay ϕ là metric

p-adic trên K = k0(t)

Trong trờng hợp tồn tại một đa thức f ∈k0[t] sao cho ϕ(f)> 1, khi đó ϕ tơng

đơng với metric nào trên K?

Vấn đề này đang đợc chúng tôi quan tâm và hiện tại vẫn là một câu hỏi mở.Tuy nhiên, ở Đ 1.3, luận văn tiếp tục đi sâu nghiên cứu các mêtric trên trờng

Θ(x)

Đ1.3 mêtric giá trị tuyệt đối trên tr ờng phân thức

của vành đa thức hệ số hữu tỷ Gọi Θ[x] là vành đa thức của ẩn x với hệ số trên trờng các số hữu tỷ

ϕ(u) = 0 ⇔ a0(f) = 0 ⇔ f(x) = 0 ⇔ u = 0

ii) ϕ(u+v) = ϕ + 2 

2 1

1

g

f g

f

= ϕ 1+2 

1 2 2 1

g g

g f g f

= ( ( ) )

2 1 0

1 2 2 1 0

g g a

g f g f

= ( ) (( )) (( )) ( ) (( )) (( ))

2 0

2 0 1

0

1 0 2

0 1 0

1 0 2 0 2 0 1 0

g a

f a g a

f a g

a g a

g a f a g a f a

) ( ) (

) ( )

(

) (

2 0

2 0 1 0

1 0 2

1 0

2 1 0

g a

f a x g a

f a g g a

f f a

ϕ (u)ϕ(v)

Trên trờng Θ(x) xét dãy các đa thức: (1, x, x2, , xn,…) = ( xn)n∈N.

Theo chuẩn x- adic dãy này hội tụ về đa thức 0, bởi vì ϕx(x n) = ρn→ 0

khi n →∞

Tuy nhiên theo chuẩn ϕ nói trên, ta lại có: ϕ(xn) =1, ∀ n ∈ ∠, do đó dãy

xnn ∈ N không hội tụ về 0 theo chuẩn ϕ

1.3.2 Mệnh đề Trên trờng P = Θ(x) ta định nghĩa một quan hệ thứ tự nh sau :

0 g a f a

(a) P là một trờng sắp thứ tự không Acsimet.

(b) Có những dãy cơ bản và hội tụ trên Θ mà không phải dãy cùng tên trên P.

Chứng minh a) Ta cần chứng minh rằng quan hệ (≥) trên P có đủ cáctính chất sau: phản xạ, phản xứng, bắc cầu, toàn phần và đơn điệu đối với cácphép toán cộng và nhân trên P Ta chứng minh tính chất phản xứng của quan hệ(≥) nh sau:

Giả sử với u, v ∈ P, đặt u-v = gf((xx)) với f(x), g(x) ∈Θ[x], g(x) ≠ 0

Giả sử u ≥ v và v ≥ u ta chứng minh u = v Thật vậy, vì u - v≥ 0 và v - u≥ 0hay a0(f).a0(g) ≥ 0 và a0(-f).a0(g) ≥ 0 Từ đó ta có : a0(f).a0(g0) ≥ 0 và

a0(f).a0(g) ≤ 0 hay a0(f) = 0 (do a0(g) ≠ 0 ) nên f = 0, nghĩa là u = v

Các tính chất còn lại chứng minh tơng tự

Ta chứng minh P là trờng sắp thứ tự không Acsimet Thật vậy : Trong P, chọn

α = x2, β = x3, khi đó ∀n∈∠ ta có β - nα = x3 - nx2 >0 hay nα<β∀n∈N, nghĩa

là P là trờng sắp thứ tự không Acsimet

b) Trong P chọn dãy các số hữu tỷ : *

IN n

Cho P là một trờng sắp thứ tự và P’ là một trờng con của P

Nhận xét Nếu P sắp thứ tự không Acsimet, thì có những dãy cơ bản trong

P (P là tr’ ’ ờng con của P) không phải là dãy cơ bản trong P.

1.3.3 Mệnh đề Trên trờng P = Θ(x) ta định nghĩa một quan hệ thứ tự nh sau:

0 g

f 0

) (

) (

+α≥β khi và chỉ khi α - β ≥ 0.

Khi đó P là một trờng sắp thứ tự Acsimet.

Chứng minh Trớc hết, ta để ý rằng vì Π là số siêu việt trên Θ cho nêng(Π) ≠ 0, với mọi đa thức 0 ≠ g(x) ∈Θ[x] Với α,β∈ P, giả sử rằng α≥β và

β≥α, đặt: α - β = gf((xx)) với f(x), g(x) ∈Θ[x], g(x) ≠ 0

Ta có α ≥β và β≥α nên α - β≥ 0 và β - α ≥ 0 do đó : f(Π) g(Π) ≥ 0 vàg(Π).f(Π) ≤ 0 hay f(Π).g(Π) = 0 Ta có f(Π) = 0 hay f(x) = 0, nghĩa là α = β.

Ta có: P là trờng sắp thứ tự Acsimet ⇔∀α,β∈ P, α > 0 ∃ n∈∠: nα > β

⇔∃ n ∈∠: ngf ((xx)) gf ((xx))

2

2 1

⇔∃ n ∈∠: nf x gg xx g fxx g x 0

2 1

1 2 2

) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) (

2 1

1 2 2

Π Π

Π Π

− Π Π

) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) (

Không mất tính tổng quát, giả sử g1(Π) > 0 và g2(Π) > 0 Điều trên tơng

đ-ơng với : ∃ n ∈∠: nf1(Π) > f2(Π)

Từ giả thiết α > 0 có f1(Π) > 0.Do đó sử dụng tính sắp thứ tự acsimet của ờng số thực 3, ta suy ra điều phải chứng minh

Tổng quát ta có:

1.3.4 Mệnh đề Cho θ là một số siêu việt trên Θ (θ = Π , e , ….) Ta có thể

định nghĩa trên P = Θ(x) các quan hệ thứ tự Acsimet nh sau:

= α

0 g

f 0 ) (

) ( trong 3