Chứng minh : tứ giác AEHD nội tiếp được, xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp.. Gọi F là giao điểm của AH và BC.[r]
Trang 1Đề cương ôn tập hình học lớp 9 học kỳ 2 (hướng giải dẫn chi tiết) Bài 1 :
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn đường tròn (O) có đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D BD
và CE cắt nhau tại H
1 Chứng minh : H là trực tân của tam giác ABC
2 Chứng minh : tứ giác AEHD nội tiếp được, xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp
3 Gọi F là giao điểm của AH và BC Chứng minh : tứ giác BEHF nội tiếp và AE.AB = AH.AF = AD.AC
4 Chứng minh :
5 Chứng minh : IE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
GIẢI.
1 H là trực tân của tam giác ABC :
Ta có : (gnt chắn ½ đường tròn )
Trang 2=> BD CD tại D.
Cmtt : BE BE
Xét tam giác ABC có :
BD CD (cmt) => BD đường cao thứ nhất
BE BE (cmt) => CE đường cao thứ hai hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)
= > H là trực tâm của tam giác ABC
2 tứ giác AEHD nội tiếp :
xét tứ giác AEHD , ta có :
(cmt) (cmt)
Trang 3=> tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn (I) (tổng 2 góc đối bằng 1800 )
Mà : (cmt)
=> AH là đường kính (I)
=> I là trung điểm của AH
3 AE.AB = AH.AF = AD.AC
Ta có : AH BC tại F (H là trực tâm của tam giác ABC)
Xét Δ FAB và Δ EAH, ta có :
Góc A chung
=> Δ FAB đồng dạng Δ EAH (g – g)
=>
=> AE.AB = AH.AF
Cmtt, ta được : AH.AF = AD.AC
=> AE.AB = AH.AF = AD.AC
4
Xét đường tròn (I), ta có :
(gnt cùng chắn cung AH) Hay
Xét đường tròn (O), ta có :
(gnt cùng chắn cung BE)
=>
Trang 45.IE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Xét Δ AEI, ta có : IA = IE (bán kính)
=> Δ AEI cân tại I
=> (2)
Cmtt, ta được : (3)
Từ (1), (2) và (3), ta được :
Mà : :
=>
Hay :
=> IE EO tại E
Mà : E thuộc (O)
Vậy : IE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
BÀI 2 :
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD H là trực tâm tam giác ABC Kẻ đường hính OI vuông góc BC tại I Chứng minh :
1 BHCD là hình bình hành
2 I, H, D thẳng hàng
3 AH = 2OI
GIẢI
BHCD là hình bình hành :
Trang 5hinh hoc lop 9 – goc trong duong tron
(góc nội tiếp chắn ½ (O))
=> CD AC
Mà : BH AC (H là trực tâm)
=> CD // BH (cùng vuông góc AC)
Cmtt, ta được : BD // CH
Xét tứ giác BHCD , ta có :
BHCD là hình bình hành
CD // BH (cmt)
BD // CH (cmt)
tứ giác BHCD là hình bình hành
b)I, H, D thẳng hàng.
đường kính OI BC tại I
=> IB = IC
Mà : hai đường chéo HD và BC của hình bình hành BHCD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Trang 6=> IH = ID
Hay I, H, D thẳng hàng
3 AH = 2OI
Xét Δ ABC có H là trực tâm
=> AH BC
Mà : OI BC
=> OI // AH
Xét Δ AHD, ta có :
OA = OD (AD là đường kính của (O))
OI // AH (cmt)
=> OI là đường trung bình trong Δ AHD
=> AH = 2OI
Bài tập rèn luyện kỹ năng :
Bài 1 :
Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Lấy điểm A trên (O) sao cho AB = R vẽ đường cao AH của tam giác ABC Đường tròn (I) đường kính AH cắt AB và AC lần lượt tại D và E, cắt (O) tại F
1 Chứng minh : ADHE là hình chữ nhật
2 Chứng minh : tứ giác BDEC nội tiếp
3 Chứng minh : OA vuông góc DE
4 Tính diện tích tứ giác BDEC theo R
Bài 2 :
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AEF với (O)
Trang 71 Chứng minh : AO vuông góc BC tại D.
2 Chứng minh : AB2 = AE.AF
3 Chứng minh : tứ giác ODEF nội tiếp
4 Gọi I, V là trung điểm của AB, AC tiếp tuyến của (O) tại E và trung trực của AE cắt nhau tại H chứng minh : H I, V thẳng hàng