Về định chuẩn của trường các số đại số

Một mở rộng hữu hạn F bậc n của trờng các số hữu tỉ Q, đợc gọi là trờng các số đại số bậc n The field of algebraical numbers.Từ lâu, các bài toán đợc nhiều nhà toán học quan tâm, thờng

Bộ giáo dục và đào tạo

Trờng Đại học Vinh

-*** -NGuyễn Thị THanh Hơng

của trờng các số đại số

Chuyên ngành : Đại số & lý thuyết số

Mục lục

Trang

Mở đầu 3

Chơng 1 Định chuẩn của trờng các số đại số.

1 Trờng định chuẩn 6

2 Trờng các số đại số 14

3 Định chuẩn của trờng các số đại số 18

Chơng 2 Trờng các số đại số bậc 2 1 Ideal thơng trong trờng số đại số bậc 2 25

2 Các trờng nghiệm hữu hạn 27

Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33

Mở đầu

Một trờng trên đó đã xác định một hàm nhận giá trị thực có các tính chất

t-ơng tự nh hàm giá trị tuyệt đối, gọi là trờng định chuẩn hay trờng metric (the

metric field) Một mở rộng hữu hạn F bậc n của trờng các số hữu tỉ Q, đợc gọi là

trờng các số đại số bậc n (The field of algebraical numbers).Từ lâu, các bài

toán đợc nhiều nhà toán học quan tâm, thờng đợc xét trên các trờng cơ sở với chuẩn Acsimet - trờng số phức C và trờng với chuẩn không Acsimet- trờng số p-adic Cp Các nghiên cú gần đây gợi ý rằng, lý thuyết trờng định chuẩn các số đại

số có rất nhiều ứng dụng trong đại số và lý thuyết số Có thể kể ra ở đây, một số công trình nghiên cứu mới có liên quan về tính hyperbolic của các đa tạp đại số xạ ảnh đợc xét trên trờng các số đại số của các tác giả nh P.M.Wong ([11 ]1991),

M Ru ([12]1992)

Với những lý do trên, trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu metric (chuẩn) trên trờng các số đại số Luận văn đợc chia thành hai chơng, cùng với phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Trong chơng 1, luận văn giới thiệu các khái niệm và các kết quả cơ sở cần thiết của lý thuyết trờng định chuẩn Luận văn đã đa ra đợc một số điều kiện nhằm diễn đạt tính không Acsimet của mertic trên một trờng tuỳ ý (Định lý 1.7, chơng1) Chứng minh đợc rằng, mọi chuẩn trên trờng đặc số dơng là chuẩn không Acsimet và mọi chuẩn trên trờng hữu hạn đều là chuẩn tầm thờng Bằng một phản ví dụ cụ thể chỉ ra đợc tính không đầy đủ của trờng các số hữu tỉ Q theo chuẩn giá trị tuyệt đối và chuẩn p-adic (Định lí 1.6, Chơng1)

Nội dung cơ bản của chơng1 là chứng minh đợc rằng, tập hợp các Ideal

th-ơng (The fractional Ideal) của trờng số đại số lập thành một nhóm nhân (Hệ quả 3.5, Chơng 1) Từ đó, sử dụng Định lý Dedekind, chúng tôi đã xây dựng đợc các khái niệm cần thiết để định nghĩa đợc chuẩn không Acsimet trên trờng số đại số, nhờ Ideal nguyên tố P của vành O các số nguyên đại số Nh là hệ quả, trong tr-

ờng hợp đặc biệt trờng số đại số bậc 1(trờng các số hữu tỉ), chuẩn đợc xây dựng trong trờng hợp tổng quát trở thành chuẩn p-adic, theo số nguyên tố p

Nội dung chính của chơng 2 là mô tả các kiểu trờng số đại số bậc hai (Định lí 1.2, chơng 2) và các Ideal thơng trong trờng số đại số bậc hai (Bài toán 1.3, chơng 2) Ngoài ra, luận văn cũng đã xây dựng đợc một số trờng nghiệm có hữu hạn phần tử trên trờng các số hữu tỉ (Trờng nghiệm có 9 phần tử, 25 phần tử trên Q)

Luận văn này có thể phát triển theo hớng nghiên cứu các mô đun và nghiên cứu tính hyperbolic của các đa tạp đại số xạ ảnh trên trờng các số đại số

Luận văn đợc hoàn thành tại Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Khoa

Đào tạo Sau Đại học, Trờng Đại học Vinh, dới sự hớng dẫn của TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn tới TS Giảng viên Nguyễn Thành Quang về sự giúp đỡ nhiệt tình và nghiêm túc trong giảng dạy và nghiên cứu đã dành cho tác giả

Tác giả của luận văn xin trân trọng cảm ơn GS TS Nguyễn Quốc Thi, PGS TS Nguyễn Quý Dy, PGS TS Ngô Sĩ Tùng, PGS TS Lê Quốc Hán, TS Mai Văn T và các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số, Khoa Toán đã giúp đỡ và dạy bảo tận tình cho chúng tôi, trong hai năm học tập vừa qua

Tác giả của luận văn xin trân trọng cảm ơn PGS TS Nguyễn Trọng Văn, PGS TS Nguyễn Nhã Bản, Th.S Nguyễn Văn Cam và các thầy cô giáo trong Khoa Đào tạo Sau Đại học đã giúp đỡ tận tình cho chúng tôi, trong thời gian học tập Cao học

Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn học viên trong lớp Cao học IX Toán, Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, đã động viên cổ vũ chúng tôi trong học tập và nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cảm ơn Tập thể giáo viên Trờng Trung học Cơ sở Hng Tây, Phòng Giáo dục huyện Hng Nguyên, Sở Giáo dục Nghệ An đã tạo mọi

điều kiện thuận lợi về tinh thần và vật chất cho tác giả trong thời gian học tập Sau

Đại học

Vinh, ngày 10 tháng 12 năm 2003

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thanh Hơng

Chơng 1

Định chuẩn của Trờng các số đại số

Đ1 Trờng định chuẩn 1.1 Nhắc lại khái niệm trờng.

Một tập hợp K khác rỗng, trên đó đã trang bị hai phép toán cộng và nhân ký

hiệu bởi dấu (+) và dấu (.) đợc gọi là trờng nếu:

- Phép (+) có các tính chất: Kết hợp, giao hoán, có đơn vị 0, có phần tử đối

(∀a∈K, ∃ - a∈K: a + (-a) = 0).

- Phép (.) có các tính chất: kết hợp, giao hoán, có phần tử đơn vị 1

- ∀x∈K, x ≠ 0, ∃x'= x-1∈ K: xx-1 = 1.

- Phép (+) và phép (.) thỏa mãn luật phân phối:

a(b+c) = ab + ac; ∀a, b, c∈K.

1.2 Đặc số của trờng.

Cho K là một trờng với đơn vị 1 Nếu k1 ≠ 0 , ∀k∈ N ∗, thì ta nói trờng K có

đặc số 0 hay đặc số ∞ Trong trờng hợp ngợc lại, ta gọi số nguyên dơng k bé nhất sao cho k1 = 0 là đặc số của trờng K.

Ví dụ Các trờng Q, R, C có đặc số 0 Trờng Z2 có đặc số 2

Nhận xét Đặc số k ≠ 0 của một trờng tuỳ ý là số nguyên tố

Thật vậy, giả sử ngợc lại k là hợp số, tức k=pq, 2 ≤p,q ≤k− 1 , khi đó

ta có(p1 )(q1 ) = 0, hay p1 = 0 hoặc q1 = 0, điều này mâu thuẫn với tính bé nhất của k

thì (K,ϕ ) đợc gọi là trờng định chuẩn không Acsimet.

Ví dụ 1) Các trờng số hữu tỉ và trờng số thực là những trờng định chuẩn với hàm

giá trị tuyệt đối:

0

x )(

nếu

nếu

x

x x

3) Chuẩn p−adic trên trờng số hữu tỉ

Cho plà một số nguyên tố cố định Với mỗi số hữu tỉ α ≠ 0, ta viết đợc

α

α α

Trớc hết ta chứng minh rằng

( ( ), ( ))

max )

c p

b

a

=

= β α

trong đó a,b,c,d là các số nguyên không chia hết cho p và n, m ∈ Z Ta có

m m

n m

bd

bc adp

p d

c p b

= β +

bd

ac p

d

c p b

1.4 Các tính chất của trờng định chuẩn.

Cho (K, ϕ) là một trờng định chuẩn, khi đó ta có

; 1 ) 1 ( )

1 (

i

; ,

) ( ) (

ii ϕ = ϕ − ∀ ∈

; ,

), (

) ( ) (

i

a iv

1 1

);

( )

(

; 0 , ,

) (

1 )

( ) (

a a

a

v

ϕ ϕ

ϕ

0 , ,

, ) (

) ( ) (

b

a ab

vi

ϕ

ϕ ϕ

Chứng minh iii) Đặt a = b + c ⇒ ϕ(a) = ϕ( b + c) ≤ ϕ(b) + ϕ(c) ⇒ ϕ(a) - ϕ(b) ≤ ϕ(c)

⇒ ϕ(a) - ϕ(b) ≤ ϕ(a - b)

⇒ ϕ(b) - ϕ(a) ≤ ϕ(b - a) = ϕ(a - b).

Vì vậy, ta có: |ϕ(a) - ϕ(b)| ≤ ϕ(a-b), ∀a, b ∈ K

Các tính chất còn lại của trờng định chuẩn đợc chứng minh tơng tự

1.5 Sự hội tụ trong trờng định chuẩn

Giả sử (K, ϕ) là một trờng định chuẩn

1.5.1 Định nghĩa Một dãy { }α n n ∈ N các phần tử thuộc trờng K, đợc gọi là

hội tụ về phần tử α ∈ K theo chuẩn ϕ và ký hiệu α = α

1.6 Định lý Mọi dãy hội tụ trong trờng định chuẩn (K,ϕ) đều là dãy cơ bản

(theo chuẩn ϕ) Điều ngợc lại không đúng.

Chứng minh Giả sử { }α n n ∈ N là một dãy trong trờng K hội tụ về phần tử

K

∈

α ,ta có ϕ ( αn − αm) = ϕ ( αn − α + α − αm) ≤ ϕ ( αn − α ) + ϕ ( αm − α ) → 0 khi m, n→∞ Từ đây ta suy ra tính chất cơ bản của dãy { }α n n ∈ N.

Để chứng minh điều ngợc lại không đúng, ta chỉ ra có một dãy cơ bản các

số hữu tỉ, mà không hội tụ theo chuẩn giá trị tuyệt đối Xét dãy số hữu tỉ sau:

!

1

! 2

1

! 1

p a

+

+ +

+ +

< − −1

) 1 (

1

1

1 1 )!

1 (

1

p q

p p

<

1

1 1

1 )!

1 ( 1

p p a

!

1 0

p p a

< (2) Trong (2), chän p= 2, ta cã:

1 a

1 n

1 x

1 1 ( )

(     

n

2) Gi¶ sö ϕ (n) ≤ 1,∀n∈N, ta chøng minh ϕ lµ chuÈn kh«ng lµ

Acsimet trªn trêng K ThËt vËy, víi ∀k= 1 , 2 , ,n ta cã:

) (

] ) [(

2 ) 1 ( 2

1 )

1 ( 2

1 1

) 1

1.8.1 Định nghĩa.Các metric ϕvàψ trên cùng một trờng K đợc gọi là

t-ơng đt-ơng với nhau và ký hiệu ϕ∼ ψ nếu chúng xác định trên K cùng một tính

hội tụ, nghĩa là ϕ ( xn − x ) → 0 khi và chỉ khi ψ ( xn − x ) → 0 trên trờng số thực R.

1.8.2 Định lí Giả sử ϕ và ψ là các metric trên trờng K Khi đó, ϕ và

ψ là tơng đơng với nhau nếu và chỉ nếu: ∀ x ∈ K , ϕ ( x ) < 1 ⇔ ψ ( x ) < 1.

Chứng minh.i) Giả sử ϕ∼ ψ trên K, khi đó với ∀ x ∈K ta có một dãy

các mệnh đề tơng đơng với nhau sau đây:

ϕ(x) < 1 ⇔ Dãy số thực ϕ ( x )n → 0 khi n→∞ trong trờng số thực R

⇔ Dãy số thực ϕ ( xn) → 0 khi n→∞ trong trờng số thực R

⇔ xn → 0 khi n→∞ theo chuẩn ϕ trong trờng K.

⇔ xn → 0 khi n→∞ theo chuẩn ψ trong trờng K

⇔ ψ (x n) → 0 khi n→∞ trong trờng số thực R

⇔ ψ ( x )n → 0 khi n→∞ trong trờng số thực R

⇔ ψ ( x ) < 1

ii) Giả sử ϕ và ψ là các metric thoả mãn: ∀ x ∈ K , ϕ ( x ) < 1 ⇔ ψ ( x ) < 1 Ta sẽ chứng minh rằng ψ ( x ) = ϕ ( x ) ε,∀x∈K, trong đó ε là một số thực dơng nào đó.Trớc hết ta có nhận xét sau:

).

( ) ( 0 1 1

1 ) (

) ( ) (

a b

a b

ϕ

ϕ ϕ

Giả sử p là một phần tử tuỳ ý, cố định của trờng K sao cho ϕ (p) > 1

(phần tử pnh vậy là tồn tại, vì nếu ngợc lại thì 1

) (

1 )

p ( ln ) p ( ln )

p ( ln ) p ( ln ' )

a

(

ln ψ = δ ψ = δ ψ = δε ϕ = ε ϕ δ= ε ϕ = ln ϕ ( a )ε

Vì vậy ψ (a) = ϕ (a) ε , ∀a∈K, ε =lnlnψϕ((pp))

Điều này có nghĩa là ψ = ϕ ε, hay ϕ ∼ψ

1.9 Định lí ( Mô tả các mêtric của trờng hữu hạn) Trên trờng hữu hạn chỉ có

duy nhất một metric, đó là metric tầm thờng:

0 x nếu

Chứng minh Giả sử K=GF(q) là trờng hữu hạn có qphần tử và ϕlà metric

trên trờng K ta chứng minh: ϕ ( α ) = 1,∀α ∈K, α ≠ 0 Thật vậy, theo lí thuyết ờng hữu hạn, nhóm nhân các phần tử khác không của trờng K là nhóm cyclic cấp

∈

∀ α K α ta viết α = ar, r ∈N, do đó ϕ ( α ) = ϕ (a)r = 1

Đ2 Trờng các số đại số.

2.1 Mở rộng trờng.

Cho K là một trờng con của trờng E Ta nói E là một mở rộng của trờng K.

Giả sử E là một mở rộng của trờng K Khi đó ta có thể coi E là một không gian vectơ trên K Nếu E là không gian vectơ hữu hạn chiều trên trờng K, thì ta nói E

là mở rộngbậc hữu hạn của trờng K Số chiều n của không gian vectơ E trên K

đợc gọi là bậc của mở rộng E trên K, và ký hiệu

Cho K là một trờng và E là một mở rộng của K Phần tử u∈E đợc gọi là phần tử đại số trên K nếu tồn tại một đa thức khác không f(x) ∈K[x] sao cho f(u)

= 0 Phần tử u∈E không đại số trên K, gọi là phần tử siêu việt trên K

Cho u∈E là phần tử đại số trên K Ta chọn trong tất cả các đa thức khác không thuộc K[x] nhận u làm nghiệm một đa thức đơn hệ (hệ số cao nhất bằng 1)

có bậc nhỏ nhất, ký hiệu là ϕα (t) Với mỗi phần tử đại số u∈E, đa thức nh vậy

đ-ợc xác định duy nhất Ta gọi ϕα (t) là đa thức tối tiểu của phần tử đại số u∈E

Ta gọi mở rộng E của trờng K là mở rộng đại số trên K nếu mọi phần tử u

∈E đều là phần tử đại số trên K

Nhận xét Đa thức ϕα (t) là đa thức bất khả quy trên trờng K

2 4 Định lý.Mọi mở rộng bậc hữu hạn trên trờng K đều là mở rộng đại số trên

K.

Chứng minh Giả sử E là mở rộng hữu hạn bậc n trên K Khi đó, với mỗi

α∈E, ta xét hệ gồm (n+1) phần tử thuộc K sau đây

1, α , α2 , α3 , , αn.Vì mọi hệ (n+1) vectơ trong không gian vectơ n - chiều đều phụ thuộc tuyến tính

cho nên có một hệ thức tuyến tính không tầm thờng:

c0+ c1α + + cnαn = 0 (ci∈K)

Nói khác đi, tồn tại một đa thức khác không f(x) = ∑

=

n o

i c i x i ∈K[x] sao cho

f (α) = 0, hay α là phần tử đại số trên trờng K

2 5 Định lý (Xem [ 6 ]) Giả sử K0 là trờng trung gian của mở rộng E/ K Nếu

mở rộng E/ K0 và K 0 /K hữu hạn thì mở rộng E/ K cũng hữu hạn và có bậc là

[E : K] = [E : K0][K0 : K]

2.6 Chuẩn và vết Giả sử K/ k là một mở rộng hữu hạn bậc n Với mỗi phần tử

tuỳ ý α ∈ K, ánh xạ t → αt (t ∈ K) là một phép biến đổi tuyến tính trên K Đa thức đặc trng của phép biến đổi tuyến tính này cũng đợc gọi là đa thức đặc trng

của phần tử α ∈ K và ký hiệu là fα(t) Nếu w1, w2 , wn là một cơ sở của mở rộng K / k và

αwi = ∑

=

n

j 1 aij wj aij∈k

thì ta có fα(t) = det (λE - (aij ) ), trong đó E là ma trận đơn vị cấp n

Định thức det (aij ) của ma trận (aij ) đợc gọi là chuẩn của phần tử α và kí

Một mở rộng hữu hạn bất kỳ của trờng số hữu tỷ Q đuợc gọi là một trờng số

đại số (The Algebraic Numbers field).

Ví dụ 1) Trờng F = Q( 2) = {a + b 2 a, b ∈Q} là trờng số đại số bậc 2 2) Trờng F = Q (3 5) = {a + b3 5 + c3 25 a,b,c ∈Q} là trờng đại số bậc

3 với cơ sở: 1, 3 5, 3 25 3) Trờng F = Q (3 2, i) là trờng đại số bậc 6 với cơ sở:

1, 3 2, 3 4, i, i3 2, i3 4

2.8 Vành các phần tử nguyên của trờng số đại số.

Cho F là một trờng số đại số Số đại số α ∈ F đợc gọi là số nguyên đại số nếu

đa thức tối tiểu của α là đa thức có hệ số hữu tỉ nguyên Kí hiệu O là tập hợp tất

cả các số nguyên đại số Thế thì O là một vành con của trờng F Ta gọi O là vành

các phần tử nguyên của trờng số đại số F Vì Z là vành chính nên O là một Z -

môđun hữu hạn sinh ( xem [ 8 ]), ta có O là vành có cơ sở {w1 , wd } trên Z với d = dimQF

Ví dụ Chọn F = Q( 2), có O = { a+b 2  a,b ∈ Ζ}

2 9 Biểu diễn chính quy của trờng số đại số.

Giả sử đã cho một trờng số đại số F Ta cố định một cơ sở {w1 , wd } của vành O trên Z, và đó cũng là một cơ sở của trờng số đại số F trên Q Biểu

diễn với mỗi a ∈ F: awi = ∑

d d

a a a

a a a

a a a a

2 1

2 22 21

1 12

và đợc gọi là biểu diễn chính quy của F trên Q

Giả sử a là một nghiệm của đa thức đặc trng det ( X1d - ρ( a) ) , khi đó

ta định nghĩa: Tr(a) =Tr F/Q(a) =Tr( ρ (a))

N(a) =N F/Q(a) = det ( ρ (a)).

Đ3 Định chuẩn của trờng các số đại số

Cho F là một trờng số đại số và O là vành các phần tử nguyên đại số của

trờng F.

3.1 Ideal thơng (The fractional Ideal)

Một O - môđun con A≠{o} hữu hạn sinh của trờng số đại số F đợc gọi là

một Ideal thơng của trờng F

Chú ý rằng mỗi Ideal thơng A của trờng F có cơ sở {α1, ,αd} trên Z 3.2 Tích của các Ideal thơng.

Giả sử I là tập hợp tất cả các Ideal thơng của trờng số đại số F Chúng ta

định nghĩa tích AB của A, B ∈ I bởi

AB = ∑

i λi ai bi  λi ∈ O, ai ∈A, bi ∈ Btrong đó Σ kí hiệu cho các tổng hữu hạn

Nhận xét Tập hợp AB cũng là một O-môđun con của F Nếu αi (tơng ứng βj) là các phần tử sinh của A ( tơng ứng của B ) thì αi βj là các phần tử sinh của AB và do đó AB là O - môđun con hữu hạn sinh, nghĩa là nó cũng là một

trong vành O (a o b o ≠ 0 ) Giả sử 0 ≠ λ ∈ O Nếu tất cả các hệ số của f (X)g(X )

là bội của λ trong O thì a i b j là bội của λ với mọi (i , j).

Chứng minh Chúng ta chứng minh rằng nếu tất cả các hệ số của đa thức

P(X) là các số nguyên đại số thì với mỗi nghiệm ξ của phơng trình P (X) =0, mọi

hệ số của đa thức X P(−Xξ) cũng là số nguyên đại số

Thật vậy nếu P(X) = aX + b , thì X P(−Xξ) = a là một đa thức và do đó khẳng

định trên là đúng trong trờng hợp này

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh bằng phép qui nạp theo degP(X) Giả sử degP(X) = n và a là hệ số của Xn của P (X ) Khi đó P(X) - a (X - ξ) Xn-1 sẽ có bậc nhỏ hơn n và do đó theo giả thiết qui nạp X P(−Xξ) = a Xn-1 có hệ số nguyên đại

số Vì vậy X P(−Xξ) cũng là đa thức có hệ số nguyên đại số

Giả sử ξ1 ,ξ 2 , ,ξn là các nghiệm của P(X) hay

P(X) = a (X -ξ1) (X -ξ2 ) (X -ξ n)

Thế thì theo nhận xét đã đợc chứng minh ở trên ta có a∏

∈A

i (X -ξ i ) có hệ số nguyên đại số với mọi tập con A của {1 , 2 , , n} Điều đó có nghĩa là