Hàm liên tục yếu và hàm khả vi trong không gian định chuẩn

Tuy nhiên phép tắnh vi phân của các hàmgiữa các không gian định chuẩn tổng quát để tập nghiên cứu và tìm hiểu về phép tắnh vi phân trong các trường hợp tổng quát hơn.. Dựa vào các tài li

\usepackage[viscii

\renewcommand\contentsname{\hfill \up{mục lục} \hfill~}

\def\refname{\hfill \up{tài liệu tham khảo}\hfill~}

\def\tp{{không gian tôpô}}

\def\kgdc{{không gian định chuẩn}}

\hspace*{220pt}\textbf{Cán bộ hướng dẫn khóa luận:}

\hfill{\sc PGS.TS ĐINH HUY HOÀNG}

%\hspace*{150pt}\textbf{Sinh viên thực hiện:} {\sc LÊ THỊ HOAN}

%\hspace*{220pt}\textbf{Lớp:} {42E$_2$ - Toán}

hàm từ $\r^n$ vào $\r^m$ Tuy nhiên phép tắnh vi phân của các hàm

giữa các không gian định chuẩn tổng quát

để tập nghiên cứu và tìm hiểu về phép tắnh vi phân trong các

trường hợp tổng quát hơn Dựa vào các tài liệu tham khảo

luận nghiên cứu hàm liên tục yếu và hàm khả vi trong không gian

tôi đưa ra và chứng minh một số kết quả về tắnh chất của hàm liên

tục yếu và mối liên hệ giữa hàm liên tục với hàm liên tục yếu Đó

là các Mệnh đề 2.6

\vskip 0.3cm

Trong mục 3

chi tiết các tắnh chất cơ bản của hàm khả vi trong không gian định

chuẩn đã được giới thiệu trong \cite{Je} Sau đó

và chứng minh một số kết quả về hàm khả vi yếu Đó là Mệnh đề

3.9

\vskip 0.3cm

Khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS Đinh Huy

Hoàng Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu s¡c đến thầy

tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu vừa

qua Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo

Toán đã giúp đỡ em rất nhiều trong suốt quá trình học tập và hoàn

thành khóa luận này

\hspace*{280pt}\textbf{Tác giả}

\newpage

\addtocounter{section}{1} % Đua vào cái này

\setcounter{subsection}{0} % và cung cái này n?a

\section*{\S1 \up{Các khái niệm cơ bản}}

\addcontentsline{toc}{section}{\S1 Các khái niệm cơ bản}

\vskip 0.4cm

\hspace*{20pt}Mục này dành cho việc giới thiệu một số khái niệm

và kết quả cơ bản cần dùng cho các mục sau Trong suốt khóa luận

ký hiệu $K$ là trường vô hướng ($K = \mathbb{R}$ hoặc $K =

3) Tồn tại $0 \in E$ sao cho $x + 0 = x$;

4) Với mọi $x \in E$

3) $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$

Không gian tuyến tắnh $E$ cùng một chuẩn trên nó \dgl \

\textit{không gian định chuẩn}

\vskip 0.3cm

\textbf{1.3 Định nghĩa.}\label{dn13} Cho $X \not= \emptyset$ vàhàm $d: X\times X \to \r$ Hàm $d$ \dgl \ hàm mêtric hay khoảngcách trên $X$ nếu thỏa mãn:

\textbf{1.5 Định nghĩa.} Một không gian định chuẩn $X$ \dgl \ một

\textit{không gian \bn} \ nếu $X$ đầy đủ với mêtric sinh bởi

\textbf{1.7 Mệnh đề.} \label{md17} \textit{Giả sử $E

không gian định chuẩn

\textit{i) $\lim\limits_{x \to a}f(x) = y$ khi và chỉ khi với mọidãy $\{x_n\} \subset E$ mà $x_n \to a$ thì $\lim\limits_{x_n \toa}f(x_n) = y$}

ii) \textit{Nếu tồn tại $\lim\limits_{x \to a}f(x)$ và

$\lim\limits_{x \to a}g(x) = y$

\[\lim\limits_{x \to a}\left(f(x) + g(x)\right) = \lim\limits_{x \toa}f(x) + \lim\limits_{x \to a}g(x)

\]

và \[\lim\limits_{x \to a}\alpha f(x) = \alpha\lim\limits_{x \toa}f(x)\] với mọi $\alpha \in K$.}

\vskip 0.3cm

\textbf{1.8 Định nghĩa.} Cho $E

xạ $f: E \to F$ \dgl \ \textit{\axtt} nếu $f(\alpha x + \beta y)

i) \textit{$f$ liên tục đều trên $E$;}

ii) \textit{$f$ liên tục trên $E$;}

iii) \textit{ $f$ liên tục tại điểm $0 \in E$;}

Ta viết $E^*$ thay cho $L(E

$E^*$ là không gian Banach

\vskip 0.3cm

\textbf{1.12 Định lý Haln-Banach}

\vskip 0.3cm

\textbf{1.12.1 Định lý Haln-Banach} (Cho không gian vectơ thực)

\textit{Giả sử $E$ là không gian vectơ thực

xác định trên $E$ Nếu $f$ là phiếm hàm tuyến tắnh xác định trênkhông gian con $F$ của $E$ thỏa mãn $f(x) \leq p(x)$

\in F$

$E$ sao cho $\tilde{f}|_F = f$ và $\tilde{f}(x) \leq p(x)$

mọi $x \in E$.}

\vskip 0.3cm

\textbf{1.12.2 Định lý Haln-Banach} (Cho không gian vectơ phức)

\textit{Giả sử $E$ là không gian vectơ phức

xác định trên $E$ Nếu $f$ là phiếm hàm tuyến tắnh xác định trênkhông gian con $F$ của $E$ thỏa mãn $|f(x)| \leq p(x)$

\in F$

$E$ sao cho $\tilde{f}|_F = f$ và $|\tilde{f}(x)| \leq p(x)$

mọi $x \in E$.}

\vskip 0.3cm

\textbf{1.13.2 Hệ quả.}\label{hq1142} \textit{Cho $F$ là khônggian vectơ con của không gian định chuẩn $E$

E\setminus{F}$ sao cho $d(v

\delta > 0$ Khi đó

\to K$ sao cho $\|f\| = 1$

\vskip 0.3cm

\textbf{1.13.3 Hệ quả.} \label{hq1143} \textit{Với mọi phần tử

$v$ trong không gian định chuẩn $E$

phiếm hàm tuyến tắnh liên tục $f$ trên $E$ sao cho $\|f\| = 1$ và

$f(v) = \|v\|$.}

\vskip 0.3cm

\textbf{1.14 Định lý đồ thị đóng.}\label{dl115} \textit{Giả sử

$f$ là ánh xạ tuyến tắnh từ không gian Banach $E$ vào không gianBanach $F$ Khi đó

tập đóng trong $E\times F$ }

\newpage

% và cung cái này n?a

\section*{\S2 \up{Hàm liên tục yếu} \\ \

chuẩn}} \addcontentsline{toc}{section}{\S2 Hàm liên tục yếu trongkhông gian định chuẩn}

\vskip 0.4cm

\hspace*{20pt} Trong mục này

trình bày hàm liên tục yếu trong không gian định chuẩn và nghiêncứu một số tắnh chất cơ bản của nó Ta luôn giả thiết $E

hai không gian định chuẩn

a\| \to 0$ thì $\|f(x_n) - f(a)\| \to 0$

Hàm $f: E \to F$ \dgl \ \textit{liên tục trên tập con} $A

\textit{ii) Nếu $f$ liên tục tại $a$ thì $\alpha f$ liên tục tại

$a$

\textit{Chứng minh.} i) Giả sử $\{x_n\} \subset E$ sao cho $x_n

\to a$ Khi đó

f(a)$ và $g(x_n) \to g(a)$ Do đó từ Mệnh đề 1.7 suy ra

Lấy $\varphi \in F^*$ bất kỳ

$\varphi$ liên tục nên từ (1) ta có

\[\varphi[f(x_n)] \to \varphi[f(a)] \

\textbf{2.5 Mệnh đề.}\label{md24} \textit{Giả sử $f

là hai hàm liên tục yếu Khi đó:}

i) \textit{$f + g$ liên tục yếu;}

ii) \textit{$\lambda f$ liên tục yếu

\textit{Chứng minh.} i) Với mỗi $\varphi \in F^*$

các hàm liên tục yếu nên theo Định nghĩa 2.3

\varphi\circ g$ là các hàm liên tục Do đó từ đẳng thức

$\varphi\circ(f + g) = \yy + \varphi\circ g$ và Định lý 2.2

suy ra $f + g$ là hàm liên tục yếu

ii) Với mọi $\lambda \in K$ và với mọi $\varphi \in F^*$

$\varphi\circ(\lambda f) = \lambda(\yy)$ Vì $f$ liên tục yếu nên

$\yy$ liên tục

$\varphi\circ(\lambda f)$ liên tục Vậy

\vskip 0.3cm

\textbf{2.6 Mệnh đề}\label{md25} \textit{Nếu $f: \mathbb{R} \to

\mathbb{R}$ là hàm liên tục yếu

tập compact Do đó

tập compact trong $\mathbb{R}$.}

\textit{Chứng minh.} Giả sử $K$ là tập compact trong $\mathbb{R}$

Ta ký hiệu $i$ là ánh xạ đồng nhất trên $\mathbb{R}$ Khi đóràng $i \in \mathbb{R}^*$ Vì $f$ liên tục yếu nên $i\circ f = f$

là hàm liên tục

compact trên $\mathbb{R}$ nên $f(K)$ là tập đóng và bị chặn

\begin{eqnarray*}

\sup\{f(x): x \in K\} &=& M \in f(K)\\

\inf\{f(x): x \in K\} &=& m \in f(K)

tuyên tắnh từ $E$ vào $F$ đều liên tục yếu.}

\textit{Chứng minh.} Giả sử $f: E \to F$ là ánh xạ tuyến tắnh và

$\varphi \in F^*$ Khi đó $\yy$ là ánh xạ tuyến tắnh từ $E$ vào

$K$ Do $E$ hữu hạn chiều nên $\yy$ liên tục Theo Định nghĩa 2.3

$f$ liên tục yếu

\vskip 0.3cm

\textbf{2.8 Định lý.}\label{dl27} \textit{Nếu $E

gian Banach thì mọi ánh xạ tuyến tắnh liên tục yếu từ $E$ vào $F$đều liên tục.}

\textit{Chứng minh.} Giả sử $f: E \to F$ là ánh xạ tuyến tắnh liêntục yếu từ không gian \bn \ $E$ vào không gian \bn \ $F$ Để chứngminh $f$ liên tục

$\varphi(f(x_n)) \to \varphi(y)$ \hfill (2)

Do $f$ liên tục yếu và $\varphi

\in F^*$ nên $\yy$ liên tục

(\yy)(x_n) \to (\yy)(x) = \varphi(f(x)).\]

Kết hợp với (2)

$\varphi(y - f(x)) = 0$

\addtocounter{section}{1} % Đua vào cái này

\setcounter{subsection}{0} % và cung cái này n?a

\section*{\S3 \up{Hàm khả vi}\\ \

chuẩn}} \addcontentsline{toc}{section}{\S3 Hàm khả vi trong khônggian định chuẩn}

\vskip 0.4cm

\hspace*{20pt}Trong mục này

$\r^n$ vào $\r^m$ ta trình bày khái niệm hàm khả vi

yếu giữa các không gian định chuẩn và nghiên cứu một số tắnh chấtcơ bản của chúng

\textbf{3.1 Định nghĩa.}\label{dn31} Giả sử $A$ là tập mở trong

$E$ và $f$ là ánh xạ từ $A$ vào $F$ Ta nói $f$ \textit{khả vitại} $a \in A$

và ký hi®u là $Df(a)$ hay $f'(a)$.

Nªu $f$ khä vi tÕi m÷i ði¬m cüa $A$

i) \textit{ÐÕo hàm $f'(a)$ là duy nh¤t;}

ii) \textit{Nªu $f$ liên tøc tÕi $a$

iii) \textit{Nªu $E$ hæu hÕn chi«u thì $f$ liên tøc tÕi $a$ }

\textit{ChÑng minh.} i) Giä sØ t°n tÕi hai ánh xÕ tuyªn tính $u

v: E \to F$ thöa mãn иnh nghîa 3.1 Ta s¨ chÑng minh r¢ng

\lim\limits_{h \to 0}\frac{\|f(a + h) - f(a) - u(h)\|}{\|h\|} &=& 0\\

\lim\limits_{h \to 0}\frac{\|f(a + h) - f(a) - v(h)\|}{\|h\|} &=& 0

\|u(h)\| &=& \|f(a + h) - f(a) - f(a + h) - f(a) - u(h)\|\\

&\leq& \|f(a + h) - f(a)\| + \|f(a + h) - f(a) - u(h)\|\\

&< & \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon

$f'(a)$ liên tøc Bây gi¶ ta chÑng minh $f$ liên tøc tÕi $a$ Tacó:

i) \textit{Nếu $f: A \to F$ là hàm hằng thì $f$ khả vi tại mọi điểm thuộc

$A$ và $f'(a) = 0$

ii) \textit{Nếu $f: A \to F$ là ánh xạ tuyến tắnh trên $A$ thì $f$ khả vi trên $A$ và $f'(a) = f$

\textit{ Chứng minh.} i) Giả sử $f(x) = c$

$a \in A$ và xét ánh xạ $u: E \to F$ xác định bởi $u(x) = 0$

mọi $x \in E$ Khi đó

Theo Định nghĩa 3.1 và Mệnh đề 3.2i) ta suy ra $f'(a) = 0$ Do $a

\in A$ bất kỳ nên $f$ khả vi trên $A$ và $f'(a) = 0$

\in A$

2) Nếu $f: A \to F$ là ánh xạ tuyến tắnh

với mọi $x \in A$ mà $x \not= a$

(f + g)'(a) &=& f'(a) + g'(a)\\

(\alpha f)'(a) &=& \alpha f'(a)

&\leq& \frac{1}{\|x - a\|}\|f(x) - f(a) - u(x - a)\| +

\frac{1}{\|x - a\|}\|g(x) - g(a) - v(x - a)\|

\end{eqnarray*}

Từ bất đẳng thức trên và giả thiết $f

ra $f + g$ khả vi tại $a$ và $(f + g)'(a) = f'(a) + g'(a)$.

Bây giờ với mọi $\alpha \in K$

tắnh Hơn nữa từ bất đẳng thức

\begin{center}

$0 \leq \dfrac{\|\alpha f(x) \alpha f(a) \alpha u(x

a)\|}{\|x a\|} \leq |\alpha|\dfrac{\|f(x) f(a) u(x

\textbf{3.5 Mệnh đề.} \label{md35} \textit{Giả sử $E

không gian định chuẩn

$a$

đó $h = g\circ f$ khả vi tại $a$ và $h'(a) = g'(b)\circ f'(a)$.}

\textit{Chứng minh.} Từ $f$ khả vi tại $a$ và $g$ khả vi tại $b$

suy ra với mọi $\epsilon > 0$ (có thể giả thiết $0

1$) ¡t tồn tại $r > 0$ sao cho với $s \in E$

h(a + s) &=& g(f(a + s))\\

&=& g(f(a) + f'(a)(s) + O_1(s))\\

&=& g(b + f'(a)(s) + O_1(s))\\

&=& g(b) + g'(b)(f'(a)(s) + O_1(s)) + O_2(f'(a)(s) + O_1(s))\\ &=& g(b) + g'(b)(f'(a)(s)) + g'(b)(O_1(s)) + O_2(f'(a)(s) + O_1(s))\\

&=& g(b) + g'(b)(f'(a)(s)) + O_3(s)

với mọi $s \in E$ mà $\|s\| < \dfrac{r}{\alpha + 1}$

Vì $\epsilon$ bất kỳ thuộc khoảng $(0

trái của bất đẳng thức trên có giới hạn bằng $0$ khi $s \to 0$.Mặt khác

\vskip 0.3cm

\textbf{3.7 Nhận xét.}\label{nx37} Vì hợp thành của hai hàm khả

vi là khả vi và mọi ánh xạ tuyến tắnh giữa hai không gian địnhchuẩn đều khả vi

khả vi yếu Tuy nhiên điều ngược lại nói chung không đúng

\vskip 0.3cm

Bây giờ

còn đúng cho hàm khả vi yếu hay không?

\textbf{3.9.Mệnh đề.}\label{md39} \textit{Giả sử $E

không gian định chuẩn

\to G$ là hàm tuyến tắnh liên tục Khi đó

vi yếu.}

\textit{Chứng minh.} Giả sử $\varphi \in G^*$ Khi đó

tuyến tắnh liên tục của hàm $g$

Vì $f$ khả vi yếu nên $(\varphi\circ g)\circ f$ khả vi

$(\varphi\circ g)\circ f = \varphi\circ(g\circ f)$

g\circ f$ khả vi yếu

\vskip 0.3cm

\textbf{3.10 Mệnh đề.}\label{md310} \textit{Nếu $E$ là không gianhữu hạn chiều và $F$ là không gian định chuẩn bất kỳ

khả vi yếu từ $E$ vào $F$ đều liên tục yếu.}

\textit{Chứng minh.} Giả sử $f: E \to F$ là hàm khả vi yếu Khiđó

f: E \to K$ là hàm khả vi Vì $E$ là không gian hữu hạn chiều nêntheo Mệnh đề 3.2iii)

tục yếu

\vskip 0.3cm

\textbf{3.11 Mệnh đề.}\label{md311} \textit{Giả sử $f: E \to K$

là hàm từ không gian định chuẩn $E$ vào $K$ Khi đó

yếu khi và chỉ khi $f$ khả vi.}

\textit{Chứng minh.} Theo Nhận xét 3.7

khả vi yếu Ngược lại

là ánh xạ đồng nhất Khi đó

khả vi

\section*{\up{Kết luận}}

\addcontentsline{toc}{section}{Kết luận}

Khóa luận đã

đạt được các kết quả chắnh sau đây

1) Dựa vào tắnh chất của hàm liên tục

mệnh đề về tắnh chất của hàm liên tục yếu và mối quan hệ giữa hàmliên tục và liên tục yếu trong không gian định chuẩn thể hiện ở

nocaptions]{vietnam}

\vspace*{1.6in} {\Large \textbf{\up{HÀM LIÊN TžC YŠU VÀ HÀM KHÄ VI} \\\up{TRONG KHÔNG GIAN ИNH CHU†N}}}

sinh viên đã được học khá kỹ về phép tắnh vi phân của

sinh viên chưa được học

khóa

khóa luận được chia thành ba mục

giới thiệu lại một số khái niệm và tắch chất cơ bản

liên tục yếu giữa các không gian định chuẩn Sau đó chúng

cô giáo trong khoa

khóa luận sẽ không tránh

cô giáo để khóa luận được hoàn thiện hơn

tháng 5 năm 2006}}

$E$ \dgl \ \textit{không gian tuyªn tính} trên $K$ nªu

với mọi $x \in E$ $\|x\| = 0$ khi và chỉ khi

F$ là hai không gian định

$f: E \to F$ và $a \in E$ Ta nói hàm $f$ \textit{có giới

nếu với mọi hình cầu $B(y

đều tồn tại hình cầu $B(x \delta) \subset

F$ là hai

thì tồn tại

$f(x + y) = f(x) + f(y)$ và $f(\alpha x) =

nghĩa là tồn tại $k > 0$ sao cho

với mọi $x \in E$.}

F$ là các \kgdc Ký hiệu

F)$ là không gian các \axtt liên tục từ $E$ vào $F$ Với

\text{ với mọi } x \in E\}

ta có thể kiểm tra được rằng công thức trên xác định một F)$ Hơn nữa ta có:

F)$ là một không gian \bn \ với chuẩn xác định

K)$ Vì $K$ là không gian Banach nên

$v \in

F) = \inf\limits_{x \in F}\|v - x\| =

tồn tại phiếm hàm tuyến tắnh liên tục $f: E

$f|_F = 0$ và $f(v) = \delta$.}

$f$ liên tục nếu và chỉ nếu đồ thị của nó là

\up{trong không gian định

dựa vào Định nghĩa hàm liên tục ta

F$ là

nếu với mọi dãy $\{x_n\} \subset E$

thì $f(x_n) \to f(a)$ Nói cách khác nếu $\|x_n

nếu $f$ liên tục tại mọi điểm thuộc $A$

g$ là hai ánh xạ từ $E$

với mọi $\alpha \in K$.}

vì $f$ và $g$ liên tục tại $a$ nên $f(x_n) \to

$f + g$ liên tục tại $a$

nếu $\varphi\circ f$ liên tục với mọi $\varphi \in F^*$

giả sử $f: E \to F$ là ánh xạ liên tục trên $E$ khi đó

$f$ liên tục yếu trên $E$

do đó $\lambda(\yy)$ liên tục nghĩa là

$\lambda f$ liên tục yếu

$F$ là không gian định chuẩn bất kỳ thì mọi ánh xạ

ta suy ra $\varphi(y) = \varphi(f(x))$ hay

với mọi $\varphi \in F^*$ Để kết thúc

ta sẽ chỉ ra rằng $y = f(x)$ Nếu $y \not= f(x)$ khi

ta suy ra $f$ liên tục

\\

\up{trong không gian định

dựa vào khái niệm hàm khả vi từ

ta gọi $u$ là \textit{đạo ánh} hay đạo hàm của $f$ tại $a$

v¾i m÷i $\epsilon > 0$ t°n tÕi $\delta > 0$ sao cho v¾i

ký hi®u $u = f'(a)$ V¾i m÷i

vì $f$ liên tøc và khä vi tÕi $a$ nên t°n tÕi $r

ta có:

$u$ liên tøc trên $E$

nghîa là

tính khä vi cüa $f$ tÕi $a$ và b¤t

ta suy ra $\|f(x) - f(a)\| \to 0$ khi $x \to

v¾i m÷i $a \in A$.}

v¾i m÷i $a \in A$}

v¾i m÷i $x \in A$ L¤y

v¾i m÷i $a \in A$

v¾i m÷i $\lambda \in

ta có $\alpha u$ là ánh xÕ tuyªn

còn $g: F \to G$ là hàm liên tøc khä vi tÕi $b = f(a)$ Khi

1)$ nên ta kết luận được vế

$g'(b)\circ f'(a)$ là ánh xạ tuyến tắnh nên Mệnh đề được

nếu $\varphi\circ f$ khả vi với mọi $\varphi \in F^*$

nên từ Định nghĩa 3.6 suy ra mọi hàm khả vi đều

ta xét xem một số tắnh chất tương tự như hàm khả vi có

vì $f$ khả vi yếu nên $\varphi\circ f$

$\varphi\circ f$ liên tục Do đó $f$ liên

\textit{Cơ sở giải tắch hiện đại} Tập I

Nxb Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà

1973

right=2.0cm] {geometry}

$\lambda \mu \in K$.

y \in X$ $d(x y) = 0$ khi và

$\alpha \beta

với mọi $\alpha \in K$ Nếu

các mệnh đề

y) \in G_f$.

y)$ nên $x_n \to x$ và

t°n tÕi $g \in

nói cách khác

\ \text{ v¾i m÷i } x \in E

$\|y\| = \dfrac{\delta}{2} < \delta$ Do

nghîa là $u = v$

v¾i m÷i

$\varphi\circ