Về bài toán nội suy p ADIC

Chẳng hạn Q, R, C là các trờng có đặc Một trờng F đợc gọi là trờng định chuẩn nếu trên F ta xác định một chuẩn.. Nói khác đi: mỗi chuẫn không tầm thờng trên trờng số hữu tỷ Q là tơng đơn

Chơng I. Số p-adic

Đ1 Kiến thức cơ sở.

(1) d(x,y) = 0 khi và chỉ khi x = y;

(2) d(x,y) = d(y,x);

(3) d(x,y) ≤ d(x,y) + d(y,z), với ∀ x, y, z ∈ X

Bây giờ, tập X mà chúng ta sẽ xem xét là trờng

1.2.Định nghĩa.

(a) Trờng là một tập hợp F có hơn một phần tử với hai phép toán cộng “+” và phép toán nhân “.” thoả mãn:

i) F với phép cộng là nhóm cộng giao hoán;

iii) Phép nhân phân phối với phép cộng

đ-ợc gọi là có đặc số 0 nếu s1 ≠ 0, ∀s ∈N* Có thể kiểm tra đợc rằng một trờng F tuỳ ý

hoặc có đặc số 0, hoặc có đặc số nguyên tố p Chẳng hạn Q, R, C là các trờng có đặc

Một trờng F đợc gọi là trờng định chuẩn nếu trên F ta xác định một chuẩn

d(x,y) = x−y Dễ dàng kiểm tra d thoả mãn các điều kiện của một metric Nh vậy

chuẩn trên trờng F xác định một tôpô

1.4 Các ví dụ về trờng định chuẩn.

1) Mỗi trờng F có một định chuẩn tầm thờng: 0 = 0 ; x = 1với 0 ≠ x ∈F

đó với mỗi 0 ≠ a ∈Q, ta có thể viết một cách duy nhất

n

p t

s

trong đó s, t, u, v ∈Z và không chia hết cho p

n p

m n

tv ut svp

p v

u p t

s b

p p b

a+ = − với m’ ≥m Do đó:

) , max( p p

p m

b

1.5 Định nghĩa Một chuẩn gọi là phi Acsimet nếu điều kiện 3) trong định

metric phi Acsimet nếu d(x,y) ≤ max(d(x,z), d(z,y)) Đặc biệt, một metric là phi

Acsimet nếu nó sinh bởi một chuẩn phi Acsimet

Chứng minh i) Giả sử là chuẩn phi Acsimet, ta có: 2 ≤ max( 1 , 1 ) = 1

ii) Giả sử 2 ≤ 1, ta chứng minh là phi Acsimet.

Với số tự nhiên n ∈N, viết trong hệ đếm cơ số 2: n = a0 + a12+ + as2s trong đó

1 s k m

n

n k k

+

≤ +

≤

=Suy ra n ≤k (s+ 1 )k. Cho k → ∞ , ta có n ≤ 1 với ∀ n ∈N

Với mọi k = 1, 2, ta có:

k k

k k

k k k k

k k

k k

k k

k k

b b

a b

a a

b C ab

C b a C a C

b a b

a

+ +

+ +

≤

+ +

+

=

+

= +

1 1 1

) (

1 0

với 1 là phần tử đơn vị của trờng F Ta có ƒ là một đồng cấu vành và Kerƒ = pZ Do

đó, theo định lý đồng cấu vành ta có

Zp = Z/pZ≅Imƒ⊂F

của trờng F

một chuẩn trên Imƒ Trên trờng hữu hạn Imƒ, ta có

0 n nếu

1 n

Đ2 Định lý Ostrowski

∞

x với α là số thực thoả mãn điều kiện 0 < α ≤

1 và ∞là giá trị tuyệt đối thông thờng, là một chuẩn trên trờng số hữu tỷ Q

Chứng minh Ta chỉ cần kiểm tra rằng

y

x + ≤ x + y , với ∀ x, y ∈Q.Thật vậy, giả sử x∞ ≤y∞và x ≠ 0, khi đó

1

1 1

1

α α α

α

α α α

α α

= +

y x x

y x

x

y x

x

y x

x

y x

y x

trờng số hữu tỷ Q Nói khác đi: mỗi chuẫn không tầm thờng trên trờng số hữu tỷ Q

là tơng đơng với một trong hai chuẩn sau:

(i) Chuẩn giá trị tuyệt đối ∞,

(ii) Chuẩn p-adic . p

Chứng minh Giả sử là chuẩn không tầm thờng trên Q Khi đó xảy ra 2 ờng hợp sau:

tr-1) Tồn tại số tự nhiên a > 1 sao cho a > 1

2) n ≤ 1, với mọi n ∈N

Trờng hợp 1) Bởi vì n = 1 + 1 + + 1 ≤ 1 + 1 + + 1 =n1 , với mọi n ∈N

Do đó có thể đặt:

a =aα , (1)trong đó α là một số thực thoả mãn điều kiện 0 < α ≤ 1

Lấy một số tự nhiên N bất kì, ta viết N trong hệ ghi cơ số a nh sau:

N = x0 + x1a + + x… k-1ak-1,trong đó xi là các số nguyên thoả mãn điều kiện 0 ≤ xi ≤ a - 1, 0 ≤ i ≤ k - 1, xk-1≥ 1

Đối với N, bất đẳng thức sau xảy ra:

ak-1 ≤ N ≤ ak (2)Thật vậy, theo sự xác định các xi ta có:

1

) 1 ( ( , 1

) 1 (

1

) 1 ( 1 ) 1 (

1

1 )

1 (

)

1 )(

1 (

) 1 (

) 1 ( 1

2 2 1

0

) 1 ( 1

2 2 1

0

1 1 1

−

≤

+ +

+

≤

+ + +

+

=

= +

+ +

α α

α

α α

α α

α α α

1)α - (k 2α

α

α α

α

α α

α

a

a a C CN N

a

a a

a a

a a a

a a

a

a a

a a

a a

a x a

x a x x

a x a

x a x x

a x a

x x N

k k

k

k k

k k

k k

N ≤Nα (3)Bây giờ ta đặt N = aK - b, trong đó 0 < b < ak - ak - 1, b ∈N Ta có:

.

b a b a b a

N = k − ≥ k − = kα −Mặt khác, theo (3) ta có:

a a

.

1 α

N C

Bây giờ ta giả sử x ∈Q, ta viết x =

N N

N N

Nếu với mọi số nguyên tố p mà ta có p = 1 thì n = 1, ∀ n ∈N*, do đó x = 1

1 ≤u p k +v q l ≤p k +q l <

Đặt p = ρ, 0 < ρ < 1 Vì rằng q = 1, với mọi số nguyên tố q ≠ p nên a = 1, với

a

ρ

p p b

a

2.3 ý nghĩa của định lí Ostrowski.

đầy đủ mà trong đó mọi dãy cơ bản đều là dãy hội tụ

1) Nếu xuất phát từ Q theo chuẩn giá trị tuyệt đối ∞, bằng phơng pháp Cantor ta thu đợc trờng số thực R là bổ sung đầy đủ của Q (R là trờng đầy đủ bé nhất chứa Q).

ta thu đợc trờng các số p-adic Qp là mở rộng đầy đủ của Q Chẳng hạn các trờng Q2,

Q3, Q5, …

Có thể minh hoạ điều nói trên bằng sơ đồ sau đây:

Đ3 Trờng số p-adic.

tồn tại N sao cho với mọi i, i’ > N ta có: x i −x i'p < ε

p

. nếu a i −b i p → 0 khi i →∞ Tập hợp tất cả các dãy cơ bản tơng đơng với nhau

Chúng ta kí hiệu Qp là tập hợp các lớp tơng đơng này

N − , a i p} suy ra a i N p≤ a i p do a i N p> ε,

R→C =

N→Z→Q

Qp→ →Cp =

các phần tử đại diện {ai} ∈ a, {bi} ∈ b Ta xây dựng hai phép toán sau:

a + b = {ai + bi}, ab = {aibi}Các phép toán không phụ thuộc vào phần tử đại diện

số p-adic và Qp là trờng mở rộng của trờng các số hữu tỷ

Định lý sau đây làm cơ sở cho việc xác định các số nguyên p-adic

thoả mãn hai điều kiện sau:

a − > với ∀ i ≥ i0 chứng tỏ {ai}~ / {ai’}

Sự tồn tại Giả sử có một dãy Côsi {bi} ta sẽ xây dựng {ai} thoả mãn yêu cầu của định

lý Để làm điều này ta sử dụng bổ đề sau

p p

b

a b

a am

−

p p i

mb− 1 = = / ≤ 1 /

b − ' ≤ −

với ∀ i,j ≥ N(j) (Chúng

nếu i ≥ N(1) bởi vì với i’ ≥ N(1) ta có: b i p ≤ max( b ' i p, b i −b i' p) ≤ max( b ' i p

,1/p), và b ' i p → a p≤ 1 Ta sử dụng bổ đề chọn dãy số nguyên aj, trong đó 0 ≤ aj <

p ) N

p

i

a − = − + − ( ) − ( − ( )) ≤ max(a i −a j p,a j −b N(j) p, b i −b N(j) p) ≤ max(1 p i ,1 p i ,1 p i ) =1 p i Từ đó a i −b i p→ 0 khi i → ∞ Định lý đợc chứng minh

Trong định lý 3.4 ta luôn giả thiết a p≤ 1 Vậy điều gì xảy ra khi a p>1 Để đi

đến kết luận, chúng ta biến đổi nh sau:

Đặt a’ = αm, rõ ràng a' p≤ 1 Khi đó a’ = {aj’} thoả mãn giả thiết định lý và

a = ai’p-m Để thuận lợi trong trình bày chung, chúng ta viết ai’ trong hệ đếm cơ số p, nghĩa là

ai’= b0 + b1p + b2p2 + …+bi-1pi-1, trong đó bi là các chữ số, 0 ≤ bi < p

Điều kiện của định lý 2: ai’ ≡ ai+1’ (modpi) do đó

ai+1’ = b0 + b1p + b2p2 + …+ bi-1pi-1+ bipi

Nh vậy mọi số p-adic a ∈ Qp đều có dạng:

1 1

b p

b

m m

trong đó bi là các chữ số, bi∈ {0, 1, …p-1}

Chúng ta đặt Zp = {a ∈ Qp: a p≤ 1}, rõ ràng Zp là tập hợp tất cả các số thuộc Qp

mà trong biểu thức xác định không chứa luỹ thừa âm của số nguyên tố p Phần tử của

Zp đợc gọi là số nguyên p-adic Vậy a ∈ Zp⇔ a = a0 + a1p + a2p2 +…, 0 ≤ ai < p

Zp là vành con của Qp không là ớc của 0

Chứng minh Nếu a là đơn vị thì a p=1 ⇒ a0 ≡ 0 (mod p) Ngợc lại, nếu a0 ≡ 0 (mod p)

−m i i

b

+ …+ b0 + b1p + b2p2 + …+ bNpN.Dãy của tổng riêng {Sn} rõ ràng là Cauchy: nếu M > N thì S N −s M p<1 p N do

đó hội tụ tới một phần tử trong Qp

Tổng quát hơn, nếu {ci} là một dãy số p-adic nào đó thoả mãn c i p→ 0 khi i →∞

thì dãy tổng riêng SN = c1 + c2 + … + cN hội tụ tới một giới hạn, ta kí hiệu ∑∞

= 1

i i

Nh vậy một chuỗi p-adic dễ kiểm tra tính hội tụ hơn chuỗi số thực Một chuỗi số

0

Đ4 Cấu trúc tôpô và một số tính chất hình học trên

trờng định chuẩn phi Acsimet.

∀ a, b ∈F, ta có a+b ≤ max(a,b)

) , max(a b b

Chứng minh Giả sử a > b Ta cần chứng minh

a+ = a

Trớc hết ta có a+b ≤ max( a , b ) = a Giả sử ngợc lại rằng a+b < a , thế thì

).

max(

) , max(

b b a

b b a b

b a a

+

=

− +

≤

− +

tồn tại một hình cầu S(a,r) ⊂ A (do đó x0∈ A)

của G Ngoài ra ta coi tập ∅ là tập mở

một tôpô trên trờng F và do đó F cùng với họ các tập mở f lập thành một không

gian tôpô.

Chứng minh 1) ∅∈f và F∈f là hiển nhiên

2) Nếu Gα∈ f với α ∈ I thì  α∈I Gα∈ f Thật vậy, giả sử x0 ∈ G =  α∈I Gα Khi đó tồn tại α ∈ I, sao cho x0 ∈ Gα Vì Gαlà tập mở nên tồn tại hình cầu S(x0,r) ⊂

Gα⊂ G Do đó, x0 là điểm trong của G, mà x0 là điểm tuỳ ý của G, vậy G mở

3) Nếu Gi ∈ f, i = 1, , n ∈ N, thì G’ = i n=1G i là mở Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh cho n = 2 Giả sử x0 ∈ G1 ∩ G2, khi đó vì x0 ∈ Gi và Gi mở nên tồn tại hình cầu S(x0, ri) ⊂ Gi, (i = 1, 2) Ta lấy 0 < r ≤ min(r1, r2), khi đó

S(x0, r) ⊂ S(x0, ri) ⊂ Gi (i = 1, 2)

Suy ra x0 là điểm trong của G1 ∩ G2 Vậy G1∩ G2 là tập mở.

Sau đây, ta quan sát một số tính chất hình học đặc thù của trờng định chuẩn phi

S = ∈F − <

phần bù của S(a, r) trong F cũng là tập mở Thật vậy, lấy y ∉ S(a, r), khi đó

z y , y a max

) z y ( ) y a ( z a

−

=

−

Vì vậy, a−z =a−y =r, hay z ∉ S(a, r) Nh vậy, với mọi y ∉ S(a, r) luôn có

tập mở hay S(a, r) là tập đóng

4.5 Mệnh đề Mọi điểm của hình cầu mở S(a, r) là tâm của hình cầu đó.

Chứng minh Với mọi điểm x của hình cầu mở S(a, r), ta chứng minh S(a, r) = S(x, r)

i) Thật vậy, trớc hết với mọi điểm tuỳ ý y thuộc S(x, r) ta có:

r y

x− ≤

Do đó, ta suy ra

(a x , x y) r , max

y x x a y a

−

=

−

hay y thuộc S(a,r) Vì vậy, S(x, r) ⊂ S(a, r)

ii) Ngợc lại với mọi điểm y ∈ S(a, r), ta có a−y <r Từ đó, ta có:

(a x , a y) r max

y a a x y x

4.6 Mệnh đề Hai hình cầu trong trờng định chuẩn phi Acsimet hoặc trùng

nhau, hoặc không giao nhau, hoặc lồng nhau (xem các hình vẽ dới đây)

Chứng minh Giả sử S(a, r) và S(a’, r’) là hai hình cầu trong trờng (F, ) Giả thiết S(a, r) và S(a’, r’) có giao khác rỗng, nghĩa là có điểm x ∈F sao cho x ∈ S(a, r) và

x ∈ S(a’, r’) Theo mệnh đề 4.5, ta có S(a, r) = S(x, r) và S(a’, r’) = S(x, r’)

Nếu r < r’ thì S(x,r) ⊂ S(x, r’), do đó S(a, r) ⊂ S(a, r’) (xem hình 3)

Nếu r = r’ thì S(x,r) = S(x, r’), do đó S(a, r) = S(a, r’) (xem hình 1)

4.7 Mệnh đề Mọi tam giác trong tr“ ” ờng định chuẩn phi Acsimet ( F , )

đều là tam giác cân.

Chứng minh Ta gọi “tam giác” trong trờng định chuẩn phi Acsimet (F, ) là

bộ ba phần tử phân biệt xyz ∈F Ta gọi độ dài cạnh x, y là giá trị thực x−y

Giả sử x−y ≠x−z Chẳng hạn x−y >x−z Khi đó, ta có

y x z y

z x , x y max

z x x y z y

Chơng II. Nội suy hàm chỉnh hình, phân hình p-adic.

ng-ời ta thờng sử dụng hai phơng pháp, về cơ bản liên quan chặt chẽ với nhau, đó là

liên tục trên vành các số nguyên p-adic Zp, Mahler chứng tỏ rằng có thể nội suy ƒ từ tập các số nguyên (hữu tỷ) Năm 1964, Kubota và Leopoldt đã dùng phơng pháp nội

theo dãy trù mật Tuy nhiên Mahler và Amice đều dùng hai phơng pháp nội suy các hàm liên tục trên tập compact theo dãy điểm trù mật nên chỉ áp dụng đợc đối với hàm giới nội

và ứng dụng để xây dựng một điều kiện cần và đủ cho một dãy điểm là dãy nội suy

suy p-adic cho hàm không giới nội Việc nghiên cứu lý thuyết hàm trên trờng không

Acsimet đòi hỏi nghiên cứu bài toán nội suy hàm chỉnh hình, phân hình trên phạm vi rộng hơn Theo hớng đó, trong mục này chúng tôi xét bài toán nội suy hàm chỉnh

p

rằng để nội suy đa thức bậc càng lớn càng cần nhiều điểm nội suy Tơng tự, hàm chỉnh hình có cấp tăng càng lớn thì dãy nội suy càng cần nhiều điểm Vì vậy cùng với khái niệm độ cao của hàm chỉnh hình, chúng tôi xây dựng khái niệm độ cao của dãy

p

với cấp tăng của hàm cần nội suy Trớc hết chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và

Đ1 Hàm chỉnh hình p-adic.

sau đây đợc dùng xuyên suốt luận án

a hội tụ nếu và chỉ nếu lim→∞ n =0

} 0

Nếu ta viết chuỗi (1) thành tổng của hai chuỗi ∑− −

−

=

−n n

n a sup lim z

z

0

1 1

' r z

z− 0 >1 =

} r z z C

) z (

Nếu tồn tại n < 0 mà an ≠ 0 và am = 0 với mọi m < n thì z0 là cực điểm (cấp n) của ƒ Nếu tồn tại vô số n < 0 mà an ≠ 0 thì z0 là điểm bất thờng cốt yếu Nếu an = 0 với mọi

n < 0 thì z0 là điểm bất thờng bỏ đợc và hàm ƒ có thể thác triển chỉnh hình tới z0 Nếu

ƒ là chỉnh hình kể cả tại z0, ta nói ƒ chỉnh hình trên đĩa D(z0,r), khi đó với mọi z ∈

D(z0,r) hàm ƒ biểu diễn đợc bởi chuỗi Taylor

) z z ( a )

z (

f

n

n n

đợc nh là đa thức của z và z-1) thì ƒ có vô số không điểm

Giả sử ƒ và g là các hàm chỉnh hình không có không điểm chung trên Cp và g ≡/0

Ta gọi ϕ = g f là hàm phân hình.

Ký hiệu M(Cp) là tập hợp các hàm phân hình trên Cp Thế thì M(Cp) chứa tập hợp Cp(z) các hàm hữu tỷ Hàm ϕ phân hình trên Cp mà không phải là hàm hữu tỷ, đ-

ợc gọi là hàm siêu việt

Đ2 Độ cao hàm phân hình p-adic trên *

p

C .

lĩnh vực này nh tơng tự p-adic của công thức Poisson-Jensen, hai định lý cơ bản trong

lý thuyết Nevanlinna cùng một vài ứng dụng khác đã đợc công bố trong các công trình của nhiều nhà toán học

Trong phần này, nhằm mục đích xây dựng định lý nội suy cho các hàm chỉnh

p-adic trên mặt phẳng thủng *

p

dựng trớc đây bởi tác giả Hà Huy Khoái

Ký hiệu +

t f

t f

mà tại đó v(an) + nt đạt giá trị bé nhất ( −

t f

t f

n , )

p

C Khi đó i) Các hàm +

t f

t f

n , không tăng theo t, ii) Hàm +

t

f

n , nửa liên tục phải, hàm −

t f

n , nửa liên tục trái theo t.

Đặt +

t f

t f

n , x t, h−f,t = −

t f

n , x t, h f,t = −

t f

t f

h , .

2.2 Định nghĩa Cho ƒ là hàm chỉnh hình trên *

p

C Ta gọi h+f,t , h−f,t , h f,t lần lợt

là độ cao địa phơng phải, độ cao địa phơng trái, độ cao địa phơng của ƒ tại t = v(z)

2.3 Định nghĩa i) Độ cao của hàm chỉnh hình ƒ tại v(z) = t, ký hiệu qua H(ƒ,t),

đợc định nghĩa bởi hệ thức: H(f,t) min{v(a n) nt}.

Z

=

∈ii) Cho ϕ = g f là hàm phân hình trên *

p

C Với mỗi n ta vẽ đồ thị v(anzn) = v(an) + nt của hàm Γn Đồ thị này là một đờng thẳng

phía dới các đờng thẳng Γn Trên một đoạn [r,s] hữu hạn của R chỉ có hữu hạn Γn có

đoạn chung với biên của giao các nửa mặt phẳng này Vì vậy đờng biểu diễn của

tới hạn Nếu ti là một điểm tới hạn của f thì v(an) + nti đạt cực tiểu tại ít nhất hai giá trị của n

n

n

n z p z

t f

n , = k, +

h , = -2k - 1, h f,t +

k

t f

g là chỉnh hình không có không điểm tại v(z) = t và

}

p p z

t f

n , và v(an) + nt đạt cực tiểu tại duy

t f

t f

n , Tại v(z) = t ta có H(ƒ,t) = v(an) + nt

Hơn nữa

}

max )

p

C Với mỗi t ∈ R ta có i) H(f + g,t) ≥ min{H(f,t),H(g,t)}.

H(ƒ + g,t) = minn∈Z {v(an + bn) + nt} ≥ minn∈Z {min{v(an),v(bn)} + nt}

≥ minn∈Z {v(an) + nt, v(bn) + nt} ≥ min{H(ƒ,t), H(g,t)}.

ii) Giả sử t không là điểm tới hạn của ƒg, khi đó fg p =p−H ( fg t ) .

Mặt khác fg p = f p g p =p−H f , ) p−H ( g , ) =p−{ H f , )+H ( g , t )} .

Suy ra H(ƒg,t) = H(ƒ,t) + H(g,t).

cũng đúng tại t là điểm tới hạn của ƒg.

H(f,t) = minn∈Z {v(an) + nt} = min{min0

Mặt khác, tồn tại t0 ∈ R sao cho H(ƒ+,t0) = H(ƒ-,-t0) Thật vậy, nếu ƒ+≡ 0 thì

t0 = -∞, nếu f- ≡ 0 thì t0 = +∞; nếu ƒ+, ƒ- ≡/0 thì t0 là điểm tới hạn của ƒ sao cho

H(ƒ-,-t0) = minn≥0 {v(a-n) - nt0} = mmin≤−1{v(am) + mt0}

0

,t f

n là số nguyên dơng bé nhất nên từ n−f ,t−1= n+f ,t0< −

0

,t f

Mối quan hệ giữa độ cao của hàm ƒ và độ cao của các hàm ƒ+, ƒ- đợc thể hiện qua bổ đề sau.

t t

nếu

)t ,f (H

)t, f(

t t nếu

t, f

t,f

h h

t t nếu

t, f

t,f

h h

t t nếu

t, f

t, f

h h

2) Hàm f là hằng số ⇔ H(f,t) là đại lợng bị chặn khi t →∞.

Định lý sau đây là một dạng của Công thức Poisson-Jensen cho hàm chỉnh hình adic một biến trên mặt phẳng thủng

t f

<

<s t t

s f

s f

h

3) H(f,t) - H(f,t′) = +

t f

Nhận xét Các tổng trong phát biểu của định lý 2.10 đều chỉ là các tổng hữu

hạn, vì trong mỗi khoảng hữu hạn của R chỉ tồn tại hữu hạn giá trị s mà tại đó hf,s ≠ 0

Đ3 Nội suy hàm chỉnh hình, phân hình p-adic.

thủng Nh đã biết, hàm có cấp tăng càng lớn thì càng cần nhiều điểm nội suy Vì vậy cần phải xác định đợc mức độ “nhiều ít” của số điểm cần dùng để nội suy Sau đây

1 v(ui) ≥ v(ui + 1) với ∀i ∈Z

2 Số phần tử ui sao cho t < v(ui) < t′ là hữu hạn với mọi t,t′ ∈R, -∞ < t < t′ < +∞

Chú ý rằng u0 đợc chọn sao cho t0 = v(u0) Với các giả thiết trên ta có thể viết dãy V dới dạng: