Một số bài toán về IĐÊAN trong vành đa thức

Ví dụ : + Tập hợp Z các số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân thông ờng là một vành giao hoán, có đơn vị gọi là vành các số nguyên.. th-+Tập hợp các số tự nhiên N cùng với phép cộng

Bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh

lời nói đầu

Vành đa thức là một lớp vành quen thuộc Nó là đối tợng mà ngời ta ờng lấy làm ví dụ minh hoạ cho các vấn đề trong nhiều ngành toán học nh Hìnhhọc, Đại số, Giải tích,… Mặt khác, đối với mỗi vành, khái niệm iđêan là khái

th-niệm quan trọng nhất để nghiên cứu cấu trúc của vành

Cho R=K[x1,…,xn] là vành đa thức n biến trên trờng K Trong vành này ngời taquan tâm đến các bài toán sau

1 Bài toán thành viên: Cho f∈R và I= (f 1 ,…,f s ) ⊆ R là một iđêan của vành Xác định xem f ∈I ?

2 Giải hệ phơng trình đại số : Tìm nghiệm của hệ phơng trình

5 Bài toán phân tích một iđêan thành giao của các iđêan bất khả qui.

Khi n ≥ 2, ngay cả trong những ví dụ tởng nh đơn giản, cũng không thấy có lờigiải hiển nhiên cho các bài toán này Dùng lý thuyết cơ sở Grobner chúng ta cóthể giải quyết đợc những bài toán trên (xem [1])

Nh ta đã biết, lớp các iđêan đơn thức đóng một vai trò hết sức quan trọngtrong vành đa thức, mặc dù chúng là những iđêan khá đơn giản, iđêan sinh bởicác đơn thức Mục đích của luận văn này là tìm lời giải cho một số trong nhữngbài toán nói trên trong trờng hợp iđêan đơn thức

Nội dung của luận văn đợc viết thành hai chơng

Chơng I, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về lý thuyết vành, lýthuyết iđêan và một số kiến thức về vành đa thức Đặc biệt trong chơng này

chúng tôi đã giải quyết đợc bài toán tìm phần tử sinh cho iđêan trong vành đathức một biến

Chơng II, chúng tôi tìm lời giải cho bài toán thành viên, Bài toán tìm giao

và thơng, Bài toán phân tích iđêan thành giao của các iđêan bất khả qui Đặcbiệt đối với mỗi bài toán chúng tôi đều đa ra khá nhiều ví dụ minh hoạ

Để hoàn thành luận văn này tôi đã nhận đợc sự hớng dẫn nhiệt tình củaTiến sỹ Nguyễn Thị Hồng Loan và các thầy cô giáo Nhân dịp này tôi xin chânthành cảm ơn Tiến sỹ Nguyễn Thị Hồng Loan, cùng các thầy cô giáo trong khoaToán, đặc biệt là tổ Đại số đã giúp đỡ cho tôi hoàn thành luận văn này Mặc dầu

đã hết sức cố gắng nhng không thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tôi rất mongmuốn nhận đợc ý kiến góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn

Vinh, 4/2004

Chơng I vành đa thức

Đ.1 một số kiến thức cơ bản về vành

1.1 Khái niệm vành

1.1.1 Định nghĩa Ta gọi vành là một tập hợp R cùng với hai phép toán hai ngôi

đã cho trong R kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu cộng và nhân gọi là phép cộng

và nhân sao cho các điều kiện sau thoả mãn

- Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0 và gọi là phần tử không của vành.

- Phần tử đối xứng (đối với phép cộng ) của một phần tử x, kí hiệu là - x

và gọi là đối của x Nếu phép nhân là giao hoán thì bảo vành R là vành giáo hoán Nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi đó là phần tử đơn vị của vành

R và thờng kí hiệu là e hoặc 1(nếu không sợ nhầm lẫn)

1.1.2 Ví dụ :

+) Tập hợp Z các số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân thông ờng là một vành giao hoán, có đơn vị gọi là vành các số nguyên Ta cũng cóvành các số hữu tỷ Q, vành các số thực R, vành các số phức C đối với phépcộng và nhân thông thờng

th-+)Tập hợp các số tự nhiên N cùng với phép cộng và phép nhân khôngphải là một vành vì không tồn tại phần tử đối của phần tử a ≠ 0

Để thuận tiện, từ nay về sau ta luôn giả thiết vành là giao hoán và có đơn vị

1.2 Iđêan.

1.2.1 Định nghĩa i) một iđêan trái của vành R là một vành con A ⊆ R có tínhhấp thụ đối vơí phép nhân từ bên trái tức là : ra ∈ A, ∀r ∈R ∀a ∈ A

ii) Một iđêan phải của vành R là một vành con A ⊆ R có tính hấp thụ đốivới phép nhân từ bên phải, tức là: ar ∈ A, ∀r ∈ R, ∀a ∈ A.

iii) Nếu vành con A ⊆ R vừa là một iđêan trái vừa là một iđêan phải thì nó

đ-ợc gọi là một iđêan

Đối với vành giao hoán các khái niệm iđêan, iđêan trái, iđêan phải làtrùng nhau

1.2.2 Ví dụ

a) Bộ phận {0} và bộ phận R là hai iđêan của vành R

b) Bộ phận mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trớc

là một iđêan của vành các số nguyên Z

1.2.3 Một số khái niệm khác.

1.2.3.1 Iđêan sinh bởi một tập, iđêan hữu hạn sinh

Cho R là một vành và S là một tập con của R Khi đó giao của tất cả cáciđêan của R chứa S là iđêan bé nhất của R chứa S Iđêan đó đợc gọi iđêan sinhbởi S

i s

r ri∈R,si∈s}

Chú ý: (i) Cho I = (a1,… an) và J = (b1…bn) là hai iđêan hữu hạn sinh của vành

R Khi đó I ⊆ J nếu và chỉ nếu ai ∈ J, ∀i = 1,…,n từ đó suy ra I = J khi và chỉkhi ai ∈ J và bj ∈ I ∀i = 1,…, n và j = 1,…, m

(ii) Iđêan I = R khi và chỉ khi 1∈I

1.2.3.2 Iđêan nguyên sơ.

Cho R là vành giao hoán có đơn vị, F là một iđêan của vành R, F đợc gọi

là iđêan nguyên sơ nếu ∀x,y ∈ R, xy ∈ F và nếu x ∉ F thì tồn tại số tự nhiên nsao cho yn ∈ F

1.2.3.3 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại.

Iđêan P của vành R đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu P ≠ R và với mọi x,y

∈ R mà xy ∈ P thì suy ra hoặc x ∈ P hoặc y ∈ P

Iđêan M của vành R đợc gọi là cực đại nếu M ≠ R và không tồn tại iđêan

I ⊃ M sao cho I ≠ M và I ≠ R Nói cách khác M là cực đại theo quan hệ baohàm trong tập các iđêan thực sự của vành R

Ví dụ: Trong miền chính Z, iđêan nZ là nguyên tố nếu và chỉ nếu n là một số

nguyên tố

Thật vậy, giả sử nZ là iđêan nguyên tố Ta có n ∈ nZ Nếu n là một hợp

số thì n = r.s (1 < r, s < n) Tuy nhiên r ∉ nZ và s ∉ nZ Do đó nZ không phải làiđêan nguyên tố Mâu thuẫn suy ra n nguyên tố

Ngợc lại nếu n = p là một số nguyên tố và xy ∈ pZ, thì xy chia hết cho p.Khi đó hoặc x chia hết cho p, hoăc y chia hết cho p, có nghĩa là x ∈ pZ hoặc y

∈ pZ Vậy pZ là một iđêan nguyên tố hay nZ là iđêan nguyên tố

Chú ý rằng : P là iđêan nguyên tố của vành R khi và chỉ khi R/P là miềnnguyên

M là iđêan cực đại của vành R khi và chỉ khi R/M là một trờng

1.2.3.4 Iđêan chính iđêan sinh bởi một phần tử gọi là iđêan chính

Ví dụ: Trong vành các số nguyênZ, mọi iđêan đều có dạng mZ,với m là một số

nguyên nào đó nên chúng là iđêan chính :mZ =(m)

1.2.3.5 Iđêan bất khả qui.

Cho I là một iđêan, ta nói rằng iđêan I bất khả qui nếu I=I1∩I2với I1, I2

là 2 iđêan của vành R thì I1 = I hoặc I2 = I, nghĩa là I không phân tích đợc thànhgiao của 2 iđêan thực sự chứa nó

1.3 Vành Noether

1.3.1 Định nghĩa Vành R đợc gọi là vành Noether nếu mọi dãy tăng các iđêan

trong R đều dừng, nghĩa là nếu I0 ⊆ I1 ⊆ I2 ⊆ …⊆ In⊆ In+1 ⊆ … là 1 dãy tăng cáciđêan trong R thì tồn tại một số tự nhiên n sao cho In = In+1 =…

Chúng ta có thể nhận biết vành Noether qua nhiều đặc trng khác nhau thểhiện qua định lý sau đây.

1.3.2.Định lý Giả sử R là một vành khi đó các điều kiện sau là tơng đơng

(i).Mọi tập khác rỗng các iđêan trong vành R đều có phân tử cực đại (ii).Mọi iđêan trong vành R đều hữu hạn sinh

(iii).Mọi dãy tăng các iđêan trong R đều dừng

Chứng minh (i)⇒ (ii).Giả sử I là một iđêan của vành R và a1∈ I nếu I = < a1>

⇒ (Vì I là hữu hạn sinh)

Nếu I ≠ <a1> thì thì tồn tại a2∈I nhng a2 ∉ <a1>.Tiếp tục quá trình suyluận này thu đợc dãy Iđêan :

<a1>⊂ < a1,a2>⊂ < a1,a2,a3 > ⊂ … (1)

theo (i) trong dãy (1) có phần tử cực đại (a1, ,an) nào đó Rõ ràng I

= < a1,…an> (theo định nghĩa vành Noether) Do đó I là iđêan hữu hạn sinh.(ii) ⇒ (iii) Giả sử I là hợp của tất cả iđêan trong dãy tăng I1⊂ I2⊂ … ⊂

Khi đó I là một iđêan của R và do đó nó đợc sinh ra bỡi hữu hạn phần tử

x1,…, xk, mỗi xi đều thuộc một iđêan trong dãy tăng kể trên Vì thế có một iđêanchứa tất cả x1,…,xk Ta có In = < x1,…,xk > = I Vậy In=In+1=…

(iii)⇒(i) :Ta chứng minh bằng phản chứng

Giả sử ∑ là một họ khác rỗng các iđêan của R không có phần tử cực đại.Giả sử I1∈∑ Vì ∑ không có phần tử cực đại nên có I2∈∑ và I2 thực sự chứa I1.Nếu đã có iđêan Ii, vì iđêan ∑ không có phần tử cực đại nên tồn tại iđêan I1 +1∈

∑ và iđêan Ii+1 thực sự chứa Ii Ta thu đợc dãy tăng không dừng các iđêan concủa ∑ : I1⊂ I2 ⊂ …⊂ …Điều này là mâu thuẫn với giả thiết Vậy mệnh đề đợcchứng minh

1.3.3 Một số ví dụ về vành Noether

Ví dụ 1: Vành các số nguyên Z là vành Noether vì, mọi iđêan của Z có dạng

mZ (m∈ Z ) có nghĩa là mọi iđêan của Z đều hữu hạn sinh (sinh bởi một phần

tử )

Ví dụ 2: Mọi trờng X đều là vành Noether

Do trờng X bất kì chỉ có 2 iđêan là {0} và X Vậy dãy tăng các iđêan chỉ

là {0} ⊂ X (dãy có hai phần tử ) Suy ra dãy dừng

( Hoặc 2 iđêan đó đều hữu hạn sinh vì {0} = < 0 >, X = <1> )

2.1.1 Định nghĩa Vành A nói trên vành đa thức của ẩn X (hoặc biến X) với

các hệ số (hoặc hệ tử) trong R, và đợc kí hiệu là R [X] Mỗi phần tử của R[X]

đợc gọi là một đa thức của ẩn X Đa thức dạng anXn đợc gọi là một đơn thức.

Giả sử f = a0 + a1X + a2X2 +…+ anXn với an ≠ 0 Khi đó ta nói f có bậc n,

và viết là deg(f) = n Phần tử ai đợc gọi là hệ tử cao nhất Bậc của đa thức 0

th-ờng đợc ký hiệu bằng -∞

Vành đa thức R[X1,…,Xn] của n ẩn X1,X2,…,Xn đợc định nghĩa bằng quynạp nh sau :

2.1.2 Định nghĩa R[X1,…,Xn] = R[X1,…,Xn-1] [Xn] Nói cách khác, R[X1,…,Xn]

là vành đa thức của ẩn Xn với các hệ tử trong R [X1,…,Xn-1]

2.1.3 Chú ý (i) Cho R là một vành và x1,x2,…,xn (n ≥ 1) là các biến Ta gọi đơn thức là một biểu thức có dạng a 1

1

x ,…, a n

n

x , trong đó a1,a2,…,an ∈ N, (a1,…,an) ∈

Nn gọi là bộ số mũ của đơn thức Nếu a0 = a1 = … = an = 0 thì đơn thức đó đợc kíhiệu là 1

(ii) Giả sử cho f(x1,…,xn) ∈R [x1,…,xn] là một đa thức khác 0

…,ain) ≠ (aj1,…,ajn) khi i ≠j Ta gọi là bậc của đa thức f(x1, ,xn) đối với ẩn xi số

mũ cao nhất mà xi có đợc trong các hạng tử của đa thức

Nếu trong đa thức f(x1,…, xn) ẩn xi không có mặt thì bậc của f(x1,…,xn) đối với

Bậc của đa thức là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử của nó

Ví dụ: Đa thức f(x1,x2,x3) = 2x1x23x35 - 3x39 - 5x1x25x34 + 6 có bậc là 10,nhng đối với x1 nó có bậc là 1

x trong đó a1, a2,…an∈ N đợc gọi là một đơn thức, bộ số (a1,a2,…,an) ∈

Nn gọi là bộ số mũ của đơn thức Nếu a1 = … = an = 0 thì đơn thức đó đợc kí hiệu

là 1 Phép nhân trên tập các đơn thức đợc định nghĩa nh sau

( 1 n) ( 1 n) 1 1 a n b n

n b a 1

b n

b 1

a n

Từ là một biểu thức có dạng α a 1

1

x … a n

n

x với α∈R, α gọi là hệ số của từ.

Thông thờng phần tử của vành cơ sở R đựoc gọi là phần tử vô hớng Hai từ khác

hệ số αa ≠ 0 Từ αaxa với αa ≠ 0 gọi là từ của đa thức f(x) và xa gọi là đơn thức

của f(x) Hai đa thức f(x) = ∑αaxa, (a ∈ Nn) và g(x) = ∑βaxa, (a∈Nn) bằng nhau

nếu với mọi a ∈Nn ta có αa =βa

Phép cộng đa thức đợc định nghĩa nh sau :

(∑αaxa) +(∑βaxa ) = ∑(αa+βb )xa, a ∈Nn vì αa +βa ≠ 0 nếu αa≠ 0 hoặc βa ≠ 0 nêntrong biểu thức ở vế phải cũng chỉ có hữu hạn hệ số khác không và nó đúng là

đa thức Ta sẽ đồng nhất từ αxa với đa thức ∑βbxb, (b∈Nn) trong đó βa=a và βb=

0 ∀ b ≠ a Chú ý rằng theo cách này tất cả các từ với hệ số 0 đều đồng nhất vớimột đa thức có tất cả các hệ số bằng 0 Đa thức đặc biệt này gọi là đa thức không, và cũng kí hiệu là 0 Đa thức hằng α là đa thức tơng ứng với từ α1 Nếu a 1

đa thức từ nh trong (*) Đơng nhiên mỗi đa thức có nhiều cách biểu diễn nh vậy

Phép nhân đa thức đợc định nghĩa nh sau :

( ∑αaxa )(∑βaxa) = ∑γaxa, trong đó γa = ∑αbβc với b + c = a và a,b,c ∈Nn

Nhận xét : γa≠ 0 chỉ khi tồn tại b và c với αb ≠ 0 và βc ≠ 0 để a = b+c Do vậychỉ có một số hữu hạn hệ số γa≠ 0, và phép nhân đa thức ở trên hoàn toàn xác

định Với cách đồng nhất từ bởi đa thức nh trên có thể thấy phép nhân này tơngthích với phép nhân đơn thức định nghĩa ở trên

Với hai phép toán cộng, nhân đa thức nếu trên có thể kiểm tra tập tất cảcác đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị là đơn thức 1 Tập này

kí hiệu là R [x1,…,xn] hay R [x]

2.2.1 Định nghĩa Vành R [x1,…,xn] xây dựng nh trên gọi là vành đa thức n

biến trên vành R

2.2.2 Chú ý - Khi n = 1 ta có vành đa thức một biến thông thờng Tuy nhiên đa

thức một biến x thờng đợc viết dới dạng

f(x) = anxn +…+ a1x + a0 ( n ∈N, a0,…,an ∈ R ) (**)

Thế nhng trong dạng biểu diễn này một số hệ số có thể bằng 0, và một đa thức

có nhiều biểu diễn Nói cách khác, với đa thức một biến ta hay sử dụng cáchbiểu diễn (**) với hệ số không nhất thiết khác 0

- Việc định nghĩa đa thức là tổng vô hạn hình thức nh trên thuận tiệntrong việc giới thiệu định nghĩa các phép toán, cũng nh kiểm tra tính chất nào

đó của phép toán Tuy nhiên, trên thực tế tính toán, biểu diển thành tổng hữuhạn các từ nh (*) sẽ thuận tiện hơn Chẳng hạn để tính tích của hai đa thức ta chỉviệc áp dụng qui tắc :

Khái niệm sau đây khá quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất của đa thức

2.2.3 Định nghĩa Bậc tổng thể của đa thức f(x) =∑a ∈ Nnαa xa là số

deg f(x) = max {a= a1 + … + an / αa ≠ 0}

2.2.4 Chú ý - Bậc tổng thể của đa thức hằng là 0

-Ta qui ớc bậc tổng thể của đa thức 0 là - ∞

- Đối với đa thức một biến bậc tổng thể chỉ đơn giản gọi là bậc

- Nhiều khi ta còn dùng bậc của đa thức đối với tập con các biến đợc địnhnghĩa nh sau :

degx1 xk f( )x = max{ a1+ … +ak | αa ≠ 0}, trong đó k< n cố định

2.3 Một số tính chất của vành đa thức

2.3.1 Mệnh đề Nếu R là miền nguyên thì vành đa thức R [x 1, …, x n ] cũng là miền nguyên

Chứng minh : Bằng phơng pháp qui nạp theo số biến ta chỉ cần chứng

minh cho vành một biến R[x] Giả sử, f(x) = anxn + …+ a1 x +a0 và

g(x) = bm xm +…+ b1 x + b0 là hai đa thức khác 0, trong đó n, m ≥ 0, an ≠ 0

Và deg (f(x)+g(x)) ≤ max { deg f(x), deg g(x)}

Hơn nữa ta có bất đẳng thức chặt khi và chỉ khi deg f(x) = deg g(x) và

f deg f(x) = -g deg g(x)

Chứng minh : Để thuận lợi cho việc chứng minh định lí ta đặt nh sau

Với f(x), g(x) ∈ R[x], đặt f(x) = fn+ …+ f0 và g(x) = gm + …+g0 trong đó fi (gj) làtổng tất cả các từ có bậc i (tơng ứng j) của f (tơng ứng g) n = deg f(x) và m =deg g(x), fn≠ 0 và gm≠ 0 Khi đó

f(x) g(x) = fngm + ( fn gm-1 +fn-1 gm ) +…+ f0g0

Vì R là miền nguyên, theo Mệnh đề 2.3.1,ta có deg(fngm) = n+m và các số hạng

còn lại trong tổng trên có bậc bé hơn m +n

Nên deg(f(x) g(x)) = n+m

Vậy : deg(f(x) g(x)) = deg f(x) + deg g(x)

Ta thấy, bất đẳng thức thứ hai hiển nhiên đúng

Từ Mệnh đề 2.3.1 và Mệnh đề 2.3.2, ta có hệ quả sau

2.3.3 Hệ quả Vành đa thức K [x 1 ,, ,x n ] trên trờng K là miên nguyên và bậc tổng thể của đa thức thoả mãn mệnh đề trên

Đ3 định lý cơ sở của hilbert.

Một trong những kết quả đẹp nhất và cơ bản nhất về vành đa thức nói rằng mọi iđêan của vành đa thức trên một trờng là hữu hạn sinh Đó là nội dung

định lý nổi tiếng Hilbert về cơ sở Dới đây là một dạng tổng quát của nó

Cách 1 Chứng minh mọi dãy các iđêan trong R [x] đều dừng

Bằng phơng pháp qui nạp theo số biến, ta chỉ cần chứng minh cho trờng hợpvành một biến R[x] Cho I0 ⊆ I1⊆ …⊆ Ij ⊆ … là một dãy tăng các iđêan củaR[x]

Với mỗi iđêan I của R và mỗi i ∈N , đặt

Li(I)={ai∈R | ∃ai-1,…,a0∈R:∑j=0i aj xj∈I} (1)

Rõ ràng Li (I) là iđêan của R Ta có

Li(I1)⊆ Li(I2)⊆…⊆Li(Ij)⊆…(2) và Cj∈N :

L0(Ij)⊆L1(Ij)⊆…⊆Li(Ij)⊆ … (3)

Vì R là vành Noether nên tồn tại p , q ∈ N sao cho Lp(Iq) là phần tử cực đại của

họ {Li(Ij) | i,j∈ N}.Từ các dãy tăng (1),(2), (3) suy ra với ∀ i ≥ p,j ≥ q ta có :

Vì an ∈ Ln (Ij) = Ln (It ) nên tồn tại g(x) = anxn+ bn -1xn-1+…+ b0∈ It Rõ ràng f- g ∈ Ij \ It, nhng deg f(x) - deg g(x) < deg f(x), mâu thuẫn với cách chọn f Vậy

Ij = It , với ∀ j ≥ t, tức là R [x] là vành Noether

Cách 2 Chứng minh mọi iđêan I bất kì trên R[x] đều hữu hạn sinh

Tơng tự, bằng phơng pháp qui nạp theo số biến, ta chỉ cần chứng minh cho ờng hợp vành một biến R[x]

tr-Giả sử I là một iđêan bất kì của R[x], đặt

J={ tập tất cả các hệ số cao nhất của các đa thức thuộc I}, ta dễ dàng chứngminh J là một iđêan của vành R Do R là vành Noether ⇒ J là hữu hạn sinh ⇒

∃ a1,…,an∈R sao cho J = (a1,…,an) Gọi fi là các đa thức thuộc I mà có hệ số caonhất là ai, tức là :

fi(x) = n i

i x

a + bậc < ni, i=1,…,n Kí hiệu, I' =(f1,…,fn) và m= max {n1,…,nn}

M =(1,x,x2,…,xm) = R +xR +…+xmR, suy ra M là một R - môđun con của

R - môđun R[x] Ta sẽ chứng minh :I =I  M +I'

Ta có :I ⊇ I M +I' (1) vì I M ⊆I, I'⊆I

Ngợc lại, giả sử f∈I và degf = k ⇒ f = axk + deg < k ⇒ a∈J

⇒ a = a1u1+…+anun (ui∈R, i=1,…) Nếu k ≤ m⇒ f∈M⇒ f∈I  M

f = f + 0 ∈I  M + I'

Nếu k > m đặt h = k n i

i i 1 i

3.2 Hệ quả Mọi iđêan của vành đa thức n biến K[x 1 , ,x n ] trên trờng K là hữu hạn sinh

Đ 4 đa thức một biến

Cấu trúc iđêan của vành đa thức một biến trên một trờng đơn giản hơnnhiều Mặc dù kết quả đơn giản nhng chứng minh của nó chứa đựng ý tởng sâusắc để mở rộng cho trờng hợp nhiều biến Do vậy chúng tôi xin trình bày chi tiết

nó dới đây

4.1.Định lý chia đa thức một biến

4.1.1 Định lý Cho K là một trờng và g(x) là một đa thức của vành K[x],

g(x)≠ 0 Khi đó mỗi f(x)∈K[x] có thể viết dới dạng :f(x)=q(x)g(x)+r(x), trong

đó q(x),r(x)∈K[x], và hoặc r(x)=0 hoặc degr(x)<degg(x).

Hơn nữa q(x),r(x )xác định duy nhất

Chứng minh: Với mỗi đa thức f có thể viết dới dạng : f= anxn+…+a1x+a0,trong đó an≠0 và n=degf Khi đó ta gọi anxn là từ khởi đầu của đa thức f và kí

hiệu nó là inf

Sự tồn tại của q và r có thể chứng minh bằng qui nạp theo degf hoặc cóthể suy ra từ thuật toán : Tìm q(x) và r(x) gọi là tìm thơng và d của phép chiaf(x) cho g(x)

Nếu degf < g thì đặt q = 0 và r = f

Ngợc lại, giả định lý đúng cho mọi đa thức bậc ≤ n-1 trong đó n ≥ degg

Ta cần chứng minh nó đúng cho đa thức f tuỳ ý có degf = n Khi đó bằng cáchxét đa thức f1 = f- ( inf/ing )g (*) Theo Mệnh đề 2.3.1 ta có degf1 < degf = n.Theo giả thiết qui nạp ta có tồn tại q' và r mà r = 0 hoặc degr < degg để f1=q'g+r Đặt q = inf/ing + q' (**), ta có f = qg +r với r = 0 hoặc degr <degg suy ratồn tại q và r

Giả sử tồn tại đồng thời hai đa thức q,r và q',r' cùng thoả mãn, nghĩa làf=qg +r và f=q'g +r' Khi đó :g(q-q') =r'- r

Nếu r= r' thì g(q-q') =0 Mà g ≠ 0 ⇒q-q'=0⇒ q= q'

Nếu r≠r' thì theo Mệnh đề 2.3.1 deg(r'-r) = deg ((q- q')g) ≤ degg Mà

deg ((q-q')g) =deg q- deg q' +deg g ≥ deg g, vô lí, nghiã là r =r' và q = q'

4.1.2 Hệ quả Vành đa thức một biến K[x] trên một trờng tuỳ ý là vành các

iđêan chính, nghĩa là mọi iđêan đều sinh bởi một đa thức

Chứng minh: Cho I ⊆ K[x] Nếu I = 0 thì khẳng định là hiển nhiên Giả

sử I≠ 0 trong I \ {0 } chọn h ≠0 là một đa thức có bậc bé nhất, cho một đa thức

f bất kì ∈ I Khi đó theo Đinh lí 4.1.1 tồn tại q, r ∈ K[x] để f = qh +r trong đór= 0 hoặc deg r <deg h

Vì I là iđêan và f∈ I nên qh ∈I và r = f - qh ∈I Nếu r≠0 thì mâu thuẫnvới cách chọn h Do đó r = 0 Vậy f = qh nghĩa là f ∈ ( h ) Mặt khác, theo giảthiết h∈ I nên (h ) ⊆ I Vậy I = (h)

Hệ quả trên chỉ cho chúng ta biết sự tồn tại của h (x) nhng không cho biếtcách tìm h(x), bởi vì không nhất thiết hệ sinh ban đầu xác định iđêan I chứaphần tử khác 0 có bậc bé nhất Do đó chúng ta sẽ nghiên cứu mục sau :

4.2 ứng dụng của định lí chia đa thức một biến

Trong mục này chúng ta sẽ nêu lên một ứng dụng của Định lí chia đathức một biến trong việc giải quyết bài toán sau

Bài toán : Tìm phần tử sinh của một iđêan trong vành đa thức một biến

Để giải quyết vấn đề này trớc hết chúng ta cần khái niệm sau :

4.2.1 Định nghĩa ớc chung lớn nhất của các đa thức f 1, …,f n ∈ K[x] là đa thức

h sao cho

(i) h chia hết f 1 , …, f n, nghĩa là f 1 = q 1 h , …, f n = q n h ; q 1 , …, q n ∈ K[x].

(ii) Nếu p là một đa thức khác chia hết f 1 , …, f n, thì p chia hết h.

Trong trờng hợp đó ta viết h= UCLN (f 1 , …, f n )

4.2.2 Mệnh đề Cho f 1 , …, f n∈ K[x], n ≥ 2 Khi đó :

(i) UCLN ( f 1 , …, f n ) tồn tại và duy nhất với sai khác một hằng số khác 0 của

K

(ii) ( f 1 , …, f n ) = ( UCLN(f 1, …,f n ) )

(iii) Nếu n ≥ 3 thì UCLN (f 1 , …,f n ) = UCLN (UCLN(f 1 , …,f n-1 ), f n )

Chứng minh : (i) Xét iđêan I = ( f1,…,fn) ∈ K[x] Khi đó theo Hệ quả4.1.2 tồn tại h ∈ K[x] sao cho I= (h) Vì I∈(h) hay fi ∈(h), i = 1,…,n nên h chiahết cho fi, i=1,…,n Mặt khác, h∈I nên h = s1f1+…+snfn, s1,…,sn ∈K[x] Giả sử pchia hết f1,…,fn, nghĩa là f1= q1p,…,fn = qnp, q1,…qn∈K[x] Khi đó

h = s1f1+…+snfn = s1q1p + …+snqnp = (s1q1+…+snqn) p chia hết cho p Vậy h

= UCLN(f1,…,fn) Nếu h' cũng là một UCLN của f1,…,fn thì h và h' sẽ chia hếtlẫn nhau Do đó h và h' phải có cùng bậc và h = αh' (α≠0) và α∈K

(ii) Qua quá trình chứng minh trên ta có : (f1,…,fn) = (UCLN (f1,…,fn) )

(iii) Đặt h = UCLN (f1,…,fn-1) Vì (h) = (f1,…,fn-1) nên (h,fn) = (f1,…,fn-1,fn)

Theo (ii) ta có (f1,…,fn-1,fn) = (UCLN(f1,…,fn)) Do đó (h,fn) =(UCLN(f1,

…,fn)).Theo (ii) ta lại có : UCLN (f1,…,fn) =UCLN (h,fn)= UCLN (UCLN(f1,…,f

n-1),fn)

Từ điều khẳng định UCLN (f1,…,fn) tồn tại duy nhất với sai khác mộthằng số khác 0 của K, nếu ta chọn UCLN là đa thức đơn, tức là đa thức có hệ

số đầu là 1, thì nó xác định duy nhất Đó cũng là điều ngời ta thờng làm

Từ tính chất nếu trên nếu n ≥ 3 thì: