Luận văn đề tài Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor

Luận văn đề tài Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor Giả thiết hàm số y = f(x) có tất cả các đạo hàm đến cấp n + 1 (kể cả đạo hàm cấp n + 1) trong một...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………

LUẬN VĂN

Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor

Mu c Lu c

Mo ’ d ¯ˆ ` u a 3

1 C´ ac b` ai to´ an nˆ o i suy cˆ o˙’ d ¯iˆ e˙’n 6

1.1 B`ai to´an nˆo.i suy Lagrange 6

1.1.1 Ba`i toa´ n nˆo.i suy Lagrange 6

1.1.2 D- a th´u.c nˆo.i suy Lagrange 6

1.2 B`ai to´an nˆo.i suy Taylor 7

1.2.1 Ba`i toa´ n nˆo.i suy Taylor 7

1.2.2 D- a th´u.c nˆo.i suy Taylor 7

1.3 Ba`i toa´ n nˆo.i suy Newton 7

1.3.1 Ba`i toa´ n nˆo.i suy Newton 7

1.3.2 D- a th´u.c nˆo.i suy Newton 7

1.4 Ba`i toa´ n nˆo.i suy Hermite 8

1.4.1 Ba`i toa´ n nˆo.i suy Hermite 8

1.4.2 D- a th´u.c nˆo.i suy Hermite 8

2 Mˆ o t sˆ o ´ ´ u.ng du ng cu˙’a cˆ ong th´ u.c nˆ o i suy 13 2.1 Mˆo.t sˆo´ ´u.ng du.ng cu˙’a cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange 13

2.1.1 Cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange 13

2.1.2 Mˆo.t sˆo´ ´u.ng du.ng 18

2.2 Mˆo.t sˆo´ ´u.ng du.ng cu˙’a c´ac cˆong th´u.c nˆo.i suy kh´ac 28

2.2.1 Cˆong th´u.c nˆo.i suy Taylor 28

2.2.2 Cˆong th´u.c nˆo.i suy Newton 31

2.2.3 Cˆong th´u.c nˆo.i suy Hermite 32

2.3 Ba`i tˆa.p 35

3 U ´ . ng du ng cˆ ong th´ u.c nˆ o i suy d ¯ˆ e˙’ u.´ o.c lu.o .ng v`a xˆa´p xı˙’ h`am sˆo´ 38 3.1 U.´o.c lu.o ng h`am sˆo´ 38

3.1.1 U.´o.c lu.o ng h`am sˆo´ theo c´ac n´ut nˆo.i suy Lagrange 38

3.1.2 U.´o.c lu.o ng h`am sˆo´ theo c´ac n´ut nˆo.i suy Chebyshev 41

3.2 Mˆo.t sˆo´ phu.o.ng ph´ap kh´ac d¯ˆe˙’ u.´o.c lu.o ng h`am sˆo´ 47

3.3 Xˆa´p xı’ ha`m sˆo´ theo d¯a th´u.c nˆo.i suy 50

3.4 Ba`i tˆa.p 54

Kˆ e ´t luˆ a.n cu’a luˆa.n v˘an 55

Ta `i liˆ e.u tham kha’o 57

Mo ’ d ¯ˆ ` u a

Trong qua´ trı`nh tı´nh toa´ n, nhiˆ` u khi ta cˆe ` n pha’i xaa ´ c d¯i.nh gia´ tri cu’a mˆo.t ha`m

sˆo´ f (x) ta.i mˆo.t d¯iˆe’m tu`y y´ cho tru.´o.c, trong khi d¯o´ d¯iˆ` u kiˆe.n chı’ m´o.i cho biˆe´t mˆo.te

sˆo´ gia´ tri (r`o.i ra.c) cu’a ha`m sˆo´ va` cu’a d¯a.o ha`m ha`m sˆo´ d¯ˆe´n cˆa´p na`o d¯o´ cu’a no´ ta.i

mˆo.t sˆo´ d¯iˆe’m x1, x2, · · · , x k cho tru.´o.c

V´o.i nh˜u.ng tru.`o.ng ho. p nhu vˆa.y, ngu.`o.i ta thu.`o.ng tı`m ca´ch xˆay du ng mˆo.t ha`m

sˆo´ P (x) da.ng d¯o.n gia’n ho.n, thu.`o.ng la` ca´c d¯a th´u.c d¯a.i sˆo´, tho’a ma˜n ca´c d¯iˆe`u kiˆe.n

d¯a˜ cho Ngoa`i ra, ta.i nh˜u.ng gia´ tri x ∈ R ma` x khˆong tru`ng v´o.i x1, x2, · · · , x k, thı`

P (x) ≈ f (x) (xˆa´p xı’ theo mˆo.t d¯ˆo chı´nh xa´ c na`o d¯o´ )

Ha`m sˆo´ P (x) d¯u.o. c xˆay du. ng theo ca´ ch v`u.a mˆo ta’ trˆen d¯u.o. c go.i la` ha`m nˆo.i suy

cu’a f (x); ca´ c d¯iˆe’m x1, x2, · · · , x k thu.`o.ng d¯u.o. c go.i la` ca´ c nu´ t nˆo.i suy va` ba`i toa´ n

xˆay du. ng ha`m P (x) nhu vˆa.y d¯u.o c go.i la` Ba`i toa´n nˆo.i suy

Su.’ du.ng ha`m (d¯a th´u.c) nˆo.i suy P (x), ta dˆe˜ da`ng tı´nh d¯u.o c gia´ tri tu.o.ng d¯ˆo´i

chı´nh xa´ c cu’a ha`m sˆo´ f (x) ta.i x ∈ R tu`y y´ cho tru.´o.c T`u d¯o´ , ta co´ thˆe’ tı´nh gˆ` na

d¯u´ ng gia´ tri d¯a.o ha`m va` tı´ch phˆan cu’a no´ trˆen R

Ca´ c ba`i toa´ n nˆo.i suy cˆo’ d¯iˆe’n ra d¯`o.i t`u rˆa´t s´o.m va` d¯o´ng vai tro` rˆa´t quan tro.ngtrong thu. c tˆe´ Do d¯o´ , viˆe.c nghiˆen c´u.u ca´c ba`i toa´n nˆo.i suy la` rˆa´t co´ y´ nghı˜a

O˙’ ca´c tru.`o.ng phˆo’ thˆong, ly´ thuyˆe´t vˆe. ` vˆa´n d¯ˆ` nae `y khˆong d¯u.o. c d¯ˆ` cˆe a.p, nhu.ngnh˜u.ng ´u.ng du.ng so cˆa´p cu’a no´ cu˜ng ”ˆa’n hiˆe.n” khˆong ı´t, ch˘a’ng ha.n trong ca´cphu.o.ng trı`nh d¯u.`o.ng ho˘a.c phu.o.ng trı`nh m˘a.t bˆa.c hai, trong ca´c d¯˘a’ng th´u.c da.ngphˆan th´u.c va` d¯˘a.c biˆe.t la` viˆe.c ´u.ng du.ng cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange va` khai triˆe’nTaylor d¯ˆe’ gia’i mˆo.t sˆo´ ba`i toa´ n kho´ trong ca´ c d¯ˆ` thi ho.c sinh gio’i ca´c cˆa´p.e

Vı` vˆa.y, viˆe.c hı`nh tha`nh mˆo.t chuyˆen d¯ˆe` cho.n lo.c nh˜u.ng vˆa´n d¯ˆe` co ba’n nhˆa´t vˆ`e

ca´ c ba`i toa´ n nˆo.i suy, du.´o.i go´c d¯ˆo toa´n phˆo’ thˆong, d¯˘a.c biˆe.t la` nh˜u.ng ´u.ng du.ng cu’a

no´ trong qua´ trı`nh gia’i mˆo.t sˆo´ da.ng toa´ n kho´ la` rˆa´t cˆ` n thiˆe´t Ho.n n˜a u.a, chuyˆen

d¯ˆ` nae `y cu˜ ng co´ thˆe’ la`m ta`i liˆe.u tham kha’o cho ca´ c gia´ o viˆen gio’i va` ca´ c sinh viˆennh˜u.ng n˘am d¯ˆ` u cu’a bˆa a.c d¯a.i ho.c

´

Y tu.o.’ ng muˆo´n thu. c hiˆe.n luˆa.n v˘an na`y hı`nh tha`nh tru.´o.c khi cuˆo´n sa´ch chuyˆenkha’o [2] ra d¯`o.i D- ˆay v`u.a la` mˆo.t thuˆa.n lo i v`. u.a la` mˆo.t kho´ kh˘an cho nˆo˜ lu. c tı`m kiˆe´m

nh˜u.ng ne´ t m´o.i cho luˆa.n v˘an cu’a ta´ c gia’, vı` cuˆo´n sa´ ch trˆen la` mˆo.t ta`i liˆe.u rˆa´t quı´gia´ , trong khi d¯o´ hˆ` u nhu chu.a coa ´ mˆo.t ta`i liˆe.u toa´ n so cˆa´p na`o d¯ˆ` cˆe a.p d¯ˆe´n vˆa´n d¯ˆe`

na`y mˆo.t ca´ ch tro.n ve.n Do d¯o´ , luˆa.n v˘an khˆong qua´ d¯ˆ` cˆe a.p sˆau vˆe` ly´ thuyˆe´t ma` cˆo´g˘a´ng tı`m kiˆe´m nh˜u.ng ´u.ng du.ng cu’a no´ va`o viˆe.c gia’i va` sa´ ng ta´ c ca´ c ba`i tˆa.p o’ phˆ. o’thˆong, d¯˘a.c biˆe.t la` nh˜u.ng ´u.ng du.ng thu.`o.ng g˘a.p cu’a cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange va`khai triˆe’n Taylor

Luˆa.n v˘an da`y 56 trang, gˆo` m ca´ c phˆ` n Mu.c lu.c, Mo.’ d¯ˆaa ` u, ba chu.o.ng nˆo.i dung,

kˆe´t luˆa.n va` ta`i liˆe.u tham kha’o:

Chu.o.ng 1: Ca´c ba`i toa´n nˆo i suy cˆo’ d¯iˆe’n

Nˆo.i dung chu.o.ng na`y trı`nh ba`y mˆo.t ca´ch co ba’n nhˆa´t vˆe` ca´c ba`i toa´n nˆo.i suy

cˆo’ d¯iˆe’n, d¯o´ la` Ba`i toa´ n nˆo.i suy Lagrange, Ba`i toa´ n nˆo.i suy Taylor, Ba`i toa´ n nˆo.i suyNewton va` Ba`i toa´ n nˆo.i suy Hermite

Chu.o.ng 2: Mˆo t sˆo´ ´u.ng du.ng cu’a cˆong th´u.c nˆo i suy.

D- ˆay la` mˆo.t trong nh˜u.ng nˆo.i dung tro.ng tˆam cu’a luˆa.n v˘an V´o.i tˆa`m quan tro.ng

o.’ phˆo’ thˆong, cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange va` nh˜u.ng ´u.ng du.ng cu’a no´ d¯u.o c d¯ˆe` cˆa.ptha`nh mˆo.t phˆa` n riˆeng trong chu.o.ng na`y v´o.i nh˜u.ng phu.o.ng pha´ p gia’i toa´ n kha´ d¯ada.ng va` mˆo.t sˆo´ lu.o ng ba`i tˆa.p d¯ˆe` xuˆa´t kha´ phong phu´ Nhiˆe`u d¯˘a’ng th´u.c du.´o.i da.ngphˆan th´u.c co´ nguˆ` n gˆo o´c t`u cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange d¯a˜ d¯u.o c luˆa.n v˘an pha´thiˆe.n Nhiˆe` u ba`i toa´ n thi cho.n ho.c sinh gio’i quˆo´c gia va` quˆo´c tˆe´ d¯a˜ d¯u.o c gia’i b˘a`ng

ca´ ch a´ p du.ng cˆong th´u.c nˆo.i suy na`y Phˆa`n co`n la.i cu’a chu.o.ng trı`nh ba`y mˆo.t sˆo´

´

u.ng du.ng cu’a ca´ c cˆong th´u.c nˆo.i suy co`n la.i Mˆo.t sˆo´ ba`i tˆa.p da`nh cho ba.n d¯o.c cu˜ ng

d¯u.o. c gi´o.i thiˆe.u o’ phˆ. ` n cuˆa o´i chu.o.ng

Chu.o.ng 3: ´U.ng du.ng cˆong th´u.c nˆo i suy d¯ˆe’ u.´o.c lu.o. ng va` xˆa´p xı’ ha`m sˆo´.Chu.o.ng na`y ta´ ch riˆeng mˆo.t ´u.ng du.ng cu’a ca´c cˆong th´u.c nˆo.i suy d¯ˆe’ u.´o.c lu.o ng

va` xˆa´p xı’ ha`m sˆo´ Mˆo.t sˆo´ da.ng toa´ n kho´ o.’ phˆo’ thˆong liˆen quan d¯ˆe´n vˆa´n d¯ˆ` nae `y

d¯a˜ d¯u.o c d¯ˆe` cˆa.p, trong d¯o´ co´ nh˜u.ng ba`i trong ca´ c d¯ˆ` thi cho.n ho.c sinh gio’i quˆo´cegia va` quˆo´c tˆe´ Mˆo.t sˆo´ phˆa` n cu’a luˆa.n v˘an d¯a˜ d¯u.o c d¯˘ang ta’i trong ca´c ky’ yˆe´u hˆo.inghi chuyˆen nga`nh, ch˘a’ng ha.n [1]

Luˆa.n v˘an d¯u.o c hoa`n tha`nh nh`o su hu.´o.ng dˆa˜n khoa ho.c va` nhiˆe.t tı`nh cu’a Tiˆe´n

sy˜ Tri.nh D- a`o Chiˆe´n - Ngu.`o.i Thˆa` y rˆa´t nghiˆem kh˘a´c va` tˆa.n tˆam trong cˆong viˆe.c,truyˆ` n d¯a.t nhiˆee ` u kiˆe´n th´u.c quı´ ba´ u cu˜ ng nhu kinh nghiˆe.m nghiˆen c´u.u khoa ho.ctrong suˆo´t th`o.i gian nghiˆen c´u.u d¯ˆ` tae `i Chı´nh vı` vˆa.y ma` ta´ c gia’ luˆon to’ lo`ng biˆe´to.n chˆan tha`nh va` sˆau s˘a´c d¯ˆo´i v´o.i Thˆa` y gia´ o hu.´o.ng dˆa˜n - Tiˆe´n sy˜ Tri.nh D- a`o Chiˆe´n

Nhˆan d¯ˆay, ta´ c gia’ xin d¯u.o. c ba`y to’ lo`ng biˆe´t o.n chˆan tha`nh d¯ˆe´n: Ban Gia´ mHiˆe.u, Pho`ng d¯a`o ta.o D- a.i ho.c va` sau D- a.i ho.c, Khoa toa´n cu’a tru.`o.ng D- a.i ho.c QuiNho.n, cu`ng quı´ thˆ` y cˆa o gia´ o d¯a˜ tham gia gia’ng da.y va` hu.´o.ng dˆa˜n khoa ho.c chol´o.p cao ho.c toa´ n kho´ a 8 UBND tı’nh, So.’ gia´ o du.c va` d¯a`o ta.o tı’nh Gia Lai, BanGia´ m Hiˆe.u tru.`o.ng THPT Ia Grai d¯a˜ cho ta´c gia’ co hˆo.i ho.c tˆa.p, cu`ng v´o.i quı´ thˆa`y

cˆo gia´ o cu’a nha` tru.`o.ng d¯a˜ d¯ˆo.ng viˆen, se’ chia cˆong viˆe.c va` ta.o mo.i d¯iˆe` u kiˆe.n thuˆa.n

lo. i d¯ˆe’ ta´ c gia’ nghiˆen c´u.u va` hoa`n tha`nh luˆa.n v˘an na`y

Trong qua´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa.n v˘an, ta´ c gia’ co`n nhˆa.n d¯u.o c su quan tˆam d¯ˆo.ngviˆen cu’a ca´ c ba.n d¯ˆo` ng nghiˆe.p, ca´c anh chi em trong ca´c l´o.p cao ho.c kho´a VII, VIII,XIX cu’a tru.`o.ng D- a.i ho.c Qui Nho.n Ta´c gia’ xin chˆan tha`nh ca’m o.n tˆa´t ca’ nh˜u.ng

su. quan tˆam d¯ˆo.ng viˆen d¯o´

D- ˆe’ hoa`n tha`nh luˆa.n v˘an na`y, ta´c gia’ d¯a˜ tˆa.p trung rˆa´t cao d¯ˆo trong hoc tˆa.p va`nghiˆen c´u.u khoa ho.c, cu˜ng nhu rˆa´t cˆa’n thˆa.n trong nhˆan chˆe´ ba’n Trong d¯o´ ı´t nhiˆe`uha.n chˆe´ vˆe` th`o.i gian cu˜ ng nhu trı`nh d¯ˆo hiˆe’u biˆe´t nˆen trong qua´ trı`nh thu c hiˆe.nkhˆong thˆe’ tra´ nh kho’i nh˜u.ng thiˆe´u so´ t, ta´ c gia’ rˆa´t mong nhˆa.n d¯u.o c su chı’ ba’o cu’aquı´ thˆ` y cˆa o va` nh˜u.ng go´ p y´ cu’a ba.n d¯o.c d¯ˆe’ luˆa.n v˘an d¯u.o c hoa`n thiˆe.n ho.n

Quy Nho.n, tha´ng n˘am 2008

Ta´ c gia’

Chu.o.ng 1

Trong chu.o.ng na`y, luˆa.n v˘an d¯ˆe` cˆa.p mˆo.t sˆo´ ba`i toa´ n nˆo.i suy cˆo’ d¯iˆe’n se˜ su’ du.ng.

o.’ ca´ c chu.o.ng sau, d¯o´ la`: Ba`i toa´ n nˆo.i suy Lagrange, Bai toa´ n nˆo.i suy Taylor, Ba`itoa´ n nˆo.i suy Newton va` Ba`i toa´ n nˆo.i suy Hermite L`o.i gia’i cho ca´c ba`i toa´n na`y la`

ca´ c d¯a th´u.c nˆo.i suy tu.o.ng ´u.ng ma` ch´u.ng minh chi tiˆe´t d¯a˜ d¯u.o c trı`nh ba`y trong [2]

1.1.1 Ba `i toa ´ n nˆ o i suy Lagrange

Cho ca´c sˆo´ thu. c x i , a i, v´o.i x i 6= x j, v´o.i mo.i i 6= j, i, j = 1, 2, · · · , N Ha˜y xa´cd

¯i.nh d¯a th´u.c L(x) co´ bˆa.c degL(x) ≤ N − 1 va` tho’a ca´c d¯iˆe`u kiˆe.n

la` d¯a th´u.c duy nhˆa´t tho’a ma˜ n d¯iˆe` u kiˆe.n cu’a ba`i toa´n nˆo.i suy Lagrange va` ta go.i

d¯a th´u.c na`y la` d¯a th´u.c nˆo.i suy Lagrange

1.2 B` ai to´ an nˆ o.i suy Taylor

1.2.1 Ba `i toa ´ n nˆ o i suy Taylor

Cho ca´c sˆo´ thu. c x0, a i , v´ o.i i = 0, 1, · · · , N − 1 Ha˜y xa´c d¯i.nh d¯a th´u.c T (x) co´

bˆa c degT (x) ≤ N − 1 va` tho’a ma˜n ca´c d¯iˆ` u kiˆe e.n

la` d¯a th´u.c duy nhˆa´t tho’a ma˜ n d¯iˆe` u kiˆe.n cu’a ba`i toa´n nˆo.i suy Taylor va` go.i d¯a th´u.c

na`y la` d¯a th´u.c nˆo.i suy Taylor

1.3.1 Ba `i toa ´ n nˆ o i suy Newton

Cho ca´c sˆo´ thu. c x i , a i , v´ o.i i = 1, 2, · · · , N Ha˜y xa´c d¯i.nh d¯a th´u.c N(x) co´ bˆa.c

degN (x) ≤ N − 1 va` tho’a ma˜n ca´c d¯iˆ` u kiˆe e.n

Nhˆ a.n xe ´ t 1.1 V´o.i x i = x0, v´o.i mo.i i = 1, 2, · · · , N , thı`

1.4.1 Ba `i toa ´ n nˆ o i suy Hermite

Cho ca´c sˆo´ thu. c x i , a ki , i = 1, 2, · · · , n; k = 0, 1, · · · , p i − 1 va` x i 6= x j, v´o.i

mo.i i 6= j, trong d¯o´ p1 + p2 + · · · + p n = N Ha˜y xa´c d¯i.nh d¯a th´u.c H(x) co´ bˆa.c

degH(x) ≤ N − 1 va` tho’a ma˜n ca´c d¯iˆ` u kiˆe e.n

Go.i d¯oa.n khai triˆe’n Taylor d¯ˆe´n cˆa´p th´u p i − 1 − k, v´ o.i k = 0, 1, · · · , l; l =

0, 1, · · · , p i − 1, ta.i x = x i cu’a ha`m sˆo´ 1

W i (x) (i = 1, 2, · · · , n) la`

T

(1

)(N −1−k) (x=x1)

= T

n1

o(N −1−k) (x=x1) = 1.

Vˆa.y, v´o.i k = 0, thı` d¯a th´u.c nˆo.i suy Hermite chı´nh la` d¯a th´u.c nˆo.i suy Lagrange.

Trong tru.`o.ng ho. p tˆo’ng qua´ t, viˆe.c biˆe’u diˆe˜n d¯a th´u.c Hermite kha´ ph´u.c ta.p Du.´o.i

d¯ˆay la` mˆo.t va`i tru.`o.ng ho p riˆeng d¯o.n gia’n kha´c cu’a d¯a th´u.c nˆo.i suy Hermite, khi

hˆe d¯iˆe` u kiˆe.n chı’ ch´u.a d¯a.o ha`m bˆa.c nhˆa´t

Ba `i toa ´ n 1.1 Cho d¯a th´u.c P (x) bˆa c 4, tho’a ma˜n ca´c d¯iˆ` u kiˆe e.n sau:

Ch´u.ng minh r˘a`ng ca´c nghiˆe.m thu c cu’a P (x) thuˆ. o c (2007; 2008)

Gia’i ´Ap du.ng cˆong th´u.c nˆo.i suy Taylor, ta co´:

Do d¯o´ , Nˆe´u x ≥ b thı` P (x) khˆong co´ nghiˆe.m x ≥ b.

V´o.i a = 2007, a´ p du.ng cˆong th´u.c nˆo.i suy Taylor, ta co´

Do d¯o´ , nˆe´u x < a thı` P (x) khˆong co´ nghiˆe.m x ≤ a.

Vˆa.y ca´ c nghiˆe.m pha’i thuˆo.c (2007; 2008)

Chu.o.ng 2

Chu.o.ng na`y trı`nh ba`y mˆo.t sˆo´ ´u.ng du.ng cu’a ca´c cˆong th´u.c nˆo.i suy, trong d¯o´ d¯ˆe`

cˆa.p sˆau ho.n d¯ˆo´i v´o.i cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange, cˆong th´u.c co´ nhiˆe`u ´u.ng du.ng d¯ˆe’gia’i mˆo.t sˆo´ ba`i toa´ n kho´ o.’ hˆe phˆo’ thˆong chuyˆen toa´n

Vˆa´n d¯ˆ` ´e u.ng du.ng cˆong th´u.c nˆo.i suy trong u.´o.c lu.o ng va` xˆa´p xı’ ha`m sˆo´ la` hai

nˆo.i dung quan tro.ng va` tu.o.ng d¯ˆo´i kho´, v´o.i nh˜u.ng ky˜ thuˆa.t ch´u.ng minh kha´ ph´u.cta.p, d¯u.o c trı`nh ba`y o.’ chu.o.ng sau

La-grange

2.1.1 Cˆ ong th´ u.c nˆ o i suy Lagrange

D- i.nh nghı˜a 2.1 Cho n sˆo´ x1, x2, · · · , x n phˆan biˆe.t va` n sˆo´ a1, a2, · · · , a n tu`y y´.Thˆe´ thı` tˆ` n ta.i duy nhˆa´t mˆo.t d¯a th´u.c P (x) v´o.i bˆa.c khˆong vu.o.o t qua´ n − 1, tho’a ma˜n

+ V´o.i n = 2, d¯a th´u.c d¯o´ la`

Ro˜ ra`ng degP (x) ≤ 2 va` P (x1) = a1, P (x2) = a2), P (x3) = a3.

(?) T`u cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange, ta co´

D- i.nh nghı˜a 2.2 Cho n sˆo´ x1, x2, · · · , x nphˆan biˆe.t Thˆe´ thı` mo.i d¯a th´u.c P (x) v´o.i

bˆa c khˆong vu.o. t qua´ n − 1 d¯ˆ` u coe ´ thˆe viˆe´t du.´o.i da.ng

Thˆe´ thı`, theo (2.1) va` (2.2) tˆ` n ta.i duy nhˆa´t mˆo.t d¯u.`o.ng cong y = P (x), trongo

d¯o´ la` d¯a th´u.c v´o.i degP (x) ≤ 2, tho’a ma˜ n

P (x1) = y1 (nghı˜a la` d¯u.`o.ng cong qua d¯iˆe’m A);

P (x2) = y2(nghı˜a la` d¯u.`o.ng cong qua d¯iˆe’m B);

P (x3) = y3(nghı˜a la` d¯u.`o.ng cong qua d¯iˆe’m C).

Ho.n n˜u.a, d¯u.`o.ng cong co`n co´ phu.o.ng trı`nh cu thˆe’ la` y = P (x), tro`n d¯o ´ P (x) co´da.ng (2.4) va` ca´ c hˆe sˆo´ a j chı´nh la` y j , j = 1, 2, 3.

+ V´o.i degP (x) = 2, d¯ˆ` thi y = P (x) la` parabol d¯i qua 3 d¯iˆe’m A, B, C.o

+ V´o.i degP (x) = 1, d¯ˆ` thi y = P (x) la` d¯u.`o.ng th˘a’ng d¯i qua 3 d¯iˆe’m A, B, C,okhˆong cu`ng phu.o.ng v´o.i tru.c hoa`nh

+ V´o.i degP (x) = 0, d¯ˆ` thi y = P (x) la` d¯u.`o.ng th˘a’ng d¯i qua 3 d¯iˆe’m A, B, C,o

cu`ng phu.o.ng v´o.i tru.c hoa`nh

V´o.i ca´ c minh ho.a trˆen ta thˆa´y r˘a`ng, cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange chı´nh la` ”ca´c

gˆo´c” cu’a mˆo.t sˆo´ phu.o.ng trı`nh d¯u.`o.ng cong (ho˘a.c d¯u.`o.ng th˘a’ng) d¯i qua ca´c d¯iˆe’mcho tru.´o.c trong m˘a.t ph˘a’ng to.a d¯ˆo

D- o´ la` ”ca´ i gˆo´c” nhı`n du.´o.i go´ c d¯ˆo hı`nh ho.c

Du.´o.i d¯ˆay, v´o.i mˆo.t go´ c nhı`n kha´ c, cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange co`n la` ”ca´ i gˆo´c” cu’a

hˆ` u hˆe´t caa ´ c d¯ˆ` ng nhˆo a´t th´u.c da.ng phˆan th´u.c

Nhˆ a.n xe ´ t 2.2.

V´o.i d¯a th´u.c P (x) co ´ degP (x) ≤ n − 1 cho tru.´o.c, ca´ c sˆo´ a j trong (2.2) d¯u.o. c thay

bo.’ i P (x j), v´o.i j = 1, 2, · · · , n.

Bˆay gi`o ta thu.’ d¯i tı`m mˆo.t ´u.ng du.ng cu’a (2.5)

Gia’ su.’ x1, x2, · · · , x n la` n sˆo´ thu. c phˆan biˆe.t, n ≥ 2 Xe´ t d¯a th´u.c

Bo.’ i (2.7), ta thˆa´y r˘a`ng degP (x) ≤ n − 1.

Ngoa`i ra, t`u da.ng (2.6), ta co´

Dˆ˜ thˆa´y r˘a`ng vˆe´ pha’i cu’a (2.9) la` d¯a th´e u.c co´ hˆe sˆo´ d¯´u.ng tru.´o.c x n−1 la`

(x2− x3)(x2− x1)+

x3 3

T`u d¯˘a’ng th´u.c (2.13), co´ thˆe’ sa´ ng ta´ c tha`nh mˆo.t sˆo´ ba`i tˆa.p, ch˘a’ng ha.n

Vı ´ du 2.1 Ch´u.ng minh r˘a`ng v´o.i 3 sˆo´ nguyˆen bˆa´t ky` kha´c nhau t`u.ng d¯ˆoi mˆo t, sˆo´sau d¯ˆay cu˜ng la` mˆo t sˆo´ nguyˆen:

Theo hu.´o.ng trˆen, co´ thˆe’ sa´ ng ta´ c d¯u.o. c kha´ nhiˆ` u bae `i tˆa.p phong phu´ Ngoa`i

ra, ta co`n co´ thˆe’ so sa´ nh S2, S3, , S no.’ hai vˆe´ cu’a (2.5) d¯ˆe’ tı`m thˆem nh˜u.ng d¯˘a’ngth´u.c kha´ c Sˆo´ d¯˘a’ng th´u.c tı`m d¯u.o. c se˜ phong phu´ thˆem lˆen nˆe´u ta tiˆe´p tu.c xe´ tnh˜u.ng d¯a th´u.c kha´ c, v´o.i degP (x) 6 n − 1.

Bˆay gi`o., ta tiˆe´p tu.c tı`m kiˆe´m thˆem ca´ c d¯˘a’ng th´u.c theo mˆo.t hu.´o.ng kha´c.V´o.i n sˆo´ phˆan biˆe.t x1, x2, , x n, xe´ t d¯a th´u.c:

Nhˆa.n xe´ t r˘a`ng, v´o.i mˆo˜i j ∈ {1, 2, , n}, (2.10) la` mˆo.t d¯a th´u.c va` degω j (x) =

n − 1 D- a th´u.c na`y co´ tı´nh chˆa´t

ω j (x k) = 0, v´o.i k 6= j;

ω j (x k) = 1, v´o.i k = j.

Bˆay gi`o., nˆe´u d¯a th´u.c P (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + + a1x + a0, a n 6= 0, co´ n

nghiˆe.m thu c phˆ. an biˆe.t x1, x2, , x n , thı` P (x) = a n ω(x).

Do d¯o´ , v´o.i mˆo˜i j ∈ {1, 2, , n}, ta co´

P0(x j ) = a n ω0(x j)hay

n nghiˆe.m thu c phˆ. an biˆe.t x1, x2, , x n.

V´o.i n gia ´ tri phˆan biˆe.t x1, x2, , x n, a´ p du.ng cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange d¯ˆo´iv´o.i d¯a th´u.c f (x) = x k , k 6 n − 1, ta co´

So sa´ nh ca´ c hˆe sˆo´ cu’a d¯a th´u.c x k

, ta d¯u.o. c ca´ c d¯˘a’ng th´u.c sau:

n

X

j=1

x k j

Ba `i toa ´ n 2.1 Xa´c d¯i.nh d¯a th´u.c bˆa.c hai nhˆa.n gia´ tri b˘a`ng 3; 1; 7, ta.i x b˘a`ng −1;

Ba `i toa´ n 2.2 Cho a1, a2, , a n la` n sˆo´ kha´c nhau Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u d¯a th´u.c

f (x) co´ bˆa c khˆong l´o.n ho.n n − 2, thı`:

Suy ra d¯iˆ` u pha’i ch´e u.ng minh

Ba `i toa ´ n 2.3 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u d¯a th´u.c bˆa c hai nhˆa n gia´ tri nguyˆen ta.i bagia´ tri nguyˆen liˆen tiˆe´p cu’a biˆe´n sˆo´ x, thı` d¯a th´u c nhˆa.n gia´ tri nguyˆen ta.i mo.i x

nguyˆen

Ba `i toa ´ n 2.4. Cho a1, a2, , a n la` n sˆo´ kha´c nhau Go.i A i (i = 1, 2, , n) la`phˆ` n du trong phea ´p chia d¯a th´u.c f (x) cho x − a i Ha˜y tı`m phˆ` n du r(x) trong phea ´p

chia f (x) cho (x − a )(x − a ) (x − a )

Gia’i Go.i q(x) la` thu o.ng va` r(x) la` phˆa`n du trong phe´p chia f(x) cho

(x − a1)(x − a2) (x − a n)

Ta co´

trong d¯o´ deg r(x) < n.

D- ˘a.t x = a i (i = 1, 2, , n) va` d¯ˆe’ y´ r˘a`ng A i = f (a i) Thˆe´ thı`, ta co´ r(a i ) = A i

(i = 1, 2, , n).

Nhu vˆa.y, ta biˆe´t d¯u.o c ca´c gia´ tri cu’a d¯a th´u.c r(x) co´ bˆa.c nho’ ho.n n ta.i n d¯iˆe’m

kha´ c nhau a1, a2, , a n Do d¯o´ , a´ p du.ng cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange, ta co´:

Ba `i toa ´ n 2.5 (Vˆ o d ¯i.ch Chˆau ´ A Tha ´ i Bı `nh Du.o.ng, 2001)

Trong m˘a t ph˘a’ng v´o.i hˆe tru.c to.a d¯ˆo vuˆong go´c, mˆo t d¯iˆe’m d¯u.o. c go.i la` d¯iˆe’m

hˆo˜n ho. p nˆe´u mˆo t trong hai tha`nh phˆ` n to.a d¯ˆo cu’a d¯iˆe’m d¯o´ la` sˆo´ h˜u.u tı’, tha`nhaphˆ` n kia laa ` sˆo´ vˆo tı’ Tı`m tˆa´t ca’ ca´c d¯a th´u.c co´ hˆe sˆo´ thu c sao cho d. ¯ˆ` thi cu’a mˆo˜iod

¯a th´u.c d¯o´ khˆong ch´u.a bˆa´t ky` d¯iˆe’m hˆo˜n ho. p na`o ca’

Gia’i Ca´ c d¯a th´u.c cˆ` n tı`m laa ` ca´ c d¯a th´u.c bˆa.c 1 v´o.i hˆe sˆo´ h˜u.u tı’

Thˆa.t vˆa.y, t`u cˆong th´u.c nˆoi suy Lagrange, ta co´ kˆe´t qua’ sau d¯ˆay: Nˆe´u d¯a th´u.c f(x)

tho’a ma˜ n d¯iˆe` u kiˆe.n f(r) ∈ Q v´o.i mo.i r ∈ Q thı` tˆa´t ca’ ca´c hˆe sˆo´ cu’a f(x) d¯ˆe` u la`

sˆo´ h˜u.u tı’

Vı` vˆa.y, nˆe´u d¯a thu´ c co´ mˆo.t hˆe sˆo´ vˆo tı’ thı` se˜ tˆo` n ta.i r ∈ Q d¯ˆe’ f(r) vˆo tı’ Nhu.

thˆe´, d¯ˆ` thi cu’a d¯a th´u.c na`y pha’i ch´u.a ı´t nhˆa´t mˆo.t d¯iˆe’m hˆo˜n ho p.o

Dˆe˜ da`ng thˆa´y r˘a`ng ca´ c d¯a th´u.c bˆa.c 0 (khi d¯o´ , no´ d¯u.o. c biˆe’u diˆe˜n b˘a`ng d¯u.`o.ngth˘a’ng song song v´o.i tru.c hoa`nh) d¯ˆe` u co´ ch´u.a nh˜u.ng d¯iˆe’m hˆo˜n ho. p.

Cu˜ ng dˆe˜ thˆa´y r˘a`ng ca´ c d¯a th´u.c bˆa.c 1 v´o.i hˆe sˆo´ h˜u.u tı’ (khi d¯o´, no´ d¯u.o c biˆe’udiˆe˜n b˘a`ng mˆo.t d¯u.`o.ng th˘a’ng co´ hˆe sˆo´ go´c la` sˆo´ h˜u.u tı’) thı` khˆong ch´u.a bˆa´t ky` d¯iˆe’m

hˆo˜n ho. p na`o

Tiˆe´p theo, xe´ t d¯a th´u.c co´ bˆa.c n ≥ 2 co´ hˆe sˆo´ a i ∈ Q

Khˆong mˆa´t tı´nh tˆo’ng qua´ t, co´ thˆe’ gia’ su.’ r˘a`ng f (x) co´ ca´ c hˆe sˆo´ nguyˆen, bo’ i.vı` hai tˆa.p ho p nghiˆ. e.m cu’a hai phu.o.ng trı`nh f(x) = r va` af(x) = ar tru`ng nhau,

v´o.i a la` sˆo´ nguyˆen (r la` sˆo´ h˜u.u tı’) Ho.n n˜u.a, nˆe´u ta kı´ hiˆe.u

a n



thı` g(x) la` d¯a th´u.c v´o.i ca´ c hˆe sˆo´ nguyˆen, trong d¯o´ hˆe sˆo´ d¯ˆa` u tiˆen cu’a no´ b˘a`ng 1

Phu.o.ng trı`nh f (x) = r co´ mˆo.t nghiˆe.m vˆo tı’ nˆe´u va` chı’ nˆe´u phu.o.ng trı`nh

g(x) = a n−1 n r co´ mˆo.t nghiˆe.m vˆo tı’, cu˜ ng thˆe´, nˆe´u va` chı’ nˆe´u phu.o.ng trı`nh

f (x) − f (0) = r − f (0)

co´ mˆo.t nghiˆe.m vˆo tı’

To´ m la.i la`, khˆong mˆa´t tı´nh tˆo’ng qua´ t, ta co´ thˆe’ gia’ su.’ r˘a`ng f (x) co´ ca´ c hˆe sˆo´nguyˆen, v´o.i a n = 1, a0 = 0

Bˆay gi`o., go.i r la` sˆo´ nguyˆen tˆo´ d¯u’ l´o.n d¯ˆe’ cho

r > max {f (1), x1, x2, , x k},v´o.i {x1, x2, , x k} la` tˆa.p tˆa´t ca’ ca´ c nghiˆe.m thu c cu’a phu. .o.ng trı`nh f(x) − x = 0.

Khi d¯o´ f (1) < r < f (r) Vı` thˆe´, theo d¯i.nh ly´ gia´ tri trung gian, tˆo` n ta.i ı´t nhˆa´t

mˆo.t sˆo´ s ∈ (1, r) sao cho

f (s) − r = 0.

Gia’ su.’ s ∈ Q, ta viˆe´t s = p/q, v´ o.i p, q la` hai sˆo´ nguyˆen tˆo´ cu`ng nhau Thay

va`o d¯˘a’ng th´u.c trˆen, dˆe˜ da`ng suy ra q = 1, d¯iˆe` u na`y co´ nghı˜a s la` mˆo.t sˆo´ nguyˆen.T`u d¯ˆa´y suy ra r | s, vˆo ly´ , vı` ta co´ s ∈ (1, r).

Mˆau thuˆa˜n na`y ch´u.ng to’ r˘a`ng s la` sˆo´ vˆo tı’, no´ i ca´ ch kha´ c, d¯ˆ` thi cu’a f(x) d¯ioqua mˆo.t ”d¯iˆe’m hˆo˜n ho p”..

Ba `i toa ´ n 2.6 Tı`m tˆa´t ca’ ca´c c˘a p d¯a th´u.c P (x) va ` Q(x) co´ bˆa c ba v´o.i ca´c hˆe sˆo´thu. c tho’a ma˜n 4 d¯iˆe` u kiˆe.n:

a) Ca’ hai d¯a th´u.c nhˆa n gia´ tri 0 ho˘a.c 1 ta.i ca´c d¯iˆe’m x = 1, 2, 3, 4;

b) Nˆe´u P (1) = 0 ho˘a c P (2) = 1, thı` Q(1) = Q(3) = 1;

c) Nˆe´u P (2) = 0 ho˘a c P (4) = 0, thı` Q(2) = Q(4) = 0;

d) Nˆe´u P (3) = 1 ho˘a c P (4) = 1, thı` Q(1) = 0.

Gia’i. Gia’ su.’ kı´ hiˆe.u a k = P (k), b k = Q(k), v´ o.i k = 1, 2, 3, 4, co `n P (x) va ` Q(x)

la` ca´ c d¯a th´u.c tho’a ma˜ n d¯ˆe` ba`i Khi d¯o´ , ca´ c sˆo´ co´ bˆo´n ch˜u sˆo´ a1a2a3a4 va` b1b2b3b4

khˆong thˆe’ b˘a`ng sˆo´ na`o trong ca´ c sˆo´ 0000, 0110, 1001, 1111, vı` ca´ c d¯a th´u.c P (x)

va` Q(x) co´ bˆa.c 3 M˘a.t kha´ c, sˆo´ a1a2a3a4 khˆong thˆe’ co´ da.ng 0a21a4, 0a2a31, a111a4

hay a11a31, vı` nˆe´u khˆong thı` t`u ca´ c d¯iˆ` u kiˆe.n b) va` d) ta co´ be 1 = 1 va` b1 = 0, vˆo lı´.

T`u d¯o´ , theo d¯iˆ` u kiˆe.n c) ta thˆa´y d¯iˆee ` u kiˆe.n ba`i toa´n tho’a ma˜n v´o.i va` chı’ v´o.i

7 c˘a.p sˆo´ (a1a2a3a4; b1b2b3b4) la` (0100;1010), (1000;0010), (1000;1000), (1000;1010),

(1010;0010), (1011;0010) va` (1100;1010)

´

Ap du.ng cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange, ta thay mˆo˜i sˆo´ c1c2c3c4 tu.o.ng ´u.ng va`o

ca´ c d¯a th´u.c R(x), tho’a ma˜ n ca´ c d¯˘a’ng th´u.c P (k) = c1, v´o.i k = 1, 2, 3, 4.

Khi d¯o´ ta nhˆa.n d¯u.o c 6 d¯a th´u.c tu.o.ng ´u.ng sau

Do d¯o´ P (n + 1) = 0 nˆ e´u n le’ va ` P (n + 1) = 1 nˆ e´u n ch˘a˜n

Ba `i toa ´ n 2.8 Gia’ su.’ d¯a th´u.c c0 + c1x + c2x2+ + c n x n co´ gia´ tri h˜u.u tı’ khi x

h˜u.u tı’ Ch´u.ng minh r˘a`ng, tˆa´t ca’ ca´c hˆe sˆo´ c0, c1, c2, , c n la` nh˜u.ng sˆo´ h˜u.u tı’

Gia’i ´Ap du.ng cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange v´o.i a k = k (k = 0, 1, 2, , n), ta co´

n f (0) n! (x − 1)(x − 2) (x − n) +

Lu.u y ´ : Cu˜ ng co´ thˆe’ a´ p du.ng cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange ta.i n + 1 d¯iˆe’m a k

(k = 0, 1, 2, , n) h˜u.u tı’ tu`y y´ va` kha´ c nhau, thı` cu˜ ng d¯i d¯ˆe´n kˆe´t qua’ trˆen Do d¯o´ ,

ta co´ kˆe´t qua’ sau:

Nˆe´u d¯a th´u.c co´ bˆa c khˆong qua´ n va` co´ gia´ tri h˜u.u tı’ ta.i n+1 d¯iˆe’m h˜u.u tı’ kha´c

nhau thı` ca´c hˆe sˆo´ cu’a d¯a th´u.c cu˜ng la` sˆo´ h˜u.u tı’

Ba `i toa´ n 2.9 Cho p la` mˆo t sˆo´ nguyˆen tˆo´ va` P (x) ∈ Z[x] la` d¯a th´u.c bˆa c s tho’a

ma˜n ca´c d¯iˆ` u kiˆe e.n

Vˆa.y d¯iˆe` u gia’ thiˆe´t s 6 p − 2 la` sai Ta co´ d¯iˆ` u pha’i ch´e u.ng minh.

Ba `i toa ´ n 2.10 Tı`m tˆa´t ca’ ca´c d¯a th´u.c P (x) co´ bˆa c nho’ ho.n n (n ≥ 2) va` thoa’

ma˜n d¯iˆe` u kiˆe.n

n

X

k=0

Gia’i ´Ap du.ng cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange v´o.i ca´c nu´t nˆo.i suy x k = k ta co´ , mo.i

d¯a th´u.c P (x) co´ bˆa.c nho’ ho.n n d¯ˆe` u co´ da.ng

Ba `i toa ´ n 2.11 Cho sˆo´ tu. nhiˆen s va` da˜y ca´c d¯a th´u.c P n (x) co´ bˆa c khˆong vu.o. t s.Gia’ thiˆe´t r˘a`ng ha`m sˆo´ g(x) xa´c d¯i.nh trong (0; 1) va` thoa’ ma˜n d¯iˆe` u kiˆe.n

p i

la` mˆo t da˜y sˆo´ nguyˆen

Gia’i Theo cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange thı` v´o.i d¯a th´u.c f(x) = x k

nhˆa.n gia´ tri b˘a`ng x k

i ta.i x i va` hˆe sˆo´ ´u.ng v´o.i lu˜y th`u.a x n−1 b˘a`ng u k

p n

= b2;

Ba `i toa ´ n 2.13 1) Cho d¯a th´u.c f (x) co´ bˆa c n v´o.i ca´c hˆe sˆo´ thu c va. ` hˆe sˆo´ bˆa.c caonhˆa´t b˘a`ng a Gia’ su ’ f (x) co ´ n nghiˆ e.m phˆan biˆe.t x1, x2, , x nkha´c 0 Ch´u.ng minhr˘a`ng

2) Co´ tˆ` n ta.i hay khˆong mˆo.t d¯a th´u.c f(x) bˆa.c n le’ v´o.i hˆe sˆo´ bˆa.c cao nhˆa´to

a = 1 ma ` f (x) co ´ n nghiˆ e.m phˆan biˆe.t x1, x2, , x n kha´c 0 thoa’ ma˜n

Ta thˆa´y bˆa.c cu’a d¯a th´u.c P (x) nho’ ho.n n va` P (x1) = P (x2) = = P (x n) = 0

nˆen P (x) ≡ 0 Hˆe sˆo´ tu do trong khai triˆ. e’n P (x) la`

Xe´ t hˆe sˆo´ bˆa.c nhˆa´t cu’a P (x), ta co´

Vˆa.y khˆong tˆo` n ta.i d¯a th´u.c thoa’ ma˜n d¯iˆe` u kiˆe.n ba`i ra

2.2.1 Cˆ ong th´ u.c nˆ o i suy Taylor

Cˆong th´u.c nˆo.i suy Taylor cho ta cˆong th´u.c d¯o.n gia’n va` cu˜ng rˆa´t tˆo’ng qua´t d¯ˆe’

xa´ c d¯i.nh phˆa` n chı´nh cu’a ha`m sˆo´ Do d¯o´ , d¯ˆe’ tı`m gi´o.i ha.n, ngu.`o.i ta thu.`o.ng du`ng

cˆong th´u.c khai triˆe’n Taylor t´o.i mˆo.t cˆa´p na`o d¯o´ Du.´o.i d¯ˆay la` mˆo.t sˆo´ vı´ du minh ho.a

Ba `i toa ´ n 2.14 Tı´nh gi´o.i ha.n