Phép biến đổi laplace với các bài toán dao động và một đề xuất về thí nghiệm con lắc kép

Những thí nghiệm này cần đợc nghiên cứu và đa vào giảng dạy, để cóthể thay thế các thí nghiệm đã sai hỏng, một phần cũng là giúp sinh viên cóthể tiếp cận hơn với các thí nghiệm mới có nh

Lời cảm ơn

Để hoàn thành đợc khoá luận này tôi đã nhận đợc sự hậu thuẫn của gia

đình, sự quan tâm giúp đỡ từ phía các thầy cô giáo, sự động viên giúp đỡ củacác bạn cả về tinh thần và vật chất

Trớc tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Võ Thanh Cơng, đã tận tình hớng dẫn, giúp đỡ em nhiệt tình từ lúc nhận đề tài cho tới

lúc em hoàn thành đề tài này

Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa, thầy giáo phản

biện Phạm Khắc Lu, các thầy cô giáo trong Khoa và tổ Vật Lý đại cơng,

phòng thí nghiệm cơ - nhiệt đã tạo điều kiện cho em trong quá trình hoànthiện đề tài

Em xin kính chúc quý thầy cô và mọi ngời mạnh khoẻ luôn thành công trong mọi công tác của mình

Vinh, tháng 5 năm 2009

Tác giả

Nguyễn Duy Phiên

- Các thí nghiệm (cả thí nghiệm biểu diễn và các bài thực hành chuyênmôn) sẽ rèn luyện cho sinh viên, học viên kỹ năng thao tác thí nghiệm, khảnăng sáng tạo t duy của họ Từ trớc tới nay, trong chơng trình đào tạo củaKhoa Vật Lí - Đại Học Vinh, song song với việc giảng dạy lý thuyết thì cácbuổi thực hành ở các phòng thí nghiệm bộ môn đã là một phần không thểthiếu Vì ngoài những giờ học trên lớp, sinh viên còn đợc tự mình tiến hànhnhững thí nghiệm tại nhà thí nghiệm của Khoa Nhng theo thời gian, trải quabao thế hệ sinh viên đã từng làm thực nghiệm tại các phòng Có nhiều bộ thínghiệm hiện đã bị hỏng hóc hoặc không còn chính xác nữa Tuy nhiên, nhữngnăm gần đây, Khoa Vật đã đợc cung cấp một số các thiết bị thí nghiệm mới,nằm trong dự án mức BGD - ĐH do ngân hàng quốc tế tài trợ Các thí nghiệmnày hiện đã đợc phân loại và đa về đúng các phòng thực hành của các tổ bộmôn Những thí nghiệm này cần đợc nghiên cứu và đa vào giảng dạy, để cóthể thay thế các thí nghiệm đã sai hỏng, một phần cũng là giúp sinh viên cóthể tiếp cận hơn với các thí nghiệm mới có nhiều ứng dụng của CNTT Trong

số những thí nghiệm thuộc dự án nói trên, có một bộ thí nghiệm có thể đáp

ứng đợc các yêu cầu về giảng dạy thực hành, đó là bộ thí nghiệm “con lắc

kép”, hiện đang đợc bảo quản tại phòng thực hành cơ - nhiệt của Khoa Tuy

nhiên nó vẫn cha đợc đa vào sử dụng cho việc nghiên cứu, học tập của sinh viênbởi vì: Bài hớng dẫn thực hành có độ tin cậy về lý thuyết không cao, cha nói là

có nhiều sai sót Do đó chúng tôi kiểm tra lại lý thuyết của bài này

- Khi nghiên cứu bài toán con lắc kép (nói riêng) và các bài toán dao

động nói chung Việc thiết lập các phơng trình dao động đều quy về việc giảicác phơng trình hoặc hệ phơng trình vi phân Chúng ta biết rằng, các phơngtrình vi phân chúng ta thiết lập đợc đều là những phơng trình vi phân tuyếntính và có nhiều cách giải các phơng trình vi phân đó Trong số những cách

đó, chúng tôi đã sử dụng phơng pháp Laplace, một phơng pháp khá mới mẻ

đối với các sinh viên Vì những u việt của phơng pháp này mang lại Dùng ảnhLaplace để giải lý thuyết bài dao động con lắc kép với mục đích đa bài thínghiệm này vào hoạt động giảng dạy là một việc làm cần thiết

Với những lí do trên tôi quyết định chọn nghiên cứu đề tài: Phép biến

đổi Lapplace với các bài toán dao động và một đề xuất về thí nghiệm con lắc kép.

Trong khoá luận, ngoài phần Mở đầu và Kết luận còn có 3 chơng chính

và phần phụ lục:

Chơng 1: Tổng quan phơng pháp ảnh Laplace

Chơng 2: Bài toán dao động con lắc kép

Chơng 3: Một đề xuất về Bài hớng dẫn thí nghiệm con lắc kép

Chơng 1: Tổng quan phơng pháp ảnh Laplace.

Phơng pháp ảnh Laplace là một trong những phơng pháp đợc dùng đểgiải các phơng trình vi phân Khi xét các bài toán dao động, với các bài toánphức tạp, với các ràng buộc của điều kiện ban đầu thì phơng pháp lấy ảnhLaplace thể hiện đợc tính u việt hơn các phơng pháp thông thờng

Chơng 2: Bài toán dao động con lắc kép.

Bài toán dao động con lắc kép là một bài toán mang tính tổng hợp Từcấu tạo con lắc kép, đặt ra cho ta những bài toán khác nhau: Đó là thiết lập cácphơng trình dao động trong các trờng hợp cùng pha, ngợc pha và phách

Chơng 3: Một đề xuất về Bài hớng dẫn thí nghiệm con lắc kép

Hiện nay bài hớng dẫn thí nghiệm con lắc kép đang lu trữ tại phòng cơ nhiệt là một bài thí nghiệm có nhiều lỗi cần phải sữa chữa trong lí thuyết cũng

-nh bài hớng dẫn thực hà-nh Do đó bài hớng dẫn thí nghiệm này cần viết lại để

đảm bảo tính chính xác và khoa học hơn

Phần phụ lục chính là bài hớng dẫn thí nghiệm “Con lắc kép” hiện đang

đợc lu giữ tại phòng thực hành cơ - nhiệt, khoa Vật Lý, trờng Đại học Vinh

Đa một bài thí nghiệm vào đào tạo là một việc làm đòi hỏi rất nhiều côngsức và phải đợc sự thông qua của Hội đồng Khoa Học chuyên ngành Là mộtsinh viên làm khoá luận và do quỹ thời gian và năng lực bản thân có hạnchúng tôi mạnh dạn trình bày quan điểm về thí nghiệm này Kết quả nghiêncứu là bớc đầu hoàn thiện, cần có nhiều chỉnh sửa và bổ sung thêm Hy vọngcác kết quả đạt đợc sẽ là một tài liệu tham khảo có ích cho những ngời nghiêncứu tiếp theo và cũng là tài liệu bổ ích cho các bạn sinh viên đồng nghiệp

Chơng 1 Tổng quan phơng pháp ảnh Laplace

Từ trớc tới nay chúng ta rất hay sử dụng phép biến đổi Fourier trong toánhọc và ứng dụng nó vào trong vật lý Tuy nhiên phép biến đổi này chỉ có thể

áp dụng đối với những hàm số có tích phân biến đổi hội tụ.Vậy những hàm số

mà có tích phân biến đổi không hội tụ chúng ta sử dụng một phơng pháp mới,phơng pháp ảnh Laplace

Phơng pháp Laplace là một phơng pháp rất hữu hiệu cho việc giải phơngtrình vi phân Nhất là những phơng trình có điều kiện ràng buộc ban đầu phứctạp thì phơng pháp Laplace thể hiện tính u việt của nó

1.1 Phép biến đổi Laplace

- Nh đã nói ở trên, với những hàm không tồn tại ảnh Fourier (tích phânbiến đổi không hội tụ) ta có thể sử dụng ảnh Laplace [1] Trớc hết ta chứngminh một số tính chất của loại hàm này

a Xét lớp hàm f(x) có tính chất:

i f(x) = 0 khi x< 0

ii f(x) liên tục từng khúc (tức là hàm số đó chỉ có hữu hạn điểm gián

đoạn lại I trên mỗi đoạn hữu hạn [a,b]);

iii.M,sR màx 0 có |f(x)| < Mesx (tức là hàm số f(x) không tăngquá nhanh)

Giả sử p = a + ib là số phức mà Rep = a > 0 và a > s Tr ớc hết ta chứngminh tích phân suy rộng 



 0

) ( f x dx

( )

(

s a

M dx e e M dx x f e e dx x f

0 1

) (

x khi x khi x

) ( ).

( )

f cx ( ) ixy

2

1 )

( ).

f ( ) ixp

2

1 ) ( ).

), ( ( L

(1.1.6)(Viết gọn là Lf) gọi là ảnh Laplace của hàm f(x) theo p Hàm f(x) gọi là

ảnh ngợc và đợc viết lại dới dạng:

f x I x  g(y).e py dp

i 2π

1 ) ( ).

Phép tơng ứng f  Lf (Tức là ánh xạ ứng mỗi hàm thuộc lớp hàm nói

trên với một hàm phức của biến p) đợc gọi là phép biến đổi Laplace.

), ( (

p dx e p x

L

Đối với cá hàm số f(x) mà giá trị của nó khác 0 ở một điểm x < 0 nào đóthì khi thay nó bằng hàm số I(x).f(x) , ta sẽ đợc một hàm số thoả mãn tiên đề i

ở trên, nhng để đơn giản trong cách viết, ta quy ớc dùng ký hiệu L(f,p) thay cho

ký hiệu L(I.f,p) Đồng thời quy ớc giá trị f(0) của hàm f(x) bất kỳ là giá trị

) ( )

0

0

x f

f

x 



 (Chú ý rằng theo tiên đề ii thì giới hạn này luôn tồn tại).

- Dùng định nghĩa ta tìm ảnh của một vài hàm số:

a e ax p p a



) , (

L b ( ( ), ) 2 2

a p

a p

ax Sin



 L

c ( ( ), ) 2 2

a p

a p

ax Sh





L d ( ( ), ) 2 2

a p

p p

ax Cos



 L

e ( ( ), ) 2 2

a p

p p

ax Ch





L e 1

! ) ,

p

n p x

a p

e p a dx e

dx e e p

L

b Chứng minh: ( ( ), ) 2 2

a p

a p

ax Sin



 L

(

0 ).

( 1 ).

(

p

a e

ax Sin p dx

e ax

).

( 1

p

a e

ax Cos p p

a

1

2

a I p

a 1 I.

a p

ax Sin

p p

ax Cos



 L

1.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace

i Tính chất tuyến tính: Suy từ tính chất của tích phân ta có:

x f

b a R x khi x

f

, )

(

,

\ 0

) (

Trờng hợp (x ) C, áp dụng tính chất trễ, ta nhận đợc:

( , ) (e pa e pb)

p

C p

i e i e i C

p p f

1

) (

1 ) ,

(1.2.8)

x

x f dt

t x f p

 

x

dt t x g t f g f

0

) ( ) (

* (1.2.12)

Ta có: L (f *g)  L (f) L (g) (1.2.13)

1.3 Phép biến đổi Laplace ngợc

Nói chung phép biến đổi Laplace thuận và ngợc đều không đơn giản.Nếu f là hàm trơn từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn R+ và f(t) Me st, khi

đó công thức biến đổi ngợc tổng quát là:

 .g(y).e dp

π ii

2 1

Tuy nhiên đối với một hàm hữu tỷ của p thì ta dùng thủ thuật phân tíchthành các phân thức đơn giản để tìm phép biến đổi ngợc tơng đối dễ dàng.Một số công thức biến đổi ngợc thờng dùng

1 ( , ) 1  f  1

p p

f

L (1.3.2)

a p p

a p

p p

1 )

,

b

f b

a p p

b a p

a p p

f p p

2

1

1 ) , (



L

) 1

'

( 0

) 1 ( Re 2 2

p

e p s πi.

πi

ax p

f a p p

2

1 1 ) , (



L

a p px

a p

a p

e Lim a

p e s

( )

a - p

1 ( Re 2 2

a i

f a

p

a p

2

1 )

(

.

2 2 2

e a Lim a

p

e a Lim

px

ia p

px

ia p

i

e e ia

e a ia

e a p

e a Lim p

e a Lim

iax iax

iax iax

px ia p px ia

2

) 2

( )

2

(

Cos ax

iSin ax

Cos

2

)) ( )

( ( )) ( )

Cos ax

iSin ax

Cos

2

) ( )

( )

( )

ax Sin i

ax Sin i



 (đpcm)

Hoàn toàn tơng tự ta chứng minh đợc (1.3.5):

) (

)

,

a p

p p





1.4 Một số công thức biến đổi Laplace

Bảng sau là bảng gồm các hàm và ảnh Laplace của chúng Đây là nhữnghàm quen thuộc và thờng đợc sử dụng nhiều Những kết quả đa ra đều đã đợcchứng minh Do vậy các phép tính sau này chúng tôi sẽ dùng mà không chứngminh lại



 a n p

! )!

1 2 (

) (p a b

b





) ( Sh bx

e ax

2 2

) (p a b

) (p a b

a p





 e ax.Ch(bx)

2 2

) (p a b

a p





 )

(

Sin x

2 2

2 2

2 2

) (p a

ea / p

πx

) 2

Sh

p p

1 9 '

y y

y y

y p p y



1 9

1 1 ) , (

p

p p p

p p y

L

Từ bảng hàm ảnh của các hàm cơ bản ta thấy:

 ( , ) 1  f  1

p p f

L

3 )

,

p

p p

y  

Ta cũng có thể tìm công thức trên bằng cách tính tích phân trực tiếp vớicách tìm ảnh Laplace ngợc đã trình bày ở phần trên qua thủ thuật sử dụng

; 1 ) 0 (

5 ' 2 '

y y

Sinx y

y y

( ) 5 2

y p

1 )

p

p p p y

1 )

p

p p

p p

p y

L

y e Cos x Sin x e Sin t Sin x t dt

x t

2

2 )

2 2

3 2 (

e





Chú ý: Hai số hạng đầu có dạng đơn giản ta có thể suy ngay ra từ bảng

2

3 ) 2 ( Cos x e Sin x

1

2 2

; 0 3 ' 4 '

0 ) 0 (

; 1 ' 2

' 3

z z

z y

y z

y y

) , 1 ( ) 0 ( ) , ( )

, ( 2 ) 0 ( 3 ) , ( 3

p z z

p z p y

p y p

p z

p z p p y y

p y p

L L

L

L L

L L

Từ điều kiện ban đầu ta có:

1 )

) 2 3 (

z p

y p

p z p (y p

L L

L L

1 )

) 2 3 (

z p

p y

p z p (y p

L L

L L

6 17 11

1 )

z p

p y

p p

z

L L

11 6 1 1

1 5 1 ) (

z p

p y

p p

z

L L

11 6 1 1 1 5 1 ) (

p p

p y

p p z

L L

Từ đó dễ dàng suy ra:

) (

5 1

11 / 6

11 / 6

x x

x x

e e y

e e z

1.5.2 ứng dụng trong kỹ thuật điện

Ví dụ 1: (Xét mạch điện dao động tự do)

Cho mạch điện nh hình vẽ Tại thời điểm ban đầu khi cha đóng khoá Tụ tích

điện tích q0 Hãy tính cờng độ dòng điện chạy trong mạch sau khi đóng khoá?

Giải:

Tại thời điểm t = 0, q(0) = q0

Theo định luật Kiarkhoff [6,7]:

1

0 i t dt q

c dt

di L

0

0

) ( )

(t q idt q t idt q q

dq

t q

t i c p t i L

t

L L

t

L L

dt x t t i dt

p i c p i

LpL L (Đã có:

p q q

)

1

1 ).(

1 ) , (

2

0 2

0

Lc p Lc

q p

Lc

q p

Đặt: 2

0 2

2 0 0

Lc L

Ta nhớ lại phép biến đổi Laplace ngợc:

f x Sinax

a p

a p

.

) (t   0q0 Sin0t I0Cos 0 

i

(1.5.2.5)

t t

0 0

0

0 0 0 0

) ( )

(1.5.2.6)

Nhìn vào các phơng trình (1.5.2.5) và (1.5.2.6) ta thấy ngay trong mạch

có dao động của cờng độ dòng điện, điện tích theo quy luật hình Sin, tức làquy luật dao động điều hoà Nhng dòng điện lệch pha với điện tích một góc

0





Năng lợng điện trờng của tụ WC và năng lợng từ trờng (trong ống dây)

WL cũng biến thiên tuần hoàn theo quy luật hình sin:

) ( 2

2

2 0

2

t Cos C

q C

q

2 ) ( 2

2

2 0 0 2

2 0

2 0

2

t Sin C

q t Sin Lq

W  C  L  

2

2 0

Ví dụ 2: (Mạch dao động có R)

Mạch điện có điện trở R, cuộn thuần cảm

L, tụ có điện dung C Ban đầu tụ tích điện q0

i0= 0 Xác định cờng độ dòng điện chạy trong

mạch sau khi đóng khoá K?

Giải:

Xét thời điểm ban đầu ngay sau khi đóng mạch (t = 0) áp dụng định luậtKiarkhoff [6,7] ta có:

t di L t Ri

0

0

) ( 1 ) ( )

p i Lp p i

 L L L (1.5.2.8)Với i0 là cờng độ dòng điện trong mạch ngay sau khi đóng khoá K Theobài ra ta có: t = 0, i0 = 0

Cp

q Cp

Lp R p

q p i

R p LC

q LCp

RCp

q p

i

1

1

1 )

, (

2

0 2

1 ( ) 2 (

1

) , (

2

2 2

0

L

R LC L

R p LC

q p i

) 2 (

1

) , (

2

2 2 0 2

2 0 0

L

R L

R p

q p i

) (

1 )

) ( ) ( , 4

,

2 2

L

R b

L

R

Ta có:

. . ( 4 )

4

1

)

2 2 0 2

2

2 2 0

2 0

L

R Sin

e L R q

R

e L R q

I

2

2

2 2 0

2 0 0

4

1

2 2 0

4 1 2

4

2

L

R LC L

(t   I0 Sin t I0Cos t

i

Nh vậy dòng điện trong mạch biến thiên tuần hoàn theo quy luật hàm sin,

nhng có biên độ giảm dần theo thời gian Từ công thức: 22

Cho mạch điện nh hình vẽ Suất điện động

của nguồn bằng E0, điện trở R, tụ có điện dung

C Ban đầu tụ cha tích điện Hãy tính điện áp

trên tụ điện C khi đóng mạch điện?

Giải:

Kí hiệu t = 0 tại thời điểm đóng khoá K Theo định luật Kiarkhoff ta có:

C

q iR U iR

q dt

RC

q p

dt

dq

L L

p R

E p t q RC q

p t q

p ( ( ), )  ( 0 )  1 ( ( ), )  0 1

( ( ), )( 1 ) 0 1 q( 0 )

p R

E RC p p t

 L (1.5.2.16)Tại thời điểm t = 0 trên tụ cha có điện tích nên q(0) = 0, suy ra:

1 1

( 1

1 1 )

), (

RC p p C E RC p p R

E p t q

(1.5.2.17)

Theo bảng ảnh Laplace, ta đợc: ( ) ( 1 )

1 0

t RC

e C E t

q    (1.5.2.18)

Hay: ( ) ( 1 )

1 0

t RC

Từ phơng trình trên ta có thể thấy rõ đợc quá trình tích phóng điện qua tụ.Tại thời điểm t = 0, khi bắt đầu đóng khoá K, hiệu điện thế hai đầu tụ bằng 0.Theo thời gian thì xuất hiện sự tích và phóng điện qua tụ Do C vào cỡ F

nên chu kỳ nạp và phóng điện vào cỡ hằng số thời gian: 10  6s





Ví dụ 4:

Một mạch điện mắc nối tiếp gồm điện trở

R, tụ điện C và cuộn dây có điện cảm L, điện

tích ban đầu tích trên tụ điện là q0 và dòng điện

ban đầu là i0 Tính điện áp hai đầu mạch U(t)?

t di L t i R t

U( )  ( )  ( )  ( ) (1.5.2.19)

Tính q(t)?

Ta có: dq i t dt

dt

dq t

i( )    ( )   

t q

q

dt t i dq

0

) (

0

  

t

dt t i q q

0

0 ( ) Hay ta có:  

t

dt t i q q

t di L t i R t U

0

0

) ( 1 ) ( )

( ) ( (1.5.2.20)

Lấy ảnh Laplace hai vế của (1.5.2.20) ta có:

t

q dt t i C i p t i pL p t i R p t

), ( ( )

p t i C i p t i p L p t i R p t

0

) ), ( ( 1 ) ) ), ( ( ( ) ), ( ( ) ), (

0

) ), ( ( 1 )

), (

Ta có thể viết lại phơng trình (1.5.2.21):

Cp

q Li ZI

Xét mạch điện nh hình vẽ, trong đó suất điện động E0 không đổi, điện trở

R, cuộn thuần cảm L, tụ có điện dung C Điện tích ban đầu q0 Tìm dòng điệnchạy trong mạch sau khi đóng K?

Giải:

dụng định luật Kiarsoff [6,7] ta có:

E iRL di q (1.5.2.22)

Víi q lµ ®iÖn tÝch cña tô t¹i thêi ®iÓm t

Ta tÝnh q:       

t q

q

t

idt q

t q idt q

t q dq

0

0 0

) (

di L iR E

0

0 0

1

(1.5.2.23)LÊy ¶nh Laplace 2 vÕ cña (1.5.2.23) ta cã:

0 ( 1 , ) ( , ) ( ( , ) 0 ) 1  (i,p) q0

Cp i

p i p L p i R p

E L  L  L   L  (1.5.2.24)Hay:

Cp

q p i Cp p i Lp p i R p

) , ( 1 ) , ( )

q E Cp Lp R p i

0 0

1 ).

, (

q L E

C Lp Rp

C

q E p

i

1 1

) , (

2

0 0

2

0 0

1 ( ) 2 (

) , (

2

2 2

0 0

L

R LC L

R p

LC

q L

E p

4 1

1 ).

2 2

2 2 0

L

R LC Sin e

L

R LC LC

q L

Nhìn vào kết quả ở (1.5.2.26) dễ thấy cờng độ dòng điện chạy trongmạch cũng có biên độ giảm dần theo thời gian.Và dao động của i là dao độngtắt dần

R

e L

R LC LC

q L

E I

2

2 2 0

0

4 1

1 ).

Ví dụ 6: Mạch chứa nguồn E dạng xung

Trong mạch điện trên ta thay nguồn E0 bằng nguồn phát dạng xung E(t)

di L iR t E

0

0

1 )

Lấy ảnh Laplace 2 vế của (1.5.2.27) ta đợc:

( , ) ( , ) ( ( , ) 0 ) 1  (i,p) q0

Cp i

p i p L p i R p

(

, 0

t t t khi t

t t t khi E

 (1.5.2.29)Trong đó: (t) là một dạng bất kỳ nào đó Ta xét trờng hợp đặc biệt:

- Nếu  ) (t  const, nghĩa là E có dạng xung vuông

Khi đó hàm (t) có thể viết lại dới dạng:

E(t) I(t t0)  I(t t1)  (t) (1.5.2.30)(Trong đó I là hàm Heaviside, đợc định nghĩa nh sau:

0 0

)

(

t khi t khi t

- Bây giờ ta tính: L (E(t),p) Từ (1.5.2.30) ta có:

) ), ( ( ) ),

( , ) (e t0p e t1p)

p p



 

L (1.5.2.32)Thay (1.5.2.32) vào (1.5.2.30) ta có:

Cp

q Cp Lp R p i e

e

p

p t p

C

q e

e p p i

p t p t

1

) (

1 ) , (

0

1 0

từ đã nêu ra

Chơng 2 Bài toán dao động con lắc kép

Nh đã nói ở trên, khi giải bài toán con lắc kép, chúng ta hoàn toàn có thể

sử dụng phơng pháp giải thông thờng Bởi việc tìm phơng trình dao động củacon lắc kép cũng quy về việc giải những phơng trình vi phân bậc cao thuầnnhất có hệ số không đổi Tuy nhiên trong khuôn khổ khoá luận chúng tôi xintrình bày bài toán này bằng phơng pháp dùng ảnh Laplace (Trong các chứngminh có sử dụng các kết quả đã tính toán ở chơng 1)

2.1 Bài toán

Hai con lắc trọng trờng có cùng tần số góc

0

 đợc liên kết với nhau bởi một lò xo có độ

cứng DF Hãy viết phơng trình dao động của con

lắc kép trong các trờng hợp cùng pha, ngợc pha

và trờng hợp phách?

Giải:

Nếu hai con lắc trọng trờng có cùng tần số

góc  0 đợc liên kết với nhau bởi 1 lò xo, khi dao

động, ngoài mômen do trọng lực tác dụng, mỗi

con lắc còn chịu tác động của mô men gây ra bởi

lực đàn hồi của lò xo:

0 0

l: Khoảng cách từ O đến vị trí treo lò xo

DF: là độ cứng của lò xo liên kết giữa hai con lắc

y0: Góc lệch của con lắc so với phơng thẳng đứng.

Ta cũng có thể viết: x0 lSiny0 ly0 0

2 0

, D .x l D .l y

M F O   F   F

 (2.1.3)Tổng mômen tác dụng vào vật:

( 2 0)

0 ,

y là góc lệch của con lắc so với phơng thẳng đứng

- Giả sử ban đầu ta kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng các góc: y1, y2;

- Ta có các phơng trình chuyển động của các vật:

1 1

1

y y l D mgLy M

y

I    F  (2.1.5)

. 2( 1 2)

2 2

2

y y l D mgLy M

mgL





2 0

D I

2( 1 2)

1

2 0 1

y y y

y       (2.1.8)

2( 2 1)

2

2 0 2

y y y

p y p p

1 1

p y p y p

y y

py p y

( , ) ( 0 ) ( 0 ) ( , ) 2( ( 2, ) 1, ))

2

2 0 2

2 2

p y p y p

y y

py p y

Vận tốc ban đầu bằng 0: y1' ( 0 ) y2' ( 0 )  0

Khi đó các phơng trình (2.1.11), (2.1.12) đợc viết lại:

)) , ( ) , ( ( )

0 ( ) , ( )

1 1

2 0

2 0

2 0

p  L     L  L (2.1.15)  (p2 02) L (y1,p) py0 (2.1.16)

0 2

y

L (2.1.17)Trở lại với bảng hàm ảnh Laplace ta thấy ngay:

( , ) 2 1 0 ( 0 )

0 2

0

p

py p

y2 y0Cos(  0t) (2.1.19)

Nh vậy phơng trình dao động của hai con lắc lúc này là:

) ( 0

0 2

2 0

p  L     L  L (2.1.20) ( ) ( , ) 2 ( ( 2, ) ( 2, ))

0 2

2 0

p  L     L  L (2.1.21)Giải phơng trình (2.1.20):

Ta có: 2 2

0 2

0 1

2 )

y

L

2 2 0 2

0 1

2

) , (

y

L