LUẬN VĂN Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor

LUẬN VĂN Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor Một số kết quả cơ bản về bài toán nội suy Taylor, khai triển Taylor. Đánh giá phần dư và sự hội...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………

LUẬN VĂN

Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor

Mo ’ d ¯ˆ ` u a

Trong qua´ trı`nh tı´nh toa´ n, nhiˆ` u khi ta cˆe ` n pha’i xaa ´ c d¯i.nh gia´ tri cu’a mˆo.t ha`m sˆo´ f (x)

ta.i mˆo.t d¯iˆe’m tu`y y´ cho tru.´o.c, trong khi d¯o´ d¯iˆ` u kiˆe.n chı’ m´o.i cho biˆe´t mˆo.t sˆo´ gia´ tri.e(r`o.i ra.c) cu’a ha`m sˆo´ va` cu’a d¯a.o ha`m ha`m sˆo´ d¯ˆe´n cˆa´p na`o d¯o´ cu’a no´ ta.i mˆo.t sˆo´ d¯iˆe’m

x1, x2, · · · , x k cho tru.´o.c

V´o.i nh˜u.ng tru.`o.ng ho. p nhu vˆa.y, ngu.`o.i ta thu.`o.ng tı`m ca´ch xˆay du ng mˆo.t ha`m sˆo´ P(x)

da.ng d¯o.n gia’n ho.n, thu.`o.ng la` ca´c d¯a th´u.c d¯a.i sˆo´, tho’a ma˜n ca´c d¯iˆe`u kiˆe.n d¯a˜ cho Ngoa`i

ra, ta.i nh˜u.ng gia´ tri x ∈ R ma` x khˆong tru`ng v´o.i x1, x2, · · · , x k, thı` P (x) ≈ f (x) (xˆa´p xı’theo mˆo.t d¯ˆo chı´nh xa´ c na`o d¯o´ )

Ha`m sˆo´ P (x) d¯u.o. c xˆay du. ng theo ca´ ch v`u.a mˆo ta’ trˆen d¯u.o. c go.i la` ha`m nˆo.i suy cu’a

f (x); ca´ c d¯iˆe’m x1, x2, · · · , x k thu.`o.ng d¯u.o. c go.i la` ca´ c nu´ t nˆo.i suy va` ba`i toa´ n xˆay du. ng

ha`m P (x) nhu vˆa.y d¯u.o c go.i la` Ba`i toa´n nˆo.i suy

Su.’ du.ng ha`m (d¯a th´u.c) nˆo.i suy P (x), ta dˆe˜ da`ng tı´nh d¯u.o c gia´ tri tu.o.ng d¯ˆo´i chı´nh

xa´ c cu’a ha`m sˆo´ f (x) ta.i x ∈ R tu`y y´ cho tru.´o.c T`u d¯o´ , ta co´ thˆe’ tı´nh gˆ` n d¯ua ´ ng gia´ tri

d¯a.o ha`m va` tı´ch phˆan cu’a no´ trˆen R

Ca´ c ba`i toa´ n nˆo.i suy cˆo’ d¯iˆe’n ra d¯`o.i t`u rˆa´t s´o.m va` d¯o´ng vai tro` rˆa´t quan tro.ng trongthu. c tˆe´ Do d¯o´ , viˆe.c nghiˆen c´u.u ca´c ba`i toa´n nˆo.i suy la` rˆa´t co´ y´ nghı˜a

O˙’ ca´c tru.`o.ng phˆo’ thˆong, ly´ thuyˆe´t vˆe. ` vˆa´n d¯ˆ` nae `y khˆong d¯u.o. c d¯ˆ` cˆe a.p, nhu.ng nh˜u.ng

´

d¯u.`o.ng ho˘a.c phu.o.ng trı`nh m˘a.t bˆa.c hai, trong ca´c d¯˘a’ng th´u.c da.ng phˆan th´u.c va` d¯˘a.c biˆe.t

la` viˆe.c ´u.ng du.ng cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange va` khai triˆe’n Taylor d¯ˆe’ gia’i mˆo.t sˆo´ ba`i toa´nkho´ trong ca´ c d¯ˆ` thi ho.c sinh gio’i ca´c cˆa´p.e

Vı` vˆa.y, viˆe.c hı`nh tha`nh mˆo.t chuyˆen d¯ˆe` cho.n lo.c nh˜u.ng vˆa´n d¯ˆe` co ba’n nhˆa´t vˆ` cae ´ c ba`itoa´ n nˆo.i suy, du.´o.i go´c d¯ˆo toa´n phˆo’ thˆong, d¯˘a.c biˆe.t la` nh˜u.ng ´u.ng du.ng cu’a no´ trong qua´trı`nh gia’i mˆo.t sˆo´ da.ng toa´ n kho´ la` rˆa´t cˆ` n thiˆe´t Ho.n n˜a u.a, chuyˆen d¯ˆ` nae `y cu˜ ng co´ thˆe’

la`m ta`i liˆe.u tham kha’o cho ca´ c gia´ o viˆen gio’i va` ca´ c sinh viˆen nh˜u.ng n˘am d¯ˆ` u cu’a bˆa a.c

d¯a.i ho.c

´

Y tu.o.’ ng muˆo´n thu. c hiˆe.n luˆa.n v˘an na`y hı`nh tha`nh tru.´o.c khi cuˆo´n sa´ch chuyˆen kha’o[2] ra d¯`o.i D- ˆay v`u.a la` mˆo.t thuˆa.n lo i v`. u.a la` mˆo.t kho´ kh˘an cho nˆo˜ lu. c tı`m kiˆe´m nh˜u.ng

ne´ t m´o.i cho luˆa.n v˘an cu’a ta´ c gia’, vı` cuˆo´n sa´ ch trˆen la` mˆo.t ta`i liˆe.u rˆa´t quı´ gia´ , trong khi

d¯o´ hˆ` u nhu chu.a coa ´ mˆo.t ta`i liˆe.u toa´ n so cˆa´p na`o d¯ˆ` cˆe a.p d¯ˆe´n vˆa´n d¯ˆe` na`y mˆo.t ca´ ch tro.nve.n Do d¯o´ , luˆa.n v˘an khˆong qua´ d¯ˆ` cˆe a.p sˆau vˆe` ly´ thuyˆe´t ma` cˆo´ g˘a´ng tı`m kiˆe´m nh˜u.ng

´

u.ng du.ng cu’a no´ va`o viˆe.c gia’i va` sa´ ng ta´ c ca´ c ba`i tˆa.p o’ phˆ. o’ thˆong, d¯˘a.c biˆe.t la` nh˜u.ng ´u.ng

du.ng thu.`o.ng g˘a.p cu’a cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange va` khai triˆe’n Taylor.

Ba’n to´ m t˘a´t luˆa.n v˘an da`y 24 trang, gˆo` m ca´ c phˆ` n Mo.a ’ d¯ˆ` u, ba chu.o.ng nˆa o.i dung, kˆe´tluˆa.n va` Ta`i liˆe.u tham kha’o

Chu.o.ng 1: Ca´ c ba`i toa´ n nˆo i suy cˆo’ d¯iˆe’n

Nˆo.i dung chu.o.ng na`y trı`nh ba`y mˆo.t ca´ch co ba’n nhˆa´t vˆe` ca´c ba`i toa´n nˆo.i suy cˆo’ d¯iˆe’n,

d¯o´ la` Ba`i toa´ n nˆo.i suy Lagrange, Ba`i toa´ n nˆo.i suy Taylor, Ba`i toa´ n nˆo.i suy Newton va`

Ba`i toa´ n nˆo.i suy Hermite

Chu.o.ng 2: Mˆo t sˆo´ ´u.ng du ng cu’a cˆong th´u.c nˆo i suy.

phˆo’ thˆong, cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange va` nh˜u.ng ´u.ng du.ng cu’a no´ d¯u.o c d¯ˆe` cˆa.p tha`nh

mˆo.t phˆa` n riˆeng trong chu.o.ng na`y v´o.i nh˜u.ng phu.o.ng pha´ p gia’i toa´ n kha´ d¯a da.ng va`

mˆo.t sˆo´ lu.o ng ba`i tˆa.p d¯ˆe` xuˆa´t kha´ phong phu´ Nhiˆe`u d¯˘a’ng th´u.c du.´o.i da.ng phˆan th´u.c

co´ nguˆ` n gˆo o´c t`u cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange d¯a˜ d¯u.o. c luˆa.n v˘an pha´ t hiˆe.n Nhiˆe` u ba`itoa´ n thi cho.n ho.c sinh gio’i quˆo´c gia va` quˆo´c tˆe´ d¯a˜ d¯u.o. c gia’i b˘a`ng ca´ ch a´ p du.ng cˆongth´u.c nˆo.i suy na`y Phˆa` n co`n la.i cu’a chu.o.ng trı`nh ba`y mˆo.t sˆo´ ´u.ng du.ng cu’a ca´c cˆong th´u.c

nˆo.i suy co`n la.i Mˆo.t sˆo´ ba`i tˆa.p da`nh cho ba.n d¯o.c cu˜ ng d¯u.o. c gi´o.i thiˆe.u o’ phˆ. ` n cuˆa o´i chu.o.ng

Chu.o.ng 3: ´U.ng du ng cˆong th´u.c nˆo i suy d¯ˆe’ u.´o.c lu.o. ng va` xˆa´p xı’ ha`m sˆo´

Chu.o.ng na`y ta´ ch riˆeng mˆo.t ´u.ng du.ng cu’a ca´c cˆong th´u.c nˆo.i suy d¯ˆe’ u.´o.c lu.o ng va` xˆa´pxı’ ha`m sˆo´ Mˆo.t sˆo´ da.ng toa´ n kho´ o.’ phˆo’ thˆong liˆen quan d¯ˆe´n vˆa´n d¯ˆ` nae `y d¯a˜ d¯u.o. c d¯ˆ`e

cˆa.p, trong d¯o´ co´ nh˜u.ng ba`i trong ca´ c d¯ˆ` thi cho.n ho.c sinh gio’i quˆo´c gia va` quˆo´c tˆe´ Mˆo.te

sˆo´ phˆ` n cu’a luˆa a.n v˘an d¯a˜ d¯u.o. c d¯˘ang ta’i trong ca´ c ky’ yˆe´u hˆo.i nghi chuyˆen nga`nh, ch˘a’ngha.n [1]

Luˆa.n v˘an d¯u.o c hoa`n tha`nh nh`o su hu.´o.ng dˆa˜n khoa ho.c va` nhiˆe.t tı`nh cu’a Tiˆe´n sy˜Tri.nh D- a`o Chiˆe´n - Ngu.`o.i Thˆa` y rˆa´t nghiˆem kh˘a´c va` tˆa.n tˆam trong cˆong viˆe.c, truyˆe` n d¯a.tnhiˆ` u kiˆe´n th´e u.c quı´ ba´ u cu˜ ng nhu kinh nghiˆe.m nghiˆen c´u.u khoa ho.c trong suˆo´t th`o.i giannghiˆen c´u.u d¯ˆ` tae `i Chı´nh vı` vˆa.y ma` ta´ c gia’ luˆon to’ lo`ng biˆe´t o.n chˆan tha`nh va` sˆau s˘a´c

d¯ˆo´i v´o.i Thˆ` y giaa ´ o hu.´o.ng dˆa˜n - Tiˆe´n sy˜ Tri.nh D- a`o Chiˆe´n

Nhˆan d¯ˆay, ta´ c gia’ xin d¯u.o. c ba`y to’ lo`ng biˆe´t o.n chˆan tha`nh d¯ˆe´n: Ban Gia´ m Hiˆe.u,Pho`ng d¯a`o ta.o D- a.i ho.c va` sau D- a.i ho.c, Khoa toa´n cu’a tru.`o.ng D- a.i ho.c Qui Nho.n, cu`ng quı´thˆ` y cˆa o gia´ o d¯a˜ tham gia gia’ng da.y va` hu.´o.ng dˆa˜n khoa ho.c cho l´o.p cao ho.c toa´n kho´a 8

d¯a˜ cho ta´ c gia’ co hˆo.i ho.c tˆa.p, cu`ng v´o.i quı´ thˆa` y cˆo gia´ o cu’a nha` tru.`o.ng d¯a˜ d¯ˆo.ng viˆen, se’chia cˆong viˆe.c va` ta.o mo.i d¯iˆe` u kiˆe.n thuˆa.n lo i d¯ˆe’ ta´c gia’ nghiˆen c´u.u va` hoa`n tha`nh luˆa.nv˘an na`y

Trong qua´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa.n v˘an, ta´ c gia’ co`n nhˆa.n d¯u.o c su quan tˆam d¯ˆo.ng viˆen

d¯ˆo.ng viˆen d¯o´

D- ˆe’ hoa`n tha`nh luˆa.n v˘an na`y, ta´c gia’ d¯a˜ tˆa.p trung rˆa´t cao d¯ˆo trong hoc tˆa.p va` nghiˆenc´u.u khoa ho.c, cu˜ ng nhu rˆa´t cˆa’n thˆa.n trong nhˆan chˆe´ ba’n Trong d¯o´ ı´t nhiˆ` u ha.n chˆe´e

vˆ` th`e o.i gian cu˜ ng nhu trı`nh d¯ˆo hiˆe’u biˆe´t nˆen trong qua´ trı`nh thu. c hiˆe.n khˆong thˆe’ tra´ nhkho’i nh˜u.ng thiˆe´u so´ t, ta´ c gia’ rˆa´t mong nhˆa.n d¯u.o c su chı’ ba’o cu’a quı´ thˆa`y cˆo va` nh˜u.ng

go´ p y´ cu’a ba.n d¯o.c d¯ˆe’ luˆa.n v˘an d¯u.o c hoa`n thiˆe.n ho.n

Ta´ c gia’

Chu.o.ng 1

C´ ac b` ai to´ an nˆ o.i suy cˆo˙’ d¯iˆe˙’n

Trong chu.o.ng na`y, luˆa.n v˘an d¯ˆe` cˆa.p mˆo.t sˆo´ ba`i toa´ n nˆo.i suy cˆo’ d¯iˆe’n se˜ su.’ du.ng o.’

ca´ c chu.o.ng sau, d¯o´ la`: Ba`i toa´ n nˆo.i suy Lagrange, Bai toa´ n nˆo.i suy Taylor, Ba`i toa´ n nˆo.isuy Newton va` Ba`i toa´ n nˆo.i suy Hermite L`o.i gia’i cho ca´c ba`i toa´n na`y la` ca´c d¯a th´u.c

nˆo.i suy tu.o.ng ´u.ng ma` ch´u.ng minh chi tiˆe´t d¯a˜ d¯u.o c trı`nh ba`y trong [2]

1.1.1 Ba `i toa ´ n nˆ o i suy Lagrange

Cho ca´ c sˆo´ thu. c x i , a i, v´ o.i xi 6= xj, v´o.i mo i i 6= j, i, j = 1, 2, · · · , N Ha˜ y xa´ c d¯i.nhd

¯a th´u.c L(x) co´ bˆa c degL(x) ≤ N − 1 va` tho’a ca´ c d¯iˆ` u kiˆe e n

la` d¯a th´u.c duy nhˆa´t tho’a ma˜ n d¯iˆe` u kiˆe.n cu’a ba`i toa´n nˆo.i suy Lagrange va` ta go.i d¯a th´u.c

na`y la` d¯a th´u.c nˆo.i suy Lagrange

1.2 B` ai to´ an nˆ o i suy Taylor

1.2.1 Ba `i toa ´ n nˆ o i suy Taylor

Cho ca´ c sˆo´ thu. c x0, a i , v´ o.i i = 0, 1, · · · , N − 1 Ha˜ y xa´ c d¯i.nh d¯a th´u.c T (x) co´ bˆa.c

degT (x) ≤ N − 1 va` tho’a ma˜ n ca´ c d¯iˆ` u kiˆe e n

la` d¯a th´u.c duy nhˆa´t tho’a ma˜ n d¯iˆe` u kiˆe.n cu’a ba`i toa´n nˆo.i suy Taylor va` go.i d¯a th´u.c na`y

la` d¯a th´u.c nˆo.i suy Taylor

1.3.1 Ba `i toa ´ n nˆ o i suy Newton

Cho ca´ c sˆo´ thu. c x i , a i , v´ o.i i = 1, 2, · · · , N Ha˜ y xa´ c d¯i.nh d¯a th´u.c N(x) co´ bˆa.c

degN (x) ≤ N − 1 va` tho’a ma˜ n ca´ c d¯iˆ` u kiˆe e n

la` d¯a th´u.c duy nhˆa´t tho’a ma˜ n d¯iˆe` u kiˆe.n cu’a ba`i toa´n nˆo.i suy Newton va` ta go.i d¯a th´u.c

na`y la` d¯a th´u.c nˆo.i suy Newton

1.4.1 Ba `i toa ´ n nˆ o i suy Hermite

Cho ca´ c sˆo´ thu. c x i , a ki , i = 1, 2, · · · , n; k = 0, 1, · · · , p i− 1 va` x i 6= x j, v´o.i mo i i 6= j,trong d¯o´ p1+ p2+ · · · + pn = N Ha˜ y xa´ c d¯i.nh d¯a th´u.c H(x) co´ bˆa.c degH(x) ≤ N − 1 va`

tho’a ma˜ n ca´ c d¯iˆ` u kiˆe e n

H (k) (xi) = aki , ∀i = 1, 2, · · · , n; ∀k = 0, 1, · · · , p i− 1

1.4.2 D - a th´ u.c nˆ o i suy Hermite

Go.i d¯oa.n khai triˆe’n Taylor d¯ˆe´n cˆa´p th´u pi − 1 − k, v´ o.i k = 0, 1, · · · , l; l = 0, 1, · · · , p i− 1,

W i(x) (i = 1, 2, · · · , n) la`

T

(1

W i (x)

)(pi−1−k) (x=xi)

W i (x)

)(pi−1−k) (x=xi)

.

la` d¯a th´u.c duy nhˆa´t tho’a ma˜ n d¯iˆe` u kiˆe.n cu’a ba`i toa´n nˆo.i suy Hermite va` ta go.i d¯a th´u.c

na`y la` d¯a th´u.c nˆo.i suy Hermite

W1(x)

)(N −1−k) (x=x1 )

1o(N −1−k) (x=x1 )

N

Y

(x − x j ), i = 1, 2, · · · , N.

khi d¯o´ , d¯oa.n khai triˆe’n Taylor

T

(1

Vˆa.y, v´o.i k = 0, thı` d¯a th´u.c nˆo.i suy Hermite chı´nh la` d¯a th´u.c nˆo.i suy Lagrange Trong

tru.`o.ng ho. p tˆo’ng qua´ t, viˆe.c biˆe’u diˆe˜n d¯a th´u.c Hermite kha´ ph´u.c ta.p Du.´o.i d¯ˆay la` mˆo.t

va`i tru.`o.ng ho. p riˆeng d¯o.n gia’n kha´ c cu’a d¯a th´u.c nˆo.i suy Hermite, khi hˆe d¯iˆe` u kiˆe.n chı’ch´u.a d¯a.o ha`m bˆa.c nhˆa´t

= T

(1

= T

(1

W i (x)

)(pi−1−k) (x=xi)

Ngoa`i ra, trong phˆ` n baa `i toa´ n nˆo.i suy Lagrange, ta d¯a˜ biˆe´t r˘a`ng

Chu.o.ng 2

Mˆ o.t sˆo´ ´ u.ng du ng cu˙’a cˆ ong th´ u.c

nˆ o.i suy

Chu.o.ng na`y trı`nh ba`y mˆo.t sˆo´ ´u.ng du.ng cu’a ca´c cˆong th´u.c nˆo.i suy, trong d¯o´ d¯ˆe` cˆa.p

sˆau ho.n d¯ˆo´i v´o.i cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange, cˆong th´u.c co´ nhiˆe` u ´u.ng du.ng d¯ˆe’ gia’i mˆo.t

sˆo´ ba`i toa´ n kho´ o.’ hˆe phˆo’ thˆong chuyˆen toa´n

Vˆa´n d¯ˆ` ´eu.ng du.ng cˆong th´u.c nˆo.i suy trong u.´o.c lu.o ng va` xˆa´p xı’ ha`m sˆo´ la` hai nˆo.i dungquan tro.ng va` tu.o.ng d¯ˆo´i kho´, v´o.i nh˜u.ng ky˜ thuˆa.t ch´u.ng minh kha´ ph´u.c ta.p, d¯u.o c trı`nh

ba`y o.’ chu.o.ng sau

2.1.1 Cˆ ong th´ u.c nˆ o i suy Lagrange

D- i.nh nghı˜a 2.1 Cho n sˆo´ x1, x2, · · · , x n phˆan biˆe t va` n sˆ o´ a1, a2, · · · , a n tu`y y´ Thˆe´thı` tˆ` n ta.i duy nhˆa´t mˆo.t d¯a th´u.c P (x) v´o.i bˆa.c khˆong vu.o.o t qua´ n − 1, tho’a ma˜ n

- a th´u.c (2.2) d¯u.o. c go i la` d¯a th´u.c nˆo i suy Lagrange ho˘a c cˆong th´u.c nˆo i suy Lagrange.

Ca´ c sˆo´ x1, x2, · · · , x n d¯u.o. c go i la` ca´ c nu´ t nˆo i suy.

(?) T`u cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange, ta co´

D- i.nh nghı˜a 2.2 Cho n sˆo´ x1, x2, · · · , x n phˆan biˆe t Thˆe´ thı` mo i d¯a th´u.c P (x) v´o.i bˆa ckhˆong vu.o. t qua´ n − 1 d¯ˆ` u coe ´ thˆe viˆe´t du.´o.i da ng

Nhˆ a.n xe ´ t 2.1 ( ´Y nghı˜a hı`nh ho.c)

D- a th´u.c (2.3) va` (2.4) kha´ quen thuˆo.c trong chu.o.ng trı`nh toa´n phˆo’ thˆong Ta thu.’ d¯itı`m y´ nghı˜a hı`nh ho.c cu’a chu´ ng, ch˘a’ng ha.n (2.4)

Gia’ su.’ r˘a`ng, trˆen m˘a.t ph˘a’ng to.a d¯ˆo Oxy cho 3 d¯iˆe’m A(x1; y1), B(x2; y2), C(x2; y2), v´o.i

x1, x2.x3 kha´ c nhau t`u.ng d¯ˆoi mˆo.t

Thˆe´ thı`, theo (2.1) va` (2.2) tˆ` n ta.i duy nhˆa´t mˆo.t d¯u.`o.ng cong y = P (x), trong d¯o´ la`o

d¯a th´u.c v´o.i degP (x) ≤ 2, tho’a ma˜ n

P (x1) = y1 (nghı˜a la` d¯u.`o.ng cong qua d¯iˆe’m A);

P (x2) = y2 (nghı˜a la` d¯u.`o.ng cong qua d¯iˆe’m B);

P (x3) = y3 (nghı˜a la` d¯u.`o.ng cong qua d¯iˆe’m C).

Ho.n n˜u.a, d¯u.`o.ng cong co`n co´ phu.o.ng trı`nh cu thˆe’ la` y = P (x), tro`n d¯o ´ P (x) co´ da.ng(2.4) va` ca´ c hˆe sˆo´ a j chı´nh la` yj , j = 1, 2, 3.

+ V´o.i degP (x) = 2, d¯ˆ` thi y = P (x) la` parabol d¯i qua 3 d¯iˆe’m A, B, C.o

cu`ng phu.o.ng v´o.i tru.c hoa`nh

phu.o.ng v´o.i tru.c hoa`nh

Cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange chı´nh la` ”ca´ c gˆo´c” cu’a mˆo.t sˆo´ phu.o.ng trı`nh d¯u.`o.ng cong(ho˘a.c d¯u.`o.ng th˘a’ng) d¯i qua ca´c d¯iˆe’m cho tru.´o.c trong m˘a.t ph˘a’ng to.a d¯ˆo

Nhˆ a n xe ´ t 2.2.

V´o.i d¯a th´u.c P (x) co ´ degP (x) ≤ n − 1 cho tru.´o.c, ca´ c sˆo´ aj trong (2.2) d¯u.o. c thay bo’ i.

P (x j), v´o.i j = 1, 2, · · · , n.

Bˆay gi`o ta thu.’ d¯i tı`m mˆo.t ´u.ng du.ng cu’a (2.5)

Gia’ su.’ x1, x2, · · · , x n la` n sˆo´ thu. c phˆan biˆe.t, n ≥ 2 Xe´ t d¯a th´u.c

nghiˆe.m thu c phˆ. an biˆe.t x1, x2, , x n.

V´o.i n gia ´ tri phˆan biˆe.t x1, x2, , x n, a´ p du.ng cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange d¯ˆo´i v´o.i d¯ath´u.c f (x) = x k , k 6 n − 1, ta co´

x k =

n

X

x k j ω j (x)

Phˆ` n tro.ng tˆam cu’a phˆaa ` n na`y tˆa.p trung va`o viˆe.c a´ p du.ng mˆo.t ca´ ch kha´ linh hoa.t

cˆong th´u.c nˆo.i suy Lagrange d¯ˆe’ gia’i mˆo.t sˆo´ ba`i toa´ n kho´ , trong d¯o´ co´ ca´ c d¯ˆ` thi cho.n ho.cesinh gio’i trong nu.´o.c, khu vu. c va` quˆo´c tˆe´

Ba `i toa ´ n 2.1 Xa´ c d¯i.nh d¯a th´u.c bˆa.c hai nhˆa.n gia´ tri b˘a`ng 3; 1; 7, ta.i x b˘a`ng −1; 0; 3

tu.o.ng ´u.ng

Ba `i toa´ n 2.2 Cho a1, a2, , a nla` n sˆo´ kha´ c nhau Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u d¯a th´u.c f (x)

co´ bˆa c khˆong l´o.n ho.n n − 2, thı`:

T = f (a1)

(a1− a2)(a1− a3) (a1− a n) + +

f (a n) (a n − a1)(a n − a2) (a n − a n−1) = 0.

Ba `i toa ´ n 2.3 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u d¯a th´u.c bˆa c hai nhˆa n gia´ tri nguyˆen ta.i ba gia´ tri.nguyˆen liˆen tiˆe´p cu’a biˆe´n sˆo´ x, thı` d¯a th´u.c nhˆa n gia´ tri nguyˆen ta.i mo.i x nguyˆen.

Ba `i toa ´ n 2.4. Cho a1, a2, , a n la` n sˆo´ kha´ c nhau Go i A i (i = 1, 2, , n) la` phˆ` na

du trong phe´ p chia d¯a th´u.c f (x) cho x − a i Ha˜ y tı`m phˆ` n du r(x) trong phea ´ p chia f (x)

Ba `i toa ´ n 2.5 (Vˆ o d ¯i.ch Chˆ au ´ A Tha ´ i Bı `nh Du.o.ng, 2001)

Trong m˘a t ph˘a’ng v´o.i hˆe tru c to a d¯ˆo vuˆong go´ c, mˆo t d¯iˆe’m d¯u.o. c go i la` d¯iˆe’m hˆo˜n ho. p

nˆe´u mˆo t trong hai tha`nh phˆ` n to.a d¯ˆo cu’a d¯iˆe’m d¯o´ la` sˆo´ h˜u.u tı’, tha`nh phˆaa ` n kia la` sˆo´ vˆotı’ Tı`m tˆa´t ca’ ca´ c d¯a th´u.c co´ hˆe sˆo´ thu. c sao cho d¯ˆ` thi cu’a mˆo˜i d¯a th´u.c d¯o´ khˆong ch´u.ao

bˆa´t ky` d¯iˆe’m hˆo˜n ho. p na`o ca’

Ba `i toa ´ n 2.6 Tı`m tˆa´t ca’ ca´ c c˘a p d¯a th´u.c P (x) va ` Q(x) co´ bˆa c ba v´o.i ca´ c hˆe sˆo´ thu. ctho’a ma˜ n 4 d¯iˆe` u kiˆe n:

a) Ca’ hai d¯a th´u.c nhˆa n gia´ tri 0 ho˘a.c 1 ta.i ca´ c d¯iˆe’m x = 1, 2, 3, 4;

Ba `i toa ´ n 2.8 Gia’ su.’ d¯a th´u.c c0+ c1x + c2x2+ + c n x n co´ gia´ tri h˜u.u tı’ khi x h˜u.u tı’.

Ch´u.ng minh r˘a`ng, tˆa´t ca’ ca´ c hˆe sˆo´ c0, c1, c2, , c nla` nh˜u.ng sˆo´ h˜u.u tı’

Ba `i toa´ n 2.9 Cho p la` mˆo t sˆo´ nguyˆen tˆo´ va` P (x) ∈ Z[x] la` d¯a th´u.c bˆa c s tho’a ma˜ n ca´ cd

Ch´u.ng minh r˘a`ng da˜ y (uk) xa´ c d¯i.nh theo cˆong th´u.c

la` mˆo t da˜ y sˆo´ nguyˆen

Ba `i toa ´ n 2.13 1) Cho d¯a th´u.c f (x) co´ bˆa c n v´o.i ca´ c hˆe sˆo´ thu. c va` hˆe sˆo´ bˆa c cao nhˆa´tb˘a`ng a Gia’ su ’ f (x) co ´ n nghiˆe m phˆan biˆe t x1, x2, , x nkha´ c 0 Ch´u.ng minh r˘a`ng