Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một số có tổng các chữ số chi hết cho 11... Gọi M là giao điểm khác A của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác AB[r]
Trang 1SỞ GD & ĐT THÁI BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH
Năm học 2014 – 2015 MÔN THI: TOÁN
( Dành cho tất cả các thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức A = (√x −22 +
3
2√x+1 −
5√x − 7 2x −3√x − 2): 2√x+3
5x − 10√x ( x > 0; x 4)
1, Rút gọn biểu thức A
2, Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên
Bài 2 (2, 5 điểm)
Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2(m + 3)x – 2m + 2 ( m là tham số,
m R)
1, Với m = - 5 tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d)
2, Chứng minh rằng: với mọi m parabol (P) và đường thẳng (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Tìm m sao cho hai giao điểm đó có hoành độ dương
3, Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m
Bài 3 (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình:
¿
2x2+3xy −2y2−5 (2x − y)=0
x2−2xy − 3y2 +15=0
¿ {
¿
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O; R) cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là
D khác A
1, Chứng minh rằng tam giác ABT đồng dạng với tam giác BDT
2, Chứng minh rằng: AB.CD = BD.AC
3, Chứng minh rằng hai đường phân giác góc BAC , góc BDC và đường thẳng BC đồng quy tai một điểm
4, Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng góc BAD bằng góc MAC
Bài 5 (0,5 điểm)
Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: x( x + 1) + y( y + 1) + z( z + 1) ≤ 18 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x + y +11 + 1
y +z +1+
1
z +x+1
-Hết -Họ và tên thí sinh: ………SBD:……….
Trang 2ĐÁP ÁN
Bài 1: 1 Rút gọn B =
5
2 1
x
x
2 Với x>0, x khác 1 Chứng minh 0< B<2,5
Mà B là số nguyên nên B= 1; 2
B = 1 thì x =
1
9 TM, B = 2 thì x =4 loại Bài 2:
a) Với m = -5 ta có y = - 4x + 12
Phương trình hoành độ giao điểm là x2 = - 4x + 12
<=>x2 + 4x – 12 =0
T ìm x1 = - 6 , x2 = 2
T ìm đ ược toạ độ A ( - 6 ; 36) ; B(2; 4)
b) Phương trình hoành độ giao điểm là x2 = 2(m+3)x -2m + 2
<=>x2 - 2(m+3)x +2m - 2=0
Tính ' = m2 + 6m + 9 – 2m +2= m2 + 4m + 11 = (m+2)2 + 7 > 0
n ên 2 đồ thị luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương
Khi
2( 3) 0
1
2 2 0
m
m m
KL:
Bài 3: Từ pt (1) 2x2 + 3xy – 2y2 – 5(2x – y) = 0
<=> (2x- y)(x +2y)– 5(2x – y) = 0 <=> (2x- y)(x +2y– 5) = 0
TH1: nếu y = 2x thay vào pt (2) ta được x2 = 1 nên x= 1 nên y = 2
TH2: nếu x = 5-2y thay vào pt (2) ta được x2 – 6x + 8= 10 nên x= 2 hoặc x = 4 nên y = 1 hoặc y = - 3
KL:
Bài 4 a) Cminh ABT đồng dạng với BDT (g.g)
b) ABT đồng dạng với BDT (g.g) suy ra
BD DT (1) Tương tựACT đồng dạng với CDT (g.g)
suy ra
CD DT (2)
Mà BT = CT nên từ 1; 2 suy ra AB.CD = AC.BD
c Kẻ phân giác góc BAC cắt BC tại E suy ra (3)
AC EC
Mà AB.CD = AC.BD nên (4)
AC DC
từ B kẻ đường thẳng song song với DC cắt DE tại F
N
F
E
D
T
M O
A
Trang 3ta có (5)
DC EC
Từ 3, 4,5 suy ra BF = BD hay tam giác BFD cân tại B
hay BFD BDF mà BFD CDF (do BF // DC)
Nên BDF CDF hay DE là phân giác BDC
d) Cách 1: Gọi K là trung điểm của AD Cminh các tứ giác BKOT, BOCT nội tiếp suy ra
5 điểm B, K,O, C, T cùng thuộc 1 đtròn
Suy ra BAC BCT BKT
Mà BDK BCA Nên ABC đồng dạng với KBD (g.g) suy ra
BD DK Mà M là trung điểm của BC, K là trung điểm của AD nên BC= 2MC ; AD= 2KD nên 2MC.KD = MC.AD = AC.BD
suy ra A A
C D mà BDA MCA Nên ABD đồng dạng với AMC (c.g.c) suy ra
BAD MAC
Cách 2: kẻ BN vuông góc với AC tại N cminh O,M,T thẳng hàng và BC vuông góc với MO
Cminh ABN đồng dạng với BTM (g.g) suy ra
BT BM
Mà Tam giác BNC vuông, M là trung điểm của BC nên MN = BM = MC
Nên
BT NM
Ta có NMC cân tại M =>MCN MNC
Gọi tia Bx là tia đối của tia BT nên BCA ABx vậy ABx MNC
Suy ra ABT ANM cùng bù với 2 góc bằng nhau
Nên ABT đồng dạng với ANM (c.g.)suy raBAD MAC
Bài 5 do x, y, z >0 nên x2+y2+z2
2
3
x y z
đặt t= x+y+z ( t>0) Từ gt ta có 18
2
3
x y z
+ x+y+z hay t2 +3t – 54 0hay (t-6)(t+9) 0hay t 6 Do t + 9>0
Theo BĐT
a b c a b c Với a>0; b>0; c>0
Ta có B
2(x y z) 3 2.6 3
nên B
3 5
dấu = xảy ra khi x = y = z = 2
cách 2 Do x, y, z >0 mà (x – 2)2 0; nên x2 4x 4;
tương tựy24y 4;z2 4z 4 nên x2+y2+z2 4(x y z ) 12
18 x2+y2+z2 + x + y +z5(x y z ) 12
Trang 45(x y z) 30
x+y+z 6
Theo BĐT
a b c a b c Với a>0; b>0; c>0
Ta có B
2(x y z) 3 2.6 3
nên B
3 5
dấu = xảy ra khi x = y = z = 2
SỞ GD & ĐT THÁI BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH
Năm học 2014 – 2015 MÔN THI: TOÁN
( Dành cho thí sinh chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3,0 điểm)
1) Giải phương trình: √5x −6+√10 −3x=2x2− x − 2
2) Giải hệ phương trình:
¿
x3+8 xy2=96y
x2 +32y 2
= 48
¿ {
¿
Bài 2 (2,0 điểm)
1) Cho phương trình x2 – 2x – 4 = 0 có hai nghiệm x1; x2 Tính S=x17
+x27
2) Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn: a2 + ab + b2 = c2 + cd + d2
Chứng minh a + b + c + d là hợp số
Bài 3 (1,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số thực dương và có tổng bằng 1
Chứng minh: a-bca+bc+ b-ca
b+ca+
c-ab
c +ab ≤
3 2
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD với A, C cố địnhvà B, D di động Đường phân giác của góc BCD cắt AB và AD theo thứ tự tại I và J (J nằm giữa A và D) Gọi M là giao điểm khác A của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và AIJ, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ
1) Chứng minh AO là phân giác góc IAJ
2) Chứng minh bốn điểm A, B, D, O cùng thuộc một đường tròn
3) Tìm đường tròn cố định luôn đi qua M khi B, D di động
Bài 5 (1,0 điểm)
Trang 5Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một số có tổng các chữ số chi hết cho 11
-Hết -Họ và tên thí sinh: ………SBD:……….
ĐÁP ÁN
Bài 1 (3,0 điểm)
1) Giải phương trình: √5x −6+√10 −3x=2x2− x − 2
ĐK :
6 10
x
5 3
√5x −6+√10 −3x=2x2− x − 2 ( 5x 6 2) ( 10 3x 2) 2x 2 x 6
5x 10 6 3x
(2 3)( 2) 5x 6 2 10 3x 2 x x
10 3x 2 5x 6 2
TH1: x – 2 = 0 nên x= 2(TM)
TH2:
10 3x 2 5x 6 2
Vì
6 10
x
5 3 Nên 2x+3
27 5
;
3
0;
10 3x 2
2 5x 6 2
10 3x 2 5x 6 2
x
vậy x= 2 là nghiệm của pt đã cho
2) Giải hệ phương trình:
¿
x3+8 xy2=96y
x2 +32y 2
= 48
¿ {
¿
x 8 y 2y.48 x 8 y 2y.(x 32y )(1)
x 32y 48 x 32y 48 (2)
xét (1) x - 2x3 2y8 yx 2 64y3 0 (x 4 )(x + 2xy 2 y16 ) 0y2
TH1: x= 4y thay vào pt (2) ta có y2 = 1 nên y= 1 hoặc y = -1
Th2: x + 2x2 y16y2 0 Vì y= 0 không là nghiệm của (2) nên y2>0
Màx + 2x2 y16y2 (x + )y 215y2 0
Trang 6Vậy hệ pt đã cho có nghiệm (4;1); ( - 4; -1)
Bài 2:
1 Cho phương trình x2 – 2x – 4 = 0 có hai nghiệm x1; x2 Tính S=x17+x27
Vì x ; x1 2là 2 nghiệm của pt nên
Ta có x 13 x32 (x 1 x )(x - x x 2 12 1 2 x ) (x22 1 x ) (x + x ) - 3x x 2 1 2 2 1 2 32
x x (x + x ) - 2x x 2x x 2 - 2( 4) 2( 4) 112
S=x17+x27 =(x31 x32)(x 14 x42) - x x (x 13 32 1 x ) 2 =32.112- 2(-4)3 = 3712
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD với A, C cố địnhvà B, D di động Đường phân giác của góc BCD cắt AB và AD theo thứ tự tại I và J (J nằm giữa A và D) Gọi M là giao điểm khác A của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và AIJ, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ
1 Chứng minh AO là phân giác góc IAJ
2 Chứng minh bốn điểm A, B, D, O cùng thuộc một đường tròn
3 Tìm đường tròn cố định luôn đi qua M khi B, D di động
K
F E
M
O I
J
D
B
C
A
Đáp án
1 vì CI là phân giác góc BCD nên AJIAJIICDCJDhay tam giác AIJ cân tại A
Và A J I AJI AI AJ hay A là điểm chính giữa cung IJ
Nên AO là phân giác của góc IAJ
2 Ta có CBI cân tại B nên BI =BC= AD
Trang 7Mà OI = AOVà IAO AIO O AD
Nên IBO = ADO (c.g.c)
=> ABO ADO => tứ giác ABDO nội tiếp
3 Gọi giao điểm của AC và BD là E, F là tâm đtròn ngoại tiếp tam giác BAD
Ta có DAO D BO O AI B OD
Nên ODB cân tại O hay OB = OD
Mà BF = DF, BE = DE nên O; E; F thẳng hàng
Cminh OF AM, tính chất đường nối tâm, và O là điểm chính giữa cung BD
nên OE BD => tứ giác ABDM là hình thang nội tiếp đtròn nên tứ giác ABDM là hình thang cân
Gọi K là giao điểm của AM và OE ta có K là trung điểm của AM và E là trung điểm của
AC nên KE//MC mà KE AM nên MCAM
Suy ra M thuộc đtròn đường kính AC cố định