3,5 điểm Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính.. Tia EB cắt các đường thẳng , AD AC lần lượt tại I và K.. Tia EC cắt các đường thẳng DA DB lần lượt tại M và ,.. Chứng
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH
NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Câu 1 (2,0 điểm)
Cho các số thực a b khác 0 thỏa mãn: , 1 1 1
a b
1) Tính giá trị của biểu thức 2 22
4 4
4
A
2) Chứng minh rằng: 3 3 3
a b a b ab
Câu 2 (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: x 2 2 x 1 3x3 x2x1
2 Giải hệ phương trình:
2
Câu 3 (3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Trên cung nhỏ AD
lấy điểm E bất kỳ (E không trùng với A và D) Tia EB cắt các đường thẳng
,
AD AC lần lượt tại I và K Tia EC cắt các đường thẳng DA DB lần lượt tại M và ,
N Hai đường thẳng AN DK cắt nhau tại P ,
1 Chứng minh : Tứ giác EPND nội tiếp một đường tròn
2 Chứng minh EKM DKM
3 Khi M là trung điểm của AD tính độ dài đoạn thẳng AE theo R ,
Câu 4 (1,0 điểm)
Tìm các nghiệm nguyên x y của phương trình ; x y 2020
Câu 5 (1,5 điểm)
1 Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn
1
0 , ,
2
2 3 4 3
a b c
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
3 24 2 4 98 3 2 83 1
P
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,điểm M a b ; được gọi là điểm nguyên nếu cả
avà b là số nguyên Chứng minh rằng tồn tại điểm I trong mặt phẳng tọa độ và
2019 số thực dương R R1; 2; ;R2019sao cho có đúng k điểm nguyên nằm trong
đường tròn I R với mọi k là số nguyên dương không vượt quá 2019 ; k
Trang 2ĐÁP ÁN Câu 1
2 2
2
1
1
A
A
A
2 Từ giả thiết 1 1 1 a b ab
a b
Áp dụng hằng đẳng thức 3 3 3
3
x y x y xy x y
3
Câu 2
1 Điều kiện x1
Đặt a x2;b x1a b; 0
Ta được phương trình:
2
1
Với a2b x 2 2 x 1 x 2
Với a b 1
Vậy S 2
Trang 32 Điều kiện x1;y 4;x2 y 0
Biến đổi phương trình (1):
2
2 2
2
2
1 3( 1)
Với x2 y x 1 y 2x1thay vào (2) ta được:
3 2 5 2 3 1 2 0
3 2 5 3 2 3 1 1 5 10 0
3 2 4 2 3 2
5 2 0
2 5 3 1 1
2 0
5 0( )
2 5 3 1 1
x
x
x
VN
Vậy hệ phương trình có nghiệm x y; 2;5
Trang 4Câu 3
1 Ta có : PNENACNCA2NCAsd EA
Chứng minh: PDAABE
Suy ra PDEPDA ADE ABE ADE2ABEsd EA
Xét tứ giác EPND có: PNEPDEvà hai đỉnh N, D là hai đỉnh liên tiếp nên
EPND là tứ giác nội tiếp đường tròn
2 Ta thấy tứ giác AKME là tứ giác nội tiếp do MEK MAK 450
0 90
, do đó MK / /BDMKDKDBKBDEKM
3 Chứng minh MDC MEA g g( )
2 2
4
Mặt khác ta có:
Câu 4
Điều kiện : x0,y0
O P
N M
B A
E
Trang 5 1 2020 2020 2 2020
2020 4 5.101
Do ;x y nguyên nên 5.101y nguyên hay 5.101y là số chính phương
Suy ra 5.101yk2 y 5.101.a2 505a2( a là số nguyên)
Tương tự 2 2
5.101 505
x b b ( b là số nguyên)
Thay ;x y theo a b vào phương trình đề ta được: ,
505 505 2 505 2
505
505
y a
Vậy phương trình có các nghiệm là 2020;0 ; 505;505 ; 0;2020
Câu 5
1 Ta có
P
P
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
1 2
a a
Tương tự 2 1 2 1
1 2 ; 1 2
Suy ra P27 2 a3b4c81
Dấu " " xảy ra khi 1
3
a b c
Vậy GTNN của 81 1
3
P a b c
2 Xét điểm I 2; 3 Ta chứng minh khoảng cách từ I đến hai điểm nguyên khác nhau là khác nhau
Trang 6Xét hai điểm nguyên M a b M a b ; ; ' '; '
Nhận xét nếu các số nguyên , ,m n p thỏa mãn:
mn p thì m n p 0
2; 3; 6 ; , ,
2 3 0
m n p
0
0
2 3 0
mn np pm
Ta có: IM IM'IM2 IM'2
' ' 0
'
'
2 ' 0
b b
a a
b b
Xét tất cả các khoảng cách từ các điểm nguyên đến I, các khoảng cách này đôi một phân biệt Gọi S là tập hợp các số thực bằng các khoảng cách từ tất cả các điểm nguyên đến I Ta có thể chọn được 2020 số dương nhỏ nhất thuộc S và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần, nghĩa là tồn tại các số dương s s1, , ,2 s2020thuộc tập S thỏa mãn s p s q nếu pq, các số thuộc S \s s1, , ,2 s2020đều lớn hơn
1, , ,2 2020
s s s Đặt 1, 1;2;3; ;2019
2
k k k
s s
R k
Ta có điều phải chứng minh