Tính diện tích của tam giác vuông đó.. a Chứng minh rằng tam giác OIM là tam giác vuông cân.. Chứng minh rằng: IM song song với BN c Gọi K là giao điểm của OM và BN.. Chứng minh rằng: CK
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2009-2010 TỈNH HÒA BÌNH
TRƯƠNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ
Môn: TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 26/6/09 Thời gian: 150 phút.
Bài 1: ( 2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 + y3 + z3 – 3xyz
b) Cho x, y, z thỏa mãn:
2 5 5
x y z
xy yz xz xyz
Tính x3 + y3 + z3
Bài 2: ( 2 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 – 2xy + 3x – 3y + 2 = 0
b) Cho tam giác vuông có chu vi bằng 84cm, một cạnh góc vuông dài 35cm Tính diện tích của tam giác vuông đó
Bài 3: ( 2 điểm)
a) Giải hệ phương trình: 2 2 1
13
xy x y
b) Giải phương trình: x2 – 3x – 2 x 1 +4 = 0
Bài 4; ( 3 điểm) Cho hình vuông ABCD có tâm O, trên cạnh AB và BC lần lượt lấy 2
điểm I và M sao cho BI = CM
a) Chứng minh rằng tam giác OIM là tam giác vuông cân
b) Kéo dài AM cắt CD tại N Chứng minh rằng: IM song song với BN
c) Gọi K là giao điểm của OM và BN Chứng minh rằng: CK vuông góc với BN
Bài 5: ( 1 điểm) cho tam giác ABC lấy điểm M thuộc BC Gọi O là trung điểm của
AM Nối B với O cắt AC tại N, nối C với O cắt AB tại P
Người ta đã chứng minh được rằng: PA NA a
PB NC là một số không đổi
a) Hãy dự đoán kết quả của a ( yêu cầu giải thích cách dự đoán)
b) Hãy chứng minh dự đoán trên
GIẢI
Bài 1: a) x3 + y3 + z3 – 3xyz = ( x + y)3 – 3x2y – 3xy2 + z3 – 3xyz
= [ ( x + y)3 + z3 ] – 3xy( x + y + z) = ( x + y + z) [ ( x + y )2 – ( x+ y)z + z2]
– 3xy ( x + y + z) = ( x + y + z)( x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
b)Từ a) => x3 + y3 + z3 = ( x + y + z)( x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) + 3xyz
Từ gt => x2 + y2 + z2 + 2( xy + yz + zx) = 4
x2 + y2 + z2 = 4 - 2( xy + yz + zx) = 4 – 2 ( -5) = 14
x3 + y3 + z3 = 2 ( 14 + 5 ) – 15 = 23
Vậy x3 + y3 + z3 = 23
Bài 2:
Trang 2a) Pt đã cho tương đương với PT: x2 – ( 2y – 3)x + 2y2 – 3y + 2 = 0 ( 1)
Ta có tồn tại y PT ẩn x (1) có nghiệm 0 4y2 – 1 0 1 1
2 y 2
Do y nguyên nên y = 0 => x2+ 3x + 2 = 0 x1= -1 ; x2= -2 thỏa x nguyên
Vậy PT có nghiệm: (x,y) = ( -1; 0) ; ( -2; 0)
b) giả sử tam giác ABC vuông tại A
có các cạnh góc vuông là b, c, cạnh huyền là a và cạnh
b = 35cm ( c > 0 ; a > 35 ) theo gt: a + b + c = 84 => a + c = 84- 35 = 49 (1)
Áp dụng định lí PiTa Go ta có
a2 – c2 = b2
( a+ c)( a – c) = 1225
a – c = 1225 : 49 = 25 (2)
từ (1) và (2) ta có 2a = 74 a = 37 => c = 12
a và c thỏa ĐK
Vậy cạnh góc vuông còn lại là 12cm
Diện tích tam giác là: 35 12 = 420 ( m2)
Bài 3: a)
Đặt S = x + y ; P = xy thì hệ Pt có dạng 2
1
2 13
P S
(S,P) = ( 5; 6) ; ( -3; - 2)
x và y là nghiệm của các PT: x2 – 5x + 6 = 0 và x2 + 3x – 2 = 0
Giải các PT có nghiệm của hệ PT là:
(x,y)= ( 2; 3) ; ( 3; 2) ; 3 17; 3 17 ; 3 17; 3 17
b) ĐK: x 1
PT đã cho tương đương với PT: ( x2 – 4x + 4) + ( x – 1 + 2 x 1+ 1) = 0
( x – 2)2 + ( x 1 - 1)2 = 0 2 0
1 1 0
x x
x = 2 Thỏa ĐK Vậy PT có nghiệm x = 2
Bài 4: a) BIO =CMO ( c.g.c)
OI = OM => OIM cân tại O
c
b
B
A
Trang 3BIO =CMO => BOI COM· · Chứng minh tương tự có IAO = MBO =>
=>BOI BOM· · COM IOA· ·
Mà ·BOI BOM COM IOA· · · = 1800
2(BOI BOM· · ) = 1800 => BOI BOM· · = 900
Hay ·IOM = 900
Vậy IOM vuông cân tại O
b)Do AB // DN => BM MA
=>AI MA
IB MN = > IM//BN ( định lí đảo của định lí Ta- Lét)
c) Có BKM· IMO· = 450 ( so le trong)
Mà ·BCO= 450
=> BKO BCO· · => BKCO nội tiếp =>BOC BKC· · = 1800 Do ·BOC= 900
=> ·BKC= 900 => CKBN ( đpcm)
Bài 5:
a) Dự đoán: a = 1
*) giải thích: Khi M trùng B thì
a = 1; Khi M trùng C thi a = 1 b)Áp dụng định lí Mê-nê-lauýt Vào ABM với 3 điểm P, O, C thẳng hàng có PA CB OM .
=> PA CB.
=>PA
PB= CM
CB (1) Tương tự áp dụng định lí Me-nê-lauýt vào AMC với 3 điểm B, O, N thẳng hàng có
.
NA BC OM
NC BM OA = 1 => NA BC.
NC BM = 1 => NA
NC = BM
BC (2)
Từ (1) và (2) ta có: PA NA CM BM CM BM
N K
I
M
O
D
C B
A
/
/ O
B
A