Nếu số đã cho chia hết cho 8 thì ta cũng có thể tìm ba chữ số tận cùng một cách gián tiếp theo các bước: Tìm dư của phép chia số đó cho 125, từ đó suy ra các khả năng của ba chữ số tận c[r]
Trang 12 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa
6 Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16
III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là số chính phương.
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì
A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
Trang 2V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z ⇒ x2 + 5xy + 5y2
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương
Ta có k(k+1)(k+2) = 14 k(k+1)(k+2).4 = 14 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]
= 14 k(k+1)(k+2)(k+3) - 14 k(k+1)(k+2)(k-1)
⇒ S = 14 1.2.3.4 - 14 0.1.2.3 + 14 2.3.4.5 - 14 1.2.3.4 +…+ 14k(k+1)(k+2)(k+3) - 14 k(k+1)(k+2)(k-1) = 14 k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1
Theo kết quả bài 2 ⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …
Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính
phương.
Ta có 44…488…89 = 44…488 8 + 1 = 44…4 10n + 8 11…1 + 1
n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1
Trang 4Bài 7: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên
tiếp không thể là một số chính phương
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 )
Bài 8: Chứng minh rằng số có dạng n 6 – n 4 + 2n 3 + 2n 2 trong đó n N
và n>1 không phải là số chính phương
n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ]
= n2( n+1 )2.( n2–2n+2)Với n N, n >1 thì n2-2n+2 = (n - 1)2 + 1 > ( n – 1 )2
Trang 5Bài 9: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn
chữ số hàng đơn vị đều là 6 Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương
Cách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
Trang 6Không có số chính phương nào có dạng 3k+2 ⇒ p-1 không là số chínhphương
Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số
2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 4
2N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1
Trang 7Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 ⇔ 2n + 3 +2a = 9 ⇔ n = 1
2n + 3 – 2a = 1
a = 2
c Đặt 13n + 3 = y2 ( y N) ⇒ 13(n – 1) = y2 – 16
⇔ 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)
Trang 8⇒ (y + 4)(y – 4) ⋮ 13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4 ⋮ 13 hoặc
Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên
ta có thể viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28
Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương:
…; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số
3 nên nó không phải là số chính phương
Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3
Trang 9Bài 4: Tìm n N để các số sau là số chính phương:
⇒ Điều giả sử sai
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương
Đẳng thức đã cho được viết lại như sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1)
Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương
Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên x chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1)
Do x là chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x N và 2 <
x ≤ 9 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ x chỉ có thể nhận 1 trong các giá trị 5; 6; 7
Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thỏa mãn đề bài, khi đó 762 = 5776
Bài 7: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các
số chính phương.
2
Trang 10Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84.
Số 3n+1 bằng 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 là số chính phương.Vậy n = 40
Bài 8: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều
là các số chính phương thì n là bội số của 24.
Mặt khác k2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1
Nên để k2 + m2 2 (mod3) thì k2 1 (mod3)
Trang 11⇒ q = 5 và p-q = 2 ⇒ p = 7
⇒ n = 5+7 = 12
Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802
C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số Nếu ta thêm vào mỗi chữ
số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B Hãy tìm các số A và B.
Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có
Bài 2: Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số
đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau 1 đơn vị.
Trang 12Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống
nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.
Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤
b ≤ 9
Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)
Nhận xét thấy aabb ⋮ 11 ⇒ a + b ⋮ 11
Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18 ⇒ a+b = 11
Thay a+b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a+1) do đó 9a+1 là số chính
⇒ abcd = 4096
Bài 5: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số
nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính
Tổng các chữ số của k là một số chính phương ⇒ k = 45
Trang 13⇒ abcd = 2025
Vậy số phải tìm là 2025
Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của
số đó và viết số bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một
số chính phương
Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm là ab ( a,b N, 1 ≤ a,b ≤ 9 )
Số viết theo thứ tự ngược lại ba
Ta có ab - ba = ( 10a + b ) 2 – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 ) ⋮ 11 ⇒
a2 - b2 ⋮ 11
Hay ( a-b )(a+b ) ⋮ 11
Vì 0 < a - b ≤ 8 , 2 ≤ a+b ≤ 18 nên a+b ⋮ 11 ⇒ a + b = 11
Bài 7: Cho một số chính phương có 4 chữ số Nếu thêm 3 vào mỗi chữ
số đó ta cũng được một số chính phương Tìm số chính phương ban đầu
( Kết quả: 1156 )
Bài 8: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương
của tổng các chữ số của nó
Gọi số phải tìm là ab với a,b N và 1 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9
Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3
Trang 14Bài 10: Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số
của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó.
Trang 15Số nguyên tố
I Kiến thức cần nhớ:
1 Dịnh nghĩa:
* Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ớc là 1 và chính nó
* Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ớc
2 Tính chất:
* Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q thì p = q
* Nếu tích abc chia hết cho số nguyên tố p thì ít nhất một thừa số của tích abc chia hết cho số nguyên tố p
* Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p thì tích ab không chia hết cho số nguyên tố p
3 Cách nhận biết một số nguyên tố:
a) Chia số đó lần lợt cho các số nguyên tố đã biết từ nhỏ đến lớn
- Nếu có một phép chia hết thì số đó không phải là số nguyên tố
- Nếu chia cho đến lúc số thơng nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn còn số d thì ssó đó là số nguyên tố
b) Một số có 2 ớc số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố
4 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
* Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số
đó dới dạng một tích các thừa số nguyên tố
- Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số nguyên tố là chính
Trang 166 Số nguyên tố cùng nhau:
* Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1
Hai số a và b nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b) = 1
Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b, c) = 1
Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b) =
Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn duy nhất
là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ Do đó tổng của 25 số nguyên tố là
Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1
số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 Do đó số nguyên tố còn lại là 2001 Do 2001 chia hết cho 3 và 2001 > 3 Suy ra 2001 không phải
là số nguyên tố
VD4: Tìm số nguyên tố p, sao cho p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố HD:
Giả sử p là số nguyên tố
- Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đều không phải là số nguyên tố
- Nếu p 3 thì số nguyên tố p có 1 trong 3 dạng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 với
Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố
VD5: Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng p + 8 là
Trang 17với k N*.
- Nếu n = 4k n4 n là hợp số
- Nếu n = 4k + 2 n2 n là hợp số
Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4k + 1 hoặc 4k – 1 Hay mọi
số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n + 1 hoặc 4n – 1 với n N*
VD7: Tìm ssó nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và
bằng hiệu của hai số nguyên tố
Trang 18Do p lµ sè nguyªn tè vµ p > 3 p lÎ k lÎ k + 1 ch½n k + 12 (2)
Tõ (1) vµ (2) p + 16
II Bµi tËp vËn dông:
Bµi 1: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè nguyªn tè:
a) NÕu p vµ q lµ hai sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× p2 – q2 24
b) NÕu a, a + k, a + 2k (a, k N*) lµ c¸c sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× k 6
Bµi 5:
a) Mét sè nguyªn tè chia cho 42 cã sè d r lµ hîp sè T×m sè d r
b) Mét sè nguyªn tè chia cho 30 cã sè d r T×m sè d r biÕt r»ng r kh«ng lµ
sè nguyªn tè
Trang 19Bài 6: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên
tiếp Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6
Bài 7: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trớc là d đơn
vị Chứng minh rằng d chia hết cho 6
Bài 8: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự
ngợc lại thì ta đợc một số là lập phơng của một số tự nhiên
Bài 9: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn
vị, chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết đợc dới dạng tích của 3 số nguyên tố liên tiếp
Bài 10: Tìm 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp đều là các số nguyên tố.
Bài 11: Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 cũng là số nguyên tố
Bài 12: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho a.b.c < a.b + b.c +
c.a
Bài 13: Tìm 3 số nguyên tố p, q, r sao cho pq + qp = r
Bài 14: Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả mãn xy + 1 = z
Bài 17: Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho:
Bài 23: Cho số tự nhiên n2 Gọi p1, p2, , pn là những số nguyên tố sao cho
pn n + 1 Đặt A = p1.p2 pn Chứng minh rằng trong dãy số các số tự nhiênliên tiếp: A + 2, A + 3, , A + (n + 1) Không chứa một số nguyên tố nào
Bài 24: Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố thì 2.3.4 (p – 3)(p – 2)
- 1p
Bài 25: Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố thì 2.3.4 (p – 2)(p – 1)
+ 1p
Trang 20Chuyên đề tìm chữ số tận cùng
I Tỡm một chữ số tận cựng
Tớnh chất 1: a) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 0, 1, 5, 6 khi nõng lờn lũy thừa
bậc bất kỡ thỡ chữ số tận cựng vẫn khụng thay đổi
b) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 4, 9 khi nõng lờn lũy thừa bậc lẻ thỡ chữ
số tận cựng vẫn khụng thay đổi
c) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 3, 7, 9 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thỡ chữ số tận cựng là 1
d) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 2, 4, 8 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thỡ chữ số tận cựng là 6
e) Tớch của một số tự nhiờn cú chữ số tận cựng là 5 với bất kỡ số tự nhiờn
lẻ nào cũng cho ta số cú chữ số tận cựng là 5.
Tớnh chất 2: Một số tự nhiờn bất kỡ, khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 1 (n
thuộc N) thỡ chữ số tận cựng vẫn khụng thay đổi
Tớnh chất 3: a) Số cú chữ số tận cựng là 3 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 3
sẽ cú chữ số tận cựng là 7 ; số cú chữ số tận cựng là 7 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ cú chữ số tận cựng là 3
b) Số cú chữ số tận cựng là 2 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ cú chữ
số tận cựng là 8 ; số cú chữ số tận cựng là 8 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n +
3 sẽ cú chữ số tận cựng là 2
c) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ khụng thay đổi chữ số tận cựng
Trang 21Giải: Trước hết ta có nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia
cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n4(n − 2) + 1, n {2, 3, …, 2004}) Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ
số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:
(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + …+ 9) + 9 = 9009
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9
Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011
Giải: Trước hết ta có nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia
cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n4(n − 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004}) Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là
7 ; 411 có chữ số tận cùng là 4 ; … Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằngchữ số tận cùng của tổng: (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 +
4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 +9) + 8 + 7 + 4 = 9019 Vậy: chữ số tận cùng của tổng T là 9
19952000
là liệu n2 + n + 1 có chia hết cho 5 không? Ta có n2 + n = n(n + 1), là tíchcủa hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n2 + n chỉ có thể là 0; 2;
Trang 226 n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1; 3; 7 n2 + n + 1 không chia hết cho
5
Vậy: không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000
Sử dụng tính chất “Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ
số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được Bài sau:
Bài 5: Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương:
Nhận xét: Nếu x N và x = 100k + y, trong đó k; y N thì hai chữ số tận
cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y
Hiển nhiên là y ≤ x Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùngcủa số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tựnhiên y (nhỏ hơn)
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơngiản hơn
Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số
tự nhiên x = am như sau:
Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì x = am 2m Gọi n là số tự nhiên sao cho an − 1
Trang 23Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq.Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq
Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an − 1 100
Bài 11: Tìm hai chữ số tận cùng của các số: a) a2003 b) 799
sao cho 2n − 1 25
Ta có 210 = 1024 210 + 1 = 1025 25 220 − 1 = (210 + 1)(210 − 1) 25
23(220 − 1) 100 Mặt khác: 22003 = 23(22000 − 1) + 23 = 23((220)100 − 1) + 23 =100k + 8 (k N)
Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08
b) Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7n
− 1 100
Ta có 74 = 2401 => 74 − 1 100 Mặt khác: 99 − 1 4 => 99 = 4k + 1 (k N)
Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k − 1) + 7 = 100q + 7 (q N) tận cùng bởi hai chữ số
07
trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3n − 1 100
Ta có 310 = 95 = 59049 310 + 1 50 320 − 1 = (310 + 1) (310 − 1) 100 Mặt khác: 516 − 1 4 5(516 − 1) 20 517 = 5(516 − 1) + 5 = 20k + 5
3517 = 320k + 5 = 35(320k − 1) + 35 = 35(320k − 1) + 243, có hai chữ số tận cùng là
43
Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18
Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách giántiếp
Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khảnăng của hai chữ số tận cùng Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 đểchọn giá trị đúng
Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì
n = 4