Thử lại thấy hàm số này thỏa yêu cầu đề bài... Theo tính chất 3 ta suy ra.[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM
Dạng 1: Tìm f(x) , biết = v(x)
Đặt t = u(x) , tính x theo t : x = (t)
Thế vào biểu thức đã cho ta được f(t) =
Khi đó thay t bởi x ta được : f(x)
Ví dụ 1: Tìm hàm số f(x) biết :
1, f(2x + 1) = 7x + 5
2,
Hướng dẫn giải
1, Đặt t = 2x + 1
Hệ thức đã cho trở thành : f(t) =
Vậy f(x) =
2, Đặt t =
Do đó f(t) =
Vậy f(x) =
Bài tập tự luyện:
1, Tìm hàm f(x) biết :
a) Nhân lượng liên hợp
b)
Hướng dẫn giải Đặt
Dạng 2 : Tìm f(x) biết
Từ hệ thức đã cho suy ra hệ thức mới chỉ chứa và
Ta được hệ pt chứa 2 ẩn và
Giải hệ này ta đưa bài toán về dạng 1
Ví dụ 1: * a.f(x) + b.f(–x) = C
Thay x bởi – x ta được a.f(–x) + b.f(x) = C
* a.f(x) + bf = C
Trang 2Thay x bởi ta được a.f ta được a.f + b.f(x) = C
Ví dụ 2: Tìm hs f(x) biết :
1, 2.f(x) – f(–x) =
2, (x – 1) f(x) + =
Hướng dẫn giải
1, Ta có : 2.f(x) – f(–x) = (1)
Thay x bởi – x thì đẳng thức trở thành
(2) Nhân 2 vào hai vế của (1) xong cộng với (2) theo từng vế ta được
2, Ta có : (x – 1).f(x) + (3)
Thay x bởi thì đẳng thức này thành:
Nhân vào hai vế của (3) ta được:
(5) Lấy (4) trừ (5) theo từng vế ta được:
Suy ra :
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm hàm f(x) biết :
a)
Thay x bởi – x ta được: (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
b) f(x) là một đa thức bậc ba thỏa:
Hướng dẫn giải
Trang 3Vì f(0) = 0 (1)
=
=
Cách khác :
Hướng dẫn giải Đặt
Thay và vào pt của đề bài ta có:
Đổi k/h biến số ta được: với
Bài 3: Cho h/số f(x) xđ với tìm h/số này biết rằng
Hướng dẫn giải
Thay và vào (*) ta được
Đổi u thành x ta được
ta được hệ :
Trang 4*
* x = 1 ta thay x = 1 vào (1) : f(1) + f(1) = 2 f(1) = 1
Tóm lại:
Bài 3
Tìm ( xác định) h/số f(x) thỏa: với mọi x, y (*)
Hướng dẫn giải
Thay x = 0 , y= 0 vào (*) ta có :
Từ (1), (2)
Thay y = – x vào (*)
Lại cho y = 0
Từ (4) và (6) ta suy ra : Đảo lại xem h/số
Ta nhận thấy f(x) thỏa yêu cầu của bài toán
Vậy
Dạng 3: Tìm hai hàm f(x) và g(x) biết:
Khử f hoặc g để đưa về dạng 2 hoặc dạng 1 và g(x)
Ví dụ : Khử f :
Trong (1) đặt t = u(x) thì nên (1) thành
Trong (2) cũng đặt t = p(x) thì nên (2) thành
Từ (3) và (4) khử f(t)
Ví dụ 1: Tìm hai hàm f(x) và g(x) sao cho:
Hướng dẫn giải
Đặt t = x + 1 x = t – 1 và do đó (1) trở thành:
Trang 5
Lại đặt do đó (2) trở thành:
(4) Cộng (3) và(4) theo từng vế ta được:
Suy ra f(t) = 2t – 1 với 2t – 1 Vậy f(x) = 2x – 1
Mặt khác thay f(t) = 2t – 1 vào (4) ta được:
Vậy g(x) = x + 10
Bài tập: Tìm các hàm f(x) và g(x), biết:
Hướng dẫn giải
Đặt u = x + 6 x = u – 6
Thay x = u – 6 vào (1) ta có :
Đặt
Thay x = 2t – 2 vào (2) , ta có: f(t) + g(2t+3) = 2t + 2 (4)
Đổi u và t thành x, ta có:
Giải hệ ta được và
Đặt y = 2x + 3
Thay vào biểu thức của g ta được:
Tóm lại ta đã tìm được f(x) và g(x) như sau:
b)
Đặt u = 2x – 1
Trang 61 – x =
Đặt
Từ (1),(2)
Thay vào (1) ta có :
BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 1: Tìm hàm số y = f(x) biết rằng:
f(x.y) + f(x – y) + f(x + y + 1) = x.y + 2x +1
Hướng dẫn giải
Xét pt : f(x.y) + f(x – y) + f(x + y + 1) = x.y + 2x +1 (1)
Từ (1) cho y = – 1 , y = 0 ta được:
(2) (3)
Từ (2), (3)
Đặt t = – x
Đặt g(t) = f(t) – t ta có g(t) = f(0) – 0 = g(0)
Để tính g(0) ta viết (1) dưới dạng
Lấy x = y = 0
Do g(t) = g(0)
Do đó :
Bài 2:
Cho hàm f(x) với biến số thực x, không đồng nhất 0 thỏa pt:
f(x).f(y) = f(x – y)
Tìm f(x)
Hướng dẫn giải
Cho x = a với ta có : (*)
a tồn tại vì f(x) không đồng nhất 0
Thay y = 0 ta có :
Thay y = x từ (*) (2)
Trang 7Từ (2) và (3)
Vậy f(x) = 1
Bài 3: Tìm hàm số f(x) nếu:
Hướng dẫn giải
Trong (1) cho x = 0 , y = t ta có:
Trong (1) cho x = ta có: (3)
Cộng (2) với (3) ta được: (5)
Lấy (5) trừ (4) ta được : (6)
Rõ ràng (6) thỏa mãn (1) và
Vậy hàm cần tìm là:
Bài 4: Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa điều kiện
Tìm hàm số f(x) Hướng dẫn giải
Theo đề bài suy ra:
Khi thì
Mà f(x) là hàm liên tục nên
Điều đó chứng tỏ f(x) không đổi với mọi x hay f(x) = c = hằng số
Thử lại ta được f(x) = c thỏa điều kiện đề bài
Bài 5: Tìm hàm f(x) biết
Hướng dẫn giải
Đặt
Trang 8Hay
Như thế f(x) và là nghiệm của hệ:
Giải hệ (1) và (2) bằng cách khử ta được
Bài 6: Cho hàm số f(x) xác định trên R và bị chặn trong với a là số dương
cho trước và thỏa điều kiện:
Hãy tìm hàm số f(x)
Hướng dẫn giải
Từ (1) suy ra: f(x)
Cộng các đẳng thức trên vế theo vế ta được:
Với bất kỳ x nào, ta chỉ cần chọn n đủ lớn , ta sẽ có:
Mặt khác vì f(x) bị chặn trong khoảng nên tồn tại số c sao cho
Từ (2) ta cho n thì ta được :
Vậy Thử lại thấy hàm số này thỏa yêu cầu đề bài
Bài 7: Tìm các hàm số f xác định và đồng biến trên R thỏa hệ thức sau:
với mọi (1) Hướng dẫn giải
Thay vào (1) ta có : (2)
Thay x = y =0 (3)
Trang 9Từ (2) và (3) (4)
Do f đồng biến trên R nên
Do đó
Thay x = vào (1) ta được:
f(0) =
Từ (5) f(0) = f(y) – 2y (7)
Từ (6) , (7)
Thử lại thấy f(x) = 2x + thỏa yêu cầu đề ra
Bài 8: Tìm hàm số y = f(x) thỏa điều kiện
Giải
Ta có
Vậy
Bài 9: Hãy tìm hàm số y = f(x) biết rằng
Giải
Do f’(1) = 1
Trang 10
Vậy
Bài 10:
Cho P(x) là một đa thức bậc n thỏa mản điều P(x) 0 x
CMR: P(x) + P’(x) + P”(x) + + P(n)(x) 0 x
Giải
Do P(x) 0 x vậy nếu gọi P(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + + a1x + ao thì n là số chẵn và an > 0
Xét hàm số : F(x) = P(x) + P’(x) + P”(x) + + P(n)(x) Khi đó F(x) cũng là một đa thức bấc n, với hệ số của xn cũng chính là an
Do F(x) là hàm liên tục và an > 0 n chẵn, nên F(x) phải đạt giá trị bé nhất
Giả sử minF(x) = F(xo) khi đó ta có F’(xo) = 0
Do P(n + 1)(x) 0 F’(x) = P’(x) + P”(x) + + P(n)(x)
F’(x) = F(x) – P(x)
Như vậy từ F’(xo) = 0 F(xo) = P(xo)
Do P(x) 0 x F(xo) = P(xo) 0
Hiển nhiên ta có F(x) F(xo) x F(x) 0 x đfcm
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CÁC NĂM TRƯỚC
Đề 1: ( 2008)
Cho hàm số f : R R thỏa mãn 3 tính chất sau:
1 f(1) = 1
2 f( x + y ) – f(x) – f(y) = 2xy
3 f( ) =
Tính
Giải
Từ tính chất 2 cho x = 0 f(y) – f(0) – f(y) = 0 f(0) = 0 (1)
Đặt x = y = ta được : f(t) – 2f( ) = (2)
Tương tự đặt x = y = ( ) ta được :
Theo tính chất 3 ta suy ra
Trang 11
Từ (2) và (3) ta có hệ
Thử lại hàm số nầy thỏa mãn cả ba tính chất
Vậy
Đề 2:
Cho tam thức bậc hai f(x) = x2 + px + q với p, q là các số nguyên CMR Tồn tại số nguyên K để
f (K) = f( 2009 ) f( 2010 )
Giải
Ta chứng minh: f [ f(x) + x ] = f(x) f( x + 1)
Thật vậy :
f [ f(x) + x ] = [ f(x) + x ]2 + p [ f(x) + x ] + q
= f2(x) + 2f(x).x + x2 + p.f(x) + p(x) + q
= f(x) [ f(x) + 2x + p ] + x2 + px + q
= f(x) [ f(x) + 2x + p ] + f(x)
= f(x) [ f(x) + 2x + p + 1 ]
= f(x) [ x2 +px + q +2x + p + 1 ]
= f(x) [ (x +1)2 + p(x + 1) + q ]
= f(x) f(x + 1)
Vậy f [ f(x) + x ] = f(x) f(x + 1)
Với x = 2009 đặt K = f (2009) + 2009 ( K )
Thế thì:
f ( K ) = f [ f( 2009) + 2009 ] = f ( 2009).f ( 2009 + 1)
= f ( 2009).f ( 2010) Vậy số K cần tìm là K = f ( 2009) + 2009
- - - Hết - - -
Trang 12
Biên soạn: LÊ VĂN QUANG
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
A/ MỤC TIÊU:
- Cung cấp cho học sinh một số cách tìm hàm số đơn giản
và một số đề thi học sinh giỏi trong tỉnh nhằm nâng cao và
mở rộng kiến thức cho học sinh khá giỏi
- Là tài liệu nội bộ cho giáo viên trong tổ tham khảo
B/ NỘI DUNG:
Chủ đề gồm có 2 phần:
- Các cách tìm hàm số đơn giản
- Các dạng bài tập luyện tập và bài tập nâng cao