Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Thử lại thấy hàm số này thỏa yêu cầu đề bài.

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Dạng 1: Tìm f(x) , biết f u x = v(x) ( )

Đặt t = u(x) , tính x theo t : x = u 1(t)

Thế vào biểu thức đã cho ta được f(t) = v u t 1( )

Khi đó thay t bởi x ta được : f(x)

Ví dụ 1: Tìm hàm số f(x) biết :

1, f(2x + 1) = 7x + 5

2, f x 1 x2 12 khi x 0

Hướng dẫn giải

1, Đặt t = 2x + 1  1

2

t

Hệ thức đã cho trở thành : f(t) = 7 1 5 7 3

t

t



Vậy f(x) = 7 3

2x 2

Do đó f(t) = t 2 2

Vậy f(x) = x 2 2

Bài tập tự luyện:

1, Tìm hàm f(x) biết :

a) f x  x21  x x21 Nhân lượng liên hợp

2 1

x



Hướng dẫn giải

2 1 1

2 1

3

t

t

t









Dạng 2 : Tìm f(x) biết a f u x  ( ) b f v x  ( ) r x( )

Từ hệ thức đã cho suy ra hệ thức mới chỉ chứa f u x và  ( ) f v x ( )

Ta được hệ pt chứa 2 ẩn f u x và  ( ) f v x ( )

Giải hệ này ta đưa bài toán về dạng 1

Ví dụ 1: * a.f(x) + b.f(–x) = C

Thay x bởi – x ta được a.f(–x) + b.f(x) = C

* a.f(x) + bf( )1

x = C

Thay x bởi 1

x ta được a.f

1

x

 

 

  ta được a.f 1

x

 

 

  + b.f(x) = C

Ví dụ 2: Tìm hs f(x) biết :

1, 2.f(x) – f(–x) = x412x34

2, (x – 1) f(x) + f 1

x

 

 

  = 1

1

x  x0,x1

Hướng dẫn giải

1, Ta có : 2.f(x) – f(–x) = x412x34 (1)

Thay x bởi – x thì đẳng thức trở thành

2 (f x) f x( )x 12x 4 (2) Nhân 2 vào hai vế của (1) xong cộng với (2) theo từng vế ta được

3 ( ) 3f x  x 12x 12  f x( )x  4x 4

2, Ta có : (x – 1).f(x) + 1 1

1

f

 



 



Thay x bởi 1

x thì đẳng thức này thành:

1 1

x

1

 



Nhân 1 x

x

 vào hai vế của (3) ta được:

( )

  (5) Lấy (4) trừ (5) theo từng vế ta được:

1

f x



Suy ra : ( ) 1

1

f x

x





Bài tập tự luyện:

Bài 1: Tìm hàm f(x) biết :

a) 2 ( ) 3 (f x  xf x)  2 3x (1)

Thay x bởi – x ta được: 2 (f x) 3 ( ) xf x  2 3x (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

6 ( ) 4 ( ) 4 6







b) f(x) là một đa thức bậc ba thỏa: (0) 0 2

( ) ( 1)

f







 Hướng dẫn giải

Vì f(0) = 0  f x( ) ax 3bx2cx (1)

= ax3 3ax23ax a bx  2 2bx b cx c   (2) = ax3 (3a b x ) 2(3a 2b c x )  (a b c  )

2 2

1 3

1

6

a a

a b c

c















Cách khác :

1

1

9

a

b













Bài 2 : Tìm hàm số f(x) biết rằng f 1 1 x2 1 (x 0)

x

Hướng dẫn giải

1

 Thay u 1 1

x

  và 1

1

x u



 vào pt của đề bài ta có:

f u

Đổi k/h biến số ta được:

2 2

2 ( )

( 1)

f x

x



 với x 1

Bài 3: Cho h/số f(x) xđ với 1

2

x

x



Hướng dẫn giải

2

u 

Thay

x

u

x



 và

u x u



 vào (*) ta được ( ) 2

Đổi u thành x ta được

( ) 2

x

f x xf

x







1

x

f x

x





* x = 1 ta thay x = 1 vào (1) : f(1) + f(1) = 2  f(1) = 1

Tóm lại:

1 neáu x = 1

1

x











Bài 3

Tìm ( xác định) h/số f(x) thỏa: f x y( ) f x f y( ) ( ) 2002x y

(*)

Hướng dẫn giải

Thay x = 0 , y= 0 vào (*) ta có : f(0)f(0)2 20020 1 (1)

Với f(0)f(0)2  0 f(0) 1 (2)

Từ (1), (2)  f(0) 1

Thay y = – x vào (*) f(0)f x f x( ) ( ) 20020 1

( ) ( ) 1 (3)

f x f x

Lại cho y = 0  f x( )f x( ) 2002 (4) x

( ) 2002 x (5)

( ) 2002

x x

f x

Từ (4) và (6) ta suy ra : f x ( ) 2002x Đảo lại xem h/số f x ( ) 2002x

Ta nhận thấy f(x) thỏa yêu cầu của bài toán

Vậy f x ( ) 2002x

Dạng 3: Tìm hai hàm f(x) và g(x) biết:





Khử f hoặc g để đưa về dạng 2 hoặc dạng 1  f x( ) và g(x)

Ví dụ : Khử f :

Trong (1) đặt t = u(x) thì x u t 1( )

 nên (1) thành

af( )t bg v u t ( ( ))  r u t  ( ) (3)

Trong (2) cũng đặt t = p(x) thì x p t1( )

 nên (2) thành

Từ (3) và (4) khử f(t)

Ví dụ 1: Tìm hai hàm f(x) và g(x) sao cho:

2

( 1) ( 1) 2 ( 1) 11 (1)

2









Hướng dẫn giải

Đặt t = x + 1  x = t – 1 và do đó (1) trở thành:

( 1) ( )t f t  g t( ) 2( 1)t t 11  ( 1) ( )t f t  g t( ) 2t2  2t 11 (3) Lại đặt t 1 x 1

   do đó (2) trở thành:

2

2 10 2

1

t t

t

 

Cộng (3) và(4) theo từng vế ta được: (2 1) ( ) (2 1)t f t  t 2

Suy ra f(t) = 2t – 1 với 2t – 1 0 1

2

t

   Vậy f(x) = 2x – 1 1

2

x



Mặt khác thay f(t) = 2t – 1 vào (4) ta được:

Vậy g(x) = x + 10

Bài tập: Tìm các hàm f(x) và g(x), biết:

1

2 ,

2

a

x









  



Hướng dẫn giải

Đặt u = x + 6  x = u – 6

Thay x = u – 6 vào (1) ta có : ( ) 2 (2 3) 4 (3)

2

u

2

x

Thay x = 2t – 2 vào (2) , ta có: f(t) + g(2t+3) = 2t + 2 (4)

Đổi u và t thành x, ta có:

4 ( ) 2 (2 3)

x



 



Giải hệ ta được ( ) 7 12

2

x

2

x

Đặt y = 2x + 3 3

2

y

Thay vào biểu thức của g ta được:

Tóm lại ta đã tìm được f(x) và g(x) như sau:

7 12 ( )

4

( )

4

x

f x

x

g x









b)

1

x







Đặt u = 2x – 1 1

2

u

1 – x = 1 1 1

Đặt

Từ (1),(2)

( ) 1

2

x

  

 Thay vào (1) ta có : 1 3 3

      g t( )  1 t  g x( ) 1 x

BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 1: Tìm hàm số y = f(x) biết rằng:

f(x.y) + f(x – y) + f(x + y + 1) = x.y + 2x +1 x y R, 

Hướng dẫn giải

Xét pt : f(x.y) + f(x – y) + f(x + y + 1) = x.y + 2x +1 (1)

Từ (1) cho y = – 1 , y = 0 ta được:

f x  f x  f x   x  x   x (2)

f  f x  f x  x  (3)

Từ (2), (3)  f x( )  f(0)   x

Đặt t = – x  f t( ) f(0) t f t( ) t f(0) 0

Đặt g(t) = f(t) – t ta có g(t) = f(0) – 0 = g(0) t

Để tính g(0) ta viết (1) dưới dạng

Lấy x = y = 0  2 (0)g g(1) 0

Do g(t) = g(0) t

Do đó : ( )f t  t 0 t  f x( ) x x

Bài 2:

Cho hàm f(x) với biến số thực x, không đồng nhất 0 thỏa pt:

f(x).f(y) = f(x – y) x y, (*)

Tìm f(x)

Hướng dẫn giải

Cho x = a với ( )f a  ta có : (*) 0  f a f y( ) ( )  f a y(  ) (1)

a tồn tại vì f(x) không đồng nhất 0

Thay y = 0 ta có : (1) f a f( ) (0) f a( )  f(0) 1

Thay y = x từ (*)   f x( )2 f(0) 1 (2)

Thay y =

2

x

Từ (2) và (3)

2

0 2

f x

x f

  



 

 

  



Vậy f(x) = 1 x

Bài 3: Tìm hàm số f(x) nếu:

( ) ( ) 2 ( )cos , (1)

2



 



  



 



Hướng dẫn giải

Trong (1) cho x = 0 , y = t ta có: ( )f t  f t( ) 2 cos  t (2)

Trong (1) cho x = ,

  ta có: (f  t) f t( ) 0 (3) Trong (1) cho ,

x y  ta có: (t f  t)  f t( )   2sint (4) Cộng (2) với (3) ta được: (f  t) 2 ( )f t  f t( ) 2 cost (5)

Lấy (5) trừ (4) ta được : 2 ( )f t 2(costsin )t  f t( ) cost sint (6)

Rõ ràng (6) thỏa mãn (1) và (0) 1

2

f f   

  Vậy hàm cần tìm là: ( ) cosf x  xsinx

Bài 4: Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa điều kiện

( ) (2 )

f x f x  x R Tìm hàm số f(x)

Hướng dẫn giải

f x  f   f   f 

Khi n   thì 0

2n

x



Mà f(x) là hàm liên tục nên (0)

2n

x

  Tức là : lim ( ) lim (0)

2n

x

 

Điều đó chứng tỏ f(x) không đổi với mọi x hay f(x) = c = hằng số

Thử lại ta được f(x) = c thỏa điều kiện đề bài

Bài 5: Tìm hàm f(x) biết 3 ( ) 1 82 8 (1)

1

x

  



  Hướng dẫn giải

Đặt

2

2

8 8

u

u





2

1

u u



 

1

x x

 



 

Như thế f(x) và f 1

x

 

 

  là nghiệm của hệ:

2

2

1

x







 

 Giải hệ (1) và (2) bằng cách khử f 1

x

 

 

  ta được ( ) ( 1)(2 3) 0

1

x



Bài 6: Cho hàm số f(x) xác định trên R và bị chặn trong ( ; )a a với a là số dương cho trước và thỏa điều kiện: ( ) 1 (1)

x

f x  f  x x R

  Hãy tìm hàm số f(x)

Hướng dẫn giải

Từ (1) suy ra: f(x) 1

x

  

 

f  f  

f   f 

2n 2n 2n 2n 2 n

f    f    

Cộng các đẳng thức trên vế theo vế ta được:

x

Với bất kỳ x nào, ta chỉ cần chọn n đủ lớn , ta sẽ có: 1

2n

x

Mặt khác vì f(x) bị chặn trong khoảng ( ; )a a nên tồn tại số c sao cho

1

2n

x

f    c x 



Từ (2) ta cho n   thì ta được :

1 4



Vậy ( ) 4

3

f x  x Thử lại thấy hàm số này thỏa yêu cầu đề bài

Bài 7: Tìm các hàm số f xác định và đồng biến trên R thỏa hệ thức sau:

4

f  f y  x x y 

Hướng dẫn giải

4

x y vào (1) ta có : 1 ( ) 1 1

f f y  y

Thay x = y =0 1 (0) 1

4

Do f đồng biến trên R nên

Do đó ( ) 2f y  y f (0)  y R (5)

Thay x = 1 ( )

8 f y

 vào (1) ta được:

Từ (5) f(0) = f(y) – 2y (7)

Thử lại thấy f(x) = 2x + 2

3 thỏa yêu cầu đề ra

Bài 8: Tìm hàm số y = f(x) thỏa điều kiện

1 2 ( ) '( )

( ) (0) 1

x

f x f









Giải

Từ ( ) '( ) 1 2

( )

x

f x



     f x( ) '2 f x   1 2x

( ) 3 ( ) '( )

3

Vậy f x( )33x 3x21

Bài 9: Hãy tìm hàm số y = f(x) biết rằng

'

(1) 1 ( 2) 1







Giải

'

1 1

1 '( )

c

f x

Do f’(1) = 1  1 1

c

c

2

x



Vậy ( ) 1 12 1

4

f x

Bài 10:

Cho P(x) là một đa thức bậc n thỏa mản điều P(x)  0 x

CMR: P(x) + P’(x) + P”(x) + + P(n)(x)  0 x

Giải

Do P(x)  0 x vậy nếu gọi P(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + + a1x + ao thì n là số chẵn và an > 0

Xét hàm số : F(x) = P(x) + P’(x) + P”(x) + + P(n)(x) Khi đó F(x) cũng là một đa thức bấc n, với hệ số của xn cũng chính là an

Do F(x) là hàm liên tục và an > 0 n chẵn, nên F(x) phải đạt giá trị bé nhất

Giả sử minF(x) = F(xo) khi đó ta có F’(xo) = 0

Do P(n + 1)(x)  0  F’(x) = P’(x) + P”(x) + + P(n)(x)

 F’(x) = F(x) – P(x)

Như vậy từ F’(xo) = 0  F(xo) = P(xo)

Do P(x)  0 x  F(xo) = P(xo)  0

Hiển nhiên ta có F(x)  F(xo) x  F(x)  0 x  đfcm

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CÁC NĂM TRƯỚC

Đề 1: ( 2008)

Cho hàm số f : R  R thỏa mãn 3 tính chất sau:

1 f(1) = 1

2 f( x + y ) – f(x) – f(y) = 2xy

3 f(1

x ) = 4

Tính f 2008

Giải

Từ tính chất 2 cho x = 0  f(y) – f(0) – f(y) = 0  f(0) = 0 (1)

Đặt x = y =

2

t

ta được : f(t) – 2f(

2

t

) =

2 2

t

t (2)

Tương tự đặt x = y =1

t ( t 0) ta được : 2

 

 

 

 

2

t

f

f

t

 

 

 

 

 

 

 

 

2

t f

t

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

16

2

t

f

 

 

 

 

 

Từ (2) và (3) ta có hệ

2

2

( ) 2 ( )

8 ( ) ( ) 2

t









2

2

8 ( ) 4 ( ) 2 2

8 ( ) ( ) 2

t

t





 



3 ( ) 3f t t f t( ) t t

Thử lại hàm số nầy thỏa mãn cả ba tính chất

Vậy f  2008 2008

Đề 2:

Cho tam thức bậc hai f(x) = x2 + px + q với p, q là các số nguyên

CMR Tồn tại số nguyên K để

f (K) = f( 2009 ) f( 2010 )

Giải

Ta chứng minh: f [ f(x) + x ] = f(x) f( x + 1)

Thật vậy :

f [ f(x) + x ] = [ f(x) + x ]2 + p [ f(x) + x ] + q

= f2(x) + 2f(x).x + x2 + p.f(x) + p(x) + q

= f(x) [ f(x) + 2x + p ] + x2 + px + q

= f(x) [ f(x) + 2x + p ] + f(x)

= f(x) [ f(x) + 2x + p + 1 ]

= f(x) [ x2 +px + q +2x + p + 1 ]

= f(x) [ (x +1)2 + p(x + 1) + q ]

= f(x) f(x + 1)

Vậy f [ f(x) + x ] = f(x) f(x + 1)

Với x = 2009 đặt K = f (2009) + 2009 ( K  )

Thế thì:

f ( K ) = f [ f( 2009) + 2009 ] = f ( 2009).f ( 2009 + 1)

= f ( 2009).f ( 2010) Vậy số K cần tìm là K = f ( 2009) + 2009

- - - Hết - - -

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

A/ MỤC TIÊU:

- Cung cấp cho học sinh một số cách tìm hàm số đơn giản

và một số đề thi học sinh giỏi trong tỉnh nhằm nâng cao và

mở rộng kiến thức cho học sinh khá giỏi

- Là tài liệu nội bộ cho giáo viên trong tổ tham khảo

B/ NỘI DUNG:

Chủ đề gồm có 2 phần:

- Các cách tìm hàm số đơn giản

- Các dạng bài tập luyện tập và bài tập nâng cao