2 Nếu biểu thức không có dạng trên, tuỳ trường hợp có thể dùng các phép biến đổi sau: o Đặt thừa số chung để áp dụng định lí về giới hạn vô cực.. o Nhân và chia cho biểu thức liên hợp để[r]
Trang 1Chương IV.GIỚI HẠN BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A- TÓM TẮT KIẾN THỨC
1 Định nghĩa giới hạn hữu hạn
Dãy số (un) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu | un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng nào đó trở đi
Kí hiệu: lim u n = 0 hay u n →0 khi n→+∞
Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi n→+∞ nếu lim (un −¿ a)= 0
Kí hiệu: lim u n = a hay u n →a khi n→+∞
2 Định nghĩa giới hạn vô cực
Dãy số (un) được gọi là có giới hạn + ∞ khi n→+∞ , nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ số hạng nào đó trở đi
Kí hiệu: lim u n =+ ∞ hay u n →+∞ khi n→+∞
Dãy số (un) được gọi là có giới hạn −¿ ∞ khi n→+∞ , nếu lim ( −¿ un) = + ∞
Kí hiệu: lim u n = −¿ ∞ hay u n →−∞ khi n→+∞
3 Các giới hạn đặc biệt
∙ lim 1
n=0 , 3
lim 1 0
n
1
n k=0, k∈ Z+¿
∙ lim¿
∙ lim q n={0 n u ế |q|<1
+∞ n u ế q>1
+¿
∙ lim n k=+∞ , k ∈ Z¿
u n=¿lim c=c N u ế u n=c ( c làh ng ằ số) thì lim¿
4 Định lí về giới hạn hữu hạn.
a) Nếu lim un = a và lim vn = b, thì:
o lim(un+ vn) = a + b ; lim(un - vn) = a - b
o lim unvn = ab ; lim
u n
v n=
a b
b) Nếu u n ≥0 ∀ n và lim u n=a thì a≥ 0 và lim √ un= √ a
c) Nếu |u n | ≤ v n , n và lim v n = 0 thì lim u n = 0
B- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Vấn đề 1: Tính giới hạn của dãy số nhờ vào các định lý về giới hạn
Phương pháp: Biến đổi biểu thức biễu diễn dãy số về dạng có thể áp dụng được định lí
1) Nếu biểu thức có dạng phân thức, ta thường chia tử số và mẫu số cho nk, trong đó k là số mũ cao nhất của n (hoặc qn với q là số lớn nhất có luỹ thừa n)
2) Nếu biểu thức không có dạng trên, tuỳ trường hợp có thể dùng các phép biến đổi sau:
o Đặt thừa số chung để áp dụng định lí về giới hạn vô cực
o Nhân và chia cho biểu thức liên hợp để đưa về dạng phân thức, khi biểu thức chứa biến n dưới dấu căn
Chú ý:
∙ lim(u n+v n)=lim u n+lim vn
∙ lim(u n−v n)=lim un−lim vn
∙ lim(u n v n)=lim un lim v n
∙ lim u n
v n =
lim u n lim v n , n u ế v n ≠ 0.
∙ lim(k u n)=k lim u n
∙ lim k =k , (k làh ng ằ số)
Các giới hạn đặc biệt: với a là hằng số:
Trang 2 Nếu a > 0:
0+ ¿→+∞ , a
¿
a
¿
Nếu a < 0:
0− ¿→+∞
0+ ¿
→−∞, a¿ a
¿
+) Nếu lim un = + thì lim 1u
n
=0
Chú ý : khi gặp các dạng vô định: 0.±∞ ; ∞
∞ ; +∞−(+∞ ) ; −∞+(+∞) ;
0
0 ta phải khử các dạng vô
định đó bằng cách: chia tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp;…
* Liên hợp của biểu thức:
VD1 Tính lim
3 n3−2n+5 1+2 n3
.
Giải: Ta có: lim
3 n3−2n+5 1+2 n3
=
lim n3(3 n n33−2n
n3 + 5
n3)
n3(n13+2 n3
n3 )
=¿ lim
n3(3−2
n2+5
n3)
n3 ( 1
n3+2 ) = lim
3−2
n2+5
n3 1
n3+2
=3 2
VD2 Tính lim
5n+2 3n
4n+1
Giải: Ta có: lim
5n+2 3n
4n+1 = lim
5n(55n n+
2.3n
5n )
5n(45n n+
1
5n)
=
lim 5n[1+2∙(35)n]
5n[ (45)n+(15)n] = lim
1+2 ∙(35)n (45)n+(15)n
Vì
lim[1+2∙(35)n]=lim 1+lim[2∙(35)n]=1+2 lim(35)n=1+2.0=1>0(do3
5<1 nên lim(35)n=0)
lim [ (45)n+(15)n]=lim(45)n+lim(15)n=0+0=0 mà (45)n+(15)n>0
Vậy : lim
5n+2 3n
4n+1 = +∞
VD3 Tính lim
√ 4 n2+1−n
1+2 n
lim un lim vn = a lim(unvn)
Trang 3Giải: Ta có: lim
√ 4 n2+1−n
lim n( √4 n2+1
n
n)
n(1n+
2 n
n )
=
lim √4 n2+1
n n
1
n+
2n n
=
lim √4 n2
+1
√n2 −1 1
n+2
= lim√4 n2+1
n2 −1 1
n+2
¿
lim√4 n2
n2 +
1
n2−1
1
n+2
= lim√4+1
n2−1
1
n+2
=2−1
2 =
1 2
VD4 Tính lim( n-
n2+3 n−7
n+1 )
Giải: Ta có : lim(n
-n2+3 n−7
n+1 ) = lim(n (n+1) n+1 −
n2+3 n−7 n+1 )=lim n (n+1)−(n2+3 n−7)
n+1
¿lim n2+n−n2−3 n+7
lim −2 n+7
lim n(−2+7
n)
n(1+1
n)
=lim
−2+7
n
1+1
n
=−2
1 =−2
VD5 Tính lim( 2n 3 +3n-1)
Giải: Ta có lim (2n3+3n-1) = lim n3(2 n n33+3 n
n3 −1
n3)=¿ lim n3( 2+
3
n2− 1
n3 ) = + ∞
VD6 Tính lim( -2n 2 +n √ n - n+4)
Giải: Ta có : lim(-2n2+n √ n -n+4) = lim n2(−2 nn2 2+
n√n
n2 −
n
n2+
4
n2)=¿
lim n2( -2 +
1
√n−
1
n+
4
n2)=−∞ .
VD7 Tính lim( √ n2+1+ √ n2− n )
Giải: Ta có : lim( √ n2+1+ √ n2− n ) = lim( √n2(1+1
n2)+√n2(1−1
n) )
¿lim(n√1+ 1
n2+n√1−1
n)=¿
lim n ( √ 1+ 1
n2+ √ 1− 1
n ) =+ ∞
VD8 Tính lim( √ n2+ 1− √ n2− n)
Giải: Ta có : lim( √ n2+1− √ n2− n) =lim
(√n2+1−√n2−n)(√n2+1+√n2−n)
√n2+1+√n2−n
=
lim( √n2+1)2−( √n2−n)2
√n2+1+√n2−n =
lim(n2+1)−(n2−n)
√n2+1+√n2−n =
lim n2+1−n2+n
√n2
(1+ 1
n2)+√n2
(1−1
n)
= lim 1+n
n√1+ 1
n2+n√1−1
n
Trang 4lim n(1n+1)
n( √1+ 1
n2+√1−1
n) = lim
1
n+1
√1+ 1
n2+√1−1
n
=1 2
LUYỆN TẬP
Bài 1: Tính
a) lim
n
2- 3 +1- 2 1- 4
3
−2 n+3
1−4 n3 c¿
Bài 2: Tính
a) lim
n
2
4 - 3 +1- 1 2- 3
b)
n n
n n
3
lim
2 1 c¿lim(4n
+(−1)n)
Bài 3: Tính: a¿lim(2
n−5n)b¿lim n3+2 n−1
n5+4 n−7 c) lim
7n+4 3n
3n+1
Bài 4: Tính: a¿ lim
(1+2n)(2−3n) (4n−5)2 b) lim
n3−2n
1−3 n2 c) lim (n – 2n3)
d¿ lim( √ 3n−1− √ 2n−1) e) lim 4
n−5n
2n+3 5n
Bài 5: Tính:
¿
a¿lim¿
3 2
) lim
b
n
3
) lim
n c
n n
2
d n n e) lim 2.3 n 5.4n
f) lim 3n2 1 2n
h)lim n2 n n
l) lim n2 3n n