De HSG Toan 9

Cho OA = 2R, hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất.. Tính giá trị nhỏ nhất đó...[r]

PHÒNG GD-ĐT TP PHỦ LÝ

Trường THCS Châu Sơn

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

MÔN: TOÁN 9 Năm học: 2013 – 2014.

(Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1 (3,0 điểm): Rút gọn biểu thức:

a) N  x2 x1 x 2 x1

b)

Bài 2: (3 điểm)

Giải các phương trình sau đây:

a x1 2x1 5

b x +7x + 14 = 2

Bài 3: (5 điểm)

1 Chứng minh rằng với mọi x, y ta có : x4y4 xy3x y3

2 Cho hệ phương trình sau (với m là tham số):

{mx −3 my=2 m+3 x +my=1

a Giải hệ phương trình khi m = - 3

b Giải và biện luân hệ đã cho theo m

3 Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4



Bài 4: (3 điểm)

Cho ba điểm A(-6;4) ; B(-3;1) ; C(2;-9) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

a Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC

b Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Xác định tọa độ của H

Bài 5 (6 điểm)

Cho đường tròn ( O, R) và 1 điểm A ở ngoài đường tròn Từ 1 điểm M di động trên

đường thẳng d  OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn( B , C là các tiếp điểm) Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K

a Chứng minh rằng : OA.OK không đổi khi M di động trên đường thẳng d Từ

đó chứng minh BC luôn đi qua 1 điểm cố định

b CM rằng điểm H di động trên một đường tròn cố định

c Cho OA = 2R, hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó

TRƯỜNG THCS CHÂU SƠN

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN LỚP 9

( Thời gian làm bài 150 phút)

b

- tính

- Tính A =

1

0,5 Bài 2 a x 1  2x 1 5 

1 1

3 2 2 ( 1)(2 1) 25 2 2 3 1 27 3

x x



5

x

- Kl

0,5 0,5 0,5

b x +7x + 14 = 2

- bđpt về dạng (x+3) + ( -1) = 0

- Giải

- K luận: pt có nghiệm duy nhất x= -3

0,5 0,75 0,25

Bài 3 1 Chứng minh với mọi x,y ta có : x4 y4 xy3 x y3 (1)

(1)  x4y4 xy3x y3  x(x3- y3) – y(x3- y3) 0

 (x-y)2(x2 + xy + y2)  0  (x-y)2

(2) luôn đúng  (1) đúng

Dấu “ =” xảy ra khi x = y

0,25

0,5 0,25

2

b Xét hệ

{mx −3 my=2 m+3 x +my=1

- Từ pt 1 ta có x=1-my thế vào pt 2 ta có - m(m+3).y = m+3

+ Nếu m = 0 : hệ vô nghiệm

+ Nếu m = -3: Hệ vô số nghiệm

+ Nếu m ≠ 0 và m ≠ 3 : Hệ có nghiệm duy nhất

0,25 0,25 0,25

4



- cm : +  và dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y

- có (x+y)  4xy    1 ( vì x+y <1)

  5

4

= + +

Theo BĐT Côsi ta có

P  4 +5 +2 = 11

Vậy min P = 11 tại x=y=

0,5

0,5

0,5

0,5 Bài 4 a - Viết được pt AB là: y= -x-2

- AC là: y = x -

- BC : y = -2x-5

0,5 0,5 0,5

b.- Viết được pt đường cao AD là y = x+ 7

- pt đường cao BE là y = x +

- H ( 36; 35)

0,5 0,5

0,5