DE THI HSG CAP HUYEN TOAN 8

Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm... Híng dÉn chÊm Bài..[r]

PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN VÀO VÒNG I ĐỘI TUYỂN

HUYỆN YÊN ĐỊNH HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2014-2015

Đề chính thức MÔN THI : TOÁN

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề này gồm:01 trang

A

a/ Rút gọn A

b/ Tìm a để A 1

Bài 2 (6 điểm)

a/ Giải phương trình: x 1 x x 1 x 2        24

b/ Tính giá trị của biểu thức:

x 5 y 1 M

x y 5



 với x , y thoả mãn điều kiện

x 9y 6xy x 3

c/ Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc biết rằng abc n 2  1 và cba n 2 2 với n là số tự nhiên

Bài 3 (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, M là điểm thay đổi trên cạnh AC Từ C

kẻ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O

a/ Chứng minh OAH∽ OCB

b/ Chứng minh rằng tổng BM.BH CM.CA không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cạnh AC

Bài 4 (2 điểm) Cho hình thang vuông ABCD có A B 90   0, BC=n, AD=m Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BD, K là điểm trên đoạn thẳng HD sao cho

HD m Tính

góc AKC

Bài 5 (4 điểm)

a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4a3 3a 1

b/ Cho x, y,z1 và x3y3 z3 0 Chứng minh rằng x y z 1  

Hết

HỌ VÀ TÊN THÍ SINH

SỐ BÁO DANH

Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm.

Híng dÉn chÊm

Bài 1

4đ

A

2,5đ

ĐKXĐ :a 1;3

Ta có:

2

A

a 1 a 3



2

a 1 a 3



a 1 a 2

a 1 a 3



a 2

a 3







Vậy với a 2;3 thì A

a 2

a 3







0,5

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25 b

1,5đ

Với a 2;3 Ta có

a 2

a 3





a 2

1 0

a 3





1 0

a 3



 a 3 0   a 3

Kết hợp với ĐKXĐ ta được a 3 và a 1 thì A<1

0,5

0,25

0,25

0,25 0,25

Bài 2

6đ

a

2đ

Ta có: x 1 x x 1 x 2        24 x2 x x  2 x 2  24

Đặt t x 2 x 1 Phương trình trở thành

t 1 t 1     24

t 5







Với t = 5  x2 x 1 5   x 2 x 3     0

x 2







Với t = -5

2

  pt vô nghiệm Vậy nghiệm của pt là x 3;2

0,25

0,25

0,5

0,5

0,25

0,25 b

2đ

Ta có

x 9y 6xy x 3  x2 9y2  6xy x 3 0 

 x 3y 2  x 3 0 

x 3 0





Khi đó giá trị của biểu thức

A



Vậy

4 A 3





0,25 0,5

0,5

0,5

0,25

c Ta có:

2 2

0,5

4n 5 99

   (1) Lại có 100 n 2  1 999  101 n 2 1000

 11 n 31   39 4n 5 119   (2) Từ (1)và (2) suy ra 4n 5 99   n 26

Suy ra  abc 26 2  1 675

Vậy abc 675

0,5

0,5

0,25 0,25

Bài 3

4đ

a

2đ

Xét OHB và OAC có

Góc O chung

Xét OHA và OBC có

OB OC và góc O chung

Suy ra đpcm

0,75

0,5

0,75

b Kẻ MK vuông góc với BC (K BC )

Xét BKM và BHC có:

0,25

0,5

M

O

H

B

A

 

BM.BH BK.BC 1

Chứng minh tương tự ta được : CM.CA CK.CB 2   Từ (1) và (2)  BM.BH CM.CA BK.BC CK.BC  

BC BK CK   BC2 không đổi Suy ra tổng BM.BH CM.CA không phụ thuộc vị trí điểm M

0,5

0,25 0,25

0,25

Bài 4

Kẻ KI//AD với I thuộc AH

KI / /BC

 (1)

KI AB

Suy ra I là trực tâm ABK

BI AK

Vì KI//AD

 

Từ (1) và (3) suy ra BCKI là hình bình hành

BI / /CK



Kết hợp với (2) suy ra CK AK  AKC 90  0

Vậy AKC 90  0

0,25

0,25 0,25

0,25

0,25

0,5

0,25

Bài 5

4đ

a

2đ

Ta có : 4a3 3a 1 a31  3a3 3a = a 1 a   2  a 1  3a a 1 a 1     

0,5 0,5 0,5

I

K H

D

C B

A

a 1 a   2  a 1 3a  2  3a a 1 2a 1    2

0,5

b

2đ

Ta có

3

Với a 1 a 1 0   a 1 2a 1    2 0

3

    với a1 (*)

Dấu = xảy ra khi a = -1 hoặc

1 a 2



Vì x, y,z1 nên áp dụng dạng (*) ta được

3 3 3

Suy ra 4 x 3 y3z3 3 x y z     3 0

Do x3 y3 z3  0 3 x y z   3

x y z 1

Dấu = không thể xảy ra Nên x y z 1  

Suy ra Đpcm

0,25

0,25

0,75

0,5

0,25

Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn được điểm tối đa