[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT NHƯ XUÂN
TRƯỜNG THCS THANH SƠN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn: Toán– Lớp 7
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao
đề)
Đề bài:
Câu 1: ( 4 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A =
b) B = 10 19 29 6
9 20 9
15
27 2 7 6 2 5
8 3 4 9 4
5
−
−
1 1 1 1
− − − −
Câu 2:(4 điểm)
a) Một mảnh đất hình tam giác có độ dài 3 cạnh lần lượt là 3(m); 4(m); 6(m)
và đường cao tương ứng là ha (m); hb (m); hc (m)
Tính diện tích mảnh đất biết: ha – hb + hc = 25 (m)
bx ay b
az cx a
cy
Chøng minh r»ng: z
c y
b x
c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
Câu 3: (4 điểm)
a Tìm x, biết: 5 x + 5 x+ 2 = 650
21 1 2 3
1 4 : 2
1
− x+
c.Tìm x, y, z biết: 3x = 2y ; 4y = 5z và - x - y + z = - 52
Câu 4: (6 điểm) Cho ∆ABC có góc A nhọn Phía ngoài ∆ABC vẽ ∆BAD vuông cân tại A, ∆CAE vuông cân tại A Chứng minh:
a/ DC = BE; DC ⊥ BE b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2 c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K Chứng minh K là trung điểm của BC
Câu 5: (2,0 điểm)
1) Cho ∆ABC nhọn với = 600 Chứng minh rằng:
BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC 2) Cho m, n ∈ N và p là số nguyên tố thoả mãn: m− 1
p
= p
n
m+
Chứng minh rằng : p2 = n + 2
Trang 2-Hết-Họ và tên : ……… Lớp SBD
1
(4đ
)
a) A=
=
13 7 15
4 2 13
=
.
9 20 9
15
27 2 7 6
2 5
8 3 4 9 4
5
−
−
=
B 102.15192.919 2 2029 33..96
3 2 7 3
2 2 5
2 3 2 3
2
5
−
−
=
( 5 3 7 )
3 2
3 2 5 3
2
18 29
2 18
29
−
−
=
=
15 7− = 8
−
1 1 1 1
− − − −
1 4 1 9 1 16 1 1000
3 8 15 9999
2 3 4 100
1.3 2.4 3.5 99.101
2 3 4 100
−
=
(1.2.3 99)(3.4.5 101) (2.3.4 100).(2.3.4 100)
−
=
1.101 100.2
−
=
101 200
−
0,5 0,5 0,5
0,5
0,5 0,25
0,5 0,5 0,25
2
(4đ
)
a) Theo bài ra ta có: ha = 4.hb = 6.hc (=SABC)
S ABC 2h a 2h b 3h c
3 = =
=
) ( 50 2 25 2 1 25 3
1 2
1 3
2 3
1 2
1 3 2
2
m h
h h h h h
+
−
+
−
=
=
=
=
bx ay b
az cx a
cy
) (
) (
) (
c
bx ay c b
az cx b a
cy bz
= 2 2 2 =0
+ +
− +
− +
−
c b a
bcx acy abz bcx acy abz
Suy ra:
0,5
0,25 0,5
0,5
0,5
Trang 3b x
a bx ay c
bx ay
x
a z
c az cx b
az cx
z
c y
b cy bz a
cy bz
=
⇒
=
⇒
=
−
=
⇒
=
⇒
=
−
=
⇒
=
⇒
=
−
0 0 0
Từ (1), (2) và (3) suy ra: z
c y
b x
a = =
c) x( y + 3) – ( y +3) = 3
(x -1)( y + 3) = 3
1 1 1 3
;
3 3 3 1
− = ± − = ±
+ = ± + = ±
Các cặp ( x;y) là: ( 2;0), ( 0;-6), ( 4;-2), (-2;-4)
0,5
0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
3 a) Ta có: 5 x + 5 x+ 2 = 650
5x(1+52) = 650
5x.26 = 650
5x = 25=52
x = 2
b)
22
21 1 2 3
1 4 : 2
1
− x+
Suy ra 2x+1=-1 hoặc 2x+1 =1
x = -1 hoặc x = 0
Vậy x = -1 và x = 0
c) Từ 3x = 2y => 15x = 10y => ;
từ 4y = 5z => 12y = 15z =>
=>
=> x = 40; y = 60; z = 48
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 4
(6đ
)
Hình vẽ
M
P K
E
D
C B
A
Trang 4a) Chứng minh ∆ABE = ∆ADC (c.g.c)
⇒ DC = BE
=> mà BA ⊥ DA => DC ⊥ BE
b) Gọi M là giao điểm của BE và DC
Áp dụng định lí Pyta go vào các tam giác vuông MCE, MBD, MDE
và BMC ta được :
CE2 = ME2 + MC2; DB2 = MD2 + MB2 ; DE2 = MD2 + ME2;
BC2 = MB2 + MC2
⇒ BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2;
⇒ BD2 + CE2 = BC2 + DE2
c) Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE
AE = AC(gt)
=> ∆ADE = ∆CPA (c.g.c) ⇒ CP = AD ⇒ CP = AB
(soletrong)
⇒∆CPK = ∆BAK (g.c.g) ⇒ BK = KC ⇒ đpcm
0,75 0,5 0,75
1 0,5 0,5
1
0,5 0,5
5
(2đ)
Hình vẽ
1)
Kẻ BH ⊥ AC
Vì (1)
Áp dụng định lý Pitago ta có:
AB2=AH2+BH2 và BC2 = BH2 + HC2
⇒ BC2 = AB2 – AH2 + HC2⇒ BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2
⇒ BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC.AH + AH2
⇒ BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH (2)
Từ (1) & (2) ⇒ BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC
0,25 0,25
0,25
0,25
2)
1
−
m
p
= p
n
m+
=> p2 = (m – 1)(m+n) (*)
Vì p là số nguyên tố nên p2 1; p2 p và p2 p2
Với m – 1 =1 và m+n=p2=> m = 2 thay vào (*) suy ra p2 = n+2
Với m – 1 = p và m+n=p => n=-1(vô lí vì n là số tự nhiên)
Với m-1=p2 và m+n=1 suy ra n=-p2 (vô lí vì n là số tự nhiên)
Vậy p2 = n+2
0,25 0,25
0,25 0,25
A
60 0
C H
B