Tài liệu Ôn tập giải tích (1) doc

Công thức Stokesφ, y=rsinφ... phân kỳ theo tc D’alembert Câu 4... Các đk CT Green thỏa, C ngược chiều quy ướcCâu 1... Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3... phân kỳ theo tc D’alemb

Δ=AC-B2=3>0, A=2>0 =>z(x,y) đạt cực tiểu tại (7,-2)

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 

hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy

Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

1 2 1

( 1)

4 (3 1)

n n

x n

x= 2 : = hội tụ theo tc Leibnitz

Các k công thđi ức Green thỏa

Chiều C ngược chiều quy ước

Công thức Stokesφ, y=rsinφ

)12 (

5e.3

 1

1

3.)2 (

6.4.2

)12 (

5e.3

phân kỳ theo tc D’alembert

Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

31

x=2: phân kỳ theo tc sφ, y=rsinφo sφ, y=rsinφánh

x=4: hội tụ theo tc Leibnitz

Miền hội tụ (2,4]

Câu 5 Tính tích phân kép

x y D

= => tích phân ko phụ thuộc đường đi

   

C

I   x y dx   x y dy  = =

Câu 7 Tìm diện tích phần mặt cầu z  R2 x2 y2 nằm trong hình trụ x2 y2  Rx.

Gọi S là phần mặt cầu z  R2 x2 y2nằm trong hình trụ x2 y2  Rx

f’’xy= -2/y +1/x => f’’xy(1,1)=-1

f’y= ln - (2x+y)/y = ln -2x/y -1

f’’yy= -1/y +2x/y2 => f’’yy(1,1)=1

x=1, y=3 => Δ=3>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại x=1, y=3

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

1 4 7 (3 2) (2 1)!!

n

n n

n x n









ρ= = = n =1/e

=> -e<x-4<e => -e+4<x<e+4

x= e+4: phân kỳ theo sφ, y=rsinφo sφ, y=rsinφánh

Miền hội tụ (-e+4,e+4)

I    x y dx   x  y dy, trong đó C là biên của miền phẳng giới hạn

bởi y   2 x y2,  x, chiều kim đồng hồ.

S là biên của miền phẳng giới hạn bởi

2

y   x y  x

Các đk CT Green thỏa, C ngược chiều quy ước

Câu 1 Cho hàm f x y ( , ) 4  y2 sφ, y=rsinφin (2 x y  ) Tính d f2 (0,0)

f’x= 2sφ, y=rsinφin(x-y)cosφ, y=rsinφ(x-y)=sφ, y=rsinφin2(x-y)

f’’xx= 2cosφ, y=rsinφ2(x-y)=> f’’xx(0,0)=2

f’’xy= -2cosφ, y=rsinφ(x-y)=> f’’xy(0,0)=-2

f’y= 8y-2sφ, y=rsinφin(x-y)cosφ, y=rsinφ(x-y)=8y-sφ, y=rsinφin2(x-y)

f’’yy= 8+2cosφ, y=rsinφ2(x-y) => f’’yy(0,0)=10

 hội tụ theo tc D’alembert

Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3

x=7: hội tụ theo tc Leibnitz

 dxdy với D là miền 1  x 2 +y 2e 2

x=rcosφ, y=rsinφφ, y=rsφ, y=rsinφinφ

) 2 2 2

 f(x,y) đạt cực đại tại (4,3/2), (-4,-3/2)

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

33

1

2 2

1

n n

n n

33

1

2 2

1

n n

n n

phân kỳ theo tc Cauchy

Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi:

)1ln(

)1(

)5e(2)1

n n

=> -1/2<x-5e<1/2 => 9/2<x<11/2

tích phân I với C là phần ellipse

Câu 7 Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi y   2 x y2,  1, z  0, z  3 x, lấy phần z 0.

Câu 1 Cho hàm 2 biến z = z(x, y) = 2 3

3e x y Tính dz(1,1) và (1,1)

y x

Câu 2 Khảo sát cực trị hàm số z= x 3 + y 3 + 3x 2 - 3xy +3x-3y +1

n

n n

x

.4

3.)1(

x= 7/3: hội tụ theo tc Leibnitz

Câu 7 Tính tích phân đường loại một I= , với C là nửa trên đường tròn x2 y2  2 y.

x=rcosφ, y=rsinφt, y=rsφ, y=rsinφint => r= 2sφ, y=rsinφint

Câu 8 Dùng công thức Stokes, tính    (  )  (2  ) 

C

I x y dx x z dy ydz, với C là giao của x2 y2 z2  4

và x y z    0, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.

S là mặt giao của C là giao của x2 y2 z2  4 và x y z    0

x=-4,y=1, λ)==-1/2 => d2L>0 => f(x,y) đạt cực tiểu tại (-4,1)

x=4,y=-1, λ)==1/2 => d2L<0 => f(x,y) đạt cực đại tại (4,-1)

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

2 !n

n n

n n







Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa   

x n

Câu 8 Dùng công thức Stokes, tính    (3  2)  (3  2)  (3  2)

C

I x y dx y z dy z x dz, với C là giao của

 

z x y và z   2 2 y, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.

S là mặt giao của của z x  2 y2 và z   2 2 y, n= (0,

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/

) 1 (

!)12 (

5e.3.1

9.4

!)12 (

5e.3.1

9.4

phân kỳ theo tc D’alembert

Câu 4 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa

Miền hội tụ [-1,5e]

L

dy y x Q x h dx y

 

L

dy y x Q x h dx y

z x y , bị cắt bởi z 2 2x, phía dưới.

D =prxOyS={ (x+1)2+y2 =3}, x+1=rcosφ, y=rsinφφ,y=rsφ, y=rsinφinφ

Câu 1 Tìm miền xác định và miền giá trị của 2 2

1

, if ( , ) (0,0) ( , )

 f(x,y) đạt cực tiểu tại (1,0)

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của   

14

n

n

!).13 (

10.7.4

).2 (

6.4.2

n n

n n v

n n





=> hội tụ theo tc Cauchy

=> phân kỳ theo tc D’alembert

n n

n

n x

)(

Điểm dừng:  x=1, y=1 v x=-1,y=-1

A= f’’xx=12x2 -2 B=f’’xy=-2 C=f’’yy=12y2 -2

Δ=AC-B2= (12x2 -2)( 12y2 -2)-4

 => Δ= 96>0, A= 10>0

 f(x,y) đạt cực tiểu tại (1,1), (-1,-1)

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

n n

n n

hội tụ theo tc Cauchy

Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

1

( 4)

2

n n

qua gốc O và không cắt trục tung.

=> tp ko phụ thuộc đường đi