Tài liệu ôn tập giải tích

Dạng 1: Khảo Sát Hàm Số Và Vẽ Đồ Thị Quy trình làm bài toán: - Tìm miền xác định MXĐ của hàm số, nếu có thể nêu thêm tính chẵn – lẻ và tính tuần hoàn của hàm số.. - Tìm khoảng tăng giảm

Mục Lục

Dạng 1: Khảo Sát Hàm Số Và Vẽ Đồ Thị 2

Dạng 2: Tích Phân Suy Rộng 5

Dạng 3: Ứng Dụng Tích Phân 9

Dạng 4: Tích Phân Bất Định 11

Dạng 5: Phương trình vi phân cấp 1 14

Dạng 6 : Phương trình vi phân cấp 2 18

Dạng 7: Hệ phương trình vi phân 19

Dạng 1: Khảo Sát Hàm Số Và Vẽ Đồ Thị

Quy trình làm bài toán:

- Tìm miền xác định (MXĐ) của hàm số, nếu có thể nêu thêm tính chẵn – lẻ và tính tuần hoàn của hàm số

 Tiệm cận ngang – xiên: tính khi biến số tiến ra vô cùng Tính

𝐿1 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞ 𝑓(𝑥), nếu 𝐿1 tồn tại hữu hạn ta có đường tiệm cận ngang 𝑦 =

𝐿1 Nếu 𝐿1 = ±∞, xét tiếp giới hạn 𝑎 = lim

𝑥→+∞(𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥), ngược lại ta nói rằng hàm số không có tiệm cận khi x tiến

về +∞ Xét tương tự khi x tiến ra −∞

- Tìm khoảng tăng giảm và tìm cực trị: tính đạo hàm cấp 1 y’(x) tìm nghiệm và các khoảng

có dấu xác định của hàm 𝑦′(𝑥) (dấu âm hoặc dương)

- Lập bảng biến thiên: giống như bảng biến thiên đã học ở lớp 12 Nêu ra các khoảng tăng giảm và các điểm cực trị của hàm số

- Vẽ đồ thị: vẽ các điểm – đường đặc biệt của đồ thị: đường tiệm cận, các điểm giao với trục tọa độ (nếu có thể), các điểm cực trị (tại điểm cực trị vẽ một đường nằm ngang ngắn đi qua điểm đó, đó là tiếp tuyến của hàm tại điểm cực trị) Sau đó vẽ đồ thị (không nhất thiết phải quá chính xác nhưng không được vẽ sai quá nhiều)

lim

𝑥→−2 +𝑓(𝑥) = lim

𝑥→−2 +

(𝑥−1) 2 (𝑥−2)(𝑥+2) = −∞ ⟹ TCĐ 𝑥 = −2

𝑥→2 +𝑓(𝑥) = lim

𝑥→2 +

(𝑥−1) 2 (𝑥−2)(𝑥+2) = +∞ ⟹ TCĐ 𝑥 = 2

- Miền xác định 𝑥 ≠ 0 Hàm số là hàm chẵn, ta chỉ cần xét một bên x>0 sau đó lấy đối xứng

Hàm số tăng trong các khoảng (−∞; −𝑒), (−1; 0) và (1; 𝑒)

Hàm số giảm trong các khoảng (-e;-1), (0;1) và (𝑒; −∞)

Hàm số có 2 cực đại (−𝑒; 𝑒−2) và (𝑒; 𝑒−2) và 2 cực tiểu (-1;0) và (1;0)

- Vẽ đồ thị:

Dạng 2: Tích Phân Suy Rộng

Bài Toán : Khảo sát sự hội tụ của tích phân

1 Xác định loại tích phân suy rộng

Loại 1: Tích phân cận vô tận:

f(x) không âm với mọi x>a

Loại 2: Tích phân hàm không bị chặn

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏

Với a≤c≤b và

2 Bước 2: Tìm hàm g(x) tương đương với f(x) hay đánh giá f(x) lớn hơn hay nhỏ hơn

g(x)

3 Bước 3: Nếu là hàm nhỏ hơn hay lớn hơn thì dùng tiêu chuẩn so sánh 1, hàm tương

đương thì dùng tiêu chuẩn so sánh 2

Tiêu chuẩn so sánh 1:

Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,+∞) thỏa f(x) ≥ g(x) ở lân cận của ∞ Ta có:

0<K<+∞: 2 tích phân trên cùng hội tụ hoặc cùng phân kì

**Tích phân hàm có dấu bất kì – Hội tụ tuyệt đối

Với hàm f(x) khả tích trên [a,b) và không bị chặn tại b

Nếu hội tụ thì hội tụ

** Xét ∫𝑎+∞𝑥𝛼𝑑𝑥ln𝛽𝑥 Hội tụ khi α>1 và ɏβ hoặc khi α=1 và β<1

**Xét ∫𝑎𝑏𝑥𝛼𝑑𝑥ln𝛽𝑥 Hội tụ khi α<1 và ɏβ hoặc khi α=1 và β>1

Ví Dụ 1:

Giải: Ta thấy 2 cận của tích phân làm cho tích phân không xác định, ta tách thành 2 tích phân suy rộng loại 2

Tổng hợp lại thì với α<1 thì I 1 hội tụ

- Để tiện lợi hơn trong tính toán, sau đây là tích phân bất định của một số hàm

cơ bản mà các bạn cần thuộc để làm bài được nhanh hơn:

+ ∫ 𝑥𝛼𝑑𝑥 = 𝑥𝛼+1

𝛼+1 + 𝐶 , 𝛼 ≠ −1 + ∫1

𝑥𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶

+ ∫ 𝑎𝑥𝑑𝑥 = 𝑎𝑥

ln 𝑎+ 𝐶 + ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶

𝑎2− 𝑥2 = 1

2𝑎ln |𝑥+𝑎𝑥−𝑎| + 𝐶 + ∫ 𝑑𝑥

sin 𝑥= ln |tan𝑥

2| + 𝐶 + ∫ 𝑑𝑥

4 Một số trường hợp đặc biệt khi tính tính phân bất định:

a Tích phân của phân thức đơn giản loại 1:

b Tích phân của phân thức đơn giản loại 2:

- Xét tam thức 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 trong trường hợp nó không có nghiệm thực Khi đó:

[(𝑥 + 2𝑎𝑏 )

2+ 𝑎𝑐 − 𝑏2

4𝑎2]𝑘

để đưa tích phân này

về tích phân hàm hữu tỉ theo t

d Tích phân của hàm vô tỉ 𝑓(𝑥, √𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐): đặt 𝑢 = √𝑎 (𝑥 + 𝑏

2𝑎), đưa tam thức bậc hai về dạng 𝑢2+ 𝑎2, 𝑢2− 𝑎2, 𝑎2− 𝑢2 và dùng những cách tính tích phân mà ta đã biết tương ứng với mỗi dạng cụ thể để tính

e Tích phân Chebyshev với 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑚(𝑎 + 𝑏𝑥𝑛)𝑝 với m,n,p là các số hữu tỉ:

- Xét 3 trường hợp cụ thể sau:

+ Nếu 𝑝 ∈ 𝑍: đặt 𝑥 = 𝑡𝑠 𝑣ớ𝑖 𝑠 = 𝐵𝐶𝑁𝑁(𝑚, 𝑛)

+ Nếu 𝑚+1

𝑛 ∈ 𝑍: đặt 𝑎 + 𝑏𝑥𝑛 = 𝑡𝑠 𝑣ớ𝑖 𝑠 𝑙à 𝑚ẫ𝑢 𝑠ố 𝑐ủ𝑎 𝑝 + Nếu 𝑚+1

𝑛 + 𝑝 ∈ 𝑍: đặt 𝑎𝑥−𝑛+ 𝑏 = 𝑡𝑠 𝑣ớ𝑖 𝑠 𝑙à 𝑚ẫ𝑢 𝑠ố 𝑐ủ𝑎 𝑝

II Tích phân xác định:

1 Công thức Newton – Leibnitz:

- Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và G(x) là một nguyên hàm của f(x) thì ta có:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

- Một số lưu ý nhỏ khi tính tích phân xác định:

+ Với phương pháp đổi biến: nếu f(x) liên tục trên [a,b], hàm 𝜑(𝑡) khả vi, liên tục trên [t1,t2] và 𝜑(𝑡): [𝑡1, 𝑡2] → [𝑎, 𝑏], 𝜑(𝑡1) = 𝑎, 𝜑(𝑡2) = 𝑏 thì

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= ∫ 𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡)𝑑𝑡𝑡2

𝑡1+ Với phương pháp tích phân từng phần: nếu u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a,b] thì:

∫ 𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)|𝑏

𝑎− ∫ 𝑢(𝑥)𝑣

′(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

-Phương pháp : Đặt 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 rồi đưa về dạng tách biến

𝑑𝑢𝑓(𝑢) − 𝑢 =

𝑑𝑥𝑥PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN :

Nếu y’ + p(x)y = 0 (2)  Phương trình thuần nhất

Cấu trúc nghiệm tổng quát của (1): y= yo + yr

Trong đó : yo :nghệm tổng quát của (2)

yr : nghiệm riêng của (1)

-Phương pháp :

 Tìm yo : Từ (2) dạng tách biến ta có :

yo = C𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

 Tìm yr :

 Giải phương trình tuyến tính trên rồi thay giá trị ẩn cần tìm vào

 BÀI TẬP ÁP DỤNG: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN:

𝑢 + 14𝑢 + 2𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 ↔ ∫

1

4(1 +

12

y = 0 là một nghiệm của phương trình

𝑈(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦

(𝑥,𝑦)

(0.0)

0 =3

2𝑥2+ 2𝑥𝑦 −9

2𝑦2 Vậy nghiệm tổng quát của (5) là :

** giải theo phương trình vi phân cấp 2

Bước 1 : phương trình đặc trưng :

Ví dụ 2 : Tìm nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện

Thế pt2 vào pt1 ta được :

** giải theo phương trình vi phân cấp 2

Bước 1 : phương trình đặc trưng :

y’r = 2Btet + Cet + Bt2et +Ctet

y”r = 2 Bet+2Btet +Cet+2Bt et+Bt2 et+ C et+Ctet

thay vào phương trình 3 ta có :

2 Bet+2Btet +Cet+2Bt et+Bt2 et+ C et+Ctet -3(2Btet + Cet + Bt2et +Ctet)+2((Bt +C)tet= -2et

{

𝐵 − 3𝐵 + 2𝐵 = 02𝐵 + 2𝐵 + 𝐶 − 6𝐵 − 3𝐶 + 2𝐶 = 0

2𝐵 − 𝐶 = −2Vậy : B=0 ; C= 2

Ta được nghiệm của hệ phương trình vi phân