Tính liên tục của hàm số một biến số... Bằng cách lập bảng biến thiên của hàm số f , hãy chứng minh phương trình f x = có hai nghiệm thực phân biệt... Bài 9: Khai triển Maclaurin hàm số
Trang 1BÀI TẬP ÔN TẬP GIẢI TÍCH I Chương I Tính liên tục của hàm số một biến số.
1 Cho hàm số ( ) 3 (4 1), 2
2 , 2
x
ï
ïïî
Tìm a để f liên tục tại x =2
2 Cho hàm số ( ) ( ( )2)
tan 2
ln 1 3 , 0
x
ìïï
ï
ïî
Tìm a để f liên tục tại x =0
, / 2 0
x
x
p p
ìï
ï
= í
ïïî
Tìm a để f liên tục trên ,
2 2
p p
ê-ê úú
3 , 0
x
ìï
ïï
ïïî
Tìm a để f liên tục tại x = 0
5 Cho hàm số ( )
2 2
1
sin , 0
x
e
x
ïï
ïïî
Tìm a để f liên tục tại x =0
2
, 0
x
= í
ïïî
Tìm a để f liên tục tại x =0
7 Cho hàm số ( ) 1 cos 2( ) ,2
,
x
x
p p
ïï
=íï
ïî
Tìm a để f liên tục trên ,
2
p p
ë û.
sin 2 1
3
2
1 2
x x
x
9 Cho hàm số ( )
2/ 3 3
1 cos , 0
x x
ìï -
ï
= í
ïïî
Tìm a để f liên tục tại x =0
Trang 210 Cho hàm số ( ) ( ) 2
1 sin
, 0
x
f x
ï
= íï
= ïïî Tìm a để f liên tục tại x =0.
11 Cho hàm số ( )
2 2
1 cos
sin , 0
x
ìï +
ï
= í
ïî
Tìm a để f liên tục tại x = 0
12 Cho hàm số f x( ) x ,ln ,x x 0 0
ïï
ïïî Tìm a để f liên tục tại x = 0
13 Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số ( ) ( sin( )2 1)
x
f x
-=
14 Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số ( ) ( )
2
sin x
f x
x x
=
15 Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số ( )
1
2
x
e
f x
x
-= +
16 Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số ( ) ( )
1
1 3
x
e x
f x
x
-+
=
-
17 Cho hàm số ( )
9
, 0
x x
ìï -
ï
= í
ïïî
Tìm a để f liên tục tại x = 0
2 0
lim
sin
x
x
®
-
19 Cho hàm số ( ) ( )3
, 0
x
x
x
= í
ïïî
Tìm a để f liên tục tại x = 0
20 Cho hàm số ( ) 2 ( 1), 1
1 , 1
x
ï
ïïî
Tìm a để f liên tục tại x = 1
21 Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số ( ) 2 (3 2)
f x
=
- trên 2 2,
p p
ê-ê úú
Trang 3Chương II Phép tính vi phân hàm một biến
Bài 1
1.Cho hàm số f x( ) = -x 1x2 a) Tính f/( )3 ; b) Xét sự khả vi của f tại x = 1
2 Cho hàm số ( ) 1cos
2
x
f x = -x p a) Tính f/( )0 ; b) Xét sự khả vi của f tại x = 1 3.a/ Xét sự khả vi của hàm f x( ) = x sinx trên ¡ .
b/ Xét sự khả vi của hàm số f x( ) = -p x sin( )p x tại x = p
4 a/ Cho hàm số f x( ) xsin ,ln 1(x ),x 00
ïï
ïïî Xét sự khả vi của f trên (- 1,+¥ )
b/ Cho ( ) 1
1
x
x x
f x
e-- x
ïï
= íï
>
ïïî Tính f x x Î ¡ /( ),
5 Cho hàm số ( )
2
0 , 0
x
f x
x
ïï
a) Chứng minh f liên tục trên ¡ ; b) Tính f/( )0 .
6 Cho hàm số ( ) 1 cos2 , 0
2 , 0
x x
x
ìï
ï
= í
ïïî
a) Tính f p/( / 4); b) Xét sự liên tục của f tại x = 0
7 Cho hàm số ( ) 32
, 1
f x
ax b x
ï
= íï + >
ïî Tìm các tham số a, b để f khả vi trên ¡
, 0
x
x
ìï +
ï
= í
ïïî
a) Tìm a để f liên tục tại x =0; b) Với a vừa tìm được, hãy tính f/( )0 nếu có.
9 Cho hàm số ( )
2
sin
, 0
x x
ï
= í
ïî
Tính f x x Î ¡ /( ),
Trang 410 Cho hàm số f x( ) e ,1/x 1,x 11
ïï
= íï
=
a) Tính f/( )2 ; b) Tìm a để f liên tục tại x = 1
11 Cho hàm số ( ) 2sin , 0
, 0
p
ï
= í
ïî
a) Tìm a để f liên tục tại x = ; b) Với a vừa tìm được, hãy tính 0 f/( )0 .
12 a) Tính df( )2 biết ( ) arctan 2
3
x
f x
æö÷
ç ÷
= - ç ÷ç ÷çè ø; b) Tính f x/( ) biết ( ) ( )2 1
f x = x+ +
13 a) Tính f x/( ) biết ( ) ( 1 )
arcsin 1 2
x
f x
x
-=
- ; b) Tính
/
4
f æ öç ÷ç ÷ç ÷p÷
çè ø biết f x( ) (= tanx)x1.
14 Tính f x/( ) biết a) f x( ) =x x2 b) f x( ) =x2x.
15 Cho hàm số ( ) 2
2 , 1
x x
f x
ï
= íï - <
ïî Hàm f có khả vi trên ¡ không? Tại sao?
16 Cho hàm số f x( ) = -x 2(x a + Tìm a để f khả vi trên ¡ )
17 Cho hàm số ( )
2
3
2 , 1
x x
f x
a
x x
ìï
ïï
= í
ïïî
a) Tìm a để f liên tục tại x =1; b) Với a vừa tìm được, hãy tính f/( )1 .
18 Cho f x( ) = x ln(x+ Tính 1) f/( ) ( )0 ; / 1
Bài 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
a/ f x( ) =esinx - sinx- 1 trên đoạn é ùê ú0;p
b/ f x( ) x2 42 x
x
+
-=
- trên đoạn 2;1
é-ê ùú
ë û. c/ f x( ) =x x2 3 - trên đoạn 1 éë-ê 1;1ùúû.
d/ f x( ) =x2 31- x trên đoạn éë-ê 1;1ùúû.
Trang 5Bài 3: Áp dụng tính đơn điệu của hàm số, chứng minh
a/ ln 1( +x) < " >x x, 0 Từ đó suy ra (1+x)1x < " >e x, 0
b/ 3arctan 2( )x >6x- 8 ,x3 " >x 0 c/ 1 2, 0
1
x
x
+ > " >
+ d/ arccosx x+ < " Î1, x ( )0,1
Bài 4: Tìm các đường tiệm cận của
a/
;
- + b/ f x( ) = -x x2+ + c/ x 1 2 ;
Bài 5: a/ Cho hàm số f x( ) =6ln(x+ -2) x2 Bằng cách lập bảng biến thiên của hàm
số f , hãy chứng minh phương trình f x = có hai nghiệm thực phân biệt.( ) 0
b/ Khảo sát sự biến thiên và tìm cực trị nếu có của f x( ) = -x x2+ + x 1
Và f x( ) x2 31 x
x
+
-=
-Bài 6: a/ Chứng minh hàm số
4
x y
x
= + thỏa phương trình (x4+1 '' 8)y + x y3 '=12x2(1- y)
b/ cos 2( )
2
x y
x
=
+ thỏa phương trình (x+2 ''' 3 '' 8sin 2)y + y - ( )x =0 c/ ( ) 2
sin 1
x
f x
x
=
+ thỏa (x2+1 '' 4 ' 2)y + xy+ y+sinx =0.
arcsin
y
x
( )3/ 2 2
1
x
xy y
x
-e/ Chứng minh (arcsin x +arccos x)/ = " Î0, x ( )0;1 Từ đó suy ra đẳng thức
( )
arcsin = - arccos , 0;1
2
f/ Chứng minh
/
1
x
1
arctan = - arctan , 0
x
p
" ¹
Trang 6Bài 7: Tính đạo hàm cấp n của a/ f x( ) =ln(x3- 4 ;x) " > x 2
b/ f x( ) (= x2+x)sinx c/ ( ) ( 2 4) ( 3)
x
f x
=
-Bài 8
1/ Tính ( )100 1
2
f æöç ÷ç ÷ç ÷÷
çè ø, biết f x( ) = 1- x 2/ Tìm ( )30 ( )
1
f biết ( ) 32
1 4
x
f x
+
=
3/ Tìm ( )6 ( )
1
f biết f x( ) =x6+ln 3 2( - x).
4/ Tính ( )10 ( )
3
f , biết ( ) 2 4 4
x
f x
x
=
- 5/ Tính
( ) 5( )
1
f - , biết f x( ) =ln(x3- 4x)
6/ Tính ( )100 ( )
0
f , biết f x( ) =x3ln 1( - x) 7 Cho ( ) 3
2 16
x
f x
-=
- Tính
( ) 20( )
1
8/ Tìm ( )20 ( )
0
f , biết f x( ) (= x+2) x+ 4
9/ Cho f x( ) (= x3+2 sinx) 2( )p x Tính ( )100 ( )
1
10 Cho f x( ) =x33- x Tính ( )10 ( )
2
f 11 Cho ( ) ( )2
cos
f x = x x Tính ( )20 ( )
f p
12 Cho f x( ) sin1( )x
x
p
=
- Tính
( ) 3 1 2
f æöç ÷ç ÷ç ÷÷
çè ø 13 Tính
( ) 5( )
0
f , biết f x( ) sinx1
x
= + .
Bài 9: Khai triển Maclaurin hàm số, với phần dư Piano.
a/ f x( ) cosx1
x
=
+ đến số hạng chứa
5
x b/ f x( ) (= 2- x e2) 2x đến số hạng chứa x 2010
c/ ( ) 2
1 1
x
f x
x
+
=
+ đến số hạng
7
x d/ f x( ) =ln(x2- 5x+ đến 6) x 5
e/ f x( ) sinx1
x
=
- Hãy tính
( )k ( )0 , 1,2,3,4
Bài 10: Tìm công thức Taylor của
a/ f x( ) sin( )1x
x
p
=
+ tại x = đến số hạng chứa 0 1 ( )3
1
x -
b/ f x( ) cos1 ( )x
x
p
=
- tại điểm 0
1 2
x = đến cấp 3.
c/ f x( ) = x+ tại 1 x = đến số hạng 0 3 ( )3
3
x - Từ đó, tính gần đúng f(3,01).
Trang 7Chương III Phép tính tích phân hàm một biến
Bài 1: Tính các tích phân sau
1) arcsinò xdx 2) ò 2x- 1 1 7+ xdx
1
3/ 2 2 0
arctan 3)
1
x dx x
+
ò
2
2 1
4)
2
dx x
+
3 1
ln 5)
1 ln
dx
2
1
6)
1
dx
x x +
ò
1
6
0
7) òx x+2dx
1
2 1/ 2
arcsin
x
ò 2sin 3cos
9) 3sin 2cos
dx
-ò
2
sin
0
1
x t
x
ò
3
x e dx
- ¥
0
16) e xcosxdx
- ¥ò
1
17) e xsinxdx
+¥
2 2
18)
1
dx
x x
+¥
0
19) 1 x e dx x
+¥
2
20)
x
dx
÷ +
ò
5
1
21) ò x- 1 ln x- 1dx
2 5
ln
3
1
24) ò x- 1 ln x- 1dx ( )
5
e
dx
Bài 2: Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng
sin 1/
+
sin 6
6
1 1
1
dx
e x
+
+
1 4
3 0
1 1
x
+
1
1 34) xsin dx
x
+¥
ò
( )3
1
sin
35)
1
dx x
+¥
+
3
dx
+
10
x
-ò
Trang 8( )
4 3
Bài 3: Tùy theo tham số a , hãy xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau
2
ln 1
1
x
-+
Bài 4: Tính độ dài cung phẳng (L) có phương trình
a/ y =e x +1,0£ x£ ln2 b/ ( )
3 1 cos
t
íï =
c/ y=2 ;0x £ x £ ln3 d/ 2 1
24
y = x - x £ x £ e
Chương IV Hàm nhiều biến
Bài 1: Tìm vi phân toàn phần của hàm hai biến sau
2
x y
x y
-+ 3/ C1 f x y z( , , ) =ln(x+ x2+y2+z2).
, ,
f x y z
=
5/ C1 z x y( ), xác định bởi pt 2x+3y- 4z = e z
Bài 2: Chứng minh hàm
a/ ( ), 2
x y
x y
z x y e
+
-= thỏa mãn
x y
= + .
1/ 2
1 ,
2
x y
y
-= thỏa phương trình z 2z2, ( )x y, (0, )
c/ z x y( ), xy x
y
= + thỏa phương trình ( / /)
z xz +yz =xy.
d/ z x y( ), ln 21 2
x y
=
+ thỏa pt
Trang 9e/ z x y( ), 2 y 2 2
y a x
=
- , a≠0, thỏa phương trình
2
a
f/ Cho hàm ẩn z x y xác định bởi phương trình ( ),
2x - y +3z +4xz- 5yz x+ +14= Tính 0 z x/(- 1,2 ;) (z y/ - 1,2) biết z -( 1,2) =1. g/ Cho hàm ẩnz=z x y( ), xác định bởi pt ( ) 2 xz
x y z xy
y
+ + = Tính các đhr z z x/, y/
k/ Cho hàm ẩn z =z x y( ), xác định bởi pt x2+3y2+2z2- xz+3yz+5xy+11 0= Tính z x/(2, 3 ;- ) (z y/ 2, 3- ) biết z(2, 3- ) =4.
h/ Cho hàm ẩnz =z x y( ), xác định bởi pt xyze z xyz1 1
-= Tính các đhr z z x/, y/
Bài 3:
a/ Cho f x y z( , , ) =xyz+(x y e+ ) y Tính gradf Muuuur ( )0 và ( )0
f M l
¶
¶r Biết M0(1,0,2) và
l
r
là vec tơ dơn vị của vec tơ a =r (4,7,4)
b/ Cho f x y z( , , ) =xy2+3x z2 - 2yz và điểm M -0( 1,2,1) Tính đạo hàm theo hướng ( )0
f
M
l
¶
¶r , biết lr là vec tơ đơn vị của gradf Muuuur ( )0
Bài 4: Tìm cực trị của hàm hai biến sau
1) z x y, 2 x y 6 x y 3; 2) z x y, 2x y ln y ;
x y
+
3) z x y , = ex y- + - x + 2 ; 4) y z x y , = x y - 1 - x y - 1 ;
x y
7) z x y, x 3xy 15x 12y 2010; 8) z x y, xy ;
x y
9) z x y, =x - 3x y+4 y - y - y+1 ; 10) z x y, =y x y- - x+9y- 1;
11) z x y, =x +y - 3x- 3y+1; 12) z x y, = x +4 y + -3 2 2y x +3 ;
13) z x y, =x y- x- 1y - xy+3; 14) z x y, = x - 12x y +y;
Trang 10Bài 5: Tìm cực trị của
a/ z x y( ), = -1 2x y- với điều kiên 2 2 1
b/ z x y( ), = +2 3x- 2y với điều kiên 3x2+2y2 = 1
c/ z x y( ), =x2+y2+xy- 2(x y+ ) với điều kiên x y+ - 4= 0
d/ f x y z( , , ) =4x+7y- 4z+ với điều kiên 1 x2+y2+ -z2 16= 0
e/ f x y z( , , ) = +x 2y+3z với điều kiên x2+y2+3z2 = 1
f/ z x y( ), =2x2- 3y với điều kiên 8x+12y2+ = 1 0
g/ z x y( ), =2x- 3y+5 với điều kiên 2x2+3y2- 5= 0
k/ Tìm tất cả các điểm dừng của hàm hai biến
a) z x y, =e- x+y 3x - 8y b) z x y, =xy 4- x- y
Chương V Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học
Bài 1:
1 Trong mặt phẳng cho đường cong (C) có phương trình ( ) (2 )2 2
x a- + -y b =R Cmr
độ cong của (C) tại mọi điểm M Î (C) là một hằng số tỷ lệ nghịch với bán kính R.
2 Trong không gian ¡ , cho đường xoắn ốc (L) có pt 3 x =Rcos ;w t y =Rsinw t;
,
z = t Î ¡ Chứng minh rằng độ cong tại mọi điểm thuộc (L) là một hằng số t
3 Cho đường tròn (T) có pt ( ) (2 )2
2
x a- + -y b =R Chứng minh rằng tiếp tuyến của (T) tại điểm M x y có phương trình 0( 0, 0) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
x - a x a- + y - b y b- =R .
4 Cho elip (E) có pt
a +b = Chứng minh rằng tiếp tuyến của (E) tại điểm
0 0, 0
M x y có phương trình 0 0
x x y y
a + b =
5 Trong không gian cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2 =R2 Chứng minh rằng tiếp diện của (S) tại M x y z0( 0, ,0 0) có pt 2
x x y y z z+ + =R
Trang 116 Cho mặt cầu (S) có phương trình
a +b +c = Chứng minh rằng tiếp diện của
(S) tại M x y z( 0, ,0 0) có phương trình 0 0 0
x x y y z z
a + b + c =
Bài 2:
a/ Cho (L) có pt ( )2
x- y + x y- - = Tính độ cong của (L) tại M( )2,1 . b/ Cho (L) có pt x2+2y2 =x y( + Tính độ cong của (L) tại (2; 1)4) M
-c/ Tính độ cong của elip (E): 2 2 1
+ = tại các đỉnh thuộc trục nhỏ của (E)
d/ Tính độ cong của (L) có pt 2 2 ( 1)
x + y - xy e+ - = tại điểm M ( )1,2 Î ( )L .
e/ Cho elip (E) có pt x22 y22 1(b a 0)
a +b = > > Tính độ cong của (E) tại điểm
M x y Î E tùy ý Từ đó tìm điểm N Î ( )E sao cho độ cong C N nhỏ nhất.( )
f/ Tìm độ cong của (L) có pt (5 1 arcsin)
1
x
x
+ tại điểm M( )1;p
g/ Tìm độ cong của (L) có pt ( )2
2x y+ +2x y- + = tại 4 0 M -( 1;2) .
h/ Tính độ cong của đường cong (L) có pt x=te y t- 1; =t z2; =te2 1t-
k/ Cho (L) có pt
2
x y
ìï + = ïïí
ï = + ïïî Tính độ cong của (L) tại M (- 1,2 2,3) Î ( )L .
l/ Cho (L) có pt
3
x y
ìï + = ïïí
ï = + ïïî Tìm độ cong của (L) tại M (1, 3,4) Î ( )L .
Bài 3:
1/ Viết phương trình tiếp tuyến và phương trình pháp diện của đường cong trong không
gian cho bởi pt tham số sau tại điểm M ứng với t = M 3
t
p
Trang 12b/ Cho đường cong (L) có phương trình
3
ìï + = ïïí
ï = + ïïî Viết phương trình tiếp tuyến của (L) tại M (1, 3,4) Î ( )L .
c/ Viết phương trình tiếp diện và phương trình pháp tuyến của mặt cong (S) trong không gian có phương trình (2x y z- + +1)e x- 2y+ 4z- 3= tại 0 M(2,3,1) ( )Î S .
d/ Viết phương trình tiếp diện và pt pháp tuyến của mặt cong (S) trong không gian có phương trình
3 2
0
x y z
e
z
-
-+ =
- - + tại M (4,2, 1- ) ( )Î S .
e/ Viết phương trình tiếp tuyến và phương trình pháp diện của đường cong trong không
gian có phương trình sau tại điểm M ứng với t = M 2
6
t
p
ç ÷
f/ Viết phương trình tiếp tuyến và phương trình pháp diện tại điểm M(2;3;1) của đường
cong (L) có phương trình x =e t- 1+1;y= +t2 2 ;t z=te t- 1
g/ Viết phương trình tiếp tuyến và phương trình pháp diện của đường cong có pt: sin2( ); cos ; 2
2
t
e
p
- tại điểm ứng với t = 3 k/ Viết phương trình pháp tuyến và phương trình tiep diện tại điểm M (0;1;1) của mặt
cong (S) có phương trình: y eéêë2x - ln(y x+ )ùúû+3z2 =4.
m/ Viết phương trình tiếp diện và phương trình pháp của mặt cong (S) có phương trình: arctan
y z
p
æ- ö÷
ç + è ø tại điểm M (2, 1,3- ) ( )Î S .
n/ Viết pt tiếp diện và pt pháp tuyến tại điểm M(1;1;1) của mặt cong (S) có pt :
x y2 +4z x2 - ln(x y z+ - ) =5