Tài liệu Đại số cơ sở pptx

Ví dụ 1: Chứng minh rằng tập Mn các ma trận thực vuông cấp n là một vành với hai phép toán cộng và nhân ma trận.. Theo đại số tuyến tính ta biết phép nhân các ma trận có tính chất kết hợ

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005

Phiên bản đã chỉnh sửa

TS Trần Huyên Ngày 18 tháng 3 năm 2005

Bài 8 Các Bài Toán Kiểm Tra Vành

Và Vành Con

Cũng như kỹ năng kiểm tra nhóm, kỹ năng kiểm tra vành là một trong những kỹ năng cơ bản luôn có mặt trong các đề thi đại số cơ sở

Trên cơ sở kế thừa các tri thức về nhóm ta có thể định nghĩa khái niệm vành như sau :

Định nghĩa : Vành là một nhóm cộng giao hoán (X; +) được trang bị thêm một phép toán nhân có tính chât kết hợp:

∀x, y, z ∈ X : (xy)z = x(yz)

và có tính chất phân phối đối với phép cộng

∀x, y, z ∈ X : x(y + z) = xy + xz và (y + z)x = yx + zx

Như vậy :

Vành là một tập X 6= ø trên đó đã xác định được hai phép toán hai ngôi : một kí hiệu theo lối cộng, còn lại kí hiệu theo lối nhân thỏa :

1 (X; +) là nhóm giao hoán

2 Phép nhân trong X có tính chất kết hợp

3 Phép nhân phân phối đối với phép cộng

Muốn kiểm tra một tập X cho trước với các phép toán đã cho là một vành, hiển nhiên là chúng ta sẽ phải lần lượt kiểm tra các điều kiện định nghĩa đã đưa ra ở trên

1 Ví dụ 1:

Chứng minh rằng tập Mn các ma trận thực vuông cấp n là một vành với hai phép toán cộng và nhân ma trận

Giải Hiển nhiên tổng hay tích của hai ma trận thực vuông cấp n lại là một ma trận thực vuông cấp n nên các phép cộng, nhân ma trận là các phép toán hai ngôi trên Mn Theo

lý thuyết nhóm ta đã có (Mn;+) là nhóm cộng giao hoán Theo đại số tuyến tính ta biết phép nhân các ma trận có tính chất kết hợp và có tính chất phân phối đối với phép cộng

ma trận Vậy theo định nghĩa : (Mn ; + ; ) là một vành

Nhận xét :

Khi kiểm tra vành X đòi hỏi trước hết phải kiểm tra (X;+) là nhóm giao hoán, nếu điều

đó đã được kiểm tra trong phần nhóm thì ta có thể không cần phải kiểm tra lại mà chỉ nhắc rằng điều đó đã được kiểm tra trước đây trong lí thuyết nhóm rồi Cũng như ở bên nhóm nếu như một đòi hỏi nào đó trong định nghĩa vành (chẳng hạn tính chất kết hợp của phép nhân ) nếu đã được đảm bảo bởi kết quả của một chuyên ngành nào đó (chẳng hạn đại số tuyến tính, số học, ) thì ta cũng chỉ cần nói lại rằng điều đó đã có theo chuyên ngành đó mà không cần viết biểu thức kiểm tra chi tiết

Ta nhận xét rằng phép cộng trong vành đã có đủ các tính chất thông dụng : kết hợp, giao hoán, có đơn vị, tồn tại phần tử đối cho mỗi phần tử; trong lúc đó phép nhân chỉ đòi hỏi thêm duy nhất tính chất kết hợp Tức là có thể bổ sung thêm cho phép nhân các tính chất thông dụng còn lại

Khi phép nhân trong vành X có tính chất giao hoán ta gọi vành X là vành giao hoán Khi phép nhân trong vành X có thêm đơn vị (kí hiệu 1 hay e) ta gọi vành X là vành có đơn vị

Vành (Mn; +; ) kiểm tra ở ví dụ 1 là vành có đơn vị (đơn vị của Mn là ma trận đơn vị E) tuy nhiên không là vành giao hoán

2 Ví dụ 2 :

Cho X là vành, Z là vành các số nguyên Trên tập

X × Z = {(x, n) : x ∈ X, n ∈ Z}

ta xác định các phép toán :

(x1, n1) + (x2, n2) = (x1+ x2, n1+ n2) (x1, n1)(x2, n2) = (x1x2+ n1x2+ n2x1, n1n2)

Chứng minh X × Z là vành có đơn vị Vành này có giao hoán không Với diều kiện nào cho X thì X × Z giao hoán?

Giải :

Theo cách xác định phép toán cộng trong X × Z (là phép cộng theo từng thành phần !)

ta thấy (X × Z, +) là tích Decac của hai nhóm cộng giao hoán (X, +) và (Z, +) nên theo

lí thuyết nhóm ta có (X × Z, +) là nhóm cộng giao hoán Vậy ta còn phải kiểm tra phép nhân kết hợp, và phép nhân phân phối với phép cộng Thật vậy :

∀(x1, n1), (x2, n2), (x3, n3) ∈ X × Z :

• [(x1, n1)(x2, n2)](x3, n3) = (x1x2+ n1x2+ n2x1, n1n2)(x3, n3)

= (x1x2x3+ n1x2x3+ n2x1x3+ x1x2n3+ n3n1x2+ n3n2x1+ n1n2x3, n1n2n3)

= (x1, n1)(x2x3+ n2x3+ n3x2, n2n3)

= (x1, n1)[(x2, n2)(x3, n3)] (1)

• (x1, n1)[(x2, n2) + (x3, n3)] = (x1, n1)[(x2+ x3, n2+ n3)]

= (x1x2+ x1x3+ n1x2+ n1x3 + +n2x1+ n3x1, n1n2+ n1n3)

= (x1x2+ n1x2+ n2x1, n1n2) + (x1x3+ n1x3+ n3x1, n1n3)

= (x1, n1)(x2, n2) + (x1, n1)(x3, n3) (2)

• [(x2, n2) + (x3, n3)](x1, n1) = [(x2+ x3, n2+ n3)(x1, n1)]

= (x2x1+ x3x1+ n1x2+ n1x3 + n2x1+ n3x1, n2n1+ n3n1)

= (x2x1+ n1x2+ n2x1, n2n1) + (x3x1+ n1x3+ n3x1, n3n1)

= (x2, n2)(x1, n1) + (x3, n3)(x1, n1) (3)

Các hệ thức (1) cho ta phép nhân kết hợp, còn các hệ thức (2) và (3) cho ta tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng Vậy (X × Z; +, ) là một vành

Đơn vị trong X là cặp (0,1) vì

∀(x, n) ∈ X × Z :

(x, n)(0, 1) = (x.0 + n.0 + 1.x, n.1) = (x, n)

(0, 1)(x, n) = (0.x + 1.x + n.0, 1.n) = (x, n)

Nếu vành X không giao hoán, tức tồn tại x, y ∈ X mà xy 6= yx Khi đó xét hai cặp (x, 1), (y, 1) ∈ X × Z ta có:

(x, 1)(y, 1) = (xy + x + y, 1) 6= (yx + x + y, 1) = (y, 1)(x, 1) tức vành X × Z không giao hoán

Nếu vành X giao hoán, khi đó

∀(x1, n1), (x2, n2) ∈ X × Z ta có :

(x1, n1)(x2, n2) = (x1x2+ n1x2+ n2x1, n1n2)

= (x2x1 + n2x1+ n1x2, n2n1)

= (x2, n2)(x1, n1) tức X × Z là vành giao hoán

Như vậy X × Z là vành giao hoán ⇔ X là vành giao hoán

Khái niệm vành con của một vành cho trước X dược định nghĩa một cách tương tự khái niệm nhóm con của một nhóm Đó là tập ø 6= A ⊂ X, ổn định đối với hai phép toán cộng

và nhân trong X, đồng thời A cùng với hai phép toán cảm sinh tự nó là một vành Khi

đó ta viết : A ⊂vX Tuy nhiên, cũng như trong lý thuyết nhóm, để kiểm tra một vành con

ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn về vành con được phát biểu như sau :

Tiêu chuẩn vành con : Cho vành X, bộ phận A 6= ø của X là một vành con của X

⇔ ∀x, y ∈ A thì x − y ∈ A và xy ∈ A Nói vắn tắt ø 6= A ⊂vX ⇔ A ổn định đối với phép trừ và phép nhân

3 Ví dụ 3 :

cho X là vành Ta gọi tâm của vành X, tập

Z(X) = {a ∈ X : ax = xa, ∀x ∈ X}

(a) Chứng minh Z(X) là vành con của vành X

(b) Tìm Z(Mn) với Mn là vành các ma trận thực vuông cấp m.

Giải : (a) Ta kiểm tra A ⊂vX theo tiêu chuẩn vành con

Thật vây, ∀a, b ∈ Z(X) ⇒ ax = xa

bx = xb ∀x ∈ X

Do đó :

(a − b)x = ax − bx = xa − xb = x(a − b)

(ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = x(ab)

Vậy :

a − b ∈ Z(X) và ab ∈ Z(X) Đó là điều phải chứng minh

(b) ∀i, j ∈ {1, 2, , n} gọi Eij là ma trận mà các phần tử trên đường chéo chính và tại

vị trí ij là bằng 1, còn các phần tử còn lại là bằng 0 Nếu ma trận A ⊂ Z(Mn) thì

AEij = EijA, ∀i, j(i 6= j) Tức nếu A = (akl)m×n thì :

AEij =













a1j + a1i aij + aii anj+ ani













← dòng i

↑

cộtj

=





ai1+ aj1 aij + ajj ain+ ajn



← dòng i

↑

cộtj

= EijA (∗) (Thật ra AEij có được từ A bằng cách cộng cột i vào cột j và EijA có được là từ A bằng cách cộng dòng j vào dòng i) Vì hai ma trận bằng nhau ⇔ các phần tử tương ứng bằng nhau nên từ hệ thức (*) ta rút ra :aki = 0 nếu k 6= i và aii= ajj

Các kết luận trên là đúng cho mọi cặp ij : i 6= j Từ đó suy ra : aii = a ∈ R, ∀i và

aij = 0 nếu i 6= j Vậy : A = aE

Hiển nhiên rằng mọi ma trận aE, a ∈ R đều giao hoán được với bất kì ma trận

X ∈ Mn Vậy :

Z(Mn) = {aE : a ∈ R}

Chú ý : Cũng tương tự như trong nhóm, đôi khi để kiểm tra một tập hợp X 6= ø với hai phép toán đã cho là một vành trong trường hợp tập X là bộ phận của một vành đã biết và phép toán trên X chính là các phép toán cảm sinh, thay cho việc kiểm tra trực tiếp ta có thể kiểm tra X là vành con của vành đã biết theo tiêu chuẩn vành con

4 Ví dụ 4 :

Một ma trận vuông A = (aij)m×n gọi là ma trận tam giác nếu aij = 0 khi i > j Chứng minh rằng tập MT

n các ma trận tam giác lập thành một vành đối với phép cộng và nhân

ma trận

Giải :

Theo chú ý trên ta chỉ việc chứng minh MT

n ⊂vMn hiển nhiên MnT 6= ø vì E ∈ MT

n

∀A = (aij), B = (bij) ∈ MT

n :

A − B = C = (cij) với cij = aij + bij

Nếu i > j thì aij = 0 = bij ⇒ cij = 0 tức C là ma trận tam giác

Vậy : A − B ∈ MT

n

AB = C = (cij) với cij = ai1b1j + ai2b2j+ + ainbnj

Nếu i > j thì cij = [ai1b1j + + aijbjj] + [a1j+1bj+1j+ + a1nbnj]

với ai1 = = aij = 0 và bj+1j = = bnj = 0 ⇒ cij = 0 tức A.B ∈ MT

n Vậy theo tiêu chuẩn vành con : MT

n ⊂vMn tức MT

n là vành

Bài Tập

1 Cho X là một nhóm cộng giao hoán Gọi End(X) lạ tập tất cả các tự đồng cấu f : X → X

; trong End(X) ta định nghĩa các phép toán sau

Phép cộng : ∀f, g ∈ End(X) thì f + g : X → X mà ∀x ∈ X : (f + g)(x) = f (x) + g(x) Phép nhân : f g : X → X mà ∀x ∈ X : f g(x) = f [g(x)]

(a) Chứng minh End(X) là vành có đơn vị với hai phép cộng và nhân ở trên

(b) Cho A là nhóm con của X Gọi N(A) tập tất cả các đồng cấu f ∈ End(X) mà

f (A) = 0 Chứng minh N (A) ⊂ End(X)

(c) Với mỗi số nguyên n ∈ Z ta xác định ánh xạ

ϕn : X → X mà ∀x ∈ X : ϕn(x) = nx

Chứng minh rằng ϕn là tự đồng cấu và H = {ϕn: n ∈ Z} là vành con giao hoán có đơn vị của End(X) Có thể khẳng định rằng H = Z(End(X)) không, trong đó vành bên phải đẳng thức là tâm của vành End(X)

2 Cho các tập ma trận vuông cấp n sau :

(a) Mc

n= {A = (aij)m×n : ai1= 0, ∀i = 1, 2, , n}

(b) MF

n = {A = (aij)m×n : ai1= 0 = a1j, ∀i, j = 1, 2, , n}

Chứng minh rằng các tập hợp trên đều là vành với hai phép toán cộng và nhân các ma trận

3 CHo Z là nhóm cộng các số nguyên Chứng minh vành các tự đồng cấu của Z, End(Z),

là một vành giao hoán có đơn vị, có tính chất là tích hai phần tử khác 0 là khác 0

4 Cho X = Z × Z là tích Decac của nhóm cộng các số nguyên Z với chính nó Chứng minh vành các tự đồng cấu nhóm End(Z × Z) là vành không giao hoán Tìm tâm của End(Z × Z)