Suy ra đpcm.
Trang 1MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỔ HỢP
Bài giải
Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:
(1) Thay x=1 vào (1) ta được:
Vì (2)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (n-1) số dương, ta có:
(3)
Từ (2) và (3) suy ra:
(4)
Dấu “=” xảy ra ( trái gt)
Suy ra dấu “=” ở (4) không xảy ra Suy ra đpcm
Bài giải
Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:
(1)
Thay x = i và n = 2009 vào (1) ta được:
(2) Mặt khác, theo công thức Moavrơ:
(3)
Từ (2) và (3) suy ra
-1
.
-1
n n
n
-1
.
-1
n n
n
Bài 1
Bài 2
(1 x )n Cn C xn C xn C xn C xn Cn n xn C xn n n
(1 x )n Cn C xn C xn C xn C xn Cn n xn C xn n n
(1 i ) C C i C i C i C i C i C i
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
(1 i ) ( C C C - C ) - ( i C - C C )
1004
2
S
n n 2n
Trang 2Bài giải
Với n chẵn, ta có
Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:
(1)
Thay x = vào (1) ta được:
(2)
Mặt khác:
(3)
Từ (2) và (3) suy ra
(đpcm)
Bài giải
Đặt S =
Ta xét 2 trường hợp:
+) Nếu n chẵn, giả sử n = 2m; khi đó
Bài 3
( 1)
n n
n
(1 x )n Cn C xn C xn C xn C xn Cn n xn C xn n n
( tan ) ( tan )
n
- (-1) tan (-1) tan )
n
(1 tan ) ( tan tan (-1) tan )
( tan tan - (-1) tan )
n
n
tan
(1 tan ) (cos sin ) (cos sin )
1
cos
n
n
n
n
x
n
C C tan x +C tan x +(-1) C tan x cosn
cos
nx x
Bài 4
S
2 - 2( - ) - 2 2
-0
n k n n k n k k n
0 k n
Trang 3(1)
Từ (*) và (1) suy ra S = 0
+) Nếu n lẻ, giả sử n = 2m+1; khi đó
(2)
Từ (*) và (2) suy ra S = 0
Vậy S = 0 với mọi n
Bài giải
Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:
(1) Nhân 2 vế của đẳng thức (1) cho x0, ta được:
(2) Lấy đạo hàm 2 vế của (2), ta có:
(3)
Từ (3) thay x=2, ta có:
Vậy
S
S
1
S
Bài 5
(1 x )n Cn C x C xn n C xn C xn n n C xn n n
(1 )n (1 )n n 2 n 3 n 4 n n n n ( 1) n n n
xn x x C C x C x C x nC x n C x
(1 x ) (n nx x 1) Cn 2 C xn 3 C xn 4 C xn nC xn n n ( n 1) C xn n n
2 3.2 2 4 2n n ( 1).2n n (1 2)n (2 2 1)
2 3.2 2 4 2n n ( 1).2n n (2 3).3n
1
(2 3).3n
S n
Trang 4BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài giải
(1)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: (3)
Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có: (4)
(5)
Nhân vế tương ứng các BĐT cùng chiều (3), (4), (5), suy ra: Dấu “=” xảy ra đều Bài giải Tam giác ABC vuông tại C (đpcm) Bài 1 0 < , < 0 cos 1 4 4 4 4 B C B C Vì B C B C 0 2 0 sin sin 0 4 2 4 4 B C A B C Do B C 1 1 sin sin cos sin cos sin sin 4 4 4 4 4 2 2 2 2 A A B C B C B C B C sin ,sin 0 sin sin 2 sin sin 2 2 2 2 2 2 B C B C B C Do sin sin sin 4 2 2 A B C sin sin sin 4 2 2 C A B sin sin sin 4 2 2 B A C sin sin sin sin sin sin 4 4 4 2 2 2 A B C A B C sin sin sin 2 2 2 - -
6
ABC là tam giác
V
Bài 2
0, sin (0,1] sin sin
2 2 2
2
C
ab
2 2 1 cos 2 1 cos 2 1
1 cos( ).cos( - ) 1 cos cos( - ) 1 ( osC 0,cos( - ) 0)
2009sin 1 sin 1 sin 1
2