2 Rút gọn phân số : Ta dùng tính chất 2 để rút gọn phân số + Quy tắc rút gọn phân số : Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của nó với một ước chung của chúng ước chung này khác 1 [r]
Trang 1Chuyên đề :
Sử dụng tính chất: +) Nếu a d và b d thì ma nb d với m, n Z
+) Nếu a m thì a md d
với m Z
+)
a
b là tối giản khi (a, b) = 1
Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau.
a) 7n +10 và 5n + 7
b) 2n +3 và 4n +8
Hướng dẫn
a) Gọi (7n + 10, 5n + 7) = d ⇒ 7n + 10 ⋮ d và 5n + 7 ⋮ d
⇒ 5(7n + 10) – 7(5n + 7) = 1 ⋮ d ⇒ d = 1
Vậy 7n +10 vµ 5n + 7 nguyên tố cùng nhau
b) Gọi (2n + 3, 4n + 8) = d ⇒ 2n + 3 ⋮ d và 4n + 8 ⋮ d
⇒ (4n + 8) – 2(2n + 3) = 2 ⋮ d
Mặt khác: 2n + 3 là số lẻ ⇒ d là số lẻ ⇒ d = 1
Vậy 2n +3 vµ 4n + 8 nguyên tố cùng nhau
Bài 2: Tìm các số tự nhiên n > 0 để
19 2
n n
là phân số tối giản
Hướng dẫn
Ta có:
19
2
n
n
=
1
n
Để
19
2
n
n
tối giản thì
21 2
n tối giản
Mà 21 chia hết cho 3 và chia hết cho 7 nên n – 2 phải không chia hết cho 3 và không chia hết cho 7
⇒ n – 2 3k (kN) và n – 2 7p (pN)
⇒ n 3k + 2 (kN) và n 7p + 2 (pN)
Vậy với n 3k + 2 (kN) và n 7p + 2 (pN) thì
19 2
n n
tối giản
Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n > 0 để
n n
có thể rút gọn được
Hướng dẫn
Để
n
n
có thể rút gọn được thì 4n + 5 và 5n + 4 có ƯCLN là d > 1
⇒ 4n + 5 d và 5n + 4 d ⇒ 5(4n + 5) – 4(5n + 4) d hay 9 d
⇒ 4n + 5 3 và 5n + 4 3 ⇒ n – 1 3 ⇒ n – 1 = 3k ⇒ n = 3k + 1 (k N)
Vậy với n = 3k + 1 (kN) thì
n n
có thể rút gọn được
Trang 2Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên để
2
n n n
là số tự nhiên
Hướng dẫn
Ta có:
2
n n
n
2
n n
Vì n N nên n2 N ⇒ Để
2
n n n
là số tự nhiên thì n – 2 Ư(3)
⇒ n – 21; 3 ⇒ n3; 5
Vậy với n3; 5 thì
2
n n n
là số tự nhiên
Bài 5: Chứng tỏ rằng 30 2
1 12
n
n
là phân số tối giản
Hướng dẫn
Gọi d là ước chung của 12n + 1và 30n + 2 12n + 1 d và 30n + 2 d
5(12n +1) - 2(30n + 2) =1 d
Vậy d =1 nên 12n+1 và 30n + 2 nguyên tố cùng nhau
Do đó 30 2
1 12
n
n
là phân số tối giản
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số 4 3
193 8
n
n A
a) Có giá trị là số tự nhiên
b) Là phân số tối giản
c) Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được
Hướng dẫn
187 2
3 4
187 ) 3 4 ( 2 3 4
193 8
n n
n n
n A
a) Để A N thì 187 4n + 3 4n +3 1; 17; 11; 187
+) 4n + 3 = 1 không có n N
+) 4n + 3 = 11 n = 2
+) 4n +3 = 187 n = 46
+) 4n + 3 = 17 4n = 14 không có n N
Vậy n 2; 46
b) A là tối giản khi 187 và 4n + 3 có UCLN bằng 1
4n + 3 11k (k N) và 4n + 3 17m (m N)
4n + 3 - 11 11k (k N) và 4n + 3 - 51 17m (m N)
4(n – 2) 11k (k N) và 4(n – 12) 17m (m N)
n11k + 2 (k N) và n17m +12 (m N)
c) A rút gọn được khi n =11k + 2 hoặc n =17m +12
Vỡ 150 < n < 170 n 156; 165
Bài 7: Cho phân số A 3
1
n n
(n z; n 3)
Trang 3a) Tìm n để A có giá trị nguyên.
b) Tìm n để A là phân số tối giản
Hướng dẫn
4 1 3
4 3 3
1
n n
n n
n A
A có gá trị nguyên n-3 1; 2; 4
Vậy n4; 2; 5; 1; 7; 1
b) Muốn cho 3
1
n
n
là phân số tối giản thì ƯCLN(n+1; n-3) = 1
Ta có : (n+1; n-3) = 1 (n-3; 4) = 1 n-32 n là số chẵn
Bài 8: Cho phân số: 14 3
4 21
n
n
Chứng minh rằng phân số tối giản với mọi số nguyên
Hướng dẫn
Giả sử d = ƯCLN (21n + 4, 14n + 3)
Khi đó 21n + 4d và 14n + 3d
Suy ra 2(21n + 4) –3(14n + 3) = -1d d = 1
Vậy 14 3
4
21
n
n
là phõn số tối giản
Bài 9: Cho biểu thức 2 2 1
1 2 2 3
2 3
a a a
a a A
a) Rút gọn biểu thức
b) Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a
là một phân số tối giản
Hướng dẫn
a) Ta có: 2 2 1
1 2 2 3
2 3
a a a
a a A
1 )
1 )(
1 (
) 1 )(
1 (
2
2 2
2
a a
a a a
a a
a a a
(a ≠ -1) b) Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1
Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác: 2 = [a2+a +1 – (a2 + a – 1)] d
Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau
Vậy biểu thức A là phân số tối giản
* * * * * * * * * * * * * * * * * * *
CÁC CHUYÊN ĐỀ VỀ PHÂN SỐ A) Tóm tắt kiến thức cần nắm:
Chuyên đề 1: Khái niệm phân số
+ Ta gọi
a
b với a ; b ; b 0 là một phân số + Chú ý : số nguyên a cũng là một phân số : a = 1
a
Trang 4Bài tập áp dụng: Tìm số nguyên n sao cho phân số
2 15 1
n n
là số nguyên
Chuyên đề 2: Phân số bằng nhau
+ Hai phân số
a c
b d nếu a.d = b.c
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm số nguyên x biết
a)
5
12 72
x
b)
x
Bài 2: Tìm các số nguyên x ; y ; z biết
y
Bài 3* : Tìm các số nguyên x ; y biết
x y
và x + y = 20 Bài 4*: Có hay không số nguyên n để các phân số
;
n n
đồng thời nhận giá trị nguyên
Chuyên đề 3: Tính chất cơ bản của phân số - Rút gọn phân số
1) Tính chất cơ bản của phân số
+ Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì được phân số mới bằng phân số đã cho
.
a a m
b b m ( với m ; m 0 ) + Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số với một ước chung của chúng thì đươc một phân số mới bằng phân số đã cho
: :
a a n
b b n ( với n ƯC(a ; b ) ) 2) Rút gọn phân số : Ta dùng tính chất 2 để rút gọn phân số
+ Quy tắc rút gọn phân số : Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của
nó với một ước chung của chúng ( ước chung này khác 1 và – 1)
+ Phân số tối giản là phân số không còn rút gọn được nữa Ưóc chung của tử
và mẫu chỉ có thể là 1 hoặc – 1
+ Muốn rút gọn một phân số đến tối giản ta chia cả tử và mẫu của chúng với ước chung lớn nhất của chúng
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng tỏ rằng các phân số sau đây bằng nhau
a)
23 2323 232323
99 9999 999999 b)
9909 29727 39636
8808 26424 35232
Bài 2: Tìm phân số bằng phân số
11
15 biết tổng của tử và mẫu của nó bằng
2002
Bài 3: Tìm một phân số bằng phân số
2 3
sao cho a) Tử của nó bằng 8 ; bằng 24 ; bằng 14
Trang 5b) Mẫu của nó bằng 9 ; bằng 21 ; bằng 60 Bài 4: Tìm phân số tối giản
a
b biết a) Cộng tử với 4 , cộng mẫu với 10 thì giá trị phân số không đổi b) Cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu của phân số thì được phân
số mới bằng hai lần phân số đã cho
B) Bài tập tổng hợp Bài 1: Cho biểu thức A =
4 1
n
( với n Z ) a) Số nguyên n phải có điều kiện gì để A là phân số
b) Tìm các số nguyên n để A có giá trị nguyên
Bài 2: Cho phân số B = 4
n
n ( với n Z ) a) Tìm số nguyên n để B là một phân số
b) Tìm tất cả các số nguyên n để B có giá trị nguyên
Bài 3: Chứng minh rằng các phân số sau có giá trị là số tự nhiên
a)
2011
3
b)
2010
9
Bài 4: Tìm các số nguyên x ; y biết
a)
15
x
2 77
y
Bài 5: Tìm các số nguyên x ; y biết
a)
4 3
x
y
2 9
y
x
Bài 6: Tìm các số nguyên x ; y biết
a)
2 5
x
x y
Bài 7: Lập các phân số bằng nhau từ 4 số - 6 ; - 2 ; 3 và 9
Bài 8: Rút gọn các phân số sau
a)
1999 9
9999 95 ( có 10 chữ số 9 ở tử và 10 chữ số 9 ở mẫu )
b)
121212
3.7.13.37.39 10101
505050 70707
Bài 9*: Tìm các phân số
a
b có giá trị bằng a)
36
45 và BCNN (a ; b ) = 300 b)
21
35 và ƯCLN( a;b ) = 30 c)
15
35 biết ƯCLN( a ; b ) x BCNN (a ; b ) = 3549
Bài 10: Cho phân số
1 2 3 9
11 12 13 19
a) Rút gọn phân số đó
Trang 6b) Hãy xóa đi một số hạng ở tử và xóa đi một số hạng ở mẫu để được phân
số có giá
trị bằng phân số đã cho
Bài 11*:
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số
21 4
14 3
n n
là phân số tối giản
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số
3 12
n n
là phân số tối giản c) Tìm các số tự nhiên n để phân số
21 3
n n
rút gọn được
Bài 12*Cho p =
4
n n
( với n Z ) Tìm các giá trị của n để p là số nguyên tố
Bài 13: Tìm các số nguyên n để các phân số sau nhận giá trị nguyên
a)
12
7
n
c)
3
n n
Bài 14*: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau tối giản
a)
n
n
n n
n n
Bài 15: Chứng minh rằng mọi số phân số có dạng :
a)
1
n
n
( với n là số tụ nhiên ) b)
n
n
( với n là số tụ nhiên ) đều là phân số tối giản
Bài 16: Rút gọn cá phân số sau:
a)
22
36
b)
147
143 363
Bài 17: Rút gọn cá phân số sau:
a)
4.7.22
6
3 2
9.6 9.2 18
Bài 18: Tìm các số nguyên x ; y biết
21 54
y x
Bài 19*: Tìm số tự nhiên n sao cho phân số A =
8 193
n n
a) Có giá trị là số tự nhiên
b) Là phân số tối giản
c) Với giá trị nào của n ( 150 n 170 ) thì phân số A rút gọn được
Bài 20* : Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho các phân số sau đều là phân số tối
giản
; ; ; ;
n n n n
Bài 21 : So sánh các phân số
ab
cd và
abab cdcd