Chiều goldie mạnh của môđun và ứng dụng

MộtR- môđunM có chiều Goldienđược viết là G.dimM = n nếu có mộtmôđun con cốt yếu V ≤eM là một tổng trực tiếp của n môđun con đều.. Người ta gọi một R- môđun M có chiều Goldie hữu hạn chi

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG

Nghệ An - 2016

MỤC LỤC

1.1 Hạng tử trực tiếp 7

1.2 Môđun con cốt yếu và môđun đều 7

1.3 Môđun nội xạ 12

2 CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MÔĐUN 16 2.1 Chiều Goldie của môđun 16

2.2 Một số tính chất của chiều Goldie hữu hạn 18

2.3 Chiều Goldie mạnh của môđun 21

2.4 Đặc trưng của vành bởi chiều Goldie mạnh 25

MỞ ĐẦU

Trong suốt luận văn này, tác giả luôn giả thiết vành là kết hợp có đơn vị

và tất cả các môđun là môđun phải unita Cho một tập hợp con X của vành

R, linh hóa tử trái của X trong R là: l(X) = {x ∈ R : rx = 0, ∀x ∈ X} Lấybất kỳ a ∈ R, chúng ta viết l(a) thay cho l(a) Các linh hóa tử phải đượcđịnh nghĩa tương tự

MộtR- môđunM có chiều Goldien(được viết là G.dimM = n) nếu có mộtmôđun con cốt yếu V ≤eM là một tổng trực tiếp của n môđun con đều Mặtkhác, nếu không có số nguyênn tồn tại, người ta viết G.dimM = +∞ Người

ta gọi một R- môđun M có chiều Goldie hữu hạn chiều nếu G.dimM < +∞.Vành R được gọi là có hữu hạn chiều phải nếu nó hữu hạn chiều như làmột R- môđun phải Các vành có chiều trái được định nghĩa tương tự Một

R- môđun M có chiều Goldie mạnh n (được viết là SG.dim M = n) nếusup{G dim(M/N )|N ≤ M } = n

Mục đích của luận văn là dựa vào bài báo "Strongly Goldie dimension" củaL.Shen and J.L Chen (2005) xem [5] để tìm hiểu và trình bày chiều Goldie

và chiều Goldie mạnh của môđun

Cấu trúc của luận văn được chia thành hai chương :

– Chương 1 Trình bày một số kiến thức cơ bản chuẩn bị Các khái niệmđược đề cập chủ yếu trong chương này là môđun con cốt yếu, môđun đều,môđun nội xạ, một số tính chất, các mệnh đề, định lí, bổ đề

– Chương 2 Trên cơ sở xem xét về môđun con cốt yếu, môđun đều, môđunnội xạ tiếp tục trình bày về chiều Goldie của môđun và chiều Goldie mạnh

của môđun, đặc trưng vành bởi chiều Golde mạnh, trình bày lại các chứngminh định lí, mệnh đề và hệ quả có liên quan.

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sựgợi ý và hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này, tácgiả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy giáo hướng dẫn,người đã trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, chỉ bảo nghiêm túc trong suốtquá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Trong quá trình học tập và viết luận văn, tác giả cũng nhận được sự giúp

đỡ tận tình của các thầy cô Bộ môn Đại số Trường Đại học Vinh

Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Sư phạm Toán học,Phòng đào tạo Sau đại học của Trường Đại học Vinh và các bạn học viêncao học Toán khoá 22 tại Trường Đại học Vinh đã hỗ trợ giúp đỡ và tạo điềukiện để tác giả hoàn thành luận văn

Nghệ An, tháng 06 năm 2016

Tác giả

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

A ≤ M : A là môđun con của môđun M

A≤eM : A là môđun con cốt yếu của môđun M

A ⊆ M : A là tập hợp con của tập M

Hom (N, M ): tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M

M /N : môđun thương của M trên N

,→: phép nhúng

φ|A: thu hẹp của φ trên A

G.dim M : Chiều Goldie của môđun M

SG.dim M : Chiều Goldie mạnh của môđun M

Z:tập các số nguyên

Q :tập các số hữu tỷ

 : kết thúc một chứng minh

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong luận văn này, ta xét vành R là vành kết hợp có phần tử đơn vị,

kí hiệu là 1, và tất cả các môđun xét trên vành R đều là R – môđun phảiunita (nếu không nói gì thêm)

1.1 Hạng tử trực tiếp

1.1.1 Định nghĩa Cho môđun M , môđun con A của M (A ≤ M ) đượcgọi là hạng tử trực tiếp của M đều tồn tại môđun con B của M (B ≤ M )

để A ⊕ B = M , ký hiệu là A ≤ M

1.1.2 Tính chất Nếu f : M −→ M là tự đồng cấu của môđun M và

f2 = f thì Imf là hạng tử trực tiếp của M , cụ thể hơn M = Imf ⊕ kerf

1.2 Môđun con cốt yếu và môđun đều

1.2.1 Định nghĩa Cho M là R–môđun phải và A là môđun con của M

1 Môđun con A được gọi là môđun con cốt yếu trong M, kí hiệu A ≤e M ,nếu với mọi môđun con X ≤ M, X 6= 0 thì A ∩ X 6= 0 Hay nói cách khácmôđun con A của M được gọi là môđun con cốt yếu nếu với mọi môđun con

1.2.3 Ví dụ

4 Mọi môđun con khác không của môđun đều là đều.

1.2.4 Mệnh đề Cho M là R-môđun Khi đó ta có:

(1) A≤eM khi và chỉ khi A ∩ xR 6= 0, ∀x ∈ M, x 6= 0

(2) Cho A ≤ B ≤ M thì A≤eM khi và chỉ khi A≤eB và B≤eM

(5) Nếuf : M → N là đồng cấu môđun và A≤eN thì f−1(A)≤eM

(6) Cho M = P

i∈I

Mi, A = ⊕

i∈I

Ai và Ai, Mi là môđun con của M, trong đó

Ai≤eMi, ∀i ∈ I Khi đó tồn tại ⊕

Vậy X ∩ A 6= 0 hay A≤eM

(2) Giả sử A≤eM Lấy 0 6= X ≤ B ⇒ X ≤ M ⇒ X ∩ A 6= 0 (doA≤eM )suy ra A≤eB

Lấy 0 6= X ≤ M ⇒ X ∩ A 6= 0 ⇒ X ∩ B 6= 0 (vì A ≤ B) suy ra B≤eM Ngược lại, giả sử A≤eM Lấy 0 6= X ≤ M và B≤eM ⇒ X ∩ B 6= 0.(X ∩ B) ≤ B và A≤eB(X ∩ B) ∩ A 6= 0 ⇒ A≤eM

Ta có (X ⊕ A)/A ≤ M/A.

Do B/A≤eM/A nên ((X ⊕ A)/A) ∩ (B/A) 6= 0

Suy ra tồn tại x + a + A = b + A ⇒ b + a0(a0 ∈ A) Vô lý

Vậy f−1(A)≤eM

(6) Trước hết ta chứng minh cho trường hợp I hữu hạn Dùng quy nạp,xét với n = 2, ta có: M = M 1 + M 2, A1 ≤e M1, A2≤eM2 tồn tại A1 ⊕ A2.Theo (3) ta có (A1∩ A2)≤e(M1∩ M2) hay 0≤e(M1∩ M2) ⇒ M1∩ M2 = 0

Do đó tồn tại tổng M1 ⊕ M2

Xét phép chiếu:

Q

1 : M1 ⊕ M2 →M1Q

Mi ta có thể biểu diễn x = P Xi, i ∈ F với F hữu hạn thuộc

I, theo trường hợp trên thì tồn tại ⊕

1 Môđun con N được gọi là đóng trong M nếu N không có mở rộng cốtyếu thực sự nào trong M Nói khác đi N gọi là đóng trong M nếu với mọimôđun con K của M mà N ≤eK thì K = N (tức là nếu N ≤eK ≤ M ⇒

K = N )

2 Môđun con K của M được gọi là bao đóng của môđun con N trong Mnếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K

3 Môđun con K của M được gọi là phần bù của môđun B trong M nếu K

là môđun con tối đại trong số những môđun con của M có giao với B bằngkhông, và K được gọi là phần bù trong M nếu K là phần bù của môđun connào đó của M

1.2.6 Mệnh đề Bao đóng của một môđun con N trong M luôn tồn tại.1.2.7 Hệ quả

i) Nếu N là môđun đóng trong M thì hạng tử trực tiếp của N cũng đóngtrong M

ii) Nếu N là môđun đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì N cũng đóngtrong M

iii) Nếu N là môđun đóng trong X và X đóng trong M thì N là môđun đóngtrong M

1.2.8 Bổ đề Cho ϕ : N → M là đẳng cấu môđun trên R Khi đó môđuncon L của N cốt yếu trong N khi và chỉ khi ϕ(L) cốt yếu trong M

1.2.9 Mệnh đề Với mọi môđun con A của môđun M luôn tồn tại môđuncon T của M sao choA ⊕ T ≤eM

Chứng minh

Đặt S = {X ≤ M : X ∩ A = 0}, vì 0 ∈ S nên S 6= ∅ Ta sắp thứ tựtheo quan hệ bao hàm Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của sao cho:

X1 ≤ X2 ≤ ≤ Xn ≤ Khi đó B = ∞∪

i=1Xi là môđun con của M và dễthấy B là cận trên của dãy đã cho Lấy x ∈ A ∩ B , suy ra có một số k nào

đó sao cho x ∈ Xk Từ đây ta cóx ∈ A ∩ Xk Vậy x = 0 hay B ∩ A = 0 Do

đó, theo Bổ đề Zorn, có phần tử tối đại là T Ta chứng minh A ⊕ T ≤eM Thật vậy,∀Y ≤ M thỏa mãn (A ⊕ T ) ∩ Y = 0 Ta có A ∩ Y = 0 và

T ∩ Y = 0

Nếu có a ∈ A, t ∈ T và y ∈ Y sao cho a = t + y thì y = a − t ∈ A ⊕ T , tasuy ra y = 0 và a = t = 0 Như vậy A∩(T ⊕ Y ) = 0, ta suy ra (T ⊕ Y ) ∈ S

Do tính tối đại của T nên Y = 0 Vậy A ⊕ T ≤eM 

1.2.10 Bổ đề Nếu K là phần bù của B trong môđun M thì (K ⊕ B)/K≤eM /KChứng minh

Giả sử X/K ≤ M /K sao cho (K ⊕ B)/K ∩ X/K = 0 , ta có K ∩ B = 0

(1) Giả sử có một môđun con N của M sao cho K≤eN , thế thì, nếu

N 6= K, do K ∩ B = 0 K tối đại nên N ∩ B 6= 0 Ta có K ∩ (N ∩ B) =(K ∩ N ) ∩ B = K ∩ B = 0, vì K≤eN , suy raN ∩ B = 0 Điều này vô lý.Vậy K đóng trong M

(2) Suy ra từ 1.1.9 

1.3 Môđun nội xạ

1.3.1 Định nghĩa Cho M và N là các R–môđun 1 Môđun M được gọi

là N – nội xạ nếu với mọi môđun con X của N, mọi đồng cấu f : X → Mđều mở rộng thành đồng cấu g : N → M , tức là biểu đồ sau giao hoán:

goi = f , trong đó i là phép nhúng đồng cấu

2 Môđun M gọi là tựa nội xạ nếu M là M–nội xạ

3 Môđun M gọi là môđun nội xạ nếu M là N–nội xạ, với mọi môđun N

4 Hai môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau nếu M là N–nội xạ và

N là M–nội xạ

5 Bao nội xạ của môđun M, kí hiệu E(M), là môđun nội xạ bé nhất saocho M cốt yếu trong E(M)

1.3.2 Mệnh đề Cho M là R–môđun trái Khi đó:

(1) M là nội xạ khi và chỉ khi M = E(M)

(2) Nếu N ≤eM thì E(N) = E(M)

(3) Nếu M ≤ Q và Q là môđun nội xạ thì Q = E (M ) ⊕ E0

(4) Nếu ⊕AE (Mα) là nội xạ (đặc biệt, nếu A là hữu hạn) thì E (⊕AMα) =

(2) Mi là tựa nội xạ và M (I − i) là Mi-nội xạ với mọi i ∈ I

1.3.4 Mệnh đề Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi ideal trái I của

R, mọi đồng cấu f : I → M thì tồn tại m ∈ M để f (x) = xm∀x ∈ I

Chứng minh.

(⇒) Cho M là môđun nội xạ

Lấy I là ideal trái của R, f : I → M là đồng cấu môđun Vì R là R–môđunnên M là R–nội xạ Do đó, f mở rộng thành đồng cấu f∗ : R → M Đặt

m = f∗(1), khi đó: ∀x ∈ I, thì f (x) = f (x.1) = f∗(x.1) = xf∗(1) = xm(⇐) Giả sử đã có điều kiện đủ, ta chứng minh M là N–nội xạ, với mọimôđun N Lấy X là môđun con tuỳ ý của N, g : X → M là đồng cấu bất

kỳ Ta chứng minh tồn tại đồng cấu g* là mở rộng của g

Ta định nghĩa α (x) = αk(x) Dễ dàng kiểm tra được α là đồng cấu Khi

đó (T, α) là cận trên của dãy (a) Theo Bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại,

kí hiệu(B, β) ∈ S Ta chứng minh B = N và g∗ = β

Thật vậy, nếu B ⊂ N ⇒ ∃a ∈ N \B

Đặt H = B +Ra ⇒ B ⊂ H (do a 6= B), ta xác định đồng cấu h : H → Mcho bởi h (b + ra) = β (b) + rm, trong đó m được xác định như sau: Gọi

I = {r ∈ R/ra ∈ B} Ta hoàn toàn kiểm tra được I là ideal trái của R.Xác định đồng cấu g : I → M bởi g (r) = β (ra) , r ∈ I Theo giả thiếtnên ∃ m ∈ M để g (x) = xm, ∀x ∈ I Như vậy, do B ⊂ H và theo cách xácđịnh của h nên h là mở rộng của β Điều này mâu thuẫn với tính tối đạicủa (B, β) Vậy B = N và lấy g∗ = β Vậy g∗ là mở rộng của g 

1.3.5 Mệnh đề Nếu M là N–nội xạ và A ≤ N thì M là A–nội xạ và

N /A–nội xạ

Chứng minh

Trước hết ta chứng minh M là A – nội xạ Thật vậy, lấy X ≤ A và

f : X → M là đồng cấu Ta cũng có X ≤ N , do M là N-nội xạ nên f mở

rộng thành đồng cấu g : N → M Khi đó g|A là mở rộng của f trên A hay

M là A–nội xạ

Bây giờ ta chứng minh M là N /A–nội xạ

Lấy X/A ≤ N /A và α : X/A → M là đồng cấu Gọi π : N → N /A là

đồng cấu tự nhiên

Đặt ϕ = π|X Do M là N–nội xạ nên αϕ mở rộng thành đồng cấu

φ : N → M Ta có: φ (A) = αϕ (A) = α (0) = 0 Suy ra ker π ≤ ker ϕ Do

đó, tồn tại đồng cấu β : N /A → M sao cho βπ = φ

Với mọi x ∈ X, ta có:

β (x + A) = βπ (x) = φ (x) = α

varphi (x) = α (x + A)

Vậy β là mở rộng của α hay M là N/A–nội xạ 

1.3.6 Mệnh đề M là N–nội xạ khi và chỉ khi ϕ (N ) ≤ M với mọi ϕ ∈

Hom (E (N ) , E (M ))

Chứng minh Vì E(N) là môđun nội xạ, ta chỉ cần chứng minh với mọi

ϕ ∈ Hom (N, E (M )) là đủ

(⇒) Giả sử M là N-nội xạ, với ϕ ∈ Hom (N, E (M )) Đặt X = { n ∈ N : ϕ (n) ∈ M }

Dễ thấy X là môđun con của N Vì M là N-nội xạ, ϕ|X mở rộng thành đồng

cấu φ : N → M , ta chứng minh M ∩ (φ − ϕ) (N ) = 0 Thật vậy, giả sử có

m ∈ M và n ∈ N sao cho m = (φ − ϕ) (n), khi đó ϕ (n) = φ (n) − m ∈ M

nên n ∈ X

Như vậy m = φ (n) − ϕ (n) = ϕ (n) − ϕ (n) = 0 Vậy M ∩ (φ − ϕ) (N ) = 0

và vì M ≤eE (M ) nênφ (N ) = ϕ (N ) ≤ M

(⇐) Giả sử có ϕ (N ) ≤ M với mọi ϕ ∈ Hom (N, E (M )) Lấy X ≤ N và

f : X → M là đồng cấu Vì E(M ) là nội xạ, nên f mở rộng thành đồng cấu

ϕ : N → E (M ) Theo giả thuyết ϕ (N ) ≤ M Vậy f : X → M mở rộngthành đồng cấu ϕ : N → M hay M là N-nội xạ 

Đặt α = π1|Nβ = π2|N Vì N ∩ M2 = 0 nên α là đơn cấu và do M2 là

M1-nội xạ nên tồn tại đồng cấu ϕ : M1 → M2 sao cho ϕα = β

Lấy K = { m1 + ϕ (m1) : m1 ∈ M1} Với mọi n ∈ N thì n = m1+ m2 Ta

có ϕα (n) = β (n) hay ϕ (m1) = m2, từ đây ta suy ra n = m1+ ϕ (m1) ∈ K

Do đó N ≤ K Nếu có m1 ∈ M1 và m2 ∈ M2 sao cho m1 + ϕ (m1) = m2thìm1 = m2 − ϕ (m1) ∈ M2, nên m1 = 0 và m2 = 0 Như vậy K ∩ M2 = 0.Mặt khác ∀m ∈ M, m = m1+ m2 = m1+ ϕ (m1) + m2− ϕ (m1) ∈ K ⊕ M2.Vậy M = K ⊕ M2

(⇐) Giả sử với mọi môđun con N của M mà N ∩ M2 = 0 đều tồn tạimôđun con K của M sao cho M = K ⊕ M2 và N ≤ K Lấy X là môđuncon của M1 và f : X → M2 là đồng cấu Đặt H = { x − f (x) : x ∈ X}.Khi đó H là môđun con của M và hiển nhiên H ∩ M2 = 0 Theo giả thiết,tồn tại môđun con H0 của M sao cho M = H0 ⊕ M2 và H ≤ H0 Lấy

CHƯƠNG 2

CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MÔĐUN

2.1 Chiều Goldie của môđun

2.1.1 Định nghĩa Một môđun M trên vành R gọi là có chiều Goldie (haychiều đều) hữu hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđuncon khác không trong M Ngược lại, ta nói M có chiều Goldie (hay chiềuđều) vô hạn

2.1.2 Mệnh đề Nếu M là một môđun con khác không, không chứa tổngtrực tiếp vô hạn các môđun con khác không, thì M chứa môđun con đều.Chứng minh

- Nếu M là môđun đều: chứng minh xong

- Nếu M không là môđun con đều Khi đó tồn tại 0 6= U1, U ⊂ M mà

U1 ∩ U = 0 suy ra (U1 ⊕ U ) ⊂ M

+ Nếu U1 là môđun đều: chứng minh xong

+ Nếu U1 không là môđun đều:

Khi đó tồn tại V1, V2 ⊂ U1, V1, V2 6= 0 Mà V1∩ V2 = 0 suy ra (V1 ⊕ V2) ⊂

U1 suy ra tồn tại (V1 ⊕ V2 ⊕ U ) ⊂ M Quá trình này tiếp tục, do M khôngchứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không, nên quá trình trênphải dừng lại sau hữu hạn bước

Vậy tồn tại môđun Uk đều 

2.1.3 Mệnh đề Cho môđun M khác không có tính chất mọi môđun con

là chứa môđun đều Thế thì tồn tại môđun A là tổng trực tiếp các môđunđều và A là môđun con cốt yếu trong M

có A≤eM bởi vì nếu A không là môđun cốt yếu trong M suy ra tồn tại

B ⊂ M, B 6= 0 mà A ∩ B = 0 Theo giả thiết A chứa môđun đều V, suy ra

A ∩ V = 0 suy ra tồn tại A0 = A ⊕ V mà A ⊂ A0, A 6= A0, mâu thuẫn vớitính tối đại của A

Vậy A≤eM 

2.1.4 Bổ đề Giả sử M là môđun chứa một môđun con cốt yếu dạng Ui,trong đó Ui là các môđun đều ∀i ∈ I Khi đó một môđun con N của M làcốt yếu trong M khi và chỉ khi N ∩ Ui 6= 0, ∀i ∈ I

Theo giả thiết ⊕

Ni = 0 Mâu thuẫn với (∗) 

2.1.5 Định lí Cho môđun M, nếu tồn tại các môđun Ui đều, ∀i = 1, 2, 3, n

ii) Nếu tồn tại các môđun Vi đều, ∀i = 1, 2, 3, k và V1 ⊕ ⊕ Vk ≤e Mthì n = k.

Chứng minh

i) Giả sử tồn tại A1 ⊕ ⊕ An+1 trong M Ta sẽ chứng minh An+1 = 0

Do A1∩ (A2⊕ ⊕ An+1) = 0 dẫn đến rằng A2⊕ ⊕ An+1 không là môđuncon cốt yếu trong M

Do đó tồn tại U2 để (U1 ⊕ A2 ⊕ ⊕ An+1) ∩ U2 = 0 suy ra tồn tại

U1 ⊕ U2 ⊕ A3 ⊕ ⊕ An+1

Do U1 ⊕ U2 ⊕ U3 ⊕ ⊕ Un là cốt yếu trong M suy ra An+1 = 0

ii) Theo i) ta có k ≤ n và n ≤ k suy ra n = k (do vai trò của hai tổngtrực tiếp ⊕n

và n được gọi là chiều Goldie (chiều đều) của môđun

Tóm lại, một R-môđun M có chiều Goldie n, kí hiệu là G.dimM = nnếu có một môđun con cốt yếu V ≤e M là một tổng trực tiếp của nmôđun con đều Mặt khác, nếu không có số nguyên n tồn tại, người ta viếtG.dimM = +∞ Người ta gọi một R-môđun M có chiều Goldie hữu hạnnếu G.dimM < +∞ Vành R được gọi là có hữu hạn chiều phải nếu nóhữu hạn chiều đối với một R-môđun phải Các vành có chiều trái được địnhnghĩa tương tự

2.2 Một số tính chất của chiều Goldie hữu hạn

2.2.1 Mệnh đề

i) Nếu S dim M < ∞ thì dim A < ∞ với mọi A là môđun con của M.ii) Nếu A, B là các môđun con của M và tồn tại A ⊕ B với S dim(A ⊕ B) <

∞ thì S dim(A ⊕ B) = S dim A + S dim B

Chứng minh

i) Giả sử A chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không Do

A ⊂ M nên suy ra M chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con kháckhông

Vậy M có chiều Goldie vô hạn Điều này mâu thuẫn với giả thiếtS.dimM < ∞

Vậy A không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không hayS.dimA < ∞, với mọi A là môđun con của M

ii) Do A, B ⊂ (A ⊕ B), theo giả thiết S dim(A ⊕ B) < ∞, nên theo i)

S dim A < ∞, S dim B < ∞ Đặt S dim A = n, S dim B = m Do vậytrong A tồn tại ⊕n

i=1Ui≤eA và trong B tồn tại ⊕m

2.2.2 Bổ đề Nếu A là môđun con cốt yếu của M thì S dim A = S dim M Chứng minh

Vậy S dim A = n, từ đó S dim A = S dim M 

2.2.3 Mệnh đề Cho K, M, L là R-môđun Nếu h : K → M là một đồngcấu và L≤eM thì h−1(L) ≤eK

2.2.4 Hệ quả Cho K là môđun con của môđun M

π : M → M/K là một toàn cấu chính tắc

Nếu π (S) ≤eπ (M ) thì S + K≤eM