Một số tính chất của môđun hollow lifting và ứng dụng

Từ tính chất bất biến này,nhà toán học người Anh Alfred William Goldie đã đưa ra khái niệmchiều đều hay chiều Goldie của môđun: Chiều đều hay chiều Goldiecủa môđun M bằng n nếu tồn tại m

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐÌNH TÂM

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN HOLLOW-LIFTING VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An, 07/2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐÌNH TÂM

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN HOLLOW-LIFTING VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Đinh Đức Tài

Nghệ An, 07/2016

2.1 Môđun con bé, môđun hollow 152.2 Môđun hollow - lifting 242.3 Một số ứng dụng của môđun hollow-lifting 28

MỞ ĐẦU

Như chúng ta đã biết, môđun con A của M được gọi là môđun concốt yếu (essential) của M , ký hiệu A /− M , nếu với mọi X ⊆ M thỏamãn A ∩ X = 0 thì X = 0 Giả sử A ⊆ B ⊆ M , nếu A /−B thì B đượcgọi là mở rộng cốt yếu (essential extension) của A trong M Môđun Ađược gọi là môđun con đóng (closed) trong M , ký hiệu A ⊆c M , nếu

A không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M Môđun M được gọi làmôđun đều (uniform module) nếu giao của hai môđun con khác khôngbất kỳ của M là một môđun khác không Đặc biệt, nếu {Ui}I và {Vj}J

là tập hữu hạn các môđun con đều của M sao cho ⊕ni=1Ui và ⊕mj=1Vj làcác môđun con cốt yếu của M thì m = n Từ tính chất bất biến này,nhà toán học người Anh Alfred William Goldie đã đưa ra khái niệmchiều đều hay chiều Goldie của môđun: Chiều đều (hay chiều Goldie)của môđun M bằng n nếu tồn tại một tổng trực tiếp các môđun conđều ⊕ni=1Ui cốt yếu trong chính nó Khi đó ta kí hiệu udim(M ) = n.Trong [5], S H Mohamed và B J M¨uller đã đề xuất các điều kiện

Môđun MR được gọi là môđun liên tục (continuous module) nếu

MR thỏa mãn điều kiện (C1) và (C2); môđun MR được gọi là môđuntựa liên tục (quasi-continuous module) hay π- nội xạ (π-injective) nếu

MR thỏa mãn điều kiện (C1) và (C3); môđun MR được gọi là môđun(Extending module) nếu MR thỏa mãn điều kiện (C1) Tiếp tục

CSmở rộng khái niệm extending môđun chúng ta có khái niệm uniform extending: M được gọi là môđun uniform - extending nếu mọi môđuncon đều của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

-Từ định nghĩa chúng ta có sơ đồ sau:

nội xạ ⇒ tựa nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục ⇒ extending

Nghiên cứu các tính chất đối ngẫu là một trong những hướng nghiêncứu quen thuộc trong lý thuyết vành Các nhà nghiên cứu lý thuyếtvành đã đề xuất các khái niệm đối ngẫu cho các khái niệm trên Chẳnghạn, khái niệm đối ngẫu với khái niệm môđun con cốt yếu là khái niệmmôđun con bé: A được gọi là môđun con bé của M (small submodule),

ký hiệu A  M nếu với mọi X ⊆ M thỏa mãn M = A+X thì X = M Tương tự, đối ngẫu với khái niệm môđun đều chúng ta có khái niệmmôđun hollow: môđun M được gọi là môđun hollow nếu mọi môđuncon thực sự của M đều bé trong M Giả sử A ⊆ B ⊆ M , A được gọi

là môđun con đối cốt yếu (coessential submodule) của B trong M nếuB/A  M/A và A được gọi là đối đóng (coclosed) trong M (ký hiệu

A ⊆cc M ) nếu A không có môđun con thực sự đối cốt yếu trong M

Để xây dựng các khái niệm đối ngẫu của các môđun liên tục, tựaliên tục và CS-môđun, S H Mohamed và B J M¨uller ([5]) đã đưa racác điều kiện D1, D2, D3:

• (D1): Mọi môđun con N của M tồn tại hạng tử trực tiếp K của

M sao cho K là một môđun con đối cốt yếu của N trong M

• (D2): Nếu N ⊆ M sao cho M/N đẳng cấu với một hạng tử trựctiếp của M thì N là một hạng tử trực tiếp của M

• (D3): Nếu M1 và M2 là các hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn

M1+ M2 = M thì M1∩ M2 cũng là một hạng tử trực tiếp của M.Môđun M được gọi là môđun lifting nếu M thỏa mãn điều kiện(D1), đây là lớp môđun đối ngẫu lớp extending môđun Xây dựng kháiniệm đối ngẫu cho lớp môđun uniform extending, K Oshiro đã địnhnghĩa khái niệm môđun hollow-lifting: môđun M được gọi là môđunhollow-lifting nếu mọi môđun con N của M thỏa mãn M/N là môđunhollow đều có một môđun con đối cốt yếu trong M là một hạng tửtrực tiếp của M

Lớp môđun lifting và môđun hollow - lifting đã được nhiều nhà toánhọc trên thế giới quan tâm nghiên cứu, chúng ta có thể tham khảo cáckết quả của K Oshiro ([6]); Nil Orhan, Derya Keskin T¨ut¨unc¨u andRachid Tribak ([2]),

Trên cơ sở tài liệu tham khảo ([2]), chúng tôi lựa chọn đề tài "Một

số tính chất của môđun hollow - lifting và ứng dụng" nhằm có thêm sựhiểu biết về lớp môđun hollow -lifting và ứng dụng trong đặc trưngmột số lớp vành

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, cấu trúc luậnvăn gồm 2 chương:

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Nội dung chính của chương này chủ yếu trình bày các khái niệm,các tính chất cơ bản nhằm phục vụ nội dung của Chương 2

Chương 2 Môđun hollow - lifting và ứng dụng

Nôi dung của chương 2 được trình bày trong 3 phần:

2.1 Môđun con bé, môđun hollow

Nội dung của phần này dành để trình bày định nghĩa, ví dụ và một

số tính chất của lớp môđun con bé và lớp môđun hollow

2.2 Môđun hollow - lifting

Trong mục 2.2 chúng tôi giới thiệu định nghĩa và một số tính chất

của môđun hollow - lifting.

2.3 Một số ứng dụng của môđun hollow-lifting

Nội dung phần này chúng tôi sử dụng lớp môđun hollow-lifting đểchứng minh một số tính chất gần xạ ảnh của một số lớp môđun.Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn của TS Đinh Đức Tài Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn tới:các Thầy giáo, Cô giáo trong Bộ môn Đại số, Khoa Toán, Trường Đạihọc Vinh; Phòng Đào tạo Sau đại học; gia đình và bạn bè đồng nghiệp

về sự giúp đỡ, động viên cả về tinh thần lẫn vật chất, tạo mọi điềukiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học này

Nghệ An, tháng 7 năm 2016

Tác giả

A /− B : A là môđun con cốt yếu của B

A  B : A là môđun con bé của B

A ∼= B : A đẳng cấu với B

A ⊕ B : Tổng trực tiếp của môđun A và môđun B

ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm)

E(M ) : Bao nội xạ của môđun M

Soc(M ) : Đế của môđun M

End(M ) :Vành các tự đồng cấu của môđun M

u-dim(M ) : Chiều Goldie của môđun M

Ker(f ), Im(f ) : Hạt nhân, ảnh của đồng cấu f (tương ứng)

M(I) : ⊕i∈IM (tổng trực tiếp của I bản sao của M )

MR(RM ) : M là một R-môđun phải (trái)

Mn(S) : Vành các ma trận vuông cấp n với các hệ tử trên S

M od-R: Phạm trù các R-môđun phải

Rad(M ) : Căn của môđun M

J (R) : Căn Jacobson của vành R

Z(M ) : Môđun con suy biến của môđun M

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm, vành R luôn đượchiểu là vành kết hợp, có đơn vị 1 6= 0 và mọi R-môđun được xét làmôđun unita phải hoặc trái

Trước hết, chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bảncủa Lý thuyết Vành mà không chứng minh lại Các khái niệm và tínhchất này đã được giới thiệu trong nhiều tài liệu khác nhau, chúng tôichủ yếu tham khảo trong các tài liệu [4], [3]

Trên vành R, một R- môđun phải M được gọi là môđun đơn ple) nếu M 6= 0 và không có môđun con nào khác ngoại trừ 0 và chính

(sim-nó Môđun M được gọi là môđun nửa đơn (semisimple) nếu thỏa mãnmột trong các điều kiện tương đương sau:

1 Mọi môđun con của M là một tổng của các môđun con đơn

2 M là tổng của các môđun con đơn

3 M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn

4 Mọi môđun con của M là một hạng tử trực tiếp của M

Tổng tất cả các môđun con đơn của R- môđun phải M được gọi là

đế phải của môđun MR Ký hiệu Soc(MR) hoặc Sr(M )

Đối ngẫu với khái niệm đế của một môđun chúng ta có khái niệmcăn của môđun Căn của MR, kí hiệu Rad(MR), là giao của tất cả cácmôđun con tối đại của MR, là tổng của tất cả các môđun con bé của

MR Nếu MR không chứa môđun con tối đại nào thì ta định nghĩaRad(MR) = M Đặc biệt, Rad(RR) = Rad(RR) = J (R) Do đó không

sợ nhầm lẫn, ta kí hiệu J (R) để chỉ căn Jacobson của vành R và cũng làRadical của RR Nếu MR là môđun hữu hạn sinh thì Rad(MR)  MR.Cho R- môđun M khác không Một dãy hữu hạn n + 1 các môđuncon của M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = 0 được gọi là dãy hợp thành

có độ dài n (composition series of length n) nếu Mi−1/Mi là đơn.Liên quan đến dãy hợp thành và là cơ sở của việc hình thành kháiniệm về độ dài của một môđun, chúng ta có định lý Jordan- H¨older:Định lý 1.1.1 Nếu môđun M có sự phân tích thành các dãy hợp thành

có độ dài hữu hạn thì mọi cặp dãy hợp thành của M đều có cùng độdài

Một môđun M có sự phân tích thành dãy hợp thành được gọi làmôđun có độ dài hữu hạn và độ dài của dãy hợp thành được gọi là độdài của M Ký hiệu lg(M ) hoặc length(M ) Sau đây là định nghĩa vàmột số tính chất của dãy khớp

Định nghĩa 1.1.2 Một cặp các đồng cấu M0 →f M →g M ” đượcgọi là khớp (exact) tại M nếu Im(f ) = Ker(g) Dãy khớp có dạng

0 → M0 →f M →g M ” → 0 được gọi là dãy khớp ngắn (short exactsequence)

Đối với dãy khớp chúng ta có một số tính chất sau:

Mệnh đề 1.1.3 Cho M và N là các R-môđun và f : M → N là mộtđồng cấu Khi đó:

1 0 → M →f N là dãy khớp nếu và chỉ nếu f là đơn cấu

2 M →f N → 0 là dãy khớp nếu và chỉ nếu f là toàn cấu.

3 0 → M →f N → 0 là dãy khớp nếu và chỉ nếu f là đẳng cấu.Định nghĩa 1.1.4 Nếu f : M → N , f0 : N → M là các đồng cấuthỏa mãn f ◦ f0 = 1N thì ta nói rằng f là một toàn cấu chẻ (splitepimorphism) và f0 là một đơn cấu chẻ (split monomorphism)

Dãy khớp ngắn 0 → M0 →f M →g M ” → 0 được gọi là dãy khớp ngắnchẻ (split exact) nếu f là đơn cấu chẻ và g là toàn cấu chẻ

Trong lý thuyết vành, một trong những lớp iđêan đặc biệt đó làlinh hóa tử Nhiều tính chất của các lớp vành cũng như các đặc trưngcủa chúng đã được nghiên cứu thông qua lớp iđêan này

Định nghĩa 1.1.5 Cho vành R và A ⊂ R là tập con khác rỗng Linhhóa tử (annihilator) phải (trái) của tập A trong R là tập hợp r(A) :={b ∈ R|ab = 0; ∀a ∈ A} (tương ứng, l(A) := {b ∈ R|ba = 0; ∀a ∈ A}).Một cách tự nhiên chúng ta có linh hóa tử của phần tử a là trườnghợp đặc biệt khi tập A = {a} và linh hóa tử của tập A là tập hợp thỏamãn tính chất linh hóa tử cả hai phía trái và phải

Đối với linh hóa tử ta có một số tính chất cơ bản sau:

Bổ đề 1.1.6 Cho A là một tập con khác rỗng của vành R Khi đó tacó:

1 Linh hóa tử trái l(A) là iđêan trái của R Tương tự đối với linhhóa tử phải r(A)

2 Nếu A là tập con của Z(R) (tâm của vành R) thì l(A) = r(A) làmột iđêan của vành R

3 Nếu A là một iđêan trái (phải) của vành R thì l(A) (r(A)) là mộtiđêan của vành R

Vào cuối những năm của thập kỷ hai mươi của thế kỷ trước, E.Noether và E Artin đã giới thiệu các khái niệm ACC và DCC Từ đây,Artin đã chứng minh được định lý mô tả cấu trúc của lớp vành nửađơn và được gọi là Định lý Wedderburn - Artin, đánh dấu cho việcphát triển của lý thuyết vành một cách có hệ thống.

Định nghĩa 1.1.7

• Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện ACC (Ascending ChainCondition) nếu với mọi dãy tăng các môđun con:

M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆

tồn tại số tự nhiên n sao cho Mn+i = Mn với mọi i = 1, 2,

• Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện DCC (Descending ChainCodition) nếu với mọi dãy giảm các môđun con:

Cho M là R-môđun phải Một phần tử m ∈ M được gọi là phần

tử suy biến phải của M nếu iđêan phải rR(m) /−RR Tập hợp các phần

tử suy biến của M được gọi là môđun con suy biến của M và kí hiệu

là Z(MR) Như vậy chúng ta có

Z(MR) = {m ∈ M |mI = 0, với I là iđêan phải cốt yếu của R } haynói cách khác Z(MR) = {m ∈ M |rR(m) /−RR} Chúng ta kí hiệu Zr(R)

và Zl(R) lần lượt là các iđêan phải, trái suy biến của R

Môđun M được là môđun suy biến nếu Z(M ) = M Nếu Z(M ) = 0,

ta gọi M là môđun không suy biến Chúng ta lưu ý rằng, môđun M -suybiến nếu và chỉ nếu M ∼= A/B, trong đó B là một môđun con cốt yếucủa A

Phần tử x của vành R được gọi là lũy linh (nilpotent) nếu tồn tạimột số tự nhiên m > 0 sao cho xm = 0 Khi đó số nguyên dương nhỏnhất n sao cho xn = 0 được gọi là chỉ số lũy linh của x Tập con Acủa vành R được gọi là lũy linh nếu tồn tại một số tự nhiên n > 0 saocho với mọi dãy x1, x2, , xn ∈ A ta có x1.x2 xn = 0 Tập con A củavành R được gọi là iđêan lũy linh nếu mọi phần tử của nó là phần tửlũy linh

Iđêan một phía A của vành R được gọi là T-lũy linh (T-nilpotent)trái (phải) nếu tồn tại một số tự nhiên n sao cho với mọi dãy a1, a2, , an ∈

A ta có a1.a2 an = 0 (tương ứng, an a1 = 0) Như vậy T-lũy linh làiđêan lũy linh nhưng điều ngược lại không hoàn toàn đúng

Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu x2 = x Giả sử I

là một iđêan của vành R và g + I là một phần tử lũy đẳng của R/I Tanói rằng phần tử lũy đẳng này có thể nâng tới modulo I hay lũy đẳngnâng modulo I nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho g + I = e + I.Đặc biệt, nếu I là iđêan lũy linh, nghĩa là mọi phần tử của I là lũylinh (xn = 0, ∀n ∈ N ), thì mọi phần tử lũy đẳng của R/I đều là lũyđẳng nâng

Cặp các phần tử lũy đẳng e1, e2 của vành R được gọi là trực giao(orthogonal) nếu e1.e2 = e2.e1 = 0 Một phần tử lũy đẳng e ∈ R đượcgọi là lũy đẳng nguyên thủy (primitive idempotent) nếu e 6= 0 và vớimọi cặp các lũy đẳng trực giao e1, e2 thỏa mãn e = e1 + e2 thì e1 = 0

hoặc e2 = 0 Một iđêan phải (trái) của vành R được gọi là iđêan nguyênthủy nếu nó có dạng eR (tương ứng, Re) với mọi lũy đẳng nguyên thủy

e ∈ R

Vành R được gọi là vành nguyên tố (prime ring) nếu R thỏa mãnmột trong các điều kiện tương đương sau:

(a) Mọi iđêan phải (trái) khác không I là iđêan trung thành, nghĩa

là r(I) = 0 (tương ứng, l(I) = 0);

(b) Với mỗi cặp các iđêan I1, I2 6= 0 ta có I1.I2 6= 0;

(c) Với mọi x, y ∈ R thỏa mãn xRy = 0 ta có x = 0 hoặc y = 0.Iđêan P của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu R/P là vànhnguyên tố Hay nói cách khác, P nguyên tố nếu và chỉ nếu với mỗi

x, y ∈ R thỏa mãn xRy ⊆ P thì x ∈ P hoặc y ∈ P Giao của tất

cả các iđêan nguyên tố của vành R được gọi là căn nguyên tố (primeradical /lower nil radical) của vành R, kí hiệu N (R) Vành R được gọi

là nửa nguyên tố (semiprime) nếu N (R) = 0

Một môđun con NR của MR được gọi là cốt yếu hay môđun con lớn(essential or large) trong MR, kí hiệu N /−M , nếu NR∩ K 6= 0 với mọimôđun con K 6= 0 của M Môđun con NR của MR được gọi là môđuncon bé (small or superfluous) trong MR , kí hiệu N  M , nếu với mọimôđun K ⊆ M sao cho K + N = M thì K = M

Môđun con K được gọi là đóng trong M nếu K không có mở rộngcốt yếu thực sự trong M Từ định nghĩa của môđun con cốt yếu vàmôđun con bé ta có một số tính chất sau:

Nhận xét 1.2.1

1 A  M ⇔ ∀0 6= U ⊂ M ta có A + U ⊂ M

2 A /M ⇔ ∀0 6= U ⊂ M ta có A ∩ U 6= 0

3 A  M 6= 0 ⇒ A 6= M

4 A /− M 6= 0 ⇒ A 6= 0

5 0  M và M /− M với mọi R môđun M

Nếu K là một môđun con của môđun M , sử dụng Bổ đề Zorn, tồntại môđun con tối đại C của M thỏa mãn C ∩ K = 0 Khi đó C đượcgọi là môđun con bù (complement) của K trong M Do đó, K /−M nếu

và chỉ nếu 0 là bù của K

Tiếp theo là một số tính chất cơ bản của môđun con bù

Mệnh đề 1.2.2 Cho C là một môđun con của môđun M Các điềukiện sau tương đương:

U ∩ V 6= 0 Chúng ta nói rằng M có chiều Goldie hữu hạn (chiều đềuhữu hạn) nếu nó không chứa một tổng trực tiếp vô hạn các môđun conkhác không Nếu M có chiều Goldie hữu hạn thì tồn tại một số hữuhạn bé nhất n sao cho M không chứa một tổng trực tiếp có nhiều hơn

n môđun con khác không Khi đó, số n được gọi là chiều Goldie của

M Kí hiệu u-dim(M ) = n Môđun M có u-dim(M ) = n nếu và chỉnếu tồn tại một tổng trực tiếp n môđun con đều cốt yếu trong trong

M Như vậy, chiều Goldie của mọi mở rộng cốt yếu của M đều bằngchiều Goldie của môđun M

Sau đây là một số tính chất của chiều Goldie của các môđun.Mệnh đề 1.2.4 Cho M là một môđun

1 dim(M ) = 0 nếu và chỉ nếu M = 0

2 dim(M ) = 1 nếu và chỉ nếu M là môđun đều

3 Nếu N ⊆ M và M có chiều Goldie hữu hạn thì N có chiều Goldiehữu hạn và dim(N ) ≤ dim(M )

4 Nếu N ⊆ M và M có chiều Goldie hữu hạn thì dim(N ) = dim(M )nếu và chỉ nếu N /− M

5 Nếu M và M0 là các môđun có chiều Goldie hữu hạn thì M ⊕M0 làmột môđun có chiều Goldie hữu hạn và dim(M ⊕M0) = dim(M )+dim(M0)

CHƯƠNG 2MÔĐUN HOLLOW - LIFTING VÀ ỨNG DỤNG

Các kết quả trong phần này chúng tôi tham khảo tài liệu [7] Trướchết chúng ta xem xét lớp môđun con bé, như đã giới thiệu trên, với

A là một môđun con của M , khi đó A được gọi là môđun con cốtyếu (essential) của M , ký hiệu A /−M , nếu với mọi X ⊆ M thỏa mãnA∩X = 0 thì X = 0 Đối ngẫu với khái niệm môđun con cốt yếu chúng

ta có khái niệm môđun con bé, một môđun con K của M được gọi làmôđun con bé (small hoặc superfluous) trong M , ký hiệu K  M , nếuvới mọi môđun con L của M thỏa mãn K + L = M thì L = M

Một iđêan phải A của vành R được gọi là iđêan bé (iđêan cốt yếu)trong vành R nếu A là môđun con bé (môđun con cốt yếu) của RR.Một đồng cấu α : A → B được gọi là đồng cấu bé nếu Ker(α)  A;

α được gọi là đồng cấu cốt yếu nếu Im(α) /−B

Nhận xét 2.1.1 Từ định nghĩa của khái niệm môđun con cốt yếu vàmôđun con bé chúng ta thấy:

a) Môđun con A cốt yếu trong môđun M khi và chỉ khi với mọimôđun con U 6= 0 của M ta có A ∩ U 6= 0 Đối ngẫu với tính chất nàychúng ta có: Môđun con A bé trong môđun M khi và chỉ khi với mọimôđun con thực sự U của M ta có A + U là môđun con thực sự củaM

b) Nếu M là môđun khác không và A là môđun con cốt yếu của