Môđun con bé và ứng dụng

Môđun con bé là một trong những lớp môđun đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành và môđun.Trong lý thuyết môđun, môđun con bé được ứng dụng để nghiên cứu lớp môđun xạ ản

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ HIỀN

MÔĐUN CON BÉ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ HIỀN

MÔĐUN CON BÉ VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS NGÔ SỸ TÙNG

MỤC LỤC Trang MỤC LỤC 1

CÁC KÝ HIỆU 2

MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Môđun con cốt yếu 5

1.2 Các lớp C i- môđun 9

1.3 Mô đun đều và chiều Goldie 11

1.4 Vành nửa hoàn chỉnh phải 11

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN CON BÉ 13

2.1 Môđun con bé 13

2.2 Môđun con bé và vành nửa hoàn chỉnh 19

KẾT LUẬN 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO 29

MỞ ĐẦU

Cho môđun M , môđun con A của M được gọi là môđun con bé trong

M , kí hiệu AMnếu với mọi X là môđun con thực sự của M thì

A X M

Môđun con bé là một trong những lớp môđun đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành và môđun.Trong lý thuyết môđun, môđun con bé được ứng dụng để nghiên cứu lớp môđun xạ ảnh và mở rộng

Luận văn của chúng tôi chủ yếu dựa vào tài liệu [6] để tìm hiểu về các tính chất của môđun con bé Mục đích chính của luận văn này là trình bày một cách chi tiết một số tính chất của môđun con bé và ứng dụng của chúng trong việc đặc trưng một số lớp vành Chúng ta nhớ lại rằng : “Mỗi môđun con đóng U của một môđun xạ ảnh P trên một QF-vành là một hạng tử trực tiếp nội xạ của P” Do đó, U là môđun không bé Từ đó một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là vành R như thế nào nếu mọi môđun con đóng của mỗi R-môđun phải xạ ảnh P là không bé ? Trong luận văn này, chúng tôi trình bày

về một phần của câu hỏi đó

Vì vậy đề tài luận văn được chọn là: “Môđun con bé và ứng dụng”

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Chúng tôi đưa ra những định nghĩa và một số kết quả cơ bản liên quan đến luận văn: Môđun con cốt yếu và các lớp C i môđun

Chương 2: Bao gồm hai phần chính: Trong phần 1 của chương này chúng tôi trình bày về các tính chất của môđun con bé

Trong phần 2 chúng tôi trình bày một số đặc trưng của vành nửa hoàn chỉnh

Kết quả của luận văn là quá trình tìm hiểu và nghiên cứu, sắp xếp có hệ thống các kết quả trong các tài liệu tham khảo

Luận văn hoàn thành tại trường Đ.H.Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, người đã dẫn dắt và dạy dỗ tận tình, thường xuyên dành cho tôi sự động viên nhiệt tình trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học Nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Sư phạmToán học - Trường Đại học Vinh đã dành thời gian giảng dạy nhiệt tình, truyền đạt những kiến thức bổ ích cho tôi Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên tôi

Trong suốt qua trình học tập, nghiên cứu, mặc dù đã cố gắng, nỗ lực nhưng do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn còn có nhiều thiếu sót Kính mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn!

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ luận văn, tất cả các vành R đều giả thiết là vành có đơn vị,

kí hiệu là 1 và các môđun là R- môđun phải unita (nếu không nói gì thêm) Chương này chúng tôi hệ thống một số kiến thức cơ sở để phục vụ việc chứng minh cho chương sau

Giả sử  là một tập hợp tùy ý, M  ký hiệu cho tổng trực tiếp và M

cho tích trực tiếp các bản sao của M Ta viết R R,R R để chỉ R-môđun phải R

và R-môđun trái R

1.1 Môđun con cốt yếu

1.1.1 Định nghĩa

Cho môđun M và Am M Môđun A được gọi là môđun con cốt yếu

trong M nếu với mọi môđun X 0 và X m M thì A X 0 Kí hiệu

Cho M là R môđun Ta luôn có M * M

Với là môđun Mỗi iđêan khác không của đều cốt yếu vì với ,

a b khác không ta đều có 0 ab a b

1.1.3 Tính chất

i) Cho Am M thì *

A M  với mọi x0, xM thì AR x 0 ii) Cho Am K m M , khi đó * *

A M  A K và *

K  M iii) Cho f : M  N là đồng cấu R môđun và BM Nếu *

B M thì

1( ) *

f B  M Điều ngược lại không đúng

i) Điều kiện cần: hiển nhiên

Điều kiện đủ: ta có x0,xM , thì với mọi môđun B Mm ta chứng minh

A B  Lấy xB x, 0, xét  x R xrx r/ RB

Theo giả thiết ta có: AR x0 nên với mọi B Mm ta luôn có A B 

ii) Giả sử A* M lấy môđun conX bất kì của K mà AX  0 Do

m

XK nên Xm M và A*M nên X 0 Vậy A*K

Tương tự ta lấy môđun con Y bất kì của M mà K Y 0 do A*K nên

và K * M nênX 0, suy ra K X 0 Vậy A* M

iii) Với mọi CM , C0, ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: ( )f C M suy ra ( )f C  B 0 (vì B* M ), do đó tồn tại

Z Z Z Z , suy ra 0* Điều này vô lí

Vậy trường hợp giao vô hạn không đúng

v) Lấy X * M sao cho K X 0 Khi đó K (A X)A nên

x  M suy ra x   x1 x2 x x k, iM i, 1, k (*) là hữu hạn Theo

trường hợp 1 suy ra tồn tại 1 2

Với mọi môđun con A của môđun M luôn tồn tại môđun con B của M

sao cho AB cốt yếu trong M

Chứng minh

Đặt SX M X:  A 0 Vì 0 S nên S

Ta sắp thứ tự S theo quan hệ bao hàm Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của

S sao choX1 m X2  m m X n m (*) Khi đó

1

i i

C  X



 là môđun con của

M và là cận trên của (*)

Cho : NM là đẳng cấu môđun trên R khi đó môđun con L của N

cốt yếu trong N ( )L cốt yếu trong M

( ( )Y ( ))L ( ( ))L ( ( ))Y L Y 0

          Suy ra ( )L ( ) 0X

(1) Một môđun M được gọi là CS-môđun (hay môđun extending), nếu

M thoả mãn điều kiện (C1)

(2) Môđun M được gọi là liên tục nếu M thoả mãn các điều kiện (C1)và

CS-Ta có thể chứng minh được nếu M thoả mãn (C2) thì cũng thoả mãn (C3)

b) không có điều kiện  C2 Thật vậy, ta có: 2  mà 

nhưng 2 không là hạng tử trực tiếp của

1.3 Mô đun đều và chiều Goldie

1.3.1 Môđun đều

1.3.1.1 Định nghĩa

Giả sử R là một vành, một R môđun phải U được gọi là đều (hay

uniform) nếu U 0 và A B 0 đối với mọi môđun con khác không ,A B

của U Hay nói cách khác, U là đều nếu và mọi môđun con khác không là cốt yếu trong U

1.3.1.2 Ví dụ

a) Mỗi Rmôđun đơn là môđun đều

b) Mỗi môđun con khác không của môđun đều là môđun đều

Thật vậy, giả sử N m M N, 0 Mọi B  M mà N B 0 nên B0 Vì nếu B0 thì do giả thiết M là môđun đều ta có N B 0 (mâu thuẫn với giả thiết N B 0) Vậy N * M

1.3.2 Chiều Goldie

(1) Một môđun M trên một vành R gọi là có chiều Goldie (hay chiều đều)

hữu hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không trong M M được gọi là có chiều Goldie vô hạn trong trường hợp

ngược lại

(2) Giả sử R là một vành, ta gọi chiều Goldie phải của R là chiều Goldie của

R-môđun phải R và gọi chiều Goldie trái của , R là chiều Goldie của Rmôđun trái R

-1.4 Vành nửa hoàn chỉnh phải

(1) Một môđun M được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu mọi ảnh đồng cấu của M

đều có bao xạ ảnh

(2) Một môđun M được gọi là hoàn chỉnh nếu với mọi tập chỉ số  

, M 

 là nửa hoàn chỉnh

(3) Một vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu mọi R-môđun phải hữu hạn sinh đều có bao xạ ảnh

(4) Một vành R được gọi là hoàn chỉnh phải nếu mọi R-môđun phải đều có bao xạ ảnh

i) Một môđun con B của môđun M được gọi là bé ( hay là đối cốt yếu) trong

M và ký hiệuBM, nếu với mọi môđun con L của M , LM thì

A U R U  R Nếu U không chứa phần tử khả nghịch nào thì U A   U A A (vô lí)

Nếu U chứa phần tử khả nghịch, chẳng hạn x0U, x khả nghịch Do 0

U là Iđêan của Rchứa phần tử khả nghịch nên UR

2.1.3 Chú ý

AM khi và chỉ khi với mọi U là môđun con thực sự của M A U, 

cũng là môđun con thực sự của M

BM nên UM M và do đó M m U Vậy U M

* Giả sử B U N,U m N Khi đó ta có: (B U )M  N M hay

B U M M (theo luật modular) Vì BMnên UM M Suy ra

m

M U và B m U Vậy U  B U N

* Giả sửA U N,U  N.Do Am B nên ta có B U N.Từ đó suy ra: B U M  N M  B UMM (theo luật modular và M N) Mặt khác, vì BM nên suy raUM M mà AM (gt) A U

   ker( )   U B (Vì  là toàn cấu)

Dolà toàn cấu bé nên Ker  B U B

Nếu C là tối đại trong M mà a C thì aR C M (do a C nên

aRC) Từ đó suy ra aR không phải là môđun con bé trong M

() Giả sử aR không phải là môđun con bé trong M Ta cần chứng minh tồn tại môđun con C là tối đại trong M mà a C Thật vậy:

Đặt : B B/ M a R B, M



     Ta chứng minh thỏa mãn bổ đề Zohn Vì

aR không phải là môđun con bé trong M nên tồn tại B hay    Chọn

  là tập sắp thứ tự toàn phần trong  theo quan hệ bao hàm,   Đặt 0

B



  Giả sử a B 0, khi đó tồn tại B mà aB nên a R là

môđun con của B Từ đó suy ra BaR B M, mâu thuẫn Vậy a B 0 nên

B  B nên a R B 0 M , tức là B0  Vậy  thỏa mãn bổ đề Zohn nên 

có phần tử tối đại là C Ta chứng minh C là phần tử tối đại của M Giả sử

  M a R T    T T C aC

2.1.6 Bổ đề

(i) Nếu N là một môđun con bé khác không của một môđun M nào đó, thế thì N là một môđun bé

(ii) Giả sử M là một môđun địa phương sao cho các môđun con đóng của

M là không bé Khi đó M là một môđun đều

(iii) Giả sử A và B là các môđun đẳng cấu với nhau Khi đó A là môđun bé nếu và chỉ nếu B là môđun bé

Chứng minh

Ta nhắc lại rằng một môđun M chỉ có duy nhất một môđun con tối đại chứa tất cả các môđun con thực sự của M khi đó ta gọi , M là môđun con địa phương

(i) Bởi vì N là môđun con của M do đó E M( )E N( )Y với một môđun con Ynào đó của ( )E M Bây giờ từ N M do đó N E M( ) Bởi [7, Bổ đề 4.2 (2)] ta có N là môđun con bé của ( ),E N hay N là môđun bé (ii) Giả sử H là môđun con khác không bất kỳ của M ta cần chứng minh ,

H cốt yếu trong M Bởi bổ đề Zorn, tồn tại một môđun con đóng N của M

sao cho *

H  N Bởi vì M là địa phương nên tồn tại môđun tối đại K chứa tất cả các môđun thực sự của M Nếu N M,khi đó N K và mỗi môđun con thực sự L của M thì N  L K hay N L M,và do đó N là môđun con bé của M. Theo (i) ở trên N là môđun bé, khi đó từ giả thiết ta phải có

Giả sử R là vành nửa hoàn chỉnh sao cho mỗi môđun con đóng của ( ) R 

là không bé Khi đó R có chiều Goldie phải hữu han và mọi môđun con đóng đều của ( ) R  là không bé

e R là đều (1 i n) Thật vậy giả sử U là môđun con đóng của e R i Bởi vì e R i

là hạng tử trực tiếp của R và do đó, là hạng tử trực tiếp của ( )R  nên R e R 1 i là môđun con đóng của ( )R  Bởi [3, Mệnh đề 2.2], U là môđun con đóng của ( )

R  và từ giả thiết U là không bé Khi đó áp dụng Bổ đề 2.1.6 (ii) ta nhận được

J R của R và mọi môđun con đóng đều của ( ) R  là hạng tử trực tiếp nếu

và chỉ nếu mọi môđun con đóng đều của ( ) R  là không bé

Chứng minh

Trước hết ta nhắc lại định lí: “Cho R là vành nửa hoàn chỉnh và e1, ,e n

là một tập cở sở của các luỹ đẳng nguyên thuỷ trong R. Nếu R P là xạ ảnh thì tồn tại các tập A1, ,A m sao cho ( 1 ) ( )

là các R-môđun phải bé Nhưng theo Bổ đề 2.1.6 (iii) ta phải có e R i bé Bởi

vì e R i là đóng đều trong R( ) , do đó theo giả thiết e R i là không bé Mâu thuẫn đó chứng tỏ L0

Bây giờ giả sử U là môđun con đóng đều của ( )R  khi đó theo giả thiết

U là không bé Bởi định nghĩa của ( )R  ta có thể viết ( )R  dưới dạng

( ) i I i





Trong đó I là vô hạn đếm được và mỗi P i đẳng cấu với một e R k nào đó trong e R1 , ,e R Như đã chứng minh ở trên, mỗi n  P i là một R-môđun phải uniform.Với mỗi iI ta ký hiệu i là phép chiếu tự nhiên từ ( )R  đến P i Gọi Jlà tập con tối đại của I sao cho UR J( )0.Khi đó ta có U R J( )

là môđun con cốt yếu của U R J( ).Ta sẽ chứng minh J  I 1 Thật vậy giả sử có k1 và k2 không nằm trong I , k k1, 2J k, 1 k2

Nhưng P k là một môđun địa phương nên mỗi môđun con thực sự của P k là

bé Vì vậy ta phải có P k k( ).U Khi ta có R( )  U Kerk, nghĩa là U là hạng tử trực tiếp của R( ).

2.2.5 Định lý

Giả sử R là một vành nửa hoàn chỉnh có chiều Goldie phải hữu hạn và không chứa iđêan phải xạ ảnh khác không nằm trong ( ) J R của R. Khi đó R

môđun đều và vành tự đồng cấu End P( )i là địa phương

Trước hết ta chứng minh rằng sự phân tích ở (1) là bù hạng tử trực tiếp, tức là với mỗi hạng tử trực tiếp A của R( ) tồn tại tập con I' của I sao cho

R   A R I

Bây giờ giả sử A là một hạng tử trực tiếp bất kỳ của R( ). Bởi bổ đề Zorn tồn tại tập con H của I tối đại sao cho AR H( )=0 Giả sử tồn tại một chỉ số kI sao cho

(AR H( )) P k 0 Khi đó R H(  k ) A 0, mâu thuẫn với tính tối đại của H Điều đó chứng tỏ rằng (AR H( )) P i 0,  i I Khi đó bởi [5 Định lý 3.6], AR H( ) là môđun con cốt yếu trong ( ).R  Ta đặt

nghĩa là T' là bao đóng của T trong B Bởi vì A là hạng tử trực tiếp của

R  là R- môđun phải xạ ảnh nên B và do đó T' cũng là R-môđun phải xạ ảnh đều Khi đó T' sẽ đẳng cấu với một e R i nào đó trong e R1 , ,e R Mặt n .khác giả sử e R i nhúng đẳng cấu được thực sự vào e R với j e R i và e R nào đó j

thuộc e R1 , ,e R n 

Khi đó e R chứa một môđun con thực sự j D đẳng cấu với e R và như j

vậy D là iđêan phải xạ ảnh của R và D là bé trong e R bởi j , e R là môđun j

địa phương Điều đó chứng tỏ rằng DJ R( ) và mâu thuẫn với giả thiết của định lý Vì vậy e R không thể nhúng đẳng cấu thực sự vào j e R j , i j, 1, ,n

Bởi vì R( )  P k R I(  k ) do đó theo luật modular ta có

Mặt khác theo định nghĩa của T1 ta có T1 R I(  k )và T P T k( P k)

do đó T R I(  k )0.Bởi vì T' là mở rộng cốt yếu của T (trong B) nên

 

T R I  k  Từ đó chúng ta có T1T'0

Giả sử M là môđun con tối đại củaP k Khi đó bởi chứng minh trên,T'

không nhúng được vào M.Từ đó suy ra T' T1 M T1,vì nếu ngược lại khi

đó chứng tỏ BR( ) và điều mong muốn ở trên được chứng minh Nghĩa là

sự phân tích (1) của R( ) là bù hạng tử trực tiếp Khi đó bởi định lý của Harada [7, Định lý 2.25], mọi hạng tử trực tiếp địa phương của ( )R  là hạng

tử trực tiếp

Tiếp theo ta sẽ chứng minh ( )R  là một CS-môđun

Ta để ý rằng R( ) i IP i là tổng trực tiếp của các môđun đều Giả sử A

là môđun con bất kỳ khác không của ( ),R  khi đó aR là môđun con Xiclic của A (a0) Ta thấy rằng tồn tại một tập hữu hạn F tập con của I để

Điều đó chứng tỏ rằng aR là môđun có chiều Goldie hữu hạn và do vậy

A chứa môđun con đều

Bây giờ giả sử Q là môđun con đóng khác 0 của ( ).R  Khi đó Q chứa một

môđun con đóng và đều U Lại sử dụng [3, Mệnh đề 2.2] ta có U cũng là

môđun con đóng của ( )R  Bởi giả thiết, U là hạng tử trực tiếp của ( )R 

Theo điều vừa nói ở trên ta có  0và khi đó bởi Bổ đề Zorn,  có một

phần tử tối đại Lk KU k Bởi vì Lk KU k R( ) và như đã chứng minh

trên mọi hạng tử trực tiếp địa phương của ( )R  là hạng tử trực tiếp Do L là

hạng tử trực tiếp của ( ),R  nghĩa là ( )R   L P

với một môđun con P nào đó của ( ).R  Từ đó chúng ta có

'

Q L P

trong đó 'P  Q P

Hiển nhiên rằng P' là môđun con đóng của Q và do đó là môđun con

đóng của ( )R  Nếu P'0, như lập luận ở trên P' chứa một môđun con

đóng đều V khác 0 của P' và V là hạng tử trực tiếp của ( ).R  Khi đó ta

thấy rằng L  V k K U k V là một phần tử thuộc  Điều đó mâu thuẫn

với tính tối đại của L trong , mâu thuẫn đó chứng tỏ rằng P'0 và QL

là hạng tử trực tiếp của ( ).R  Như vậy ta đã chứng minh được ( )R  là

CS-môđun

Bây giờ áp dụng [4, Hệ quả 2], R là QF-vành.Định lý trên đã được chứng

minh hoàn toàn

Từ Định lý 2.2.5, các Mệnh đề 2.2.3 và 2.2.4 ta có kết quả sau đây: