Sự hội tụ chắc chắn của dãy các đại lượng ngẫu nhiên

Lời mở đầuTrong lý thuyết xác suất, sự hội tụ của dãy đại lợng ngẫu nhiên theo một số nghĩa khác nhau đóng vai trò rất quan trọng.. Sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy các đại lợng ngẫu nhiê

Mục Lục

Trờng đại học vinh

Khoa toán

==========

Sự hội tụ hầu chắc chắn

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Ngành cử nhân khoa học toán

-Chuyên ngành: Xác suất thống kê

Giáo viên hớng dẫn :PGS.TS Nguyễn Văn Quảng

Sinh viên thực hiện :Hoàng Thị Nhung

Lớp :43 E2 Toán–

Vinh, 5/ 2007

Đ2 Sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy đại lợng ngẫu nhiên 11

Đ3 Sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi các đại lợng ngẫu

Lời mở đầu

Trong lý thuyết xác suất, sự hội tụ của dãy đại lợng ngẫu nhiên theo một

số nghĩa khác nhau đóng vai trò rất quan trọng Sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy các đại lợng ngẫu nhiên, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu Luật mạnh

số lớn đối với dãy đại lợng ngẫu nhiên độc lập và martingale

Khoá luận này trình bày sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy các đại l ợng ngẫu nhiên và các tính chất của sự hội tụ đó

Với mục đính nh vậy, khoá luận này đợc chia làm 3 phần:

Phần 1: Các kiến thức chuẩn bị Trong phần này, chúng tôi giới thiệu các

khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất phục vụ cho phần sau: Không gian xác suất, các tính chất của không gian xác suất,

Phần 2: Sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy đại lợng ngẫu nhiên Trong phần

này, chúng tôi trình bày các tính chất về sự hội tụ hầu chắc của dãy đại l ợng ngẫu nhiên và chứng minh những mệnh đề liên quan đến sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy đại lợng ngẫu nhiên

Phần 3: Sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi các đại lợng ngẫu nhiên độc lập

và martingale Trong phần này, chúng tôi giới thiệu các tính chất về sự hội tụ của chuỗi các đại lợng ngẫu nhiên độc lập và chứng minh một số định lý hội tụ đối với martingale

Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình chu đáo của PGS TS Nguyễn Văn Quảng Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Em xin gửi lời cám ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán và bạn bè đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập tại khoa

Cuối cùng, do sự hạn chế thời gian và tài liệu tham khảo nên khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong đợc sự đóng góp, giúp đỡ của quý thầy cô và các bạn.

Vinh, tháng 4 năm 2007

Tác giả

iii) Nếu A,B ∈ Ŧ thì A∪ B∈ Ŧ.

n n

1.3 Định nghĩa Giả sử Ω ≠ φ, Ŧ là một σ −đại số các tập con của Ω Khi đó

một ánh xạ P: Ŧ →ℝ (A→P(A)) đợc gọi là một độ đo xác suất trên Ŧ nếu:

) (

n

n

n n

A P A

1.4 Định nghĩa Giả sử Ω ≠ φ, Ŧ là một σ −đại số các tập con của Ω và

P: Ŧ →ℝ là độ đo xác suất Khi đó bộ ba (Ω,Ŧ,P) đợc gọi là một không gian xác

suất.

1.5 Tính chất.

a) P( )φ = 0;

b) Nếu A⊂ B thì P( )A ≤P( )B ;

c)Nếu A⊂ B thì ( ) () () BP \ PA −= APB;

d) P( )A +P( )A =1;

e)Nếu A, B ∈Ŧ thì P(A∪B)=P( )A +P( )B −P( )AB ;

f)Nếu A , , B C ∈Ŧ thì P(A∪B∪C)=P( )A +P( )B +P( )C −P( )AB −P( )AC −P( )BC +P(ABC); g)Nếu { } An ⊂ Ŧ thì ∞= ≤∑∞= ( )

1

n n

1.6 Định nghĩa Hai biến cố A, B đợc gọi là độc lập nếu P(AB) =P( ) ( )A.P B

1.7.Định nghĩa Họ tùy ý các biến cố ( )A i i∈I gọi là độc lập đôi một nếu ∀i≠ j;

1.9 Định nghĩa Giả sử (Ω,Ŧ, P) là không gian xác suất Khi đó ánh xạ đo

đợc X: Ω → ℝ đợc gọi là đại lợng ngẫu nhiên (ĐLNN).

d) Nếu X1,X2,….,Xn,… là dãy ĐLNN cùng xác định trên (Ω,Ŧ,P) thì infn X n;

1.12 Định nghĩa i) ŦX đợc gọi là σ −đại số sinh bởi X

ii) Hai σ −đại số Ŧ1, Ŧ2 đợc gọi là độc lập nếu với mọi A1∈ Ŧ1 thì A2∈ Ŧ2 thì P(A1.A2)=P(A1)P(A2) Họ σ −đại số { Ŧ α,α ∈ I} độc lập nếu với mọi

họ con hữu hạn Ŧ α 1…. Ŧ αn của họ (Ŧ α)α ∈I

và mọi Aα∈ Ŧ α(α ∈I) ta có: P(A1….An)=P(A1)…P(An)

iii) Hai ĐLNN X,Y gọi là độc lập nếu Ŧ X, Ŧ Y độc lập Dãy ĐLNN X1,X2,….,Xn,

…gọi là độc lập nếu với mọi n≥1, thì Ŧ (X1,X2,…,Xn) và

1.14 Chú ý Kỳ vọng của đại lợng ngẫu nhiên X có thể tồn tại hoặc không tồn

tại Kỳ vọng của đại lợng ngẫu nhiên X tồn tại nếu tích phân trong vế phải của

định nghĩa 1.13 tồn tại

1.15 ý nghĩa Kỳ vọng của đại lợng ngẫu nhiên X là giá trị trung bình theo xác

suất của đại lợng ngẫu nhiên đó Trong trờng hợp X nhận các giá trị với xác suất

nh nhau thì kỳ vọng của X chính là trung bình cộng của các giá trị của nó

1.16 Tính chất

b) Nếu X=C=const thì EX = C;

E(aX+bY)=aEX+bEY;

f) Cho X,Y là các ĐLNN,nếu X,Y độc lập thì EXY=EX.EY.

thì E(X 1 X 2 …X n )=EX 1 EX 2 ….EX n

g) Nếu X rời rạc có bảng phân phối

x

f

p x

) ( )

(

) (

)

(

nếu X rời rạc và P(X=x i )=p i ; nếu X liên tục có hàm mật độ p(x).

1.17 Bổ đề Borel-Cantelli Giả sử (An) là dãy biến cố bất kỳ

n m n

m n

ii) NÕu ∃C < ∞ sao cho P( X n ≤C)= 1 ;n ≥ 1 vµ ∑∞

= 1

n n

EX 1.20. §Þnh lý (LuËt m¹nh sè lín Kolmogorov) Gi¶ sö (Xn) lµ d·y c¸c §LNN

ii) Moment trung tâm bậc hai chính là phơng sai.

1.23 Bất đẳng thức Liapunov Đối với ĐLNN X bất kỳ và 0<s<t, ta có

X s ≤ X t

Đặc biệt E X ≤ ( )EX2 2 ≤ ≤( )EX n 1n ≤ ≤ X ∞.

1.24 Định nghĩa Giả sử (Ω,Ŧ,P) là không gian xác suất; X: Ω → ℝ là ĐLNN

thì X-1(B) ∈ G.

1.25 Định nghĩa Giả sử (Ω,Ŧ,P) là không gian xác suất; X: Ω → ℝ là ĐLNN

b) Nếu X 1≥ X 2 (h.c.c) thì E(X 1 / G)≥ E(X 2 / G).

E(aX 1 +bX 2 / G)=aE(X 1 / G)+bE(X 2 / G).

e) Nếu X≥0 thì E(X/ G) ≥0 (h.c.c).

h) Nếu G 1⊂G 2 ⊂ Ŧ thì E(E(X/ G 1) / G2) = E{(X/ G2)/ G1}= E(X/ G1 )

i) Cho X là G -đo đợc và E/XY/<∞, E/Y/<∞ Khi đó

các ĐLNN cùng xác định trên (Ω,Ŧ, P) Khi đó dãy (Xn) gọi là

i) E X n < ∞ và X n là ĐLNN Ŧ n -đo đợc(∀n );

ii) ∀m≥n, ta có E(X m |Ŧ n )≤X n

1.28 Tính chất

c) Nếu (X n ) là martingale dới thì EX 1≤EX 2≤… ≤EX n

d) Nếu (X n ) là martingale trên thì EX 1≥EX 2≥….≥EX n

e) Nếu (X n ) là hiệu martingale thì (S n ) là martingale.

f) Nếu (S n ) là martingale thì (S n -S n-1 ) là hiệu martingale.

k

X E

1

2 2

1 )

sup

thì dãy (X n ) hội tụ h.c.c.

1.30 Khai triển Doob Mọi martingale dới ( )X n n≥ 0 có thể viết duy nhất dạng

n n

Trong đó ( )M n là martingale, ( )A n dãy tăng.

Đ2 Sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy Đại Lợng

Ngẫu Nhiên

(Ω,Ŧ,P) Ta nói dãy (Xn) hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) về đại lợng ngẫu nhiên X

Do đó tồn tại P(A)

2.3 Các tính chất về sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy ĐLNN.

1 1

N n



⇔ Nlim→∞ P  ∞ { : ( ) − ( ) > }= 0

=

ε ω ω

X X

n k k

n k

(do ∑∞ ( − > ε)

=

X X

1 vµ X n h →  c X th× Y n h →  c X

Chøng minh

V× Xn h →  c X nªn 0

2 sup

n m

Y X

n

Y X P

Y X

Y X

2 2

m m

m n m

Y X P Y

m n m

Y X P

Y X

Suy ra − > 

n k

sup =(X n −X > ε )

Suy ra 0 ≤P  − > 

n k

sup → 0 suy ra X h c X

n  → 

con cña d·y c¸c sè tù nhiªn thùc sù t¨ng (n k ) mµ X X

k

0 max −   → 

<

<

c h n m

1

ω ω ω

ω

k k

k i

cc h k

n k

hay ∃k0 ≥n: ω ∈A k0 Suy ra ∞

=

∈

n k k

m → Khi đó tồn tại dãy con (m k ,n k )⊂ N 2 sao cho:

1

+ + <

m X X P

Với mỗi k cố định xây dựng đợc dãy thực sự tăng (nk) sao cho

1 2 1

1 2

1

+ +  <

n

m k X k X

Đ3 Sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi các Đại Lợng Ngẫu

Nhiên độc lập và martingale

suất (Ω , , Ŧ Ρ) Đặt Sn = X1+ +Xn Khi đó, ta nói chuỗi ∑∞

= 1

n n

X hội tụ theo nghĩa nào đó nếu dãy ( )S n n ≥ 1 hội tụ theo nghĩa tơng ứng

Giả sử lấy ω ∈ Ω thì tập hợp { ∑ ( )

n n

ω : hội tụ} là biến cố đuôi

Do đó, nếu (Xn) là dãy ĐLNN độc lập thì tập đó có xác suất bằng 0 hoặc bằng 1

3.2 Các tính chất.

n n

Do đó ∑n X n hội tụ theo xác suất

Ta cần chứng minh điều ngợc lại Giả sử ∑

n n

X hội tụ theo xác suất đến ĐLNN X

X hội tụ theo xác suất Điều này có nghĩa là dãy (Sn) hội tụ theo xác suất Do đó, dãy (Sn) cũng là dãy cơ bản theo xác suất Khi đó với mọi

1

1 2

→

≤

≤

2 sup

lim 2

M n m M

m n M

n

m

S S P

Vì δ > 0 suy ra lim→+∞ sup < n − m >2 ε = 0

n m

Nếu chuỗi ∑∞

= 1

n n

X hội tụ h.c.c thì theo định lý ba chuỗi các chuỗi sau hội tụ :

X D

∑∞

1

n n

X E

vì min(X n, 1)≥I(X n >1)) nên từ sự hội tụ của chuỗi ∑∞

X E

∑∞

= <∞.Mặt khác: ( ) ( )( )1 2

1 , min X n ≥ X nên cũng có ∑∞ ( )

X hội tụ hầu chắc chắn

n n

n n

n n

X héi tô h.c.c

+) Giả sử (Xn) là dãy ĐLNN độc lập và ∑∞

= 1

n n

X hội tụ h.c.c Ta cần chứng minh

tồn tại C<∞ để P(X n ≤C)= 1 ; n≥ 1…và giả sử (a n ) là dãy số Khi đó ∑∞

= 1

n

n

n X a

=

∞

<

1 2

n n

n n

a hội tụ h.c.c thì dãy ( )a n phải bị chặn Thật vậy, nếu dãy

( )a n không phải bị chặn thì tồn tại dãy a n k → ∞ mà a n k X n k → 0 (h.c.c) Do đó

n n

3.2.6 Mệnh đề Giả sử ( )X n là dãy ĐLNN Nếu P(X n+1 ≥X n) = 1, với n=1,2,

và nlim→∞EX n =a<∞ thì tồn tại ĐLNN X sao cho: X h c X

n  →  Chứng minh.

Giả sử ω ∈ Ω Do P(X n+1 ≥X n) = 1 nên X n+1( )ω ≥X n( )ω ≥ 0 ; n≥ 1

Do đó tồn tại X :Ω →R { + ∞ } sao cho X n( )ω →X( )ω , với mỗi ω ∈ Ω

Theo định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn = = < ∞

k k

X

n

EX n

k EX X

n 1

0 )

(

1

(khi n→ ∞ ) (1)Mặt khác, từ giả thiết:

k k

=

n

n n

X hội tụ h.c.c suy ra ∑∞

Y hội tụ và các hạng tử là các ĐLNN độc lập và bị chặn đều

(bởi 1) nên chuỗi ∑∞

= 1

n n

EY hội tụ (Theo định lý hai chuỗi)

EY thì ta cần chứng minh ∑∞

= 1

2

n n

X hội tụ h.c.c

EY nên ∑∞

= 1

n n

Y là ĐLNN khả tích nên hữu hạn h.c.c Do đó, tồn tại tập A đo đựơc, P( )A = 1 sao cho với ω ∈A

( ) ( )

n n

= 1

n n

X ω và

chỉ có hữu hạn n để X n( ω ) ≠Y n( ω ) suy ra ∑∞

= 1

) (

n n

Y ω hội tụ Vậy chuỗi ∑∞

= 1

n n

Y hội

tụ h.c.c

3.2.10 Mệnh đề Giả sử {(X n , Ŧ n ) ; n≥ 1} là một martingale l1 bị chặn với C>0

X P A

n n

A Vậy dãy ĐLNN (X n) hội tụ hầu chắc chắn

EX

= 1

n n

k k k

EM

2 1

2 2

Suy ra ≤∑∞ < ∞

= 1

2 2

sup

k k n

2 2

2

sup sup

k k n

n n n

EX M

E M

Do đó (Mn) hội tụ h.c.c Suy ra ∑∞

= 1

n n

khi m, n→ ∞ (vì ∑∞ < ∞

= 1

2

k k

Đặt

n

X X

k k n

k

X X E d

E d

E EM

2 1 2

2

1 2

2 2

4

1 4

.Suy ra

EM E M

; khi m, n→ ∞ (vì ∑∞ < ∞

= 1

2

k k

Ed )

Do đó (Mn) là dãy cơ bản trong L2

Vì L2 là không gian Banach nên (Mn) cũng hội tụ trong L2

Kết luận

Khóa luận đã nêu đợc những vấn đề sau:

1) Nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của lý thuyết xác suất cần thiết nh Không gian xác suất, đại lợng ngẫu nhiên, kỳ vọng có điều kiện và martingale

2) Giới thiệu một số tính chất về sự hội tụ của dãy đại lợng ngẫu nhiên và chứng minh các mệnh đề liên quan đến sự hộị tụ của các đại lơng ngẫu nhiên

3) Giới thiệu các tính chất về sự hội tụ của chuỗi các đại lợng ngẫu nhiên

độc lập, chứng minh một số định lý hội tụ đối với martingale

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] NguyÔn Duy TiÕn, Vò ViÕt Yªn, (2003), Lý thuyÕt x¸c suÊt, NXB gi¸o

dôc

[2] §µo H÷u Hå, (2004), X¸c suÊt thèng kª, NXB §HQG HN.

[3] §inh V¨n G¾ng, (2005), Lý thuyÕt x¸c suÊt vµ thèng kª, NXB gi¸o

dôc

[4] Vò ViÕt Yªn, (2005), Bµi tËp lý thuyÕt x¸c suÊt, NXB §H SP.