Bài giảng Cơ ứng dụng: Phần 2 - ĐH Phạm Văn Đồng

Tiếp nội dung phần 1, Bài giảng Cơ ứng dụng: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Cơ sở lý thuyết động lực học chất điểm. Các định lý tổng quát của động lực học. Nguyên lý d''alembert. Nguyên lý di chuyển khả dĩ. Các khái niệm cơ bản. Các trường hợp thanh chịu lực đơn giản thường gặp. Mời các bạn cùng tham khảo!

PHẦN III ĐỘNG LỰC HỌC

Động lực học là phần thứ ba của môn cơ học ứng dụng, nghiên cứu các mối

quan hệ có tính chất quy luật giữa giữa hai đại lượng: đại lượng lực và đại lượng chuyển động của chất điểm

Tĩnh học giải quyết hai vấn đề chính trong động lực học là:

+ Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm, hai bài toán cơ bản của động lực học

+ Hiểu và áp dụng các định luật, định lý dộng lực học vật rắn

+ Hiểu và áp dụng được nguyên lý D’Alembert

+ Hiểu và áp dụng được nguyên lý di chuyển khả dĩ

Về phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lý thuyết để giải quyết các bài toán động lực hoc

Về ứng dụng: giải thích các hiện tượng thực tế, đồng thời làm cơ sở để học môn học Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu.

Chương 6

CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM

A MỤC TIÊU

- Nắm và vận dụng các định luật Newton trong bài toán động lực học

- Vận dụng phương trình vi phân chuyển động để giải hai bài toán cơ bản của

động lực học.

B NỘI DUNG 6.1 CÁC TIÊN ĐỀ CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC

6.1.1 Tiên đề 1 (định luật I NEWTON: định luật quán tính)

Định luật: một chất điểm giữ nguyên trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳngđều khi không có lực tác dụng lên vật đó

F = => =v c t => =

(6.1)Trạng thái chuyển động thẳng đều hay đứng yên của vật rắn được gọi trạng tháichuyển động theo quán tính

Định luật I Newton chỉ đúng trong hệ quy chiếu quán tính Hệ quy chiếu quántính là hệ quy chiếu gồm hệ tọa độ gắn với vật chọn làm mốc và mốc thời gian để xácđịnh thời điểm và định vị chuyển động của vật rắn.

Vật rắn thỏa mãn định luật I Newton là vật rắn cân bằng

6.1.2 Tiên đề 2 (định luật II NEWTON: định luật cơ bản)

Định luật: Trong hệ quy chiếu quán tính, gia tốc của chất điểm có hướng cùngvới hướng của lực tác dụng và tỷ lệ với trị số của lực ấy

: gia tốc của chất điểm

Biểu thức (8.2) là Phương trình cơ bản của động lực học

* Chú ý:

+ Gia tốc tỷ lệ nghịch với khối lượng của chất điểm

+ Chất điểm rơi tự do trong trường trọng lực thì trọng lượng của vật được xácđịnh: P = mg (với g = 9,81 N/m2là gia tốc trọng trường)

+ Trong hệ đo lường cơ bản SI, khối lượng m có đơn vị kg, lực có đơn vị là N(Newton)

6.1.3 Tiên đề 3 (định luật III NEWTON: định luật lực tác dụng và phản lực tác dụng)

Định luật: Các lực tác dụng tương hỗ giữa hai chất điểm có cùng đường tác dụng(cùng giá), cùng cường độ và ngược chiều nhau

* Chú ý:

+ Định luật này là cơ sở để nghiên cứu bài toán cơ hệ

+ Lực tác dụng và phản lực tác dụng (hai lực tương hỗ) không phải là hai lực cânbằng vì chúng tác dụng lên hai vật khác nhau

Trường hợp vật chịu tác dụng của nhiều lực, ta có biểu thức:

6.2.1 Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

Biểu thức (6.5) ở trên là phương trình vi phân chuyển động của chất điểm chịutác dụng của hệ lực Ta thường chiếu biểu thức (6.5) lên các trục tọa độ để tiến hànhtính toán Có 3 dạng tọa độ thường khảo sát, như sau:

a Dạng Véctơ

Xét chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng của hệ lực (F , F , , F ) 1 2 n

.Gọi r

là véctơ định vị của chất điểm

Từ biểu thức (6.5) ta có: mw = ∑ Fk

Mà

2 2

( )( )( )

k k k

Hệ phương trình (6.8) là các phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng tọa độDescartes

c Dạng tọa độ tự nhiên

Đối với các chất điểm đã biết trước quỹ đạo chuyển động (như đường tròn, elip,đường cong Hyprebol, Parabol…) thì ta thưởng dùng hệ tọa độ tự nhiên để khảo sátphương trình vi phân chuyển động của chất điểm

Hệ tọa độ tự nhiên M nb gồm 3 trục (như hình 6.1):

+ M là trục tiếp tuyến với quỹ đạo

+ Mn là trục pháp tuyến chính của quỹ đạo

+ Mblà trục trùng pháp tuyến của quỹ đạo

k

nk

bk

m s s m

6.2.2 Hai bài toán cơ bản của động lực học

Dựa vào định luật II Newton về mối quan hệ giữa lực tác dụng và chuyển độngcủa chất điểm, có thể phân ra hai dạng bài toán cơ bản của động lực học chất điểm: bàitoán thuận và bài toán ngược

a Bài toán thuận

Cho biết các đặc trưng chuyển động (phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc, tính chất chuyển động), tìm lực tác dụng lên chất điểm.

a1 Các bước tính bài toán thuận:

Bước 1: Khảo sát vật rắn chuyển động dưới dạng một chất điểm

Bước 2: Đặt các lực lên chất điểm: lực hoạt động và các phàn lực liên kết

Bước 3:Lựa chọn hệ tọa độ hợp lý: Hệ tọa độ Descartes hoặc hệ tọa độ tự nhiên

và viết các phương trình vi phân chuyển động ứng với mỗi hệ trục tọa độ đã chọnBước 4: Xác định gia tốc chiếu lên mỗi trục của từng hệ trục tọa độ

Bước 5: Tìm lực tác dụng lên chất điểm dựa vào các phương trình vi phânchuyển động của chất điểm

a2 Các ví dụ:

Ví dụ 6.1 (bài toán thuận):

Thang máy đang chuyển động đi xuống với gia tốc w Xác định sức căng T củasợi dây cáp

Giải:

T

Pw

- Khi thang máy chuyển động thẳng đều hoặc đứng yên (w=0) thì T=P

- Khi thang máy đi lên thì T P.(1+w) P

g

- Khi thang rơi tự do (tức là w =g) thì T=0

Ví dụ 6.2 (bài toán thuận):

Một vật nặng có trọng lượng P treo vào đầu sợi dây L và buộc vào điểm O Vậtnặng quay quanh trục thẳng đứng và vạch nên 1 vòng tròn trong mặt phẳng nằmngang, dây treo tạo với đường thẳng đứng một góc Xác định vận tốc của vật nặng

và sức căng của dây

Giải:

T

M P n

v g g

b Bài toán ngược

Cho biết lực tác dụng lên các chất điểm và các điều kiện ban đầu của chuyển

động Yêu cầu xác định: Chuyển động của chất điểm (phương trình chuyển động, hoặc

vận tốc, hoặc gia tốc, hoặc thời gian chuyển động).

b1 Các bước tính bài toán ngược:

Bước 1: Khảo sát vật rắn chuyển động dưới dạng một chất điểm

Bước 2: Đặt các lực lên chất điểm: lực hoạt động và các phàn lực liên kết

Bước 3:Lựa chọn hệ tọa độ hợp lý và viết phương trình vi phân chuyển động vàcác điều kiện đầu có dạng:

m r =∑ F t r v  

( , , )( , , ) ( , , )

Ví dụ 6.3 (bài toán ngược):

Vật có trọng lượng P bắt đầu chuyển động từ trạng thái đứng yên trên mặt phẳngnằm ngang dưới tác dụng của lực thay đổi theo thời gian F=at (a là hằng số)

Tìm quy luật chuyển động của vật

N F

1

* *2

a

m

=

C CÂU HỎI ÔN TẬP

1 Phát biểu các định luật cơ bản của động lực học ?

2 Viết phương trình vi phân chuyển động của chất điểm dưới dạng toạ độ Descartes, dạng toạ độ tự nhiên.

3 Cách giải hai bài toán cơ bản cuả động lực học chất điểm.

D BÀI TẬP BỔ TRỢ

Bài tập 6.1 Một Một vật có khối lượng m =20kg được ném thẳng đứng lên cao Ban

đầu vật đứng yên Lực cản của không khí FC=k.m (với k=0,15) Hãy tìm quy luậtchuyển động của vật và tính gia tốc của vật lúc t= 2s Biết gia tốc trọng trường g=9,81m/s2

Bài tập 6.2 Cho thang máy có khối lượng m=800 kg đang hoạt động và được treo

bằng một sợi cáp Tính lực căng của sợi cáp khi thang máy đi lên với gia tốc w = 4m/s2 Biết lực cản của không khí là FC=k.m ( với k=0,1), gia tốc trọng trường g=9,81m/s2

Chương 7 CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC

A MỤC TIÊU

- Nắm và vận dụng định lý biến thiên động lượng, định lý chuyển động khối tâm,

định lý biến thiên mô men động lượng, định lý biến thiên động năng để giải các bài toán động lực học chất điểm và của cơ hệ

B NỘI DUNG

Phương pháp tìm quy luật chuyển động của chất điểm (hoặc cơ hệ) bằng cách lậpphương trình vi phân chuyển động rồi tích phân các phương trình vi phân đó có nhiềunhược điểm như: Không phải mọi phương trình vi phân đều tích phân được, hơn nữavới cơ hệ có nhiều chất điểm thì khối lượng tính toán khá lớn

Do vậy, để có thể lập phương trình chuyển động mà không nhất thiết phải biếtchuyển động của từng chất điểm cụ thể ta dùng các định lý tổng quát của ĐLH Cácđịnh lý tổng quát của ĐLH là hệ quả của phương trình cơ bản ĐLH, cho biết mối quan

hệ giữa các đặc trưng động lực cơ bản (động lượng, momen động lượng, động năng)

và các đại lượng cơ bản do tác dụng của lực (xung lượng của lực, momen của lực và

công của lực).

7.1 ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG

7.1.1 Động lượng

7.1.1.1 Động lượng của chất điểm

chất điểm và vận tốc của nó.

Trong đó:

m: khối lượng của chất điểm

vvận tốc chuyển động của chất điểm

7.1.1.2 Động lượng của cơ hê

a Khối tâm của hệ

Xét cơ hệ gồm n chất điểm chất điểm thứ k (với k = 1, 2,…, n) có khối lượng

k

m và vị trí của mỗi chất điểm k được xác định bởi véctơ định vị rk như hình (7.1)

Điểm hình học C được gọi là khối tâm của cơ hệ nếu vị trí của nó được xác địnhbởi công thức:

k k c

k k c

m x x

M

m y y

M

m z z

- Nếu cơ hệ chuyển động phức hợ thì động lượng Q

chỉ đặc trưng cho chuyểnđộng tịnh tiến của cơ hệ mà không đặc trưng cho chuyển động quay

7.1.2 Định lý biến thiên động lượng

7.1.2.1 Xung lượng của lực

Xung lượng của lực là đại lượng dùng để đánh giá tác dụng của lực theo thờigian Giả sử cơ hệ chịu tác dụng của lực F

trong khoảng thời gian từ t0 → t1thì chịu

một xung lực hữu hạn được xác định như sau:

7.1.2.2 Định lý biến thiên động lượng

Giả sử cơ hệ có n chất điểm, xét chất điểm thứ k (k=1 -> n) chịu tác dụng củanội lực Fk i

và ngoại lực e

k

F

Ta có:

Dựa vào biểu thức (7.10), ta có phát biểu định lý 1: Đạo hàm bậc nhất của động

lượng của cơ hệ theo thời gian bằng tổng hình học các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ.

b Định lý 2:

Biến thiên động lượng của cơ hệ trong khoảng thời gian nào đó bằng tổng xung

lượng của tất cả ngoại lực tác dụng lên cơ hệ trong khoảng thời gian đó.

1 0

e k

- Nội lực không ảnh hưởng đến sự biến đổi động lượng của cơ hệ

- Biểu thức (7.10); (7.11) có thể được tính toán bằng cách chiếu lên các trục tọa độvuông góc với nhau trong hệ trục tọa độ được chọn

7.1.3 Định luật bảo toàn động lượng

Nếu tổng các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ bằng không thì động lượng của cơ hệđược bảo toàn

Nếu tổng các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ theo một trục (hay một phương) nào

đó bằng không thì động lượng của cơ hệ được bảo toàn theo trục đó

Xét trục x: ∑X k e = ⇒ 0 Q X =const

7.1.4 Bài tập áp dụng

* Phạm vi áp dụng:

Trong công thức của các định lý biến thiên động lượng có 3 đại lượng: v, w và t,

do dó nó thường được áp dụng trong các bài toán va chạm và chuyển động của chấtlỏng

* Trình tự giải:

- Xác định cơ hệ khảo sát

- Đặt các ngoại lực tác dụng lên hệ: gồm lực hoạt động và phản lực lên kết

- Chọn hệ trục toạ độ và áp dụng định lý để viết phương trình

- Giải phương trình, dựa vào các biểu thức định nghĩa động lượng và xung

lượng để tìm các đại lượng yêu cầu

Hệ ngoại lực tác dụng lên hệ: trọng lượng P Q , 

và phản lực liên kết của bệ lênnòng súng N

1X

Q là động lượng của hệ theo phương x ở thời điểm viên đạn bay ra.

0 X

Q : động lượng của hệ theo phương x trước khi bắn

Ban đầu cơ hệ đứng yên nên Q0X = 0

Gọi v là vận tốc giật lùi của viên đạn, ta có:

(giá trị âm vì nòng súng chuyển động giật lùi)

7.2 ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM

7.2.1 Định lý chuyển động khối tâm

- M là là khối lượng của cơ hệ

- w c là gia tốc của khối tâm.

dv d

dt  = dt =∑ .wc k e

7.2.2 Định luật bảo toàn chuyển động khối tâm

7.2.2.1 Nội dung định luật

Nếu tổng các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ bằng không thì khối tâm của cơ hệchuyển động theo quán tính

7.2.2.2 Chứng minh định luật bảo toàn khối tâm

Theo biểu thức (7.14) ta có ∑Fk e = ⇒ = 0 vc 0 (hoặc vc =const)

Nghĩa là khối tâm của cơ hệ sẽ chuyển động theo quán tính

Trường hợp đối với trục x ta có: ∑X k e = ⇒ = ⇒ = 0 xc 0 xc 0 hoặc xc =const

* Chú ý:

Nếu ban đầu khối tâm đứng yên (xc = ⇒ 0) x c =const có nghĩa là x0c =x1c

Mà

k k c

m x x

M

=∑

nên: ∑m x0k 0k =∑m x1k 1k (7.15)Trong đó:

0c; 1c

x x lần lượt là vị trí của khối tâm lúc ban đầu và lúc đang khảo sát

Quy ước: trạng thái “0” là trạng thái ban đầu; trạng thái “1” là trạng thái đangkhảo sát của cơ hệ

7.2.3 Bài toán áp dụng

7.2.3.1 Phạm vi áp dụng

Định lý được áp dụng trong các bài toán sau:

- Bài toán thuận:

Biết chuyển động của các bộ phận cơ hệ , tìm Lực tác dụng lên cơ hệ (thường là phảnlực liên kết)

- Bài toán ngược: Biết ∑X k e = 0, tìm khối lượng dịch chuyển hoặc vận tốc khối tâmcủa 1 bộ phận

7.2.3.2 Trình tự giải

- Phân tích chuyển động của cơ hệ: Phân tích các đặc điểm chuyển động của các bộphận cơ hệ.

- Phân tích các ngoại lực tác dụng lên hệ (gồm lực hoạt động và phản lực liên

Một động cơ điện được giữ cố định lên sàn bằng bu lông Phần cố định của động

cơ có trọng lượng Q, phần quay (rôto) có trọng lượng P, đặt cách trục quay 1 đoạn là e

a Tìm giá trị cực đại của lực cắt ngang bu lông nếu động cơ quay đều với vậntốc 

b Nếu động cơ điện chỉ đặt trên nền ngang nhẵn, thì độ dịch chuyển ngang lớnnhất của nó là bao nhiêu ?

Chiếu (a) lên trục x ta được: M.x c =R (b)

Muốn tìm R cần xác định x  c Theo công thức tính khối tâm ta có:

* Nhận xét: Khi lớn thì R maxlớn Tuy nhiên nếu độ lệch e bé thì dùlớn thì R maxcũng sẽ rất bé Do đó trong kỹ thuật cần cân bằng rôto để e=0

7.3 ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG

7.3.1 Mômen quán tính

7.3.1.1 Mô men quán tính của vật rắn đối với trục z ( J z)

Cho vật rắn chuyển động quay quanh trục z, trong đó chất điểm thứ k có khốilượng m kcách trục quay một đoạn r k

Định nghĩa: Mômen quán tính của vật rắn đối với trục z là tổng các tích củakhối lượng của mỗi chất điểm với bình phương khoảng cách từ chất điểm ấy đến trụcquay

- Mô men quán tính luôn luôn dương J Z > 0

-Trong kỹ thuật, đối với vật rắn ta thường dùng công thức:

2

Z

Trong đó:

+ là bán kính quán tính của vật đối với trục.

- Khi xét chuyển động trong mặt phẳng, trục z sẽ suy biến thành điểm O (H 7.3b),nên biểu thức mômen quán tính thường được xác định dối với một điểm suy biến Onhư sau:

2 0

2

0 k k

Trong đóJ0là momen quán tính của vật rắn đối với tâm O

- Mômen quán tính của cơ hệ biểu thị độ đo quán tính của nó trong chuyển động quayquanh trục hoặc tâm Có thể nói momen quán tính J z đặc trưng cho “tính ì” của cơ hệtrong chuyển động quay giống như khối lượng m trong chuyển động tịnh tiến

7.3.1.2 Mô men quán tính của vật rắn đối với trục z ( J z)

Mômen quán tính của 1 số vật rắn đồng chất thông dụng được cho trong Bảng:

Bảng 2.1 Mô men quán tính của một số vật rắn đồng chất

J =

7.3.2 Mômen động lượng

7.3.2.1 Mômen động lượng đối với một tâm

a Moomen động lượng của chất điểm đối với một tâm

Mômen động lượng chất điểm đối với tâm O là 1 vectơ được xác định bằngbiểu thức:

0 0 ( )

l =m q  = ∧ = ∧r  q r mv

(7.20)

b Mômen động lượng của cơ hệ đối với một tâm

Mômen động lượng của cơ hệ đối với tâm O là 1 vectơ được xác định bằngtổng đại số mômen động lượng của các chất điểm thuộc cơ hệ đối với điểm ấy:

0 0k

7.3.2.2 Mômen động lượng đối với một trục

a Mômen động lượng của chất điểm đối với một trục z

- Dấu “+” khi q 'quay quanh O ngược chiều kim đồng hồ và dấu “-” thì ngược lại

b Mômen động lượng của cơ hệ đối với một trục z

Mômen động lượng của cơ hệ đối với trục z là một đại lượng đại số được xácđịnh bằng tổng mômen động lượng của các chất điểm thuộc cơ hệ đối với trục ấy:

z zk

7.3.2.3 Mômen động lượng của vật rắn quay

Mômen động lượng của vật rắn quay quanh 1 trục cố định bằng tích số giữa vậntốc góc của vật với mômen quán tính của vật đối với trục quay

z z

L =J

(7.24)

Định lý: Trong chuyển động tịnh tiến của vật rắn, mọi điểm thuộc vật sẽ chuyển

động giống hệt nhau, nghĩa là quỹ đạo của mọi điểm trùng khít lên nhau, tại mỗi thờiđiểm vận tốc và gia tốc các điểm đều bằng nhau

7.3.3 Định lý biến thiên mômen động lượng của cơ hệ

- Đạo hàm mômen động lượng theo thời gian của cơ hệ đối với 1 tâm bằng tổngmômen của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ đối với tâm đó

* Nhận xét: Nội lực không ảnh hưởng đến sự thay đổi của mômen động lượng.

7.3.4 Định luật bảo toàn mômen động lượng

- Nếu tổng mômen của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ đối với 1 tâm bằngkhông, thì mômen động lượng cơ hệ đối với tâm ấy không đổi

- Chú ý: so sánh giữa động lượng Q =Mvc

và mô men động lượng Lz=J z

, tathấy: M là đặc trưng cho quán tính của vật trong chuyển động thẳng; J z đặc trưngchuyển động của vật trong chuyển động quay

7.3.5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn quay

Cho vật rắn quay quanh trục cố định z, ta có phương trình vi phân:

J  =∑m F ⇔J  =∑m F (7.28)Biểu thức (7.28) là phương trình vi phân chuyển động của vật rắn quay quanhmột trục cố định thể hiện mối quan hệ giữa momen lực tác dụng và gia tốc góc

* Nhận xét: khi so sánh công thức Mw =Fk e

và J z =∑m F z(k e) ta thấy:

w  là đặc trưng chuyển động của vật trong chuyển động thẳng.

 là đặc trưng chuyển động của vật trong chuyển động quay

7.3.6 Bài toán áp dụng

Định lý biến thiên momen động lượng thường được áp dụng trong các dạng bàitoán sau:

a Biết: Tổng momen các ngoại lực đối với trục quay

Xác định: Các yếu tố động học (gia tốc hoặc gia tốc góc) của cơ hệ 1 bậc tự do

b Biết: Cơ hệ được bảo toàn momen động lượng đối với 1 trục hoặc 1 tâm cốđịnh Xác định: Chuyển động của cơ hệ

c Biết: Vật rắn quay quanh 1 trục hoặc 1 tâm cố định Khảo sát chuyển độngcủa vật rắn

Ví dụ 7.3:

Một dây treo vật A có trọng lượng Q quấn trên ròng rọc B có tâm O trọng lượng

P và bán kính r Biết rằng dây không trọng lượng và không dãn, bỏ qua ma sát tại ổtrục

a Tìm gia tốc góc của ròng rọc khi vật A chuyển động đi xuống theo phươngthẳng đứng Biết ròng rọc B có bán kính quán tính là

b Nếu động cơ điện chỉ đặt trên nền ngang nhẵn, thì độ dịch chuyển ngang lớnnhất của nó là bao nhiêu ?

Giải:

7.4 ĐỊNH LÝ BIẾN ĐỘNG NĂNG

7.4.1 Định nghĩa động năng

7.4.1.1 Động năng của chất điểm và cơ hệ

a Động năng của chất điểm và cơ hệ

Định nghĩa 1: Động năng của chất điểm là một đại lượng vô hướng và bằng nửatích số giữa khối lượng của chất điểm với bình phương vận tốc của nó

212

Định nghĩa 2: Động năng của cơ hệ bằng tổng động năng của chất điểm thuộchệ

21

- Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến bằng nửa tích số giữa khối

lượng của vật với bình phương vận tốc của khối tâm C của nó

212

b2 Chuyển động quay của vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định

- Động năng của vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định bằng nửa

b3 Chuyển động song phẳng của vật rắn

- Động năng của vật rắn chuyển động song phẳng bằng tổng động năng phầnchuyển động tịnh tiến cùng khối tâm và phần động năng chuyển động quay quanh khốitâm

7.4.1.2 Công cơ học của lực

a Công nguyên tố (dA)

Định nghĩa: Công nguyên tố của lực F

trên một đoạn dịch chuyển vô cùng bé

ds là một đại lượng vô hướng và được xác định bởi biểu thức:

Hay dA=F ds c os( ,F ds  ) (7.36)

Hình 7.7

b Công hữu hạn

Định nghĩa: Công hữu hạn của lực F

trên 1 đoạn dịch chuyển hữu hạn củađiểm đặt từ vị trí M0đến M1 bằng tổng công nguyên tố dA trên đoạn đường đó

và vận tốc vcủa điểm đặt lựcĐơn vị của công trong hệ đo lường SI là J (Jun), 1J=1N.m

c Công của một số lực thường gặp

h độ chênh cao của điểm ban đầuM0 và điểm đíchM1

Dấu “+” khi hướng chuyển đông từ M0đếnM1cùng chiều với trọng lực;

dấu “-” ngược lại

b2 Công của vật rắn quay

F

F

rdz

Hình 7.9

Vật rắn quay quanh một trục cố định z dưới tác dụng của lực F

tác dụng tại Acủa vật, hình chiếu của lực F

lên phương tiếp tuyến của quỹ đạo là F

Giả sử vật rắn quay được một góc thì điểm A di chuyển đoạn ds = r d 

(với r là khoảng cách từ điểm A đến trục quay z)

m s

Với f là hệ số ma sát trượt, N là phản lực tác dụng lên vật

b4 Công của ngẫu lực ma sát lăn

Công của ngẫu lực ma sát lăn đặt lên con lăn tâm O, bán kính R (hình 7.10):

Hình 7.11

Khảo sát lò xo có độ dài ban đầu l0 và độ cứng của lò xo là c.

Giả sử lò xo giãn dài một đoạn a thì công của lực đàn hồi tuyến tính tác dụng lên lò xo

22

Đạo hàm theo thời gian của động năng cơ hệ bằng tổng công suất của ngoại

lực và nội lực tác dụng lên cơ hệ.

- Định nghĩa: Thế năng của cơ hệ tại 1 vị trí M ( M ) nào đó bằng tổng công của lực

thế tác dụng lên hệ khi nó di chuyển từ vị trí M đến M0.

phụ thuộc vào vị trí, nên thế năng là 1 hàm của vị trí:  (x, y, z)

b Thế năng trọng trường và thế năng đàn hồi

* Thế năng trọng trường: Chọn mặt đất làm mốc, thế năng của vật có trọng

lượng P nằm ở cao độ h so với mặt đất được xác định theo công thức:

Dấu “+” khi vật nằm cao hơn gốc thế năng (trọng lực cùng chiều dịch chuyển)

và dấu “-” thì ngược lại

* Thế năng đàn hồi: Xét lò xo có độ cứng C, khi bị biến dạng so với trạng thái

ban đầu một đoạn  thì thế năng được xác định như sau:

212

7.4.3.2 Định luật bảo toàn cơ năng

Khi cơ hệ chuyển động trong trường lực thế thì tổng động năng và thế năng (E)của nó được bảo toàn

ons

7.4.4 Bài toán áp dụng

Có 2 dạng bài toán thường gặp:

* Bài toán thuận:

Biết: Chuyển động của cơ hệ ⇒ Xác định: Công, Công suất

* Bài toán ngược:

Biết: Đặc trưng sinh công của hệ lực tác dụng lên cơ hệ

⇒ Xác định: Chuyển động của cơ hệ

a Tính động năng của hệ khi vật A rơi xuống với vận tốc v A

b Xác định gia tốc của vật A Biết ban đầu hệ đứng yên

=+

Ví dụ 7.5: Một vật nặng A trọng lượng P hạ xuống dưới nhờ 1 sợi dây không dãn,không trọng lượng vắt qua 1 ròng rọc cố định không trọng lượng D và quấn vào tang

B, trong lúc hạ xuống nó làm bánh xe C lăn không trượt dọc theo đường rây nằm

ngang Tang B có bán kính r gắn cố định với bánh xe C có bán kính R, trọng lượngchung của chúng là Q và bán kính quán tính đối với trục nằm ngang là  Xác định:

a Vận tốc của vật A khi nó đang đứng yên và đi xuống một đoạn bằng s

b Gia tốc của vật nặng A

Giải:

a Vận tốc của vật A khi nó đi xuống một đoạn bằng h.

- Hệ khảo sát gồm: vật A, tang B và bánh xe C (ròng rọc D không trọng lượng)

- Phân tích chuyển động: Vật A chuyển động tịnh tiến, tang B và bánh xe Cchuyển động song phẳng

- Hệ lực tác dụng lên cơ hệ gồm:

+ Lực hoạt động trọng lượng P Q, + Các phản lực liên kết N R ,

v = v = K E = R+ r 

A v

g 

=Nên:

CÂU HỎI ÔN TẬP

1 Thế nào là động lượng đối với chất điểm và cơ hệ, xung lượng?

2 Phát biểu định lý động lượng Khi nào động lượng cơ hệ được bảo toàn.

3 Phát biểu định lý về chuyển động khối tâm Định luật về bảo toàn chuyển động khối tâm.

4 Thế nào là mômen động lượng chất điểm và cơ hệ?

5 Phát biểu định lý về mômen động lượng đối với 1 điểm và 1 trục Định luật về bảo

toàn momen động lượng Định lý mômen động lượng đối với vật rắn quay quanh

lượng P Khi bắn viên đạn ra khỏi nòng súng với vận tốc v0

a Xác định vận tốc giật lùi của nòng súng ở thời điểm viên đạn bay ra

b Nếu nòng súng hợp với phương ngang một góc α, hãy tính vận tốc giật lùi củanòng súng

Bài tập 7.2 Hai vật A và B được buộc vào hai đầu sợi dây không dãn, không trọng

lượng vắt qua một ròng rọc cố định C (hình 7.14) Biết ròng rọc là đĩa tròn đồng chất

có trọng lượng Q, bán kính R; Vật A có trọng lượng P1; vật B có trọng lượng P2 Xácđịnh:

a Động năng của hệ khi vật A chuyển động đi xuống với vận tốc vA

b Gia tốc của vật A Biết ban đầu hệ đứng yên

Hình 7.14 Hình 7.15

Bài tập 7.3 Hai vật A và B được buộc vào hai đầu sợi dây không dãn, không trọng

lượng vắt qua một ròng rọc cố định C (hình 7.15) Biết ròng rọc C là đĩa tròn đồngchất có trọng lượng Q, bán kính R; Vật A có trọng lượng PA; vật B có trọng lượng PB

Bỏ qua ma sát giữa nền và vật B Xác định:

a Động năng của hệ khi vật A chuyển động đi xuống với vận tốc vA

b Gia tốc của vật A Biết ban đầu hệ đứng yên

Chương 8 NGUYÊN LÝ D'ALEMBERT

8.1 LỰC QUÁN TÍNH

8.1.1 Lực quán tính của chất điểm

Lực quán tính của chất điểm F qt

là một đại lượng vectơ có cùng phương, ngượcchiều với vectơ gia tốc w của chất điểm và có giá trị bằng tích số giữa khối lượng củachất điểm m với gia tốc w của nó

Lưu ý: Dấu “-” trong công thức (8.1) có nghĩa là Fqt

luôn luôn ngược chiều với giatốc w  của chất điểm

* Trong hệ tọa độ Descartes, lực quán tính được xác định khi chiếu biểu thức (8.1)lên các trục tọa độ, ta được:

X YZ

qt qt qt

b

m m

Hình 8.1

X YZ

qt qt qt

8.1.2.2 Vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định

Xét tấm phẳng quay quanh trục z đi qua điểm O của tấm sao cho trục Oz vuônggóc với tấm phẳng của tấm Thu gọn hệ lực quán tính về 1 tâm ta được 1 lực quántính đặt tại O xác định bởi Rqt = −Mw Cvà 1 ngẫu lực quán tính có mômen bằngmômen chính của các lực quán tính đối với tâm O ở trên trục và được xác định bởi

qt

M

Vì hệ lực quán tính của vật là đồng phẳng nên ta dùng đại lượng đại

sốM 0 qtthay cho đại lượng véctơ M0 qt

- Dấu ( - ) cho ta biết chiều củaM0qt ngược chiều của 

- Nếu trục quay z đi qua khối tâm C thì qt w 0

- Nếu vật quay đều thì M C z qt = −J C z = 0Khi đó hệ lực quán tính thu về 1 lực.

8.1.2.3 Vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định

- Khi vật chuyển động song phẳng ta chọn khối tâm C làm tâm thu gọn Thu gọn hệlực quán tính về khối tâm C ta được 1 lực quán tính đặt tại C được xác định

8.2.1 Nguyên lý D’alembert đối với chất điểm

Xét chất điểm M, khối lượng m, chuyển động trong hệ qui chiếu quán tính vớigia tốc w ,chịu tác dụng của lực F phản lực liên kếtN .Phương trình cơ bản của độnglực học chất điểm: