Một số dạng Toán về hình chóp

CHÓP CÓ CẠNH VUÔNG GÓC MẶT ĐÁY VỚI ĐÁY LÀ TAM GIÁC VUÔNG HOẶC TỨ GIÁC NỘI TIẾP Bài 1.. Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ ABCD và ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AC=2R.. Ta c

MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN CỦA HÌNH CHÓP

A CHÓP TAM GIÁC CÓ CẠNH VUÔNG GÓC MẶT ĐÁY VỚI ĐÁY LÀ TAM GIÁC KHÔNG VUÔNG

Bài mẫu: Lấy S∈At ⊥ (ABC) Gọi I là trực tâm ∆SBC với các đường cao BE,

CF, K là trực tâm ∆ABC với các đường cao BM, CN

I Chứng minh rằng:

1 (BME) ⊥ (SAC), (CNF) ⊥ (SAB), (APS) ⊥ (SBC)

2 KI ⊥ (SBC)

3 EM, FN, IK, SA đồng qui tại Q

4 Tứ diện SQBC có các cặp cạnh đối diện vuông góc nhau

5 AS AQ =AK AP =AN AB =AM AC

6 Tứ giác BCHJ nội tiếp

7 Chứng minh rằng: A, B, C, H, J thuộc cùng một mặt cầu

8 Nếu ∆ABC không cân thì JH luôn đi qua 1 điểm cố định khi S∈At Gọi

điểm cố định là T Chứng minh rằng:
TAB TCA=

II Giả sử ∆ABC đều cạnh a

1 Tìm S∈At để SQmin,VSQBCmin

Tương tự SB ⊥ (CNF) ⇒ SB ⊥ KI Vậy KI ⊥ (SBC)

3 Các đường thẳng EM, FN, IK, SA đôi một cắt nhau nhưng không có 3

đường nào đồng phẳng nên chúng đồng qui tại Q

7 Gọi AD là đường kính của đường tròn

ngoại tiếp ∆ABC ⇒ DB ⊥ AB , DB ⊥ SA

⇒ DB ⊥ AH Mà AH ⊥ SB

⇒ AH ⊥ (SBD) ⇒ AH ⊥ HD

Tương tự AJ ⊥ (SCD) ⇒ AJ ⊥ JD

Vậy A, B, C, H, J thuộc mặt cầu đường kính AD

8 Kéo dài JH cắt BC tại T ⇒ TA ⊥ SA

Theo trên: AH ⊥ SD ⊥ AJ ⇒ SD ⊥ (AJH) ⇒ SD ⊥ TA

Do đó TA ⊥ (SAD) ⇒ TA ⊥ AD Vậy T cố định và
TAB TCA=

II Vì ∆ABC đều nên K là tâm ∆ABC

23

a a

4 Mặt cầu ngoại tiếp SQBC cắt mặt phẳng (C, At) theo đường tròn (ω) ngoại

tiếp ∆CSQ còn (ω) cắt CA kéo dài tại C′

⇒ 2

2

a

AC′ ⋅AC=AS AQ⋅ =AK AP⋅ = ⇒ C′ cố định

⇒ Tâm cầu thuộc đường thẳng cố dịnh (d) ⊥ (BCC′) tại tâm ngoại tiếp ∆BCC′

B CHÓP CÓ CẠNH VUÔNG GÓC MẶT ĐÁY VỚI ĐÁY LÀ TAM GIÁC VUÔNG HOẶC

TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Bài 1 Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD) và ABCD nội tiếp trong

đường tròn tâm O đường kính AC=2R

I Lấy B′, C′, D′ ∈ SB, SC, SD và gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A

1 CMR: AB′, AC′, AD′ cùng ∈ (Q)⊥ SC ⇔ {AB′⊥ SB, AC′⊥SC, AD′⊥SD}

Các câu sau với giả thiết (Q)⊥SC và S cố định

2 Chứng minh rằng: Tứ giác AB′C′D′ nội tiếp

3 Nêu phương pháp tính VSAB C D′ ′ ′ và dt(AB′C′D′)

4 Chứng minh rằng: 7 điểm A,B,C,D,B′,C′,D′ cùng thuộc một mặt cầu

5 CMR: Giao tuyến của (Q) với (ABCD) là đường thẳng ⊥ (SAC)

6 Tìm quĩ tích B′, D′ khi B, D ∈ (O, R)

7 Gọi K là giao điểm các tiếp tuyến của (O, R) tại A và B Chứng minh rằng:

KB′ là tiếp tuyến của mặt cầu đường kính AC và mặt cầu đường kính SA

8 Xác định vị trí của B ∈(O, R) để VSAB C′ max

II Giả sử SA=2R và BD là một đường kính quay quanh O Đặt α =
ABD

Do AB′ ⊥ CB nên AB′ ⊥ (SBC) ⇒ AB′ ⊥ SC Tương tự suy ra AD′ ⊥ SC

Ta có AB′ , AC′ , AD′ cùng vuông góc với SC suy ra AB′, AC′, AD′

cùng thuộc mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SC

2 Ta có AB′ ⊥ (SBC) và AD′ ⊥ (SDC) ⇒ AB′ ⊥ B′C′ và AD′ ⊥ D′C′

Suy ra AB′C′D′ nội tiếp đường tròn đường kính AC′

3 VSAB C D′ ′ ′ =VSAB C′ ′ +VSAC D′ ′;VSABCD =VSABC+VSACD

K

S

O

J O′

5 Giả sử (Q) (ABCD)∩ hay (AB C D ) (ABCD) At′ ′ ′ ∩ = ⇒ At ⊥ SC

Lại có SA ⊥ (ABCD) ⇒ At ⊥ SA ⇒ At ⊥ (SAC) (đpcm)

6 Do S, A, C cố định nên C′ và mặt phẳng (Q) cố định

Theo 2 ta có AB′C′D′ nội tiếp đường tròn đường kính AC′ suy ra quĩ tích

điểm B′, D′ là đường tròn đường kính AC′ xác định trên (Q) ⊥ SC

7 Gọi J OK AB= ∩ Ta có: OK ⊥ SA, OK ⊥ AB ⇒ OK ⊥ JB′

Điểm B′ thuộc mặt cầu đường kính AC suy ra OB′ = OB ⇒ ∆ OB′J = ∆OBJ

⇒

JOB=JOB′ ⇒ ∆ OB′K = ∆OBK ⇒ KB′ ⊥ OB′ và KB′ =KB=KA

Điểm B′ thuộc mặt cầu đường kính SA suy ra O′B′ = O′A

⇒ ∆KO′A = ∆KO′B′ ⇒ KB′ ⊥ O′B′ Ta có KB′ ⊥ OB′ và O′B′ tại B′ suy ra KB′ là tiếp tuyến của các mặt cầu đường kính AC và SA

8 SAB C SAB C CAB C 1 dt AB C( )

aR AB

=+ (*)

Vậy có 2 vị trí của B∈(O, R) thỏa mãn (*) để VSAB C′ max

⇒ A1B1 ⊥ SC Tương tự A1D1 ⊥ (SDC) ⇒ A1D1 ⊥ SC Vậy (A1B1D1) ⊥ SC Mặt khác 1 3 2 3

⇒ Đường tròn ngoại tiếp ∆SB1D1 luôn đi qua điểm O1 cố định khác S (đpcm)

C CHÓP TAM GIÁC ĐỀU

Bài 1 Chóp ∆ đều SABC có đáy là ∆ABC đều cạnh a, đường cao SH = h góc

giữa đáy và mặt bên là α; góc giữa hai mặt bên kề nhau là φ

1 a Tính các bán kính hình cầu ngoại, nội tiếp R, r theo a, h

b Giả sử a cố định, h thay đổi Tìm h để r

Rmax

2 a Tính SH theo φ và khoảng cách d từ chân đường cao đến cạnh bên

b Xác định quan hệ giữa α, φ

3 [P] là mặt phẳng qua BC ⊥ SA

a h thỏa mãn điều kiện gì để [ ]P ∩SA= ∈J đoạn SA, khi đó tính diện tích ∆CBJ

b Tính h theo a để [P] chia chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau Chứng

minh rằng: Khi đó tâm cầu ngoại tiếp chóp ≡ tâm cầu nội tiếp chóp

Gọi I là tâm cầu nội tiếp chóp ⇒ ∈I SH

Gọi A′ là trung điểm BC

⇒ Mặt cầu nội tiếp tiếp xúc mặt phẳng đáy tại

2 2

3cos

a h

⇒ SABC là tứ diện đều

2 a Qua H dựng đường thẳng // BC cắt AB, AC tại M, N

⇒ MN // BC và MN ⊥ SA

Kẻ HE ⊥ SA ⇒ SA ⊥ [MEN] ⇒ ∆MEN cân tại E và
MEN= ϕ

a SH

ϕ

=

ϕ

−

2 23

Khi đó tam giác vuông ABA′ = tam giác vuông SBA′

⇒ SB = AB = a ⇒ SABC là tứ diện đều

⇒ Tâm cầu ngoại tiếp chóp ≡ tâm cầu nội tiếp chóp

a) Xác định tâm và bán kính các mặt cầu ngoại, nội tiếp theo a, α

b) Chứng minh rằng: 2 tâm đó trùng nhau ⇔ α =45o

3 Gọi V là thể tích chóp SABC; V1, V2 là thể tích hình cầu ngoại tiếp, nội tiếp Trong những trường hợp nào thì mỗi tỉ số V2

V ; 1

V

V ; 2 1

V

V đạt Max

4 Gọi H=AC∩BD còn φ là góc tạo bởi mặt bên với mặt đáy

a) Tìm đường ⊥ chung của SD, CB Tính độ dài đoạn ⊥ chung đó

b) Mặt phẳng đi qua BD và ⊥ mặt bên [SCD] chia chóp thành 2 phần Tính tỉ

số thể tích của 2 phần đó theo φ

5 Lấy M là điểm bất kỳ ∈ AH Mặt phẳng [P] qua M và // AD, SH cắt AB,

DC, SD, SA tại I, J, K, L

a) Cho h=a 2 Tìm M ∈ AH để IJKL là tứ giác ngoại tiếp

b) Xác định M để khối đa diện DIJKLH có thể tích max

c) [P] ∩ BD = N Gọi E là giao điểm 2 đường chéo của tứ giác MNKL Tìm quỹ tích E khi M chạy trên AH

2 a) Gọi O là tâm cầu ngoại tiếp chóp ⇒ O là giao của SH và trung trực của

SC trong mp[SHC] Gọi O′ là trung điểm của SC

Ta có tam giác vuông SOO′ ~ tam giác vuông SCH SO SO

Gọi J là tâm cầu nội tiếp chóp còn M là

trung điểm của BC, khi đó J là giao của

a h

2 2 2 2

4

a h

V = πR , 3

3 43

t

f t

t t

( )

( )

2

2 2

Do DB⊥[SHC] nên DB⊥SC⇒SC⊥[DBE]⇒[BDE]⊥[SDC]

Gọi V1=V CBDE,V2 là thể tích phần còn lại

⇒ IJKL là hình thang cân, KLMN là hình chữ nhật

42

a x

Gọi I′, J′ là trung điểm của AB, CD

Kẻ LL′ ⊥ SI′; KK′ ⊥ SJ′ khi đó dt IJKL( )=dt I J K L( ′ ′ ′ ′)≤dt SI J( ′ ′)

Từ đó MaxVDIJKLH đạt được khi M ≡ H

c) Gọi P, Q, P′ là trung điểm AD, KL, SH còn E MK= ∩NL

⇒ E là trung điểm QH′ Dễ thấy Q=KL∩SP H, ′=IJ∩HP QH, ′//SH

Do đó khi M thay đổi trên AH thì QH′ thay đổi nhưng luôn // SH và E ∈ đoạn PP′

6 a) 2 2 ; 1 . ( ) 3 2

a a

B

N

HD

F

⇒ P1 là trung điểm SB 1 1

11

Bài 2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, góc của mặt bên

và đáy bằng 60o Dựng thiết diện qua CD và là mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh CD Tính diện tích thiết diện và tỉ số thể tích của hai phần hình chóp bị chia bởi thiết diện nói trên

Theo giả thiết thì  60o

SKE= nên SKE là tam giác đều, khi đó gọi H là trung điểm

của SE thì KH ⊥ SE và KH là phân giác

của góc SKE Do DC // (SAB) nên nếu

B

AN

HD

F

Dễ thấy DNMC là hình thang cân với

thể tích phần hình chóp nằm bên dưới thiết diện

Bài 3 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với đáy góc α

1 Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với (SAD)

2 1

V

V =

Bài 4 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Gọi M là trung điểm của SB Thiết

diện tạo bởi mặt phẳng (MAD) chia hình chóp S.ABCD thành 2 phần có thể

E CHÓP TỨ GIÁC KHÁC

Bài 1 Trong mp[P] cho hình chữ nhật ABCD với AB = a, BC = b

1 Gọi I, J là trung điểm AB, CD Trong mp[Q] đi qua IJ và ⊥ [P] dựng nửa đường tròn [L] đường kính IJ Lấy S bất kỳ ∈ (L)

a) Kẻ AA′ ⊥ SB Chứng minh rằng: AA′ ⊥ BJ

b) Gọi H′, K′ là hình chiếu ⊥ của các trực tâm H, K của ∆SAB, SCD xuống [P] Chứng minh rằng: HH′.KK′ = const khi S ∈ (L)

c) M ∈ (AD) và N ∈ (BC) sao cho

2

MH N′ =π Giả sử S cố định Tìm vị trí M,

N sao cho chóp S.MNH′ có thể tích min

2 Lấy E ∈ đường tròn (T) đường kính BD trong mp[R] ⊥ [P] Đặt BE = x a) Tính thể tích hình chóp EABCD theo a, b, x

b) Chứng minh rằng: ∆EAC vuông

c) Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc H của A lên EB

K N

S

C

A′

B H

I

α H2

Dễ thấy tam giác vuông HIH′ ~ tam giác vuông JKK′ ⇒ HH′.KK′ = IH′.JK′

Ta có BJ⊥AA′ và BJ⊥HH ′ nên BJ ⊥ [AHH′] ⇒ BJ ⊥ AH′

Suy ra tam giác vuông AIH′ ~ tam giác vuông JIB 2

⇒ H thuộc đường tròn đường kính

BK trong [R] trừ các điểm B và K

Bài 2 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Gọi M trong không gian sao cho

M nhìn AB và AD dưới một góc vuông

1 Chứng minh rằng: M luôn thuộc đường tròn (L) cố định

2 α là mặt phẳng đi qua AB và ⊥ mp[ABCD] Kéo dài DM cắt α tại N Chứng

minh rằng:
90o

ANB=

3 Đặt DM = x Tính MN theo a và x Tìm miền biến thiên của x Từ đó suy ra

điều kiện của hằng số k để tồn tại x thỏa mãn MN = k

4 Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABND

Giải

1 M ∈ đường tròn (L) là giao tuyến của 2

mặt cầu đường kính AB và đường kính AD

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích V

Gọi B′, C′, D′ là trung điểm SB, SC, SD

Lấy I C′ =I I′ ⇒OI′//AI mà O S OO′ = ′ nên IS I I′=

J B’

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành với AB = a,

AD = b và SA = c Mặt phẳng (P) qua CD cắt SA, SB lần lượt tại K và L Đặt

SK = x Tính x để mặt phẳng (P) chia hình chóp ra thành hai phần có thể tích bằng nhau

3

32

Bài 5 Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a lấy điểm M với AM = x

( 0 x a< < ) và trên At⊥[ABCD] tại A lấy điểm S sao cho AS =y> 0

1 Chứng minh rằng: Nhị diện cạnh SB của chóp S.ABCM là nhị diện vuông

2 Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng SAC

3 Lấy IS = IC, kẻ IH ⊥ CM Tìm quĩ tích của H khi M ∈ AD và S ∈ Ax

Bài 6 Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = a,

AD = b. Cạnh SA của hình chóp vuông góc với đáy, SA = h Mặt phẳng (P)

đi qua CD cắt SA, SB lần lượt tại K, L

1) Thiết diện KLCD là hình gì? Tính diện tích thiết diện ấy theo a, b, h và x = KA

2) Xác định x để mặt phẳng (P) chia hình chóp ra hai phần với thể tích bằng nhau

Bài 7 Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD, cạnh a Gọi O là giao điểm

AC và BD Trên đường thẳng Ox vuông góc với (P), ta lấy một điểm S

1) Giả sử các mặt bên của hình chóp SABCD tạo với đáy một góc α Xác định đường vuông góc chung của SA và SD Tính độ dài vuông góc chung

đó theo a và α

2) Một mặt phẳng đi qua AC và vuông góc với mặt (SAD) chia hình chóp thành hai phần Tính tỷ số thể tích của hai phần đó

Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Đoạn

thẳng SA = a vuông góc với mặt phẳng đáy Lấy điểm M bất kỳ trên AC sao

2 Tính diện tích thiết diện

3 Xác định vị trí của M để thiết diện có diện tích lớn nhất