Giải pháp ôn thi đại học môn Toán

Được biên soạn bởi các thành viên là học sinh giỏi quốc gia, quốc tế môn toán. Gồm các chuyên đề: 1. Hàm số và các bài toán liên quan 2. Lượng giác 3. Phương trình - hệ phương trình 4. Tích phân 5. Số phức 6. Tổ hợp - Xác suất.

Lời giới thiệu.

Toán học được mệnh danh là ông vua của khoa học tự nhiên Có lẽ vì vậy màtrong chương trình học cũng như trong các kì thi, đ ặc biệt là kì thi Đại Học, mônToán luôn đóng một vai trò rất quan trọng Để đồng hành cùng các sĩ tử trong kìthi đại học năm 2014, câu lạc bộ Thủ khoa 24/7 chúng tôi xin được giới thiệu tớibạn đọc cuốn "Giải pháp Toán học 2014" Được đúc kết từ kinh nghiệm củanhững thủ khoa đại học, những học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế môn Toán, chắcchắn cuốn sách sẽ mang đến cho bạn đọc những trải nghiệm hoàn toàn khác biệt

về các phương pháp, các tư duy giải toán mà chúng tôi đưa ra Trong quyển 1,chúng tôi sẽ trình bày 6 chuyên đề:

Chuyên đề 1:Hàm số - Tác giả: Phạm Thế Dương, giải Nhì học sinh giỏi quốc giamôn toán năm 2013

Chuyên đề 2: Lượng giác - Tác giả: Lê Trung Hiếu, giải Nhì học sinh giỏi quốcgia môn toán năm 2012

Chuyên đề 3: Phương trình-Hệ phương trình - Tác giả Nguyễn Đình ThànhCông, giải Nhì học sinh giỏi quốc gia môn toán năm 2012

Chuyên đề 4 Tích phân - Tác giả: Lê Trung Hiếu , giải Nhì học sinh giỏi quốcgiamôn toán năm 2012

Chuyên đề 5: Số phức - Tác giả Nguyễn Huy Dũng, giải Nhất học sinh giỏi quốcgia môn toán năm 2013

Chuyên đề 6: Tổ hợp-Xác suất - Tác giả: Trần Trí Kiên, giải Nhì học sinh giỏiquốc gia môn toán năm 2013

Hệ thống ví dụ, bài tập và bài tập tự luyện trong từng chuyên đề được lựa chọncẩn thận, có tính chất tiêu biểu Cách diễn đạt trong từng chuyên đề thể hiện đượcphong cách riêng của mỗi tác giả Với những đặc điểm đó, cuốn sách chắc chắn

sẽ đáp ứng đượcnhu cầu đọc sách toán của các sĩ tử sẽ thi đại học năm tới trêntoàn quốc

Dù được biên soạn cẩn thận nhưng chắc chắn cuốn sách không thể tránh khỏinhững khiếm khuyết Các tác giả rất vui mừng nếu bạn đọc có những phản hồi,những góp ý về cuốn sách này

Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về fanpage "Luyện Thi Cùng Câu Lạc Bộ Thủ Khoa24/7"

Xin chân thành cảm ơn

MỤC LỤC Trang

Chương I: Hàm số và các bài toán……… 3

Chương II: Lượng giác ……… 43

Chương III: Phương trình – Hệ phương trình ……… 74

Chương IV: Tích phân ………172

Chương V: Số phức ……….251

Chương VI: Tổ hợp – Xác suất ……… 290

− Chiều biến thiên: + Tính y’.

+ Giải phương trình y’ = 0.

+ Các khoảng đồng biến, nghịch biến

− Đồ thị phải trơn, liền nét, không tô mạc, không tẩy xóa Kinh nghiệm khi đi

thi là các bạn vẽ một đường rất mờ bằng bút chì sau đó dùng bút viết vẽ lại Như thế đồ thị sẽ chuẩn và đẹp hơn.

− Cần chú ý tính đối xứng của đồ thị.

− Chú ý tới các điểm đặc biệt để lấy khung vẽ đồ thị như: Điểm đối xứng, các

cực trị, giao điểm đồ thị với trục tung và trục hoành, các điểm nguyên…

Đề thi đại học những năm gần đây chỉ ra với ba loại hàm số là: Hàm bậc ba,

hàm bậc bốn trùng phương, hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất Do vậy ta cũng chỉ quan tâm ba loại hàm số này.

x y

Nhận xét: Đồ thị đi qua điểm (0;1) và nhận điểm (2;3) làm tâm đối xứng.

y  x  mx  m  x .

 

2

y  x  mx m .

phương trình y’ vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm0 x x1, 2 đều

− Đồ thị hàm số bậc ba luôn nhận điểm uốn chính là nghiệm của y’’, ha y

cũng chính là trung đi ểm hai cực trị(nếu có) làm tâm đối xứng.

− Đối với dạng bài toán tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến đồng biến,

nghịch biến trong khoảng nào đó ta chỉ cần tính y’ sau đó biện luận để y’ có giá trị âm, dương trong khoảng đó Chú ý đến nghiệm của phương trình y’ = 0 và áp dụng định lý Viet, có thể dùng đến bảng biến thiên để xét dấu y’ Ta Xét thêm một

số ví dụ, vẫn sử dụng hàm số trên.

Tìm điều kiện của m để:

c.Hàm số đồng biến trong khoảng (0;2).

d Hàm số nghịch biến trong khoảng (−1;0).

c.Hàm số đồng biến trong  0; 2 khi và chỉ khi y’0  x  0; 2 .

tương đương với y’(0) 0 và y’(1)  0 ⇔ m   và1 5

3

m  ta được m  1;0 Nếu m 0; 2 thì điều kiện trên tương đương với y’ 0 0, ’ 2y  0 và

Căn cứ vào bảng biến thiên, điều kiện trên tương đương với y’  1 0 và

2 Bài toán về điều kiện tham số để hàm số có các cực trị thỏa mãn điều kiện

cho trước

Bài 2: Cho hàm số y  x3mx2 2 mx  1.  C m với m là tham số.

Tìm điều kiện của m để  C m có cực đại A x y 1; 1 , cực tiểu B x y 2; 2thỏa mãn:

x x

c.Đường thẳng AB tạo với trục hoành một gó 45 0 khi và chỉ khi nó có hệ số góc là

1 hoặc −1 Điều kiện này tương đương với:

2 102

m m

− Đôi khi các bạn làm bài chỉ rút ra hệ thức liên hệ của x x1, 2theo hệ thứ Viet

mà quên không tìm điều kiện để x x1, 2tồn tại là một điều rất tối kị khi làm bài

Như câu a ở trên có thể không cần tìm điều kiện (1) vẫn giải ra kết quả đúng nhưng chắc chắn sẽ vẫn bị trừ điểm.

− Đối với dạng bài toán tìm điều kiện của m để hàm số có cực trị tại x x1, 2

1 , 2

trường hợp biểu thức không đối xứng như ở câu a thì hướng giải của ta là từ hệ

− Đối với dạng bài có liên quan tới đường thẳng đi qua hai cực trị thì ta chia đa thức y cho đa thức y’, có thể có phần dư Lúc đó biểu diễn hai điểm cực trị

sẽ gọn hơn.

Bài 3: Cho hàm số: y 2x3 3(m1)x2 6m x  C m với m là tham số.

Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị A, B thỏa mãn:

a.Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d: y x 1

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u

(1;1) Ta có AB và d vuông góc với nhau khi và chỉ khi  AB u  0



7 732

m m m

Tìm các giá trị của m sao cho tồn tại điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến tại

M vuông góc với đường thẳng d: x + my + 1 = 0.

Giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u m ; 1  

Ta có y’ = 3x2 6x Tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm M có hoành độ t có vectơ chỉ phương là v(1;3t2 6 )t

Chú ý: Có thể vẽ hẳn bảng biến thiên của hàm f t  để xét.

Bài 2: Cho hàm số y = x33x2 mx  (C1 m ) Với m là tham số.

45 0 tương đương với điều kiện phương trình sau có nghiệm:

Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ chúng có tích hệ số góc bằng −1.

Do đó điều kiện bài toán tương đương với tồn tại x x1, 2 sao cho:

1 2 '( ) '( ) 1

1 52

m m

Lưu ý: Điều kiện để đường cong (C): y = f(x) tiếp xúc với đường thẳng d: y = ax

+ b là hai phương trình sau có nghiệm chung:

f’(x) = a (1) f(x) = ax + b (2)

y  x  x (C)

Tìm hoành độ điểm M thuộc (C) sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) và

hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

Giải:

Điểm M thuộc (C) có tọa độ dạng M 3

15 773

b.Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

⇔ ' 2

1

10

b.Tìm các giá trị của m để phương trình 2x3 3x2  1 m có đúng hai nghiệm

c.Tìm các giá trị của m để phương trình 2 x3 3x2  1 m có đúng 4 nghiệm

-6 -4 -2

2 4 6

Đồ thị (C’) của hàm số y = f(x) được dựng từ đồ thị (C) như sau:

- Phần đồ thị (C) phía trên trục hoành thì (C’) trùng (C)

- Phần đồ thị (C) phía dưới trục hoành thì (C’) đối xứng (C) qua trụchoành

Ta có đồ thị (C’)

2 4 6

x y

Số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của (C’) với đường

2x 3x   (*) có đúng hai nghiệm dương phân biệt.1 0

Căn cứ vào đồ thị (C), phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt khi và

f(x)=-2x^3-3x^2+1

2 4 6

x y

Căn cứ vào số giao điểm của (C”) với đường thẳng y = m ta cũng có kết quả như

Bài 1: Cho hàm số: y = x3 2mx2 2x  (Cm 1 m) với m là tham số

Tìm điều kiện của m để trên (Cm) tồn tại hai điểm đối xứng nhau qua O

Giải:

Xét hai điểm A, B trên (Cm) có tọa độ lần lượt là: A(t;t3 2mt2    ) và2t m 1

B(t’;t'32mt'22 't   ) A và B đối xứng nhau qua O khi và chỉ khim 1

'

0( 2 2 1) ( ' 2 ' 2 ' 1) 0

(*) ⇔ 2 1

2

m t

Lập bảng xét dấu ta được m > 1 hoặc m < 0.

Kết luận: m > 1 hoặc m < 0.

Bài 2: Cho hàm số: y  x33x2mx m 1 (Cm)

với m là tham số và đường thẳng d: y = 2x + 1.

Tìm m để d và (Cm) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp sốcộng

Xét phương trình đư ờng thăng d có dạng y = k(x−2) + 1 Phương trình hoành

độ giao điểm của (C) và d có dạng:

Có hai nghiệm phân biệt khác 2

d) Tìm m để hàm số (1) đơn điệu trong (0;2)

2) Cho hàm số: y = x3 mx2 (m1)x1 (1) với m là tham số.

c) Tìm m để hàm số có hai cực trị và đường thẳng đi qua hai cực trị đi qua

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng nối hai cực trị của (C) cắt đường

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt trục tung và trụchoành lần lượt tại A và B sao cho OA = 3OB

11)Cho hàm sốy x3 3mx2 (m2)x1 (Cm)

Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng d: y = 2x + 1 cắt (Cm) tại ba

điểm phân biệt A, B, C sao cho tổng hệ số góc tiếp tuyến tại A, B, C bằng

10

12)Cho hàm số y  x33x24 (C)

Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt M, N, P sao

cho M(2;0) và tiếp tuyến tại N và P vuông góc với nhau

13)Cho hàm số y  x3 3x1 (C)

Tìm điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại A cắt (C) tại điểm thứ hai Bthỏa mãn x A  x B  1

14)Cho hàm số: y x3 3x2 (m1)x1

Tìm m để đường thẳng d: y = x + 1 cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt

A(0;1), B và C sao cho tam giác bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 tạo với hai

trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2

19)Cho hàm số 3 2

y   x x 

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Tìm m để đường thẳng d: y = m(x−2) + 2 cắt (C) tại ba điểm phân biệt

A(2;2), B và C sao cho tích hệ số góc tiếp tuyến tại B và C đạt giá trị nhỏnhất

y m x  m x  m

Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu đồng thời đường thẳng

Hàm bậc 4 trùng phương có dạng chung y = ax4 bx2  trong đó a,b ≠ 0c

Bài 1: Cho hàm số: y  x4 2mx2m2 m với m là tham số.

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m = −1

b Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba cực trị lập thành một tam giác đều.

c Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba cực trị lập thành tam giác có diện

− Chiều biến thiên: y’ = 4x3 4x

y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = −1 hoặc x = 1.

x y

Nhận xét: Đồ thị nhận trục tung làm tâm đối xứng.

12

- t = 1 Phương trình tiếp tuyến là 2 3

4

- t = −2 Phương trình tiếp tuyến là y  2x 2

Bài 4: Cho hàm số: y = x4 4x2  (C)2

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại m, biết tiếp tuyến đó cắt (C) tại hai

điểm A, B khác m sao cho x A  x B   2

Đặt t = x2

t  m tm (**)

Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có

hai nghiệm dương phân biệt

Phương trình (*) có bốn nghiệm theo thứ tự là  t2, t1, t1, t2

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

m m

Hàm số đã cho có ba cực trị khi và chỉ khi m > 0.

( m m; m ) và B 2

( m m; m )Phương trình đường thẳng IA là: y m m x m

2 4 6 8

x y

b Điều kiện xác định của phương trình x≠0

Xét hàm số

4 2 3

4 2

2 2, 02

Đồ thị (C’) của hàm số được dựng từ (C) như sau:

- Phần đồ thị bên phải trục hoành thì (C’) trùng với (C)

- Phần đồ thị bên trái trục hoành thì (C’) đối xứng (C) qua trục hoành.

2 4 6

x y

Số nghiệm của phương trình f(x) = m chính là số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị (C’).

Căn cứ vào đồ thị, phương trình đã cho có đúng ba nghiệm phân biệt khi

và chỉ khi −3 < m < −2 hoặc 2 < m < 3

c Xét hàm số

4 2 3

Đồ thị (C”) của hàm số được dựng từ (C’) như sau

- Phần đồ thị bên phải trục hoành tịnh tiến (C’) lên phía trên 2 đơn vị

- Phần đồ thị bên trái trục hoành tịnh tiến (C’) xuống dưới 2 đơn vị.

- Lấy thêm điểm (0;0) thuộc (C”)

Ta có đồ thị (C”)

2 4 6

x y

Số nghiệm của phương g(x) = 0 chính là số giao điểm của đường thẳng y = m

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b Dựa vào đồ thị, hã y tìm điều kiện của m để phương trình

4 Cho hàm số: 4 2

y   x x  a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Tìm m để phương trình  x4 4x2  3 7m2 m

Có nghiệm thuộc 2; 5

5 Cho hàm số y  x4 2(m1)x2 2m1

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2

b Tìm m để đường thẳng d: y = −1 cắt đồ thị hàm số tại đúng hai điểm

phân biệt A, B so cho tam giác IAB có diện tích bằng 4 42 2 vớiI(2;3)

6 Cho hàm số: y   x4 4x2 2

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b Tìm các điểm M trên trục tung sao cho từ m kẻ được bốn tiếp tuyến

f(x)=(x+1)/(x-1)

-9 -6 -3

3 6 9

x y

Nhận xét: Đồ thị nhận I(1;1) làm tâm đối xứng.



⇔ t = 0 hoặc t = 2

- t = 0, phương trình tiếp tuyến là: y = −2x−1 trùng với d (loại)

- t = 2, phương trình tiếp tuyến là: y = −2x + 7, thỏa mãn

Kết luận: y = −2x + 7.

Nhận xét:

làm tâm đối xứng Do đó trong thực hành vẽ đồ thị ta dựng hai đường

tiệm cận trước khi dựng hai trục tọa độ.

- Cần tinh ý khi làm bài để loại nghiệm tránh rơi vào bẫ y của người ra đề,

như loại một nghiệm của bài toán ở trên.

xác định D…đều không chính xác mà phải nghịch biến trong từng

b3) Tổng hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại bằng 4

c Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết:

c1) Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến là lớn nhất

c2) Tiếp tuyến cắt trục tung và trục hoành lần lượt tại C, d thỏa mãn diện

tích tam giác OCD bằng 50

3

d Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho từ m kẻ được hai tiếp tuyến tới (C)

và các tiếp điểm đều có hoành độ dương

e Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt E, F

h Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng d: y = −x + m luôn cắt (C) tại

hai điểm phân biệt R, S Tìm m để độ dài đoạn thẳng RS đạt giá trị nhỏ

Đạo hàm ' 3 2

( 1)

y x

x

k x x

Dấu bằng xả y ra khi và chỉ khi k = −1.

Tóm lại độ dài AB nhỏ nhất bằng 2 6 khi và chỉ khi k = −1

b3) Tổng hệ số góc tiếp tuyến của A và B là:

c Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ t có dạng:



Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta có: (t1)4  9 6(t1)2

Suy ra d(I;∆) ≤ 6

Dấu bằng xả y ra khi và chỉ khi: (t1)2 3 ⇔ t = 1  3

Phương trình tiếp tuyến là y x 2(1 3)0

Hoặc y x 2(1 3)0

c2) y = 0 ⇒ x =

2

4 23

Giải ra ta được t = −2, t = −4, t 7 61 hoặc t  7 61

Phương trình tiếp tuyến là: y3x100

Hoặc 3y x 100

Hoặc (7 61)2 3x(80 10 61) 0

Hoặc ( 2

(7 61) y3x(80 10 61) 0

d Giả sử M(0;a Từ m kẻ được tiếp tuyến tới (C) tại điểm có hoành độ t.

Phương trình tiếp tuyến là:

Từ m kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp điểm có hoành độ âm

khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghệm âm phân biệt

- Dễ thấy a = 1 thì phương trình (1) ch ỉ có một nghiệm

a a

⇔ 2 2 2

2(x  x  x x m )20Thế hệ thức Viet ở (3) vào phương trình trên ta được:

m m



 P(−1;

51

t t



 ) IP =

61

t

Suy ra SIPQ = 6, không phụ thuộc vào N

Tam giác IPQ vuông tại I do đó PQ chính là đường kính đương tròn ngoạitiếp

Điều kiện bài toán tương đương với:

2

36

4( 1) (2 10)(t 1)  t 

g Điểm K thuộc (C) có tọa độ dạng K(t; 2

1

t t



3( 1; )

⇒ phương trình (1) luôn có hai nghiệm x x1 , 2 phân biệt∀m

Do đó d và (C) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt ∀m

Dấu bằng xả y ra khi và chỉ khi m = 0.

Kết luận: RS có độ dài nhỏ nhất bằng 2 6 khi m = 0.

Nhận xét:

Đối với các bài toán cực trị hình học như một số ví dụ ở trên thì phương

pháp chung là ta viết hẳn biểu thức tính, có thể phải dùng hệ thức Viet sau

đó có thể phân tích bình phương hoặc sử dụng bất đẳng thức Cô si một cách

thích hợp Khi đi thi thường biểu thức cuối cùng tương đối cân xứng và đẹp,

do đó có thể nhìn ra nga y được điểm rơi của cực trị từ đó có những đánh giá

BDT không bị lệch dấu bằng

Bài 3: Cho hàm số 1

1

mx y x





 (Cm) với m là tham số , m≠1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2

b) Tìm m để đường thẳng d: y = −x + 5 tiếp xúc với (Cm)

c) Tìm m để đường thẳng d: y = 2x−2 cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt A,

mx

x x

m x

Kêt luận: m = 2 hoặc m = 10

c) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) có dạng:

1

2 21

mx

x x

Dễ thấy x = 1 không thể là nghiệm của phương trình (*) do m≠1

Điều kiện ở trên tương đương với:

1 2

1 2

423







a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b Tìm điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ m đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ m đến tiệm cận đứng.

3 Cho hàm số: 1

1

x y x





 (C)

a Tìm các điểm A trên O y để từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) sao

cho hai tiếp điểm đều có hoành độ dương

b Tìm m để đường thẳng d: y = x−m tại hai điểm phân biệt A, B sao

cho tam giác OAB có diện tích bằng 3

2 với O là gốc tọa độ.

4 Cho hàm số: 1

1

x y x





a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho