TÀI LIỆU BDHSG PHẦN số học QUA đề các TỈNH

Chứng minh: Trong dãy có ít nhất một lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên.. Chứng minh rằng: Trong ba số x, y, z có ít nhất một số dương.. Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích của mọi

Trang 1

Bài 1: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)

a) Xác định a, b để đa thức 16x4- 32x3+24x2+ax b+ chia hết cho đa thức 4x2- 8x+ 5

n

- + - + , với n nguyên dương

Chứng minh rằng

1 4

n

S <

Gọi S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n Hãy tìm số tự nhiên n biết

S(n) = n2 – 2015n + 8 và 0 < S(n) n

Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)

Tìm các số nguyên x để N x2 6x 6 là số chính phương

Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên.

a) Tìm hai số nguyên tố p, q sao cho p2 = 8q + 1

b) Chứng minh rằng n5 - n chia hết cho 30 với mọi n Î N

Cho các số thực x, y, z khác 0, đôi một khác nhau và thỏa điều kiện

x  xyy  yz z  zx a a Î 

a) Chứng minh rằng a 0, từ đó suy ra

1 1 1

0

x yz  

b) Chứng minh rằng

3

z  y x  

a) Tồn tại hay không ba số thực a b c, , thỏa mãn 2 2 2

1

? 2019

b  ac c  ab a  bc 

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y,  thỏa mãn

2 2 85

13

x y



 



Bài 8: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013- ĐỀ DỰ PHÒNG)

Tìm s t nhiên ố tự nhiên ự nhiên n đ ể n 18và n  41 là hai s chính phố tự nhiên ương.ng

Bài 9: ( HSG TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)

Tìm số tự nhiên có 3 chữ số abc thỏa:

2

1 ( 2)

abc n cba n







Bài 10: ( HSG TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)

Cho 100 số tự nhiên a a1, , ,2 a thỏa mãn điều kiện: 100

Trang 2

1 2 100

a  a   a 

Chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau

Bài 11: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009)

a) Tìm s nguyên t ố tự nhiên ố tự nhiên p sao cho 2p + 1 và 4p + 1 cùng là s nguyên tố tự nhiên ố tự nhiên

b) Tìm các s nguyên t ố tự nhiên ố tự nhiên p sao cho t ng các ổng các ước của ước của ủa c c a p là m t s chính ph ng.4 ột số chính phương ố tự nhiên ương

a) Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn : a 2 + c 2 = b 2 + d 2

Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số

b) Tìm ,x y nguyên dương thỏa mãn: 2

(x  3) (xy3)

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố , ,a b c đôi một khác nhau thoả mãn điều

20abc30(ab bc ca  ) 21 abc

Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 427 + 42016 + 4n là số chính phương

a) Tìm số thực x để 3 số

x

là số nguyên

b) Tìm x nguyên dương để 4x314x29x 6 là số chính phương

c) Cho dãy số n, n+1, n+2, …, 2n với n nguyên dương Chứng minh: Trong dãy có ít nhất một lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên

Chứng minh rằng trong 12 số tự nhiên bất kỳ có ba chữ số, luôn tồn tại hai số sao cho khi ghép chúng lại cạnh nhau để được một số có sáu chữ số chia hết cho 11.

Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2018 – 2019)

Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p3- 4p+9

là số chính phương

Bài 18: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 – 2010)

Cho đa thức P(x) bậc 5 có các hệ số nguyên Biết rằng P(x) nhận giá trị 2003 với 4 giá trị nguyên khác nhau của x Chứng minh rằng: Với mọi x ZÎ thì P(x) không thể có trị số bằng 2010

Bài 19: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2011 – 2012).

a) Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ

b) Cho a, b, c là các số thực dương thõa điều kiện :

Trang 3

Chứng minh: nếu c  a và c  b thì c  a + b.

Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên

Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4

a) Chứng minh n6 2n + n4 2 chia hết cho 36 với mọi n nguyên dương

b) Cho ba số phân biệt a, b, c

Đặt: x = a + b + c2 9ab

, y = a + b + c2 9bc

, z = a + b + c2 9ac

Chứng minh rằng: Trong ba số x, y, z có ít nhất một số dương

Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1 Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2019 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1

Bài 23: ( HSG TỈNH BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2012 – 2013).

a) Chứng minh: n6 - n4 – n2 + 1 chia hết cho 128 với n là số tự nhiên lẻ

b) Trong phép chia a cho b (a, b là các số tự nhiên), nếu tăng số chia b cho

một đơn vị thì thương số không thay đổi trong trường hợp nào?

Bài 24: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018 – 2019).

Chứng minh rằng với n là số chẵn thì n320n 96 chia hết cho 48

Bài 25: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014).

a) Cho 3 số nguyên x,y,z thoả mãn: x2 + y2 = z2 Chứng minh xyz 60

b) Tìm 3 số tự nhiên khác nhau sao cho tổng các nghịch đảo của chúng là số nguyên

c) Cho tam giác vuông có số đo ba cạnh là các số nguyên, trong đó số đo của hai cạnh là hai số nguyên tố và hiệu của chúng bằng 50 Tính số đo nhỏ nhất của cạnh thứ ba có thể đạt được

Bài 26: ( HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010 – 2011).

Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên

Bài 27: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2010 – 2011).

27.1.Cho a, b, c là ba số thực dương

a) Chứng minh rằng a3b3c33abc

b) Tính giá trị biểu thức P ab bc  nếu biết

Trang 4

2

2010 2011

b c

b ac









27.2.Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì số x n12 n1 n n1 n2 1 23

có thể viết được thành tổng các bình phương của ba số nguyên dương lẻ liên tiếp

Bài 28: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2012 – 2013).

Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng 4p + 1 là một hợp số.

Bài 29: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018 – 2019).

a) Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0 thỏa

a   b c Chứng minh rằng: abc chia hết cho 4.

b) Tìm số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999

Bài 30: ( HSG TỈNH HÀ GIANG NĂM HỌC 2011 – 2012).

Cmr : P = 1.2.3 2009.2010

Bài 31: ( HSG TỈNH HÀ TỈNH NĂM HỌC 2008 – 2009).

Ba số a,b,c, thỏa mãn đồng thời các điều kiện: a+b+c = 1 và

1

a+

1

b+

1

c=1 .

Chứng minh: a2009+b2009+c2009=1 .

Cho a, b, c Î Z tháa m·n ®iÒu kiÖn

2

Chøng minh r»ng a3 + b3 + c3 chia hÕt cho 3

a) Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên

P=(ab−1) (bc−1) (ca−1)

b) Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức:

a 1−a+

b 1−b+

c 1−c=

3

2 . Chứng minh tam giác ABC đều

Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn .

ab

a b



Bài 35: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2009 – 2010).

Tìm tất cả các số nguyên dương n để A   29 213 2n là số chính phương.

Trang 5

Với a, b là cỏc số nguyờn Chứng minh rằng nếu 4a + 3ab 11b2  2 chia hết cho 5 thỡ a4  b4 chia hết cho 5

a) Cho a và b là cỏc số thỏa món a > b > 0 và a3 a b ab2  2  6 b3  0

Tớnh giỏ trị của biểu thức

4 4

B





b) Cho hai số tự nhiờn a, b thỏa món 2 a2   a 3 b2 b Chứng minh rằng 2 a  2 b  1 là số chớnh phương

a) Tỡm số nguyờn tố p sao cho cỏc số 2p2 1; 2p23; 3p24 đều là số nguyờn tố

b) Tỡm cỏc số nguyờn dương x, y, z thỏa món: 3x2 18y2 2z2 3y z2 218x27

a) Tỡm cỏc cặp số nguyờn (x; y) thoả món: 2x2 2y23x 6y 5xy 7  

b) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n sao cho n22n n22n 18 9  là số chớnh phương

Bài 40: ( HSG TỈNH HẢI PHềNG NĂM HỌC 2016 – 2017).

Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương a, b sao cho a + b2chia hết cho a b 12 

Bài 41: ( HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013).

Tỡm ba số nguyờn tố , ,x y z Biết xyz5x y z  

Bài 42: ( HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2014 – 2015).

a) So sỏnh hai số sau:

2

2015 2014

A  



2015 2014

 b) Chứng minh tổng M = 1 + 2 + 22 + … + 22015 chia hết cho 15

c) Chứng minh rằng tổng S = 13 + 23 + 33 + + 20153 là một số chớnh phương

Bài 43: ( HSG TỈNH HềA BèNH NĂM HỌC 2009 – 2010).

Tìm số chính phơng có 4 chữ số thoả mãn chữ số hàng nghìn và hàng trăm bằng nhau; chữ số hàng chục

và hàng đơn vị bằng nhau

Bài 44: ( HSG TỈNH HềA BèNH NĂM HỌC 2013 – 2014).

a) Tớnh giỏ trị của biểu thức

( 5)( 1) ( 5)

A

x x



 biết 2x29y2 6xy 6x 9 0.

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn n thỡ n311n chia hết cho 6

Trang 6

c) Tỡm cỏc cặp số nguyờn ( ; x y ) sao cho 2

x x y  d) Tỡm số nguyờn dương n sao cho 3n là một số chớnh phương.4

Bài 45: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2008 – 2009).

a) Tỡm cỏc số nguyờn dương a,b,c thoả món đồng thời cỏc điều kiện :

a b c   a b c và

1 1 1

1

a b c  

b) Cho f x( )ax2bx c thoả món với mọi x sao cho   1 x 1 và f x( )  p

Tỡm số q nhỏ nhất sao cho a  b  c p q.

a) Cho cỏc số nguyờn a1, a2, a3, , an Đặt S = a13  a32   a3n và P  a1  a2   an

Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6

b) Cho A = n6  n4  2n3  2n2 (với n ẻ N, n > 1) Chứng minh A khụng phải là số chớnh phương c) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn n thỡ n2  n  2 khụng chia hết cho 3

d) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n sao cho n2  17 là một số chớnh phương

a) Tìm số tự nhiên n để n + 21 và n – 18 là hai số chính phơng

b) Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình: x2xy y 2 x y2 2

a) Chia 18 vật cú khối lượng 20162; 20152; 20142; ; 19992 gam thành ba nhúm cú khối lượng bằng nhau (khụng được chia nhỏ cỏc vật đú)

b) Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh: 3x + 171 = y2

a) Tỡm cỏc hệ số b, c của đa thức P x    x2  bx c  biếtP x   cú giỏ trị nhỏ nhất bằng  1 khi

x 2 

b) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn tố khỏc nhau m, n, p, q thỏa món

1.

m  n  p q   mnpq 

Bài 50:( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2018 – 2019).

a) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: 2y2 x 2y 5 xy

b) Chứng minh rằng A  22n  4n  16 chia hết cho 3 với mọi số nguyờn dương n.

Trang 7

c) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: xy 5 2  y2

d) Chứng minh rằng A 4n17 chia hết cho 3 với mọi số nguyờn dương n.

Bài 51:( HSG TỈNH HUẾ NĂM HỌC 2006 – 2007).

a) Hãy tìm các chữ số , , ,a b c d biết rằng các số ,a ad cd abcd, , là các số chính phơng. b) Để thành lập các đội tuyển học sinh giỏi khối 9, nhà trờng tổ chức thi chọn các môn Toán, Văn và Ngoại ngữ trên tổng số 111 học sinh Kết quả có: 70 học sinh giỏi Toán,

65 học sinh giỏi Văn và 62 học sinh giỏi Ngoại ngữ Trong đó, có 49 học sinh giỏi cả 2 môn Văn và Toán, 32 học sinh giỏi cả 2 môn Toán và Ngoại ngữ, 34 học sinh giỏi cả 2 môn Văn và Ngoại ngữ.Hãy xác định số học sinh giỏi cả ba môn Văn, Toán và Ngoại ngữ Biết rằng có 6 học sinh không đạt yêu cầu cả ba môn

Bài 52:( HSG TỈNH HƯNG YấN NĂM HỌC 2013 – 2014).

Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món 2 xy +4 x+2 y+1 > 5 x2+2 y2 .

Bài 53:( HSG TỈNH HƯNG YấN NĂM HỌC 2014 – 2015).

Tỡm tất cả cỏc nghiệm nguyờn dương x y, thỏa món phương trỡnh

5 x  6 xy  2 y  2 x  2 y  40 0 

Bài 54:( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2016 – 2017).

Chứng minh rằng nếu ba số x y z , , thỏa món hệ phương trỡnh

2

1 1 1 1

2

x y z

  







  



 thỡ cú ớt nhất một trong

ba số x y z, , phải bằng 2.

Bài 55:( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015 – 2016).

Cho dóy số (an) xỏc định như sau:

1

n 1 n

n 1

1 a 2

(n N,n 2) a

a 2n.a 1













 Tớnh tổng S a  1 a2  a  2016.

Bài 56:( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2018 – 2019).

a) Cho f x ( ) là đa thức với hệ số nguyờn Biết f (2017) (2018) 2019 f  Chứng minh rằng phương trỡnh f x  ( ) 0 khụng cú nghiệm nguyờn.

b) Trường trung học phổ thụng A tổ chức giải búng đỏ cho học sinh nhõn ngày thành lập đoàn 26 –

3 Biết rằng cú n đội tham gia thi đấu vũng trũn một lượt (hai đội bất kỳ đấu với nhau đỳng một

Trang 8

trận) Đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không được điểm nào Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa và tổng số điểm của các đội là 336 Hỏi có tất cả bao nhiêu đội bóng tham gia?

Bài 57:( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2011 – 2012).

a) Tìm hệ số a > 0 sao cho các đường thẳng y = ax – 1 ; y = 1 ; y = 5 và trục tung tạo thành hình thang có diện tích bằng 8 (đơn vị diện tích)

b) Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời

2

x y z  và 2

4

xy  z  Tính giá trị của

biểu thức P = (x + 2y + z)2012

c) Tìm các cặp số (x; y) nguyên dương thỏa mãn: xy + 2x = 27 – 3y

Bài 58:( HSG TỈNH NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2015 – 2016).

a) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x y z   2, x2y2z2 18 và

1

xyz  Tính giá trị của

S

b) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn x2y2xy x y  1

c) Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có 2 3 4 n1 n 3

d) Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn học Mỗi học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ Chứng minh có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh

Bài 59: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 – 2012).

Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: a b c 1;a    2  b2  c2  1;a3 b3  c3  1

Chứng minh: a2009  b2009  c2009  1

Bài 60:( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2008 – 2009).

T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: xyz x y z.  

a) Chøng minh r»ng A = (2n - 1)(2n + 1) chia hÕt cho 3 víi mäi sè tù nhiªn n

b) T×m sè c¸c sè nguyªn n sao cho B = n2 – n + 13 lµ sè chÝnh ph¬ng ?

a) Giải phương trình nghiệm nguyên

8x2 3xy 5y25

b) Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A= 4 n n3 7n

Trang 9

c) Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn

Chứng minh rằng

a) Giải phương trình trên tập số nguyên x25y2 4xy4x 8y 12 0.

b)ChoP x  x3 3x214x 2.Tìm số các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà P x  chia hết cho 11.

c) Tính giá trị biểu thức

3

3 2

P

 



   , biết a 355 3024 355 3024 d) Cho các số thực x y z, , đôi một khác nhau thỏa mãn x3 3x 1, y3 3y 1 và z3 3z 1

Chứng minh rằng x2y2z2 6

a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x2+ y2− xy=x + y +2 .

b) Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a, b, c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn ta luôn có

(a+b +c )3−(a+b−c )3−(b+ c−a )3− (a−b+c )3 chia hết cho 96.

a) Cho S = 1.2.3+2.3 4+ +n(n+1)(n+2) với n là số tự nhiên khác 0

Chứng minh rằng 4 S + 1 là số chính phương

b) Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn x2+2 y2+ 2 xy= y+2 .

c) Tính giá trị biểu thức P =

x5−4 x3−17 x +9

x4+3 x2+2 x +11 với

x

x2+x +1=

1

4

a) Cho a b c2  b c a2  2018 với a b c, , đôi một khác nhau và khác không Tính giá trị của biểu thức 2 

c a b

b) Tìm tất cả các số nguyên dương a b c, , thỏa mãn a b c  91 và b2 ca.

Bài 67:( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014).

Kí hiệu ( )S n là tổng của tất cả các chữ số của một số nguyên dương n.

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho S n ( ).S n   ( 1) 87.

Trang 10

Tìm tất cả các số nguyên dương m và n thỏa mãn điều kiện:

n    n m  m  m  m 

a) Xác định các hệ số a và b để đa thức P x   x 4  2x 3  3x 2  ax b 

là bình phương của một đa thức b)Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho C 2019 n2020 là một số chính phương

Bài 70:( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 – 2013).

Cho s, t, x, y, z là các số nguyên và tổng s + t + x + y + z chia hết cho 5

Chứng minh rằng tổng s5 + t5 + x5 + y5 + z5 chia hết cho 5

Bài 71:( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014).

a) Cho a, b, c, d, e, f là các số thực khác 0, thỏa mãn

a b c

1

d  e  f  và

d e f

0

a  b c   .

Tính giá trị của biểu thức

B

b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương

c) Cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5

Chứng minh rằng a8n  3a4n  4 chia hết cho 5, với mọi số tự nhiên n.

d) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1

Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0

Bài 72:( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017– 2018).

a)Cho ba số thực a b c , , thỏa 1  a b c , ,  2.Chứng minh :

a b c a c b 7

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 thì n2 n1 n8 không thể là lập phương của một số tự nhiên

c) Cho số nguyên tố p  p  3 và hai số nguyên dương a,b sao cho p2  a2  b2 Chứng minh a

chia hết cho 12 và 2( p a   1) là số chính phương

Bài 73:( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008– 2009).

a) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi b) Cho a và b là các số nguyên dương sao cho

a +1 b +1

a  b là số nguyên; gọi d là ước chung của a và

b Chứng minh : d  a + b

c) Chứng minh rằng không có các số nguyên x và y nào thỏa mãn hệ thức: 2008x2009 + 2009y2010 = 2011

Bài 74:( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2009– 2010).

a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 6x + 5y + 18 = 2xy

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	463,68 KB