( 2đ) Một cái cầu bắc qua một con sông có ba trụ đỡ, hai trụ ở hai đầu cầu và một trụ ở chính giữa cầu. Giả sử trong thời hạn xác định, độ lún của 2 trụ đầu cầu và trụ giữa cầu là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng có dạng phân phối chuẩn với kỳ vọng lần lượt là: 3 cm ; 3 cm; 5 cm và độ lệch chuẩn lần lượt là : 1 cm; 1 cm; 1,5 cm.( 2đ) Một cái cầu bắc qua một con sông có ba trụ đỡ, hai trụ ở hai đầu cầu và một trụ ở chính giữa cầu. Giả sử trong thời hạn xác định, độ lún của 2 trụ đầu cầu và trụ giữa cầu là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng có dạng phân phối chuẩn với kỳ vọng lần lượt là: 3 cm ; 3 cm; 5 cm và độ lệch chuẩn lần lượt là : 1 cm; 1 cm; 1,5 cm.( 2đ) Một cái cầu bắc qua một con sông có ba trụ đỡ, hai trụ ở hai đầu cầu và một trụ ở chính giữa cầu. Giả sử trong thời hạn xác định, độ lún của 2 trụ đầu cầu và trụ giữa cầu là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng có dạng phân phối chuẩn với kỳ vọng lần lượt là: 3 cm ; 3 cm; 5 cm và độ lệch chuẩn lần lượt là : 1 cm; 1 cm; 1,5 cm.( 2đ) Một cái cầu bắc qua một con sông có ba trụ đỡ, hai trụ ở hai đầu cầu và một trụ ở chính giữa cầu. Giả sử trong thời hạn xác định, độ lún của 2 trụ đầu cầu và trụ giữa cầu là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng có dạng phân phối chuẩn với kỳ vọng lần lượt là: 3 cm ; 3 cm; 5 cm và độ lệch chuẩn lần lượt là : 1 cm; 1 cm; 1,5 cm.
Trang 1Trường ĐHBK TPHCM ĐỀ THI HỌC KỲ 191
Bộ môn Toán ứng dụng MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ĐỀ THI CA 1
- Đề thi gồm 2 trang A4
- Thí sinh được sử dụng bảng tra số và máy tính bỏ túi
- Khơng sử dụng các tài liệu khác
Câu 1 ( 2đ): Hai vợ chồng chị Lan đã mời 4 cặp vợ chồng là các bạn bè thân thiết tới
nhà chơi Giả sử tất cả 10 người ngồi một cách ngẫu nhiên vào một bàn dài
a) Tính xác suất 2 vợ chồng chị Lan ngồi cạnh nhau
b) Tính xác suất để khơng cĩ người chồng nào được ngồi cạnh vợ mình
Câu 2: ( 2đ) Một cái cầu bắc qua một con sơng cĩ ba trụ đỡ, hai trụ ở hai đầu cầu và
một trụ ở chính giữa cầu Giả sử trong thời hạn xác định, độ lún của 2 trụ đầu cầu và trụ giữa cầu là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng cĩ dạng phân phối chuẩn với kỳ vọng lần lượt là: 3 cm ; 3 cm; 5 cm và độ lệch chuẩn lần lượt là : 1 cm; 1 cm; 1,5 cm a) Tính xác suất xảy ra trường hợp độ lún lớn nhất của 3 trụ cầu vượt quá 7.5cm b) Xác định độ lún tối đa của trụ giữa, đĩ là độ lún mà các kỹ sư đã thiết kế để đảm bảo xác suất trụ giữa bị lún qua mức này khơng vượt quá 0.0001
Câu 3 ( 1,5đ): Người ta khảo sát trọng lượng của các trái dưa vừa được thu hoạch ở
một trang trại Số liệu mẫu thu được dưới đây:
Cân nặng (kg) 1 -1,1 1,1- 1,2 1,2– 1,3 1,3 -1,4 1,4–1,5 1,5 -1,6
Với mức ý nghĩa 1%, cĩ thể coi trọng lượng các trái dưa tuân theo quy luật phân phối chuẩn hay khơng?
Câu 4 ( 4,5đ):
Người ta tiến hành đo đường kính X (cm) và chiều cao Y (m) cho các cây cùng loại
và cùng độ tuổi được trồng trong một khu rừng để đánh giá hiệu quả của việc cải tiến phương pháp chăm sĩc cây Những cây cĩ đường kính từ 26 cm và chiều cao từ 7 m trở lên được coi như cây loại 1 Dưới đây là số đo của 120 cây được lựa chọn ngẫu
nhiên
Trang 2
Y(m)
a) Hãy ước lượng chiều cao trung bình của các cây có đường kính 28 cm với độ tin cậy 99%
b) Nếu muốn khoảng ước lượng cho tỉ lệ cây loại I trong rừng có độ dài là 0,14 và độ tin cậy là 99% thì người ta cần khảo sát thêm bao nhiêu cây nữa? c) Theo một tài liệu nghiên cứu về sự sinh trưởng của cây thì ở độ tuổi này, với điều kiện chăm sóc truyền thống thì đường kính trung bình của cây là 24 cm Với mức ý nghĩa 3%, chúng ta có thể nói rằng việc cải tiến phương pháp chăm sóc cây đã đem lại hiệu quả so với trước đây hay không?
d) Hãy so sánh tỉ lệ cây loại I ở khu rừng này với tỉ lệ cây loại I ở khu rừng bên cạnh và kết luận với mức ý nghĩa 5%; biết rằng trong một mẫu 60 cây ở khu rừng bên cạnh có 26 cây loại I
GV TỔNG HỢP ĐỀ CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
Trang 3
ĐÁP ÁN
Câu 1: (2đ= 0,5đ + 1,5đ)
Xác suất để 2 người A,B ngồi cạnh nhau theo 1 cái bàn dài có n người là 2( 1)! 2
!
n p
a) Xác suất để 2 vợ chồng chị Lan ngồi cạnh nhau 2
10
b) Ai là biến cố cặp vợ chồng thứ i ngồi cạnh nhau, i = 1,2,3,4,5 Xác suất cần tìm:
5
3 4 5 1
5
1 (A ) (A A ) (A A A ) (A A A A ) P(A A A
1 –
A A )
10 10 9 10 9 8 10 9 8 7 10 9 8 7 6 135
t
P
A
Câu 2: ( 2đ = 1đ + 1đ)
X1; X2; X3 là các biến ngẫu nhiên chỉ độ lún của các trụ cầu, lần lượt theo thứ tự đã nêu trong bài a) Xác suất cần tìm = P( max{ X1; X2; X3} > 7,5 ) = 1 - P( max{ X1; X2; X3} <= 7,5 )
= 1 – P( X 1< 7,5) P( X 2< 7,5) P( X 2< 7,5) do các Xi độc lập
= 1 – [ 7,5 3
1
+ 0,5 ] [
7,5 3 1
+ 0,5 ] [
7,5 5 1,5
+ 0,5 ]
= 1 – 1 1 0,95221 = 0,04779 b) Tìm gía trị a để P(X3 > a) = 0,0001 0,5 - 5
1,5
a
= 00001; dẫn đến a = 10,57
hoặc a = 10,58; a= 10,59 Câu 3: ( 1,5đ)
H0: Trọng lượng trái dưa tuân theo phân phối chuẩn N(a; 2
)
a x = 1,3015 ; s^ = 0,1296
H1: Trọng lượng trái dưa không tuân theo phân phối chuẩn N(a; 2
)
Miền bác bỏ W = (11,34; + )
-oo 1,1 0,06 7,80 8 0,005034538
1,1 1,2 0,1567 20,37 21 0,019237439
1,2 1,3 0,2785 36,21 35 0,040352917
1,3 1,4 0,281 36,53 38 0,059521207
1,4 1,5 0,1609 20,91 18 0,405926723
1,5 +oo 0,0629 8,18 10 0,40678414
TCKĐ : 2
qs =
2 ( i i)
E
= 0,9369 W nên chưa bác bỏ được H0
Có thể coi trọng lượng các trái dưa tuân theo phân phối chuẩn
Câu 4: ( 4,5 đ = 1đ + 1đ +1,5đ + 1đ)
Trang 4a) (1đ) Viết lại số liệu mẫu cho chiều cao của các cây có đường kính 28 cm:
n = 22 ; y = 7,9091; s = 0,6838
KƯL:
2
0, 6838 ( 1) 7,9091 2,831 7,9091 0, 4127 ( 7, 4964;8,3218 )
22
s
n
b) (1đ) Giả thiết 2 = 0,14 = 0,07 f = 56
120
2
2 2,58 56 (1 56)
338,1029 0,07
n
Chọn n =339 Cần phải khảo sát thêm 339 -120 = 219 cây nữa
c) (1,5đ) n= 120; x = 24,9833; s = 2,1222
Gọi a là đường kính trung bình của lứa cây hiện tại
Cách 1: Giả thiết Ho: a = 24
Giả thiết H1: a 24
zα = 2,17 TCKĐ: 0 24,9833 24 120 5,0758
2,1222
qs
x a
s
Do |zqs | > zα nên bác bỏ Ho, chấp nhận H1
Đồng thời do x > 24 nên xem như đường kính trung bình của các cây đã tăng…
Cách 2:
Giả thiết Ho: a = 24
Giả thiết H1: a > 24
Miền bác bỏ W = (1,88; +)
TCKĐ: 0 24,9833 24 120 5,0758
2,1222
qs
x a
s
Do zqs thuộc Mbb nên bác bỏ Ho, chấp nhận H1
Đường kính trung bình của các cây đã tăng…
d) (1đ) n= 200; y = 3,225; s = 1,7593
Gọi p1 ; p2 lần lượt là tỉ lệ cây loại I ở khu rừng này và khu rừng bên cạnh
Gtkđ Ho: p1 = p2 Gtkđ H1: p1 p2 zα = 1,96 TCKĐ:
1 2
1 2
56 26
120 60 0,4233
82 82 1 1
1 1 (1 ) (1 )
180 180 120 60
qs
z
Do z qs < 1,96 nên ta chưa bác bỏ được H0
Có thể nói tỷ lệ cây loại I ở 2 khu rừng là như nhau
Trang 5Phụ lục đề thi theo Chuẩn đầu ra môn học CDIO
Nội dung trên đề thi Nội dung tương ứng chuẩn đầu ra môn học
Câu 1 Có khả năng phân tích bài toán xác suất, vận dụng các
công thức xác suất để giải
LO.2.1
Câu 2 Có khả năng phân tích bài toán về các dạng phân phối xác
suất, vận dụng các công thức để giải
LO.2.1
Câu 3 Nhận dạng bài toán kiểm định phi tham số và vận dụng
công thức, tính toán Biết sử dụng chức năng thống kê trong MTBT
LO.1.3 LO.2.3
Câu 4a) Nhận dạng và giải bài toán ước lượng tham số
Biết sử dụng chức năng thống kê trong MTBT
LO.1.3 LO.2.3 Câu 4b) Nhận dạng và giải bài toán ước lượng tham số
Biết sử dụng chức năng thống kê trong MTBT
LO.1.3 LO.2.3 Câu 4c) Nhận dạng và giải bài toán kiểm định tham số
Biết sử dụng chức năng thống kê trong MTBT
LO.1.3 LO.2.3 Câu 4d) Nhận dạng và giải bài toán kiểm định tham số
Biết sử dụng chức năng thống kê trong MTBT
LO.1.3 LO.2.3
Trang 6Trường ĐHBK TPHCM ĐỀ THI HỌC KỲ 182
Bộ môn Toán ứng dụng MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
- Đề thi gồm 2 trang A4
- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi.
- Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu
Câu 1: ( 2đ) Một nhà máy sản xuất bĩng đèn cĩ tỷ lệ bĩng đèn đạt tiêu chuẩn là 82%
Trước khi xuất ra thị trường, mỗi bĩng đèn được sản xuất ra đều phải qua một khâu kiểm tra chất lượng tự động Vì sự kiểm tra này khơng chính xác tuyệt đối nên một bĩng đèn tốt chỉ cĩ xác suất 92% được cơng nhận, và một bĩng đèn hỏng cĩ xác suất 96%
được loại bỏ Hãy tính tỷ lệ bĩng đèn tốt trong số những bĩng đèn được cơng nhận
Câu 2: ( 2đ) Thời gian đi từ nhà tới trường của sinh viên A là một đại lượng ngẫu nhiên
T ( đơn vị là phút) cĩ phân bố chuẩn N(a, 2) Biết rằng cĩ 68% số ngày sinh viên A đi đến trường mất hơn 21 phút và 9% số ngày mất hơn 29 phút
a) Tính thời gian đến trường trung bình của sinh viên A và độ lệch tiêu chuẩn
b) Giả sử A xuất phát từ nhà trước giờ vào học 26 phút Tính xác suất A bị muộn học
Câu 3: ( 3đ) Khi khảo sát hàm lượng vitamin C của các trái xồi trong một vùng trồng
cây ăn trái, người ta cĩ được số liệu mẫu:
Hàm lượng
mg/100
gram
30 - 32 32 - 34 34 - 36 36 - 38 38 - 40 40 - 42 42 – 44
a) Hãy ước lượng hàm lượng vitamin C trung bình của các trái xồi trong vùng với
độ tin cậy 96% Nếu muốn độ dài của khoảng ước lượng hàm lượng vitamin C trung bình là 0,5 (mg/100 gram) thì cần khảo sát bao nhiêu trái xồi?
b) Cĩ thể coi như hàm lượng vitamin C của các trái xồi tuân theo phân phối chuẩn hay khơng, xét với mức ý nghĩa 5%?
Trang 7Câu 4: ( 3đ) Tại một trại chăn nuôi heo, người ta thử nghiệm một loại thức ăn mới
nhằm mục đích tăng trọng lượng cho heo Sau khi nuôi 3 tháng, số liệu thu được như sau:
Lô heo sử dụng loại thức ăn mới:
Trọng lượng heo (kg) 78 79 80 81 82 83 84
Lô đối chứng ( sử dụng loại thức ăn thông thường):
Trọng lượng heo (kg) 76 77 78 79 80 81 82 83 84
a) Với mức ý nghĩa 2%, có thể nói loại thức ăn mới giúp làm tăng trọng lượng trung bình của heo hay không?
b) Công ty B đã cung cấp loại thức ăn mới này cho heo với quảng cáo là 85% số heo sẽ có trọng lượng từ 80kg trở lên sau 3 tháng Với mức ý nghĩa 5%, có thể nói công ty B quảng cáo quá sự thật hay không?
c) Hãy ước lượng với độ tin cậy 95% số heo có trọng lượng từ 80 kg trở lên, nếu nuôi 800 con trong 3 tháng bởi loại thức ăn mới này
Chủ nhiệm Bộ môn
Trang 8ĐÁP ÁN Câu 1: 2đ
Lấy ngẫu nhiên 1 bóng đèn Gọi T là biến cố bóng đèn đó tốt; PP là biến cố bóng đèn đó
là phế phẩm CN là biến cố bóng đèn được công nhận sau khi kiểm tra
Xác suất cần tìm:
( ) ( ) ( / ) ( ).P(CN/ PP) 0,82 0,92 0,18 0,04
P T CN
P CN P T P CN T P PP
Câu 2: 2đ
a) P(T > 21) = 0,5 - (21 a)
=0,68 (21 a) 0,18 ( 0, 4677) 21 a 0, 4677 (1)
P(T > 29) = 0,5 - (29 a)
=0,09 (29 a) 0, 41 (1,34075) 29 a 1,34075 (2)
Giải hệ pt (1) và (2) ta tìm được a 23,0690 và 4,4237
b) P(T >26) = 0,5 - 26 a 0, 2538
Câu 3: 3đ (1,5 + 1,5)
n= 330; x = 36.6667; s =2,9661; s = 2,9706
a) 2,05 2,9706 0,3352
330
z s
n
KUL (x ;x ) (36,3314; 37,0019)
Nếu muốn 2 =0,5 thì n =
2 553,3743
z s
b)
Lưu ý: cần trình bày các công thức tính pi và tiêu chuẩn kiểm định
Ho: Mẫu phù hợp phân phối chuẩn a = 36,6667 ; = 2,9661
H1: Mẫu không phù hợp phân phối chuẩn
Tra bảng 2
= 9,49
pi Ei =n*pi
0,0578 19,08
0,1265 41,74
0,2268 74,83
0,2624 86,59
0,196 64,67
0,0945 31,17
0,0361 11,91
2
qs = 1,4647 < 2
Chấp nhận Ho Mẫu phù hợp với phân phối chuẩn.
Câu 4: 3đ (1 + 1 + 1)
a)
a1 : Trọng lượng trung bình của heo được ăn thức ăn mới
Trang 9a2: Trọng lượng trung bình của heo được ăn thức ăn thông thường
C1: Giả thiết H: a1 = a2 Giả thiết H : a1 a2
Zα = 2,33
1 2
2 2
1 2
1 2
80,6 79,8
2,5315 2,1091 3,1797
qs
x x
z
Do z qs 2,33 nên bác bỏ H, chấp nhận H Đồng thời do x1 x2 nên xem như trọng lượng trung bình của heo ăn loại thức ăn mới là cao hơn so với hiện tại
C2: Giả thiết H0 : a1 = a2 Giả thiết H :1 a1 a2
Mbb ( 2,05; + )
1 2
2 2
1 2
1 2
80,6 79,8
2,5315 2,1091 3,1797
qs
x x
Nên ta bác bỏ H0, chấp nhận H1 Trọng lượng trung bình của heo ăn loại thức ăn mới là cao hơn so với hiện tại
b) Gọi p là tỉ lệ heo có trọng lượng từ 80 kg trở lên trong các con heo sử dụng loại
thức ăn mới
Cách 1:
H : p = 85% H : p ≠ 85%
z= 1,96 TCkđ:
0
36 0,85
p (1 p ) 0,85 (1 0,85)
qs
f p
Do |zqs |< z nên chưa bác bỏ được H Chưa thể nói rằng công ty B quảng cáo sai
Cách 2:
Ho : p = 0,85 H1: p < 0,85
Mbb ( - ; - 1,65)
TCKĐ:
0
36 0,85
p (1 p ) 0,85 (1 0,85)
qs
f p
Do zo không thuộc Mbb nên chưa bác bỏ được Ho Chưa thể nói rằng công ty B quảng cáo sai
c) Khoảng ul cho tỉ lệ p: 0,8 1,96 0,8 0, 2; 0,8 1,96 0,8 0, 2 ( 0,6831;0,9169)
Suy ra khoảng ul cần tìm ( 547; 734)
Trang 10Phụ lục đề thi theo Chuẩn đầu ra môn học CDIO
Nội dung trên đề thi Nội dung tương ứng chuẩn đầu ra môn học
Câu 1 Có khả năng phân tích bài toán xác suất, vận dụng các
công thức xác suất để giải
LO.2.1
Câu 2 Có khả năng phân tích bài toán về các dạng phân phối xác
suất, vận dụng các công thức để giải
LO.2.1
Câu 3a) Nhận dạng bài toán ước lượng và vận dụng công thức, tính toán
Biết sử dụng chức năng thống kê trong MTBT
LO.2.1 LO.2.3 Câu 3b) Nhận dạng bài toán kiểm định phi tham số và vận dụng
công thức, tính toán Biết sử dụng chức năng thống kê trong MTBT
LO.1.3 LO.2.3
Câu 4a) Nhận dạng và giải bài toán kiểm định tham số Biết sử dụng
chức năng thống kê trong MTBT
LO.1.3 LO.2.3 Câu 4b) Nhận dạng và giải bài toán kiểm định tham số Biết sử dụng chức
năng thống kê trong MTBT
LO.1.3 LO.2.3 Câu 4c) Phân tích bài toán để nhận ra dạng bài toán ước lượng và vận
dụng công thức, tính toán Biết sử dụng chức năng thống kê trong MTBT
LO.2.1 LO.2.3
Trang 111
Bộ môn Toán ứng dụng MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Thời gian: 90 phút
- Đề thi gồm 2 trang A4
- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi
- Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu khác
Câu 1: (1đ)
Cĩ 4 đứa trẻ chơi cờ cá ngựa Theo thứ tự, chúng lần lượt đổ một con xúc xắc Ai
đổ được mặt lục thì sẽ được ra quân Tính xác suất đứa trẻ thứ 3 được ra quân trước tiên
Câu 2: (1đ)
Biến ngẫu nhiên X cĩ phân phối đều trên đoạn [-1; 3] Hãy tìm hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X2
Câu 3: (2đ) Giả sử rằng xác suất để một đứa trẻ sinh ra là trai hay gái đều bằng
0,5 và khơng phụ thuộc vào các trẻ khác trong gia đình Ở một vùng, người ta thống kê được như sau:
Số con trong gia đình (n) 0 1 2 3 4
Tỉ lệ % gia đình cĩ n con
(trong tổng số các gia đình)
15 20 50 12 3
a) Chọn ngẫu nhiên một gia đình trong vùng Tìm xác suất gia đình đĩ cĩ đúng 2 con gái ( cĩ thể cĩ con trai trong gia đình)
b) Chọn ngẫu nhiên một đứa con trong số những đứa trẻ của các gia đình Tìm xác suất để đứa con ấy thuộc gia đình cĩ đúng 2 con gái đã nhắc đến trong câu a)
Câu 4: ( 6đ) Dưới đây là những số liệu mẫu thu được khi người ta khảo sát số
tiền mà các hộ gia đình trong vùng đã chi tiêu để mua sữa và các sản phẩm từ sữa (gọi chung là các sản phẩm từ sữa) Gọi X là số con trong một gia đình, và Y là
số tiền chi tiêu ( đơn vị: ngàn đồng) hàng tháng gia đình đĩ đã dùng để mua các
sản phẩm từ sữa
Bảng 1: Số liệu ghi nhận lại từ năm trước:
Số hộ được khảo sát: 150 hộ
Số tiền chi tiêu trung bình của 1 hộ trong 1 tháng: 1150 ( ngàn đồng)
Độ lệch mẫu hiệu chỉnh: 720
Số hộ cĩ mức chi tiêu thấp ( khi Y < 500 ): 40 hộ
Số hộ cĩ mức chi tiêu trung bình ( khi 500 Y < 2500): 100 hộ
Số hộ cĩ mức chi tiêu cao ( khi Y 2500): 10 hộ
Trang 122
Bảng 2: Số liệu trong năm nay:
Y
X 0 – 500 500 –1500 1500 –2500 2500 – 3500 Tổng hàng
a) Từ Bảng 2, hãy tìm hệ số tương quan giữa X,Y và phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X
b) Từ Bảng 2, hãy tìm khoảng ước lượng với độ tin cậy 97% về tỉ lệ hộ có
mức chi tiêu cao trong những gia đình có 2 đứa con
c) Có thể cho rằng số tiền chi tiêu trung bình hàng tháng cho sản phẩm từ sữa của các hộ trong năm nay đã tăng so với năm trước hay không, xét với mức ý nghĩa 1% ?
d) Với mức ý nghĩa 5%, hãy xét xem mức độ chi tiêu với sản phẩm từ sữa
(cao, trung bình, thấp) của các gia đình có phụ thuộc vào năm làm khảo sát
hay không
e) Từ Bảng 2, với mức ý nghĩa 1%, hãy kiểm định xem số con trong một hộ gia đình có tuân theo phân phối Poisson hay không
GV tổng hợp đề Chủ nhiệm Bộ môn