ĐỀ THI HỌC KỲ MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến khi có người ném trúng thì dừng. Người thứ nhất ném trước. Xác suất ném trúng rổ trong mỗi lượt chơi của mỗi người lần lượt là 0,3 và 0,4. Hãy lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ số lần ném rổ của người thứ nhất. Tìm E(X); D(X).Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến khi có người ném trúng thì dừng. Người thứ nhất ném trước. Xác suất ném trúng rổ trong mỗi lượt chơi của mỗi người lần lượt là 0,3 và 0,4. Hãy lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ số lần ném rổ của người thứ nhất. Tìm E(X); D(X).Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến khi có người ném trúng thì dừng. Người thứ nhất ném trước. Xác suất ném trúng rổ trong mỗi lượt chơi của mỗi người lần lượt là 0,3 và 0,4. Hãy lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ số lần ném rổ của người thứ nhất. Tìm E(X); D(X).Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến khi có người ném trúng thì dừng. Người thứ nhất ném trước. Xác suất ném trúng rổ trong mỗi lượt chơi của mỗi người lần lượt là 0,3 và 0,4. Hãy lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ số lần ném rổ của người thứ nhất. Tìm E(X); D(X).

Trường ĐHBK TPHCM ĐỀ THI HỌC KỲ

Bộ môn Toán ứng dụng MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Thời gian: 90 phút

- Đề thi gồm 2 trang A4

- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi

- Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu

Câu 1: ( 2đ)

Gieo 3 con xúc xắc cân đối một cách độc lập Tính xác suất để:

a) Tổng số chấm xuất hiện trên 3 con xúc xắc là 10 nếu biết rằng cĩ ít nhất một con xuất hiện mặt ba chấm

b) Cĩ ít nhất một con xuất hiện sáu chấm nếu biết rằng số chấm trên 3 con

xúc xắc là khác nhau

Câu 2: ( 2đ)

Hai cầu thủ bĩng rổ lần lượt ném bĩng vào rổ cho đến khi cĩ người ném trúng thì dừng Người thứ nhất ném trước Xác suất ném trúng rổ trong mỗi lượt chơi của mỗi người lần lượt là 0,3 và 0,4 Hãy lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ số lần ném rổ của người thứ nhất Tìm E(X); D(X)

Câu 3: ( 5đ)

Người ta khảo sát trọng lượng của các gĩi mì được đĩng gĩi tự động trên 2 dây chuyền khác nhau Các gĩi mì cĩ trọng lượng nhỏ hơn 980 gram được coi là khơng đạt tiêu chuẩn đĩng gĩi

Ở dây chuyền thứ nhất, số liệu mẫu thu được như sau:

Trọng lượng một gĩi

(gram)

960-

- 970

970-

- 980

980-

- 990

990-

- 1000

1000-

- 1010

1010-

- 1020

Ở dây chuyền thứ hai, khi khảo sát 121 gĩi mì thì người ta thấy cĩ 11 gĩi mì khơng đạt tiêu chuẩn đĩng gĩi; 80 gĩi đạt tiêu chuẩn và cĩ trọng lượng nhỏ hơn 1000 gram; 30 gĩi đạt tiêu chuẩn và cĩ trọng lượng từ 1000 gram trở lên Trọng lượng trung bình của 121 gĩi mì này là 991 gram và độ lệch mẫu hiệu chỉnh là 11 gram

a) Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho trọng lượng trung bình của các gĩi mì khơng đạt tiêu chuẩn đĩng gĩi trên dây chuyền thứ nhất

b) Với độ tin cậy 95%, hãy chỉ ra khoảng ước lượng cho phương sai của trọng lượng các sản phẩm trên dây chuyền thứ hai

c) Trước đây tỉ lệ sản phẩm đóng gói không đạt tiêu chuẩn trên dây chuyền thứ nhất là 15% Số liệu trên được lấy sau khi người ta thực hiện cải tiến kỹ thuật Với mức ý nghĩa 1%, có thể xem như việc cải tiến kỹ thuật đã đem lại hiệu quả đối với dây chuyền thứ nhất hay không?

d) Với mức ý nghĩa 5%, hãy so sánh trọng lượng trung bình của các gói

mì được đóng gói trên 2 dây chuyền

e) Với mức ý nghĩa 5%, hãy xét xem tình trạng được đóng gói của các gói mì có phụ thuộc vào việc các gói mì được sản xuất trên dây chuyền nào hay không? ( Ta xem xét tình trạng được đóng gói ở 3 mức độ: không đạt tiêu chuẩn; đạt tiêu chuẩn và trọng lượng nhỏ hơn 1000 gram; đạt tiêu chuẩn và trọng lượng từ 1000 gram trở lên)

Câu 5: ( 1 đ)

Dưới đây là số liệu mẫu thu được khi người ta khảo sát số ngày nghỉ vượt tiêu chuẩn phép trong năm của nhân viên ở một công ty thời trang

Với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận xem mẫu này có phù hợp với phân phối Poisson hay không?

P Chủ nhiệm Bộ môn

TS Nguyễn Bá Thi

ĐÁP ÁN

Câu 1: 2đ Yêu cầu giải thích các kết quả thành phần

a) (1đ) Gọi A là biến cố tổng các mặt bằng 10;

B biến cố có ít nhất một mặt 3 chấm

3 3 3

15

P(A|B)=

1 6

 b) (1đ) Gọi C là biến cố có ít nhất một con được 6 chấm;

D biến cố số chấm trên 3 con xúc xắc là khác nhau

3

3

60 1 6 ( | )

120 2 6

P C D

Câu 2: 2đ

P(X=1) = 0,3 + 0,7 0,4 = 0,58 P(X=2) = 0,7 0,6 0,3 + 0,7 0,6 0,7 0,4 = 0,42 0,58 P(X=3) = 0,7 0,6 0,7 0,6 0,3 + 0,7 0,60,7 0,6 0,7 0,4 = 0,42 2  0,58 Công thức tổng quát:

P(X=k) = 0,42 k-1  0,58 k= 1;2;3;…

0,58

0,58 0,58

Câu 3: 5đ = 1 + 0.5 +1 +1 +1.5

Mẫu 1: n = 170; x = 993,8235; s = 10,4243

Mẫu 2: n = 200 x = 991 s =11

a) Mẫu nhỏ: n = 12; x = 973,3333; s = 3,8925

KƯL:

2

3,8925

12



n

1

( 1) ;( 1) 120 11 120 11; 95,3945; 158,5499

152,21 91,58



c) Gọi p là tỉ lệ sản phẩm không đạt tiêu chuẩn đóng gói trên dây chuyền thứ nhất

C1: Gtkđ Ho: p = 15%

Gtkđ H1: p  15%

zα = 2,58

0

12 0,15

f p





Do z0 > 2,58 nên ta bác bỏ H 0 , chấp nhận H 1 Do f < 0,15 nên coi như tỉ lệ sản phẩm không đạt yêu cầu đã giảm, việc cải tiến có hiệu quả

C2: Gtkđ Ho: p = 15%

Gtkđ H 1 : p < 15%

Miền bác bỏ W α = (-; -2,33)

0

12 0,15

f p





Do z0 W α nên bác bỏ được H0, chấp nhận H 1 … d) Gọi a 1 ; a 2 lần lượt là trọng lượng trung bình các gói mì trên dây chuyền 1 và 2

C1: Gtkđ Ho: a1 = a2

Gtkđ H 1 : a1  a2

z α = 1,96

1 2

1 2

993,8235 991 2,2053 10,4243 11

x x z

s s

n n





Do z0 > 1,96 nên bác bỏ H 0 và chấp nhận H1 Trọng lượng trung bình của các gói mì trên 2 dây chuyền là không như nhau Do x1x nên ta xem như trọng lượng trung bình của các 2

gói mì trên dây chuyền 1 là lớn hơn so với dây chuyền 2

C2: Gtkđ Ho: a 1 = a 2

Gtkđ H1: a1 > a2 Miền bác bỏ Wα = (1,65 ; +)

1 2

1 2

1 2

993,8235 991 2,2053 10,4243 11

x x z

s s

n n





Do z0 W α nên bác bỏ H 0 , chấp nhận H 1 …

( Cho điểm cả trường hợp giải bài toán theo giả thiết H 1 là a 1  a 2 )

e) Số liệu trên được viết lại:

Tình trạng SP Dây chuyền

Không đạt tiêu chuẩn

Đạt tiêu chuẩn + <1000 gram

Đạt tiêu chuẩn + 1000 gram

H 0 : Tình trạng sản phẩm có phân bố tỉ lệ như nhau trên 2 dây chuyền đóng gói

H 1 : Tình trạng sản phẩm có phân bố tỉ lệ khác nhau trên 2 dây chuyền đóng gói

2

0,05 (2) 5,99

Bảng tần số lý thuyết:

13.4364 113.918 42.646

9.56357 81.0825 30.354

0

;

0, 4011 

i j

E nên chấp nhận H0

Câu 4: 1 đ

Ho: mẫu phù hợp với phân phối Poisson với   x  0,8133

H1: mẫu không phù hợp với phân phối Poisson

Miền bác bỏ: W α =( 7,81; +∞) n =150

Công thức tính pi :

!

i i

e p

i

 

 

 i=0,1,2,3,4

pi 0.443378 0.360614 0.14665 0.039758 0.008084 Ei=n*pi 66.50665 54.09208 21.99744 5.963752 1.212629

Tieâu chuaån kñ: 4  2

2 0 0

9, 0602







E  Wα  Bác bỏ H 0

M ẫu không phù hợp với phân phối Poisson

Trang 1/2

Bộ môn Toán ứng dụng MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Thời gian: 90 phút

- Đề thi gồm 2 trang A4

- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi

- Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu khác

Câu 1: ( 2đ)

Một người viết n tấm thiệp khác nhau gửi cho n người bạn Trong lúc lơ đãng anh

ta đã bỏ ngẫu nhiên n tấm thiệp này vào n bì thư đã ghi sẵn địa chỉ của những

người bạn nĩi trên và gửi đi

a) Tìm xác suất trong những người bạn đĩ, cĩ ít nhất một trong 2 người A và

B sẽ nhận đúng thiệp dành cho mình

b) Tìm xác suất cĩ ít nhất một người bạn nhận đúng thiệp dành cho mình?

Câu 2: ( 2đ)

Cho biết 2 đại lượng ngẫu nhiên X1, X2 độc lập, cĩ cùng phân phối mũ với hàm

khi x

F x





và đại lượng ngẫu nhiên Y = min {X1, X2}

a) Tìm các xác suất P( X1 < 2) và P( Y< 2)

b) Tìm hàm phân phối xác suất của Y và tính E(Y); D(Y)

Câu 3: ( 1,5 đ)

Người ta khảo sát về mức thu nhập bình quân ( đơn vị: triệu đồng/ 1 tháng) của người lao động ở trong cùng một ngành nghề tại thành phố Hà nội và thành phố

Hồ Chí Minh Số liệu mẫu thu được như sau:

Mức thu nhập Thành phố

< 6 6 – 10 10 -15  15

Với mức ý nghĩa 5%, cĩ thể xem như mức thu nhập của người lao động trong ngành này phụ thuộc vào thành phố mà họ làm việc hay khơng?

Câu 4: ( 1,5 đ)

Khi khảo sát số phế phẩm trong 100 sản phẩm được chọn ngẫu nhiên của mỗi cơng nhân, người ta cĩ được số liệu mẫu sau đây:

Số phế phẩm trong

100 sản phẩm

Trang 2/2

Với mức ý nghĩa 5%, có thể xem như mẫu này phù hợp với phân phối Poisson hay không?

Câu 5: ( 3 đ)

Người ta tiến hành đo đường kính X (cm) và chiều cao Y (m) cho các cây cùng loại và cùng độ tuổi được trồng trong rừng để đánh giá hiệu quả của việc cải tiến phương pháp chăm sóc cây Những cây có đường kính từ 26 cm và chiều cao từ 7

m trở lên được coi như cây loại 1 Dưới đây là số đo của 110 cây được lựa chọn

ngẫu nhiên

Y(m)

a) Hãy ước lượng chiều cao trung bình của các cây loại I với độ tin cậy 98% b) Nếu muốn khoảng ước lượng cho tỉ lệ cây loại I trong rừng có độ dài là 0,16 và độ tin cậy là 98% thì người ta cần khảo sát thêm bao nhiêu cây nữa?

c) Theo một tài liệu nghiên cứu về sự sinh trưởng của cây thì ở độ tuổi này, với điều kiện chăm sóc truyền thống thì tỷ lệ cây loại I trong các cây cùng loại chiếm khoảng 35% Với mức ý nghĩa 3%, chúng ta có thể nói rằng việc cải tiến phương pháp chăm sóc cây đã đem lại hiệu quả hay không?

Chủ nhiệm Bộ môn

PGS.TS Nguyễn Đình Huy

Trang 3/2

ĐÁP ÁN

Câu 1: 2đ

a) (0,5đ) Gọi A, B là các biến cố thư của người A, người B bỏ đúng bì thư.

Xác suất cần tìm:

P(A+C) = P(A) + P(B) – P(A).P(B) =     

n

n n n n n n

b) (1,5đ)

Gọi Ai là biến cố bức thư thứ i bỏ đúng bì thư ; i = 1,2,3,…, n

Gọi E là biến cố có ít nhất 1 thư đến đúng được địa chỉ

E = A1 + A2 + … + An

Theo công thức cộng xác suất tổng quát, ta có được :

1 2 1

n

n

1

n

n

n



      

Câu 2: 2đ

a) (0,5đ + 0,5 đ)

* Hàm mật độ xác suất của X1 có dạng:

P(X1 < 2) = F(2) = 1- e-2 = 0,8647

* P(Y < 2) = P( min{X1, X2} < 2 ) = 1- P ( X1 > 2 và X2 > 2)

= 1 - P ( X1 > 2)* P( X2 > 2)

= 1 – [ 1- FX1(2) ]* [ 1- FX2(2) ] = 0,9817 hoặc P(Y < 2) = P( min{X1, X2} < 2 ) = P ( X1 < 2 hoặc X2 < 2)

= P( X1 < 2) + P( X2 < 2) - P( X1 < 2) * P( X2 < 2)

= FX1(2) + F X2 (2) – F X1 (2) * F X2 (2)

= 0,9817 b) (1đ)

* Hàm ppxs của Y:

2

Y

y

khi y







* Suy ra hàm mật độ xác suất của Y:

2

(y)

khi y f





 Nhận thấy Y cũng có pp mũ, với =2 nên E(Y) = ½; D(Y) = 1/4

Câu 3: 1,5 đ

Gtkđ Ho: Mức thu nhập của người lao động không phụ thuộc TP họ làm việc Gtđ H1: Mức thu nhập của người lao động phụ thuộc vào TP họ làm việc

Mbb ( 7,81; + )

Trang 4/2

Bảng tần số thực tế Oij:

Bảng tần số lý thuyết Eij:

34,0233 68,0465 54,3488 33,5814

42,9767 85,9535 68,6512 42,4186

Tiêu chuẩn kđ: 2

;

0,1838

ij ij

Mbb E



Mức thu nhập của NLĐ trong ngành không phụ thuộc vào thành phố họ làm việc

Câu 4: 1,5 đ

Gtkđ Ho: Số lỗi trên 100 sản phẩm của công nhân tuân theo pp Poisson,

Gtđ H1: Số lỗi trên 100 sản phẩm của công nhân không tuân theo pp Poisson Mbb: ( 7,81; + )

P i = e-*k/k! 0,5638 0,3231 0,0926 0,0177 0,0025

E i =n*P i 146,58 84,004 24,07 4,5981 0,6588

Tiêu chuẩn kđ: 2qs 4  2

0

12, 0839

Mbb E





H1

Câu 5: 3 đ

a) (1đ) Viết lại số liệu mẫu cho chiều cao của các cây loại I:

n = 49 ; y = 7,4898; s = 0,6494

KƯL:

0, 6494

7, 4898 2,33 7, 4898 0, 2162 ( 7, 2736;7, 7060 )

49

s

y z

n



b) (1đ) Giả thiết 2 = 0,16   = 0,08





2

2 2,33 49 (1 49)

209,5426 0,08

n

Chọn n =210 Cần phải khảo sát thêm 210 -110 = 100 cây nữa

Trang 5/2

c) (1đ) n= 200; y = 3,225; s = 1,7593

Gọi p là tỉ lệ cây loại I trong các cây được chăm sóc theo phương pháp mới trong

rừng

C1: Gtkđ Ho: p = 35%

Gtkđ H1: p  35% zα = 2,17

0

49 0,35

qs

f p

Do z qs < 2,17 nên ta chưa bác bỏ được H0 Có thể nói việc cải tiến chưa thực sự làm tăng tỷ lệ cây loại I

C2: Gtkđ Ho: p = 35%

Gtkđ H1: p > 35% Mbb Wα = (1,88; +)





0

49 0,35

qs

f p

Do z > 2,17 nên ta bác bỏ H0, chấp nhận H1 Ta coi như việc cải tiến thực sự đã làm tăng tỷ lệ cây loại I

1

Bộ môn Toán ứng dụng MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Thời gian: 90 phút

Dành cho các lớp Dự thính

- Đề thi gồm 2 trang A4

- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi

- Các số gần đúng làm tròn đến 4 chữ số phần thập phân

Câu 1 (2 đ) Tỷ lệ phế phẩm do một cơng ty sản xuất là 2% Trước khi xuất xưởng,

mỗi sản phẩm phải qua một thiết bị kiểm tra tự động Thiết bị này phát hiện đúng chính phẩm với xác suất 97% và phát hiện đúng phế phẩm với xác suất 99% Hãy tính tỷ lệ chính phẩm của các sản phẩm mà cơng ty bán trên thị trường

Câu 2 ( 2 đ) Cho véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) cĩ hàm mật độ phân bố xác suất là:

( , )

f x y

 



ở đây D( , )x y R x2, 2 y2 2x

Tìm số a và tính kỳ vọng E(X+Y)

Câu 3 ( 4 đ) Người ta nghiên cứu về sự ảnh hưởng giữa mức thu nhập X của các

hộ gia đình ( đơn vị triệu đồng/ tháng) và mức tiêu thụ Y (đơn vị kg/ tháng) của hộ

đĩ đối với thực phẩm A Dưới đây là số liệu mẫu khảo sát được trong 110 hộ ở vùng này:

a) Tìm phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu của Y theo X và hệ số tương quan mẫu

2

b) Với độ tin cậy 95%, hãy tìm khoảng ước lượng cho mức tiêu thụ trung bình thực phẩm A trong một tháng của các hộ gia đình và khoảng ước lượng cho khối lượng thực phẩm A được tiêu thụ trong một tháng của 5000 hộ trong vùng

c) Người ta xếp loại các hộ có mức tiêu thụ thực phẩm A trong 1 tháng trên ngưỡng 6 kg là những hộ có nhu cầu cao về loại thực phẩm này Số liệu từ đợt khảo sát 200 hộ trong vùng cách đây 1 năm cho thấy chỉ có 26 hộ có mức tiêu thụ cao hơn ngưỡng trên Với mức ý nghĩa 2%, có thể nói rằng tỉ lệ hộ có nhu cầu cao

về thực phẩm A hiện đã tăng lên hay không?

Câu 4: ( 2 đ) Dưới đây là một mẫu thống kê về chiều cao của một loại cây sau 6

năm tuổi:

Chiều cao (m) 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16

Với mức ý nghĩa 5%, có thể xem như mẫu này phù hợp phân phối chuẩn hay không?

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

PGS.TS Nguyễn Đình Huy

3

ĐÁP ÁN

Caâu 1: ( 2đđ)

Theo đđề, ta giả định các sản phẩm ngoài thị trường là sản phẩm đã được máy kết luận tốt

Gọi A là biến cố sản phẩm đó thực sự tốt

Gọi B là biến cố sản phẩm đó được kết luận tốt

Tỉ lệ cần tìm = P( A /B) = ( ) ( ) ( / )

P AB P A P B A

P B P A P B A P A P B A





0,98 0,97 0,02 0,01



Có thể làm cách khác nhưng sinh viên cần giải thích để được điểm tối đa

Caâu 2: ( 1đ + 1đ)

Phương trình đường tròn giới hạn D là x2

+ y2 = 2x

Để thuận tiện, ta đổi tích phân cần tính sang tọa độ cực

x = r cos; y = r sin; |J| = r

Phương trình đường tròn được viết thành r2 = 2 r cos  (r = 0); r = 2 cos

D

r







  



 Tìm a:

2cos 2

0 2

2 2

D























 Tìm E(X+Y):

4

2

2cos 2

2 0

2

2 2

9

32

d





















Câu 3: ( 1đ + 1,5đ +1,5đ )

Các đặc trưng mẫu:

a) R = 0,8270 Phương trình hồi quy tt: y = 0,6682 + 0,1320 x

Cần có công thức tính các hệ số để được tối đa điểm

b) + Khoảng ƯL cho nhu cầu trung bình:

1,96 1,8491

110

Y

z s

y y

n



hay ( 3,9453; 4,6365 )

+ Khoảng UL cho khối lượng thực phẩm A được tiêu thụ:

( 19727 kg; 23183 kg)

c) Gọi p1 ; p2 lần lượt là tỉ lệ hộ có nhu cầu cao đối với thực phẩm A của năm trước

và năm nay

Cách 1:

Ho : p1 = p2 H1: p1 ≠ p2

z= 2,33

0

z





Do z o < z nên chưa bác bỏ được Ho Chưa thể nói rằng tỉ lệ hộ có nhu cầu cao về thực phẩm A thay đổi

5

Cách 2:

Ho : p1 = p2 H1: p1 < p2

Mbb ( - ; - 2,05)

z





Do zo không thuộc Mbb nên chưa bác bỏ được Ho Chưa thể nói rằng tỉ lệ

hộ có nhu cầu cao về thực phẩm A đã tăng

Caâu 4: Lưu ý trình bày các công thức tính pi và tiêu chuẩn kiểm định

Ho: Mẫu phù hợp phân phối chuẩn a = 10,26 ;  = 2,3436

H1: Mẫu không phù hợp phân phối chuẩn

Tra bảng 2

= 7,81

0.0346 6.91

0.1329 26.58

0.2884 57.68

0.3153 63.05

0.1736 34.73

0.0553 11.05

2

qs = 0,7006 < 2



Chấp nhận Ho Mẫu phù hợp với phân phối chuẩn