ĐỀ THI HỌC KỲ MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5%. Người ta dùng một thiết bị kiểm tra tự động để kiểm tra các sản phẩm do máy sản xuất. Tuy nhiên thiết bị này vẫn có sai sót khi kết luận, cụ thể sai sót khi gặp chính phẩm là 4%, còn sai sót khi gặp phế phẩm là 1%. a) Tìm tỷ lệ sản phẩm được kết luận chính phẩm mà thực ra nó là phế phẩm. b) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị thiết bị kiểm tra đó kết luận nhầm.Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5%. Người ta dùng một thiết bị kiểm tra tự động để kiểm tra các sản phẩm do máy sản xuất. Tuy nhiên thiết bị này vẫn có sai sót khi kết luận, cụ thể sai sót khi gặp chính phẩm là 4%, còn sai sót khi gặp phế phẩm là 1%. a) Tìm tỷ lệ sản phẩm được kết luận chính phẩm mà thực ra nó là phế phẩm. b) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị thiết bị kiểm tra đó kết luận nhầm.Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5%. Người ta dùng một thiết bị kiểm tra tự động để kiểm tra các sản phẩm do máy sản xuất. Tuy nhiên thiết bị này vẫn có sai sót khi kết luận, cụ thể sai sót khi gặp chính phẩm là 4%, còn sai sót khi gặp phế phẩm là 1%. a) Tìm tỷ lệ sản phẩm được kết luận chính phẩm mà thực ra nó là phế phẩm. b) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị thiết bị kiểm tra đó kết luận nhầm.

Trường ĐHBK TPHCM ĐỀ THI HỌC KỲ

Bộ môn Toán ứng dụng MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Thời gian: 90 phút

- Đề thi gồm 1 trang A4

- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi

- Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu

Câu 1: ( 2đ) Cho một hộp bi gồm 8 bi xanh, 7 bi vàng và 6 bi đỏ cĩ cùng cỡ Từ

hộp rút ngẫu nhiên lần lượt, khơng hồn lại, từng bi cho đến khi gặp bi đỏ thì dừng lại Giả sử đã lấy ra tất cả 5 bi Tìm xác suất để cĩ 2 bi xanh và 2 bi vàng được rút ra

Câu 2: ( 3đ) Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5% Người ta dùng một thiết bị kiểm

tra tự động để kiểm tra các sản phẩm do máy sản xuất Tuy nhiên thiết bị này vẫn

cĩ sai sĩt khi kết luận, cụ thể sai sĩt khi gặp chính phẩm là 4%, cịn sai sĩt khi gặp phế phẩm là 1%

a) Tìm tỷ lệ sản phẩm được kết luận chính phẩm mà thực ra nĩ là phế phẩm b) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị thiết bị kiểm tra đĩ kết luận nhầm

Câu 3: (5đ) Khi khảo sát chiều dài của cùng một loại chi tiết do phân xưởng A

sản xuất, người ta thu được mẫu sau:

Chiều dài chi tiết (mm) 62-63 63-64 64-65 65-66 66-67 67-68

Các chi tiết đạt loại I là các chi tiết cĩ chiều dài trong khoảng 64-66 (mm)

a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng chiều dài trung bình của các chi tiết do phân xưởng A sản xuất

b) Với độ tin cậy 98%, hãy tìm khoảng ước lượng cho số chi tiết đạt loại I trong kho chứa 2000 sản phẩm cùng loại của phân xưởng A

c) Trước đây, tỉ lệ chi tiết đạt loại I của phân xưởng chiếm 50% Số liệu mẫu trên được khảo sát sau khi phân xưởng áp dụng cải tiến quy trình sản xuất Với mức ý nghĩa 1%, cĩ thể xem như việc cải tiến đã làm tăng tỉ lệ chi tiết đạt loại I khơng?

d) Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm định xem chiều dài chi tiết cĩ phù hợp với phân phối chuẩn hay khơng?

Chủ nhiệm Bộ mơn

ĐỀ CA 1

Trường ĐHBK TPHCM ĐỀ THI HỌC KỲ

Bộ môn Toán ứng dụng MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Thời gian: 90 phút

- Đề thi gồm 1 trang A4

- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi

- Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu

Câu 1: ( 2đ) Ba cơng nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm, xác suất để người

thứ nhất và người thứ 2 làm ra chính phẩm là 0,9 Cịn xác suất người thứ 3 làm

ra chính phẩm là 0,8 Một người trong số đĩ làm ra 8 sản phẩm, thấy cĩ 2 phế phẩm.Tìm xác suất trong 8 sản phẩm tiếp theo cũng do người đĩ sản xuất sẽ cĩ 6 chính phẩm

Câu 2: ( 3đ)

Hàng đĩng thành kiện, mỗi kiện cĩ 10 sản phẩm, trong đĩ cĩ 7 sản phẩm loại I Khách hàng kiểm tra từng kiện hàng, và sẽ nhận kiện hàng nếu lấy ngẫu nhiên đồng thời ra 3 sản phẩm thì được cả 3 sản phẩm loại I Khách đã kiểm tra 100 kiện hàng Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số kiện được khách nhận

a) Tìm xác suất một kiện hàng bất kì được khách nhận Tính E(X), D(X) b) Tính xác suất để cĩ khơng quá 33 kiện hàng được nhận

Câu 3: ( 5 điểm): Một cơng ty đã nhập thêm máy mĩc mới phục vụ sản xuất Khi

quan sát quá trình cơng nhân gia cơng sản phẩm trên máy mới, người ta cĩ được

số liệu mẫu:

Thời gian gia cơng

(phút)

30-32 32-34 34-36 36-38 38-40 40-42

a) Hãy ước lượng tỉ lệ sản phẩm được gia cơng dưới 34 phút với độ tin cậy 96%

b) Nếu muốn khoảng ước lượng thời gian trung bình để gia cơng một sản phẩm cĩ chiều dài khơng quá 0,5 phút và độ tin cậy 96% thì chúng ta cần kích thước mẫu tối thiểu là bao nhiêu?

c) Thời gian định mức trước đây để gia cơng một sản phẩm loại này là 36 phút Với mức ý nghĩa 1%, chúng ta cĩ thể kết luận việc nhập máy mĩc mới đã làm tăng năng suất cơng nhân hay chưa?

d) Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm định xem thời gian gia cơng một sản phẩm loại này cĩ phù hợp với phân phối chuẩn hay khơng?

Chủ nhiệm Bộ mơn

ĐỀ CA 2

ĐÁP ÁN ĐỀ 1

Câu 1: 2đ

Gọi: A là biến cố dừng lại ở bi thứ 5 (đề bài cho A xảy ra rồi )

B là biến cố trong 4 viên bi đầu có 2 xanh, 2 vàng

P(A) =

4 15 4 21

6 26

0.0805

17 323

C

P(AB) =

2 2

8 7 4 21

6 56

0, 0347

17 1615

C

P(B/A) =

2 2

8 7 4 15

0, 4308

P AB



Các bài làm theo công thức xác suất m

n nhưng trình bày 4

15 6

C

   nếu đúng đáp số cũng không được điểm tối đa do cách viết trên không thể hiện yêu cầu của bài là lấy có thứ tự

Câu 2: 3đ ( 1,5đ +1,5đ)

Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm do máy sản xuất

Gọi: PP là biến cố sản phẩm đó là phế phẩm

CP là biến cố sản phẩm đó là chính phẩm

KlPP là biến cố sản phẩm được kết luận là phế phẩm

KlCP là biến cố sản phẩm được kết luận là chính phẩm

a) P(PP*KlCP) = P(PP) * P(KlCP/ PP) = 5% * 1% = 0,05%

b) P(Kl nhầm) = P(CP)* P(Kl nhầm/CP) + P(PP)* P(Kl nhầm/PP)

= 95% * 4% + 5% *1% = 3,85%

Câu 3: 5đ (1đ +1đ +1đ +2đ )

230 65, 0478 1, 2353 1, 2380

a) Khoảng ước lượng cần tìm:

1,96 1, 2380

65, 0478 65, 0478 0,1600 (64,8878; 65, 2078)

230

z s

n

b) f= 127/230 =0,5522

Khoảng ước lượng cho tỉ lệ chi tiết đạt loại I:

(1 ) 2,33 0,5522(1 0,5522)

230

f

n

hay ( 0,4758; 0,6286)

Khoảng ước lượng cho số sản phẩm loại I trong kho: ( 952; 1257)

c) Gọi p là tỉ lệ chi tiết loại I thời điểm hiện tại

C1: Gtkđ Ho: p = 50% Gt H1: p  50%

zα = 2,58

0 0,5522 0,5

230 1,5825 (1 ) 0,5 0,5

o

f p

Do |zo | < zα nên chấp nhận Ho

Ta nói tỉ lệ chi tiết loại I không tăng lên

C2: Gtkđ Ho: p = 50% Gt H1: p > 0,5

Miền bác bỏ Wα = (2,33; +)

0 0,5522 0,5

230 1,5825 (1 ) 0,5 0,5

o

f p

Do zo Wα nên chấp nhận Ho Ta nói tỉ lệ chi tiết loại I không tăng

d) Ho: mẫu phù hợp phân phối chuẩn

H1: mẫu không phù hợp phân phối chuẩn

Miền bác bỏ: Wα =( 7,81; +∞)

Trình bày cơng thức tính pi : ……

pi Ei =n*pi 0.0487 11.20

0.1495 34.38

0.2864 65.87

0.2950 67.86

0.1634 37.58

0.0570 13.11

Tiêu chuẩn kđ: qs2 = 5,7364 ( trình bày cơng thức tính) Wα Khơng bác bỏ được H0 Mẫu phù hợp phân phối chuẩn

( Cĩ thể dùng cơng thức rút gọn để tính qs2 nhanh hơn ).

ĐÁP ÁN ĐỀ 2

Câu 1: 2đ Gọi: A là biến cố lần đầu người đó làm 8 sản phẩm được 6 sản phẩm tốt

B là biến cố lần tiếp theo người đó làm 8 sản phẩm được 6 sản phẩm tốt

H1 là biến cố người làm việc là người thứ nhất hoặc thứ 2

H2 là biến cố người làm việc là người thứ 3

P(H )*P(AB/H ) P(H )*

P(AB)

P(H )*P(A/H ) P(H )*P

=





0.9 0,1 0.8 0, 2

0.9 0,1 0.8 0, 2





Câu 2: 3đ ( 2 đ + 1đ)

a)

3 7 3 10

7

0, 2917 24

C

p

C

X có phân phối nhị thức nên E(X)= np = 29,17 D(X)= npq = 2915/144 = 20,6597

b) * Bấm máy trực tiếp:

100 33

100 0

k k





* Nếu sử dụng công thức tính gần đúng, ta có kết quả:

20, 6597 20, 6597

Câu 3: 5đ (1đ +1đ +1đ +2đ )

a) Khoảng ước lượng cần tìm:

(1 ) 2, 05 0, 27(1 0, 27)

0, 27 0, 27 0, 0646 (0, 2054; 0,3344)

200

n

b) 2’ 0,5

2 2

2, 05 2,5579

z s



c) Gọi a là thời gian trung bình để gia công 1 sản phẩm thời điểm hiện tại

C1: Gtkđ Ho: a = 36 Gt H1: a  36

zα = 2,58

0 35,5 36

200 2, 7862 2,5379

o

x a

s

Do |zo | > zα nên bác bỏ Ho, chấp nhận H1; tức là thời gian gia công trung bình 1 sản

phẩm đã thay đổi Đồng thời do x < ao=36 nên ta coi như thời gian trung bình để gia công 1 sản phẩm đã giảm, hay năng suất công nhân đã tăng

C2: Gtkđ Ho: a = 36 Gt H1: a < 36

Miền bác bỏ Wα = (-; -2,33)

0 35,5 36

200 2, 7644 2,5579

qs

x a

s

Do zo Wα nên bác bỏ Ho, chấp nhận H1

Ta coi như thời gian trung bình để gia công 1 sản phẩm đã giảm, hay năng suất công nhân đã tăng

d) Ho: mẫu phù hợp phân phối chuẩn

H1: mẫu không phù hợp phân phối chuẩn

Miền bác bỏ: Wα =( 7,81; +∞)

Trình bày cơng thức tính pi : ……

pi Ei =n*pi

0.0851 17.01

0.1932 38.65

0.2994 59.88

0.2587 51.75

0.1247 24.94

0.0389 7.78

Tiêu chuẩn kđ: qs2 = 3,1701 ( trình bày cơng thức tính) Wα Khơng bác bỏ được H0 Mẫu phù hợp phân phối chuẩn

( Cĩ thể dùng cơng thức rút gọn để tính qs2 nhanh hơn ).

Trường ĐHBK TPHCM ĐỀ THI HỌC KỲ

Bộ môn Toán ứng dụng MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Thời gian: 90 phút

- Đề thi gồm 2 trang

- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi

- Khơng sử dụng tài liệu

Câu 1: Một hộp cĩ n sản phẩm Với cùng xác suất như nhau, giả sử hộp đĩ cĩ i chính

phẩm; i =0, 1, 2,…n Lần 1 người ta rút ngẫu nhiên khơng hồn lại một sản phẩm từ

hộp thì được chính phẩm Lần 2 rút tiếp ngẫu nhiên từ hộp 1 sản phẩm nữa Tìm xác suất để sản phẩm rút lần 2 cũng là chính phẩm

Câu 2: Biết rằng tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử là biến ngẫu nhiên X cĩ hàm mật

độ xác suất là:

( )

kx

f x

x



 



a) Tìm hệ số k, tính P(-1< X< 4) và hàm phân phối xác suất F(x)

b) Giả sử cĩ một thiết bị cùng loại đã dùng được 3 năm, tìm xác suất để thiết bị đĩ cịn dùng được ít nhất 2 năm nữa

c) Một người mua mới 6 thiết bị cùng loại Tìm xác suất trong 6 thiết bị này sẽ chỉ

cĩ đúng 2 thiết bị cĩ tuổi thọ lớn hơn 3 năm

Câu 3: Thời gian hồn thành một sản phẩm của một số cơng nhân được cho bởi bảng

phân phối tần số mẫu sau (đơn vị: phút):

Thời gian (x i ) 14 -16 16 - 18 18 - 20 20 - 22 22 – 24

Với mức ý nghĩa 5%, cĩ thể coi thời gian hồn thành một sản phẩm loại này tuân theo quy luật phân phối chuẩn hay khơng?

Câu 4: Khi khảo sát mối liên hệ giữa lượng phân bĩn X (kg/ha) và năng suất tương

ứng Y (tạ/ha) của một loại cây trồng trong vùng, người ta lấy số liệu mẫu trên 100 thửa ruộng cĩ cùng diện tích Kết quả được biểu diễn trong bảng sau:

X

a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng lượng phân bón trung bình đã sử dụng và năng suất trung bình của cây trong vùng

b) Có một báo cáo cho rằng 75% diện tích trồng cây trong vùng cho năng suất từ 35 tạ/ha trở lên Với mức ý nghĩa 1%, hãy nhận xét xem tỉ lệ được nhắc đến trong báo cáo trên có đáng tin không

c) Hãy ước lượng hệ số tương quan giữa X,Y; phương trình đường hồi quy tuyến tính

Y theo X; và dự kiến năng suất cây trồng nếu sử sụng lượng phân bón là 390 kg/ha

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY

ĐÁP ÁN Câu 1: 2 đ

Gọi Hi là biến cố hộp cĩ i chính phẩm, i = 0, ,n

{H0, H1,….,Hn} tạo thành nhĩm biến cố đầy đủ  i

1

n



Gọi F1 là biến cố sản phẩm lấy ra ban đầu là chính phẩm

Gọi F2 là biến cố sản phẩm lấy ra lần sau là chính phẩm

2 1

1

( ) ( | )

( )

P F F

P F F

P F



1

1

( 1)

( ).P( / )

n

i

n n i

i

P

n



2 1

2

( )

1 ( 1)

1 ( 1) ( 1)( 1) ( 1)(2 1) ( 1)

1

n

i

i i

i i









 

1 2

2 1

1

( ) 2 ( | )

( ) 3

P F F

P F F

P F

Câu 2: 3 đ (1+1+1)

a) k = 0,5 ; P(-1< X< 4) = 0.8647 ;

0,5

F( )

x

x

x



 



b) Xác suất cần tìm:

c) p = P( X > 3) = 0,2231 Áp dụng cơng thức Bernoulli với n =6, p = 0,2231;

Xác suất cần tìm: C p62 2(1p)4 0, 2720

Câu 3: 2 đ n46 x19, 2609 s2,3072

Ho: mẫu phù hợp phân phối chuẩn…

H1: mẫu không phù hợp phân phối chuẩn

Miền bác bỏ: Wα =( 5,99; +∞)

Trình bày cơng thức tính pi , tckđ…

pi Ei =n*pi

Tiêu chuẩn kđ: 02= ….= 0,2255  Wα Chấp nhận H0

Mẫu phù hợp phân phối chuẩn

( Cĩ thể dùng cơng thức rút gọn để tính  2 nhanh hơn ).

Câu 4: 3đ (1+1+1)

100

35, 66 2, 0510

X

Y

n



a) * Khoảng tin cậy cho lượng phân bĩn trung bình (kg/ha):

1,96 23,8472

100 (352,3259;361, 6741)

X

z s

x

n



* Khoảng tin cậy cho năng suất trung bình (tạ/ha):

1,96 2, 0510

100 (35, 2580; 36, 0620)

Y

z s

y

n



b) H0: p = 75%; H1: p≠ 75%

zα = 2,58 Mbb Wα = (-∞; - 2,58) ⋃ (2,58; +∞)

Tiêu chuẩn kđ: 0

0, 68 0, 75

100 1, 6166 (1 ) 0, 75 0, 25

qs

f p

KL: Do zqs Wα Chấp nhận H0

Chưa đủ cơ sở để bác bỏ tỉ lệ nêu trong báo cáo

c) Hệ số tương quan rXY = 0,8050

Phương trình đường hồi quy tuyến tính: y10,9427 0, 0692 x

Giá trị ước lượng (y x390) 37,9448 ( tạ/kg)

Trường ĐHBK TPHCM ĐỀ THI HỌC KỲ

Bộ môn Toán ứng dụng MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Thời gian: 90 phút

- Đề thi gồm 2 trang

- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi

- Không sử dụng tài liệu

CÂU 1: (1,5đ) Có n quả cầu được đánh số từ 1 đến n ( n≥ 5) Lấy ngẫu

nhiên ra 5 quả cầu Gọi X là số nhỏ nhất trên các quả cầu đã được lấy ra Tính P(X=1); P(X= k)

CÂU 2: (2đ) Thời gian hoạt động tốt liên tục (không phải sửa chữa) của

một loại tivi là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với kỳ vọng  =4300 giờ và độ lệch chuẩn  = 250 giờ Ước tính mỗi ngày một tivi được sử dụng trung bình 10 giờ Thời hạn tivi được bảo hành miễn phí là 1 năm (360 ngày)

a) Tìm tỷ lệ tivi mà công ty sản xuất phải bảo hành

b) Sau một thời gian đầu tư cải tiến công nghệ cho sản phẩm, công ty nhận thấy rằng hiện giờ có thể tăng thời gian bảo hành cho các sản phẩm lên đến 2 năm mà tỷ lệ sản phẩm cần phải bảo hành vẫn không đổi Hãy cho biết thời gian hoạt động tốt trung bình của mỗi sản phẩm đã tăng lên bao nhiêu nếu giả thiết phương sai của thời gian sản phẩm hoạt động tốt không thay đổi?

CÂU 3: (1,5đ) Từ n cặp vợ chồng người ta chọn ngẫu nhiên ra m người

nam và m người nữ Hãy tính xác suất để chọn được đúng k cặp vợ chồng ( k<m<n , 2m<n+k )

CÂU 4: (2đ) Người ta đo bán kính (cm) của một số sản phẩm được lựa

chọn ngẫu nhiên và có kết quả như sau:

Với mức ý nghĩa 5%, có thể coi bán kính các sản phẩm này tuân theo quy luật chuẩn không?

CÂU 5: (3đ) Nghiên cứu về sự ảnh hưởng của mức thu nhập X (triệu

đồng/tháng) đối với mức tiêu dùng Y (kg/tháng) về một loại thực phẩm ở

150 hộ gia đình trong vùng, người ta thu được số liệu:

Y

X

a) Hãy ước lượng mức tiêu dùng trung bình của loại thực phẩm này trong một tháng của các hộ trong vùng với độ tin cậy 99%

b) Những hộ có thu nhập từ 40 triệu đồng/tháng trở lên được coi là có thu nhập cao Hãy kiểm định ý kiến cho rằng tỷ lệ hộ có thu nhập cao trong vùng là 20%, với mức ý nghĩa 5%

c) Với mức ý nghĩa 10%, hãy xét xem mức tiêu dùng Y có phụ thuộc vào mức thu nhập X hay không ?

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

TS NGUYỄN BÁ THI

ĐÁP ÁN Câu 1: 1,5 đ

4

1 5

5

n

C

P X



   (0.5 đ) ( ) n k45 1, 2, , - 4

n

C

C



Tử số cĩ thể tìm nhờ quy tắc nhân:

 Chọn quả cầu cĩ số 1: cĩ 1 cách

 Chọn 4 quả cầu cịn lại: C 4 n-1 cách

Câu 2: 2đ

a) Gọi X là thời gian hoạt động tốt liên tục của tivi

X  N( a = 4300 giờ; 2

= (250 giờ)2) Những tivi được bảo hành miễn phí là những sản phẩm cĩ số giờ hoạt động tốt liên tục dưới 360 ngày, tức 3600 giờ

Tỉ lệ cần tìm:

P(X<3600 giờ) = 3600 4300 0,5 0, 4974 0,5 0, 0026

250



b) Gọi X’ là thời gian hoạt động tốt liên tục của tivi sau khi được cải tiến

X’  N( a = µ’ giờ; 2

= (250 giờ)2) Tìm µ’ thỏa: P(X’<7200 giờ) = 7200 ' 0,5 0, 0026

250





7200 '

2,8 ' 7900 250



Câu 3: 1,5 đ Câu này khơng chia nhỏ để chấm điểm thành phần.

Xs cần tìm: n k n k m k n m m k

TS



 hoặc n m m k n m m k





 



TS tìm theo quy tắc nhân:

 Chọn k cặp vợ chồng từ n cặp: cĩ C n k cách

 Chọn tiếp m-k người nữ từ n-k người phụ nữ chưa được chọn

 Chọn thêm m-k người nam từ (n-k) – (m-k) người nam chưa được chọn và vợ họ cũng chưa được chọn

Câu 4: 2đ n100 x4,108 s0, 2777 (s0, 2791)

Ho: mẫu phù hợp phân phối chuẩn

H1: mẫu không phù hợp phân phối chuẩn

Miền bác bỏ: Wα =( 9,49; +∞)

Trình bày cơng thức tính pi : ……

(α; β) Pi Ei =n*pi Oi (Oi-Ei)^2/Ei

Tiêu chuẩn kđ: qs2 = 18,8545  Wα Bác bỏ H0

Mẫu không phù hợp phân phối chuẩn

( Cĩ thể dùng cơng thức rút gọn để tính qs2

nhanh hơn ).